Trainingsblatt 04a (freiwillig) Elektrizitätslehre un Magnetismus Bachelor Physik Bachelor Wirtschaftsphysik Lehramt Physik 5.05.2008 Aufgaben. Ein Konensator, zwischen essen Platten sich Eis befinet, wir auf eine Spannung von 000V aufgelaen un ann von er Spannungsquelle getrennt. Das Eis schmilzt un bleibt im Konensator. Nach em Schmelzen beträgt ie Spannung am Konensator 9.2V. Wie gross ist ie Dielektrizitätszahl es Eises, wenn Wasser ɛ = 8 hat un ie Verluste urch ie Leitfähigkeit vernachlässigt weren. 2. Elektronen haben eine relativistische Ruheenergie von 5keV. Eine gelaene homogene Kugel mit er Laung e un em Raius r e hat in ihrem elektrischen Fel Energie gespeichert. Wie gross ist r e, wenn ie gesamte Energie es elektrischen Feles er relativistischen Ruheenergie entspricht?. Die Spannung an einem Plattenkonensator (Abstan er Platten = 00mm) wir wie U(t) = U 0 sin(ωt) mit ω/(2π) = 5MHz variiert. Wie gross muss U 0 sein, amit ie Amplitue es zwischen en Platten hinun herschwingenen Elektrons 5mm ist? 4. Eine Kugel mit em Raius R = 2cm sei mit = µc gelaen. Wie gross ist ie Bahngeschwinigkeit eines Elektron, as sich auf einer Kreisbahn mit em Raius r = cm um ie Kugel bewegt. Wie gross ist ie Umlaufszeit? Wie gross wäre ie Umlaufszeit, wenn er Bahnraius veroppelt wir? Können Sie Ergebnisse aus er Mechanik-Vorlesung verwenen? 5. Ein Metallwürfel mit er Kantenlänge a wir so geteilt, ass ie ie jeweils rei Seiten, ie zwei iagonal gegenüberliegene Ecken berühren, je mit er Laung oer gelaen weren. Vernachlässigen Sie Raneffekte un berechnen Sie ie Felstärke (Betrag un Richtung) im Zentrum es Würfels. 6. Eine Massenspektrometer könnte aus einem Plattenkonensator mit einem Plattenabstan un einer Spannung U zwischen en Platten bestehen. Mit einer Elektronenlaung gelaenen Teilchen er Masse m weren in er Mitte zwischen en beien Platten parallel zu en Platten mit er Geschwinigkeit v eingeschossen. Wie weit vom Einschusspunkt weg muss eine Platte mit einem Loch versehen weren, um Teilchen er Masse m 0 zu extrahieren? Wie änert sich ie extrahierte Masse mit er angelegten Spannung? 7. In einer einimensionalen Welt befinet sich eine Laung q 0 = nc im Fel zweier Laungen q = q 2 = 0nC, ie bei x = 0.m un x 2 = +0. befestigt sin. Wo ist ie Ruhelage von q 0 auf er x-achse? Mit welcher Frequenz wir q 0 um ie Ruhelage oszillieren, wenn ie Amplitue klein gegen 0.m ist? 8. Zwei ientische Moleküle mit er Masse von 50 Kohlenstoffatomen befinen sich 0nm voneinaner.mit einem Laserpuls weren jeem Molekül genau ein Elektron genommen. Was ist für sehr grosse Abstäne ie Engeschwinigkeit er Moleküle? Vernachlässigen sie ie Elektronenmasse. Warum arf man as tun? 9. Kochsalz kristallisiert in Würfelform, wobei sich an en Würfelecken immer positiv gelaenes Natrium un negativ gelaenes Chlor abwechseln. Wenn nun ein grosser Kochsalzkristall entlang zweier paralleler Ebenen gespalten wir, un ie Ebenen senkrecht auf einer Würfeliagonalen stehen, bestehen ie Oberflächen nur aus einer Atomsorte. Wenn as Spaltproukt quaerförmig mit zwei Spaltflächen er Grösse cm 2 ist un auf beien Seiten Natrium an er Oberfläche liegt, wie gross wäre ie Laung ieses Spaltprouktes? Wie gross wäre ie Kraft um as Kochsalz auf einer Fläche von cm 2 entlang einer Spaltfläche auseinaner zu reissen?
Lösungen. Der Konensator wir einmal gelaen, hier mit Dielektrikum Eis mit unbekannter Dielektrizitätskonstante, mit einer Spannung von kv. Bei so einmal gelaenen Konensatoren gilt U = U 0 ε r wobei U 0 ie Spannung ist, wenn als Dielektrikum Vakuum verwenet wir. Damit gilt: U eis ε eis = U wasser ε wasser oer ε eis = ε wasser Uwasser U eis =, 75 2. Das Fel einer gelaenen Kugel ist (r > Kugelraius) Die Energieichte eines Feles (im Vakuum) ist E (r) = 4πε 0 r 2 w = E D 2 = ε 0 2 E2 Hier ergibt sich w (r) = 2 2π 2 ε 0 r 4 Dies muss über en gesamten Raum integriert weren ab em (gesuchten) Kugelraius r 0 un soll gleich sein zu er Ruheenergie es Elektrons = m 0 c 2 = 5keV (m 0 = Ruhemasse) r=r 0 w (r) V = 2π 2 2 ε 0 r 0 r 4 4πr2 r = 2 = m 0 c 2 8πε 0 r 0 Damit ergibt sich er (klassisch berechnete) Elektronenraius - falls as Elektron eine homogen gelaene Kugel wäre - zu (e 0 = Elektronenlaung) r 0 =. Das Fel im Konensator ist E = U. e 2 0 8πε 0 m 0 c 2 =, 4 0 5 m =, 4fm Die Kraft auf as Elektron in iesem Fel ist (e 0 = Elektronenlaung =, 6 0 9 As, m e = Elektronenmasse = 9, 0 kg) F = E q = Ue 0 = m e ẍ Die Kraft ist perioisch (sinusförmig), un eshalb ist ie Bewegung es Elektrons ebenfalls perioisch sinusförmig mit er Amplitue x 0, also x = x 0 sin (ωt + ϕ) ẍ = x 0 ω 2 sin (ωt + ϕ) Damit ergibt sich für ie Beträge: U 0 = m e x 0 ω 2 e 0 = 2, 8V 2
4. Nicht relativistisch gerechnet: Das Fel einer Kugellaung ist E = 4πε 0. Die Kraft auf eine Probelaung q ist F = E q. Bei r 2 kreisförmiger Bewegung er Probelaung muss im Gleichgewicht iese Kraft gleich er Zentrifugalkraft sein, also: q 4πε 0 r 2 = m v2 r amit ergibt sich: v= q m4πε 0 r. Für ie beien Fälle (r = cm, r 2 = 6 cm) ergibt sich (mit q =, 6 0 9 C, m = 9, 0 kg) v 20 0 6 m s bzw. v 2 = 62, 0 6 m s Dies sin so grosse Geschwinigkeiten, ass relativistisch gerechnet weren muss: statt es Ausruckes... m 0 v0 2 muss gesetzt weren m 0 v2. Das führt auf v2 c 2 v = v 0 + 4 ( v0 ) 4 c 2 ( v0 ) 2 c als Umrechnung er Geschwinigkeiten: also: v r 99 0 6 m s Die Umlaufzeiten ergeben sich araus zu T = 2π w bzw = 2πr v v 2r = 5 0 6 m s T = 0, 95ns T 2 = 2, 5ns 5. Die Würfelflächen weren bezüglich es elektrischen Feles, as von en Laungen auf en Flächen herrührt, so behanelt, als ob sie unenlich gross wären, also as Fel nur von er Laungsichte σ un nicht em Abstan von er Fläche abhängt. E = σ 2πε 0 Die Richtung es Feles ist gleich er Flächennormale. Da ie beien geteilten Würfelhälften gleich stark aber entgegengesetzt gelaen sin, wir as Fel oppelt so gross, wie wenn nur eine Hälfte vorhanen wäre. Die rei Flächen er Würfelhälfte zeigen in alle rei Raumrichtungen, ergibt sich als as Gesamtfel zu: E ges = πε 0 a 2 Die Richtung es Feles zeigt amit in ie Raumiagonale es Würfels, ie ie Teilung es Würfels festlegt. 6. Das Fel im Konensator ist E = U. Die Kraft auf ein gelaenes Teilchen (Laung q) ist F = E q = U q = m ÿ (y zeige senkrecht zu en Konensatorplatten, x in Flugrichtung es Teilchens). Der Flugweg in y-richtung s y ist 2 un mit er Flugzeit über ie Beschleunigung ÿ verbunen: s y = 2 = 2ÿt2
Aus er Flugzeit ist er gesuchte x-ort es Detektorloches bestimmbar zu x e = t v Also x e = t v = v ÿ = v 2 m qu Damit ist bei gegeben x e ie Masse proportional zur Spannung. 7. Aus Symmetriegrünen muss ie Ruhelage er Probelaung genau zwischen en beien Laungen sein (alle Laungen haben as gleiche Vorzeichen). Natürlich ergibt sich ies auch mithilfe es Coulombgesetzes: Annahme: Probelaung q 0 befinet sich bei x, feste Laungen q bei a, q 2 (= q ) bei +a. Im Gleichgewicht muss ie Summe er Kräfte von beien Laungen berühren Null sein, also Daraus folgt: x = 0. F + F 2 = q 0 q 4πε 0 ( a x) 2 x ( a) a x + q 0 q 4πε 0 (a x) 2 x a a x = 0 Für ie Berechnung er Schwingfrequenz wir einerseits ie Masse er Probelaung m (hier allgemein gelassen) un anererseits ie Kraft bei Auslenkung x benötigt. Diese erhält man aus er Taylorentwicklung obiger Kraft für kleine Auslenkungen x << a aus er Nulllage: F + F 2 = m ẍ = q [ ] 0q 4πε 0 (a + x) 2 (+) + (a x) 2 ( ) [ ] = q 0q 4πε 0 a 2 ( ) + x 2 ( ) a x 2 a q [( 0q 4πε 0 a 2 2x ) ( + 2x )] = q 0q a a πε 0 a x Daraus ergibt sich ie Schwingungsfrequenz zu ω = q0 q πε 0 a m 8. Die Anfangsenergie ergibt sich (aus em Potential er Laung es einen Moleküls un er Laung es aneren) zu w 0 = q q 2 4πε 0 r 0 bei Anfangsabstan r 0. Da beie Moleküle gleich gelaen sin, stossen sie sich ab un weren eine Grenzgeschwinigkeit v erreichen, wenn sie weit von einaner entfernt sin. Die kinetische Energie muss ann er anfänglichen elektrischen Energie gleich sein, also: 2 m 2 v2 = q q 2 4πε 0 r 0 Damit ergibt sich: v = q q 2 4πε 0 r 0 m Die Masse eines Moleküls ist m = 50 2 u mit u, 67 0 27 kg Die Laungen sin q = q 2 = e 0 =, 6 0 9 C. Somit e 2 0 v = = 5, 6m/s 4πε 0 r 0 600u 4
9. Wenn bei iesem Spalten an beien Seiten Na + Ionen sin, ist ie Gesamtlaung es uaers gleich er Oberflächenlaung an einer Spaltfläche, ie er aneren wir urch ie Cl Ionen kompensiert. Um ie Laung einer Spaltfläche ( cm 2 ) zu berechnen, wir ie Gitterkonstante c = 0, 564nm benötigt. Die Na + Ionen sin 2 c 2 voneinaner entfernt un bilen an en Spaltflächen gleichseitige Dreiecke. Die Fläche eines solchen ist A g = 4 a2 mit a =Seitenlänge. Pro Dreieck gibt es ein Na + Ion, also N = A A = A g 4 c2 4 2 = 8A =, 45 05 c 2 Der Abstan zwischen Cl-Ionen un Na-Ionen beim Spalten ist gleich er halben Raumiagonalen eines Würfels mit c 2 Kantenlänge, also c 2 2. Damit ist ie Kraft F = N q q 2 4πε 0 r 2 = N e 2 6 4πε 0 c 2 = 5, 6MN 5