Lineare Gleichungssysteme 1 1.4 a) {( 1)} b) { } c) unendlich viele Lösungen d) {(4 )} e) {( 4)} f) { } 1.7 a) x = ; y = b) x = 4; y = c) x = _ ; y = 4 1.8 Zu diesen Aufgaben gibt es jeweils viele mögliche Lösungen. Eine wird exemplarisch gezeigt. Um keine Lösung zu erhalten, muss ein Widerspruch zwischen den Aussagen der beiden Gleichungen hergestellt werden. Um die Definitionsmenge als Lösungsmenge zu erhalten, müssen beide Gleichungen zu identischen Aussagen führen. zb: a) 1) II: x + y = 6 ) II: x + y = 5 b) 1) I: 6x y = 1 ) II: x + y = 6 c) 1) I: x y = ) II: x + y = 1.9 a) x = 0; y = 4 b) x = 17 ; y = 0 c) x = 11; y = 4 1.10 a) x = ; y = 4 b) r = 4_ 116 ; s = c) t = ; u = 17 1.11 a) x = ; y = b) x = 1; y = 4 c) r = ; s = 1 d) s = ; v = e) x = _ 5 ; y = 9 _ 5 f) a 1 = 1; a = 1.1 a) a = 7; b = b) x = _ 5 ; y = 1_ c) x = _ 4 ; y = d) x 1 = 1; x = 4 e) a = ; b = 5 f) x = ; y = 1.1 a) x = 11 5 ; y = 1_ 5 ; eine Lösung, da D 0. b) Keine Lösung. Dividiert man II durch, so sind die Koeffizienten bei x bzw. y bei beiden Gleichungen identisch. Die Konstanten auf der rechten Seite sind verschieden. c) L = {(x y) x 5y = 1}; unendlich viele Lösungen. Multipliziert man II mit, so sind beide Gleichungen identisch. 1.14 a) Einsetzungsverfahren; y ist in I explizit angegeben. Der Term auf der rechten Seite kann ohne weitere Umformung für y in II eingesetzt werden. x = 1; y = b) Einsetzungsverfahren; Umformen der Verhältnisgleichung in I ergibt u = v. v kann ohne weitere Umformung für u in II eingesetzt werden. u = _ ; v = 1_ c) Additionsverfahren; Multiplikation von I mit dem Faktor und Addition von I und II ergibt eine Gleichung (nur) mit der Variable a. a = 1; b = Gleich günstig ist Einsetzungsverfahren: b = a in II einsetzen. d) Einsetzungsverfahren; II durch sechs dividieren ergibt x = 4_. 4_ kann für x in I eingesetzt werden. x = 4_ ; y = e) Additionsverfahren; die Addition von I und II ergibt ohne weitere Umformung eine Gleichung (nur) mit der Variable y. x = 4; y = Gleich günstig ist Einsetzungsverfahren: x aus II in I einsetzen. f) Einsetzungsverfahren; t ist in I explizit angegeben. Der Term auf der rechten Seite kann ohne weitere Umformung für t in II eingesetzt werden. t 1 = 50; t = 60
1.15 1. 1.15 Bedingung c d g und h schneiden einander c 4_ beliebig g und h sind parallel c = 4_ d 8 g und h sind ident c = 4_ d = 8 g und h stehen aufeinander normal c = 7 4 beliebig 1.16 a) Nullstelle 1. Gerade: x = 9 Schnittpunkt: ( ) b) I: y = 6 4_ 8 (x + ) y = 0,5x + 4,5 II: y = x x = 0,5x + 4,5 x =, y = 1.17 a) x = 5 ; y = 1 b) x = ; y = 7 7 1.18 a) x = ; y =,4 b) x = 1; y = 1 1.19 a) x = 1 11 ; y = 4 11 b) x = 1_ 4 ; y = 1_ 6 1.0 a) x = ; y = 1 b) x = 5; y = 4 c) x = 1; y = 1 1.1 a) x = 1; y = b) x = ; y = 1 1. a) Es gibt keinen Wert a, für den das Gleichungssystem keine Lösung hat. I bzw. II so umformen, dass y allein auf einer Seite steht, ergibt die Gleichungen zweier Geraden mit k = _ a bzw. k = _ 4. Für a = 4 sind die Steigungen gleich, die y-achsenabschnitte mit d = 11 11 a bzw. d = 4 ebenfalls. Die Geraden sind daher bei a = 4 ident, weshalb es bei a = 4 unendlich viele Lösungen gibt. b) Keine Lösung bei a 9. I bzw. II so umformen, dass y allein auf einer Seite steht, ergibt die Gleichungen zweier Geraden mit gleicher Steigung k = 1_ 4. Die y-achsenabstände sind d = _ 4 bzw. d = a 1. Für a 9 sind diese verschieden, die Geraden daher parallel. Unendlich viele Lösungen bei a = 9. Die y-achsenabstände sind nun ebenfalls gleich, die Geraden daher ident. c) Keine Lösung bei a =. I bzw. II so umformen, dass y allein auf einer Seite steht, ergibt die Gleichungen zweier Geraden mit k = 4_ bzw. k = 4_ a. Für a = sind die Anstiege gleich. Die y-achsenabstände sind mit d = 1 bzw. d = _ 5 a = 5 _ verschieden, die Geraden daher parallel. Es gibt keinen Wert a, für den das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat. d) Keine Lösung bei a = 1 und b 9. I bzw. II so umformen, dass y allein auf einer Seite steht, ergibt die Gleichungen zweier Geraden mit gleicher Steigung k =. Die y-achsenabstände sind mit d = bzw. d verschieden, die Geraden daher parallel. Unendlich viele Lösungen bei a = 1 und b = 9. Die y-achsenabstände sind mit d = nun ebenfalls gleich, die Geraden daher ident. 4
1. 1.1 und b = 10, d = 1_ bzw. d 1_. f) Keine Lösung bei a = _ und b, unendlich viele Lösungen bei a = _ und b =. Begründung wie bei d); k = _ 4, d = 1_ bzw. d 1_. e) Keine Lösung bei a _ Begründung wie bei d); k = 5 _, unendlich viele Lösungen bei a = _ 10 und b =. 1. a) x = s, y = 0; r 0, s 0 b) x = a, y = b; a 0, b beliebig c) x = a + b, y = ; a, b beliebig Unendlich viele Lösungen können vorkommen, sie sind interpretierbar. 1.4 Robin hat richtig gerechnet. Chiara hat die Konstanten auf der rechten Seite der Gleichungen nicht mit den Faktoren bzw. 4 multipliziert. Beim Einsetzen von y = 16 9 in eine der beiden Gleichungen ist ein weiterer Fehler passiert. 1.6 x... Preis für 1 m Dekorstoff; y... Preis für 1 m Möbelstoff I: 40x + 50y = 1 80 II: 0,05 40x + 0,0 50y = 48 x = 1; y = 16. Beide Methoden sind günstig anwendbar. 1 m Dekorstoff kostet 1, 1 m Möbelstoff 16. 1.7 a) x... Preis von1 Bratwurst; y... Preis von 1 Portion Kartoffelsalat. I: x + y = 6 II: x + y = 6,80 x = 1,0 ; y = 1,60 b) I: x + y = 6 II: x + 6y = 1 unendlich viele Lösungen. Beide Gleichungen sind identisch, es sind für x alle Zahlen aus D möglich, die -Fachen von x ergeben y. Maria kauft doppelt so viel wie Peter ein, daher kann man nur über das Verhältnis der Kosten der Produkte etwas aussagen. 1.8 x... Anzahl der 0,75 l-flaschen; y... Anzahl der 1 l-flaschen I: x + y = 100 II: 0,75x + y = 90 40 Flaschen zu 0,75 l bzw. 60 Flaschen zu 1 l. 1.9 x... Tagesgebühr, y... km-tarif I: x + 100y = 115 II: x + 40y = 91 Tagesgebühr: 75 ; Kilometer-Tarif: 0,40 /km 1.0 x... Eigengeschwindigkeit des Schiffs, y... Fließgeschwindigkeit der Donau I: x y = 14 II: x + y = 0 Eigengeschwindigkeit des Schiffs: 17 km/h; Fließgeschwindigkeit der Donau: km/h. 1.1 x... weiße Farbe, y... grüne Farbe I: x : y = 5 : II: x + y = 6 x =,75 l, y =,5 l Ja, Bettina kommt mit l grüner Farbe aus. Sie benötigt,5 l. 5
1.4 1.4 1.4 a) x = ; y = ; z = 1 b) k = 5; l = ; m = 1; n = c) w = ; x = 4; y = 1; z = 1 d) a = ; b = 5; c = ; d = 1; e = 1.5 a) x = 4,46...; y = 9,97...; z = 0,811... b) a = 0,4...; b = 0,499...; c = 1,448... 1.6 a) x = ; y = 1; z = b) x = 1; y = ; z = 1 c) a = 44; b = 6; c = 80 1.7 a) x = ; y = 5; z = 7 b) I 1 = 1; I = ; I = c) x = 9 11 ; y = 1 11 ; z = 40 11 1.8 a) u = 4; v = 1; w = 0 b) x = 1; y = 6; z = 1 c) p = ; q = 4; r = 1.9 I: α = β II: γ = β 0 III: α + β + γ = 180 α = 100 ; β = 50 ; γ = 0 1.40 I: a : b = 5 : II: c = b III: a + b + c = 140 a = 50 cm; b = 0 cm; c = 60 cm 1.41 Die Seite c = 19 cm, die Höhe h = 6 cm. 1.4 I: 4a + b = 160 II: a + b = 160 Typ A: 0 Personen, Typ B: 40 Personen 1.4 a) K(x) = 4 x + 50 000 x... Anzahl der Pläne in Stück, 0 x 40 000 K(x)... Gesamtkosten in Euro ( ) E(x) = 6 x E(x)... Erlös in Euro ( ) G(x) = x 50 000 G(x)... Gewinn in Euro ( ) b) Der Betrieb arbeitet kostendeckend ab jener Menge, ab der kein Verlust mehr eintritt. Der Gewinn ist null. Der Erlös entspricht den Kosten. c) I: y = 4x + 50 000 II: y = 6x Lösung durch Gleichsetzungsmethode: 4x + 50 000 = 6x x = 50 000 x = 5 000, y = 90 000 Bei einer Verkaufsmenge von 5 000 Stück entspricht der Erlös den Kosten von 90.000. Der x-wert des Schnittpunkts ist jene Stückzahl, ab der der Betrieb kostendeckend arbeitet (Gewinnschwelle). Er entspricht der Nullstelle der Gewinnfunktion = Break-Even-Point (BEP). 6
1.44 x... Anzahl der ursprünglich Beschäftigten, y... Lohn pro Tag für einen Beschäftigten I: xy 64,8 = 1,1xy,y II: xy + 54 = 1,1xy 1,1y 1.44 1.5 Hinweis: Berechnung entweder mit CAS oder xy eliminieren: Subtrahieren der Gleichungen: 118,8 = 1,1y y = 108 Anzahl der ursprünglich Beschäftigten: 16 Lohnkosten pro Tag für einen Beschäftigten vor der Lohnerhöhung: 108 1.45 Diese Aufgabe lässt sich mit einer Gleichung in einer Variablen (x... ursprüngliche Seitenanzahl) lösen: 8 45 x = 40 48 (x 56) x = 51 Seiten 1.46 a) Kostenstelle (STROM): 6 500 p = 400 p 1 + 1 000 p + 40 p + 14 Kostenstelle (WERKSTATT): 70 p = 000 p 1 + 5 000 p + 10 p + 8 60 b) 0,07 /kwh Heizungskosten, 0,14 /kwh Stromkosten, 5 pro Arbeitsstunde Werkstatt c) Heizung:.500 ; Strom:.800 ; Werkstatt: 7.000 d) Lieferant Hilfsbetrieb Heizung (in ) Strom (in ) Empfänger Werkstatt (in ) Haupt betrieb (in ) Heizung (in kwh) 8 140.500 Strom (in kwh) 70 140 700.800 Werkstatt (in h) 700 1.400 50 7.000 1.48 I: a + b = 6 II: b + 4 = a a = 0 cm, b = 16 cm 1.49 Die ursprünglichen Seiten des Rechtecks betragen: a = cm und b = 1 cm. 1.50 Die Winkel betragen α = 54 und β = 6. 1.5 Der 1. Zug fährt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 66 km/h, der. Zug mit einer mittleren Geschwindigkeit von 6 km/h. Der Überholvorgang findet 78 km vom Bahnhof B entfernt statt. 1.5 Der PKW aus A fährt ursprünglich mit durchschnittlich 80,9 km/h, der PKW aus B fährt mit durchschnittlich 78,5 km/h. Der Treffpunkt ist in 5,9 km Entfernung von B. 7
1.54 1.61 1.54 s... Weg in km, t... Zeit in min I: s = 1 1 t (5 km/h = 1 1 km/min ) II: 10 s = 1_ (t 0) (0 km/h = 1_ km/min ) Sie treffen einander 40 Minuten nachdem sich die Fußgängerin auf den Weg gemacht hat und, Kilometer vom Ausgangspunkt der Fußgängerin entfernt. 1 s in km 10 8 Radfahrer 6 4 0 0 10 Fußgängerin 0 0 40 t in min 1.56 a) D = {(x y) x R\{0}, y R\{0}}, L = {(1 1)} b) D = {(f g) f R\{0}, g R\{0}}, L = {( )} c) D = {(x y) x R\{0}, y R\{0}}, L = {( 9 _ 18)} 1.57 a) D = {(x y) x R\{ }, y R\{}}, L = {( 7)} b) D = {(p q) p R\{}, q R\{ 5}}, L = {( 1 4)} c) D = {(a b) a R, b R b a b a }, L = {( 10 d) D = {(x y) x R\{ 1}, y R\{1}}, L = {( 0)} e) D = {(r s) r R\{ }, s R\{ 5}}, L = {( 4)} f) D = {(m n) m R\{1}, n R\{}}, L = {( 4)} 7 15 1.58 a) keine Lösung b) unendlich viele Lösungen c) a = 4; b = ; c = 5 1.59 a) x = ; y = _ 4 ; z = b) x = 5 ; y = 6_ 5 ; z = 4_ 5 1.60 a) D = {(x y z) x R\{0}, y R\{0}, z R\{0}}, L = {( 1)} b) D = {(a b c) a R\{0}, b R\{0}, c R\{0}}, L = {( 6_ 7 4 7 )} 1.61 a) D = {(x y z) x R\{ 1}, y R\{ }, z R\{ }}, L = {(1 1)} b) D = {(x y z) x R\{0}, y R, z R\{1}}, L = {( )} 4 )} c) a = 5; b = 5; c = 50 8
1.6 1.67 1.6 a) Keine Lösung zb mit III: 9x + 10y z = 0, Widerspruch zu I. Nachweis: b) Genau 1 Lösung zb mit III: x + y + z = 0 c) Unendlich viele Lösungen zb mit III: 8x 8y + z = 8... identisch mit II c 1 steht für jede beliebige Zahl. 1.6 1 Flasche Blaufränkischer kostet 48,50. 1 Flasche Riesling kostet 1,99. 1 Flasche Portwein kostet 79,90. 1.64 I: 50b + 1s + v = 1 876,9 II: 6b + 40v = 4 714 III: 5s + 17v = 064,5 Eine Badehose kostet 9 ; ein Sonnenhut kostet 10,90 ; ein Ventilator kostet 99. 1.65 Jahresverdienst der 1. Firma:.809,5 der. Firma: 61.111,11 der. Firma: 10.555,56 1.66 I: m + h + s = 00 II: m + h = s III: h = 4s 5 Maria:.0 ; Harald: 1.0 ; Sofie: 16.650 1.67 a = 1 1_ cm; b = 16 _ cm; c = 0 cm 9
1.68 1.Test 1.68 I: a + b + c = 80 II: a = b III: a = c + 0 1. Fahrzeug. 14 km;. Fahrzeug 6 km;. Fahrzeug 94 km. 1.69 I: a + b + c = 48 II: b = 1_ (a + c) III: a = b + c A investiert 4 Arbeitsstunden, B 16 und C 8 Arbeitsstunden. 1.70 B1 schafft 1_ x pro Tag, wenn er allein x Stunden bräuchte. B schafft 1_ y, B schafft 1_ z pro Tag. B1 benötigt 6 Tage; B benötigt 1 Tage; B benötigt 8 Tage Alle gemeinsam,6 Tage. Test Aufgabe 7 4 y I (0 I ) 1 II - - -1 0 1 4 x -1-10