Räuber-Beute-Modelle, Auslese/Schwellensatz

Räuber-Beute-Modelle, Auslese/Schwellensatz Mareike Franz und Brigitte Steinhauser 15. Dezember 2008 1 / 37

1 Räuber-Beute-Modelle 2 Prinzip der Auslese durch Wettbewerb 3 Schwellensatz der Epidemiologie 2 / 37

Einführung Allgemeine Definition Ein mathematisches Modell, welches die Beziehung zwischen einer Räuberpopulation der Größe y(t) und einer Beutepopulation der Größe x(t) in einem bestimmten zeitlichen Rahmen t betrachtet. 4 / 37

Räuber-Beute-Modelle 5 / 37

Beispiel 40 35 30 25 20 15 10 5 0 1914 1916 1918 1920 1922 Haibestand [%] 6 / 37

Mathematisches Modell nach Volterra Annahmen Beutepopulation (Speisefische) sei x(t) Räuberpopulation (Haie) sei y(t) Ausreichend Platz und Nahrung für alle Population der Speisefische ohne Haie verhält sich nach Malthusianischem Gesetz für Bevölkerungswachstum dx(t) dt = αx; α > 0 Anzahl der Kontakte zwischen Haien und Fischen pro Zeiteinheit sei βxy Natürliche Sterberate der Haie sei γy und die Wachstumsrate δxy, wobei x der Futtervorrat und y die Anzahl der Haie ist. 7 / 37

Mathematisches Modell nach Volterra Differentialgleichungssystem Mit Hilfe dieser Annahmen ergeben sich die folgenden Differentialgleichungen dx(t) = αx βxy dt (1) dy(t) = γy + δxy dt 8 / 37

Betrachtung der Lösungsbahnen Gleichgewichtslösungen x(t) = 0 und y(t) = 0 x(t) = γ δ und y(t) = α β 9 / 37

Betrachtung der Lösungsbahnen Gleichgewichtslösungen x(t) = 0 und y(t) = 0 x(t) = γ δ und y(t) = α β Lösungsbahnen x(t) = x 0 exp (αt), y(t) = 0 x(t) = 0, y(t) = y 0 exp ( γt) 9 / 37

Betrachtung der Lösungsbahnen Differentialgleichung 1. Ordnung mit getrennten Variablen dy dx = γy + δxy αx βxy y( γ + δx) = x(α βy) (2) Daraus ergeben sich nach Integrieren mit getrennten Variablen die Lösungskurven. Das dürft ihr jetzt selbst versuchen! 10 / 37

Betrachtung der Lösungsbahnen Lösung α ln y βy + γ ln x δx = k 1 mit k 1 := α ln y 0 βy 0 + γ ln x 0 δx 0 (3) 11 / 37

Analyse der Lösungskurven Mit folgenden Transformationen Transformationen p := γ δ und q := α β sowie u := x p und v := y q und Approximation mittels der logarithmischen Reihe können wir die Lösung (3) auf diese Form bringen: Modifizierte Gleichung β 2 α v 2 + δ2 γ u2 = K (4) 12 / 37

Schaubild 13 / 37

Eigenschaften Eigenschaften Alle Lösungen x(t), y(t) (mit x, y > 0) sind periodische Funktionen der Zeit (d.h. x(t + T ) = x(t) und y(t + T ) = y(t)) Mittelwerte und Gleichgewichtswerte sind identisch 14 / 37

Mittelwerte Lemma Es sei x(t), y(t) eine periodische Lösung von (1) mit Periode T > 0. Definiert man die Mittelwerte x und y von x und y durch dann gilt: x = 1 T y = 1 T T 0 T 0 x = γ δ y = α β. x(t)dt y(t)dt (5) 15 / 37

Reales Modell (Berücksichtigung des Fischfangs) Was passiert, wenn der Mensch in die Natur eingreift und anfängt zu fischen? Hierzu nehmen wir an, dass das Fischen die Beutepopulation mit einer Rate ɛx(t) sowie die Räuberpopulation mit einer Rate ɛy(t) dezimiert. ɛ modelliert hierbei die Stärke des Fischfangs Modifiziertes DGL-System dx(t) = αx βxy ɛx = (α ɛ)x βxy dt dy(t) = γy + δxy ɛy = (γ + ɛ)y + δxy dt (6) 16 / 37

Mittelwerte x = γ + ɛ δ y = α ɛ β (7) 17 / 37

Mittelwerte x = γ + ɛ δ y = α ɛ β (7) Volterra-Prinzip Ein verminderter Fischfang führt durchschnittlich zum zahlenmäßigen Anstieg der Haipopulation und reduziert die Speisefischpopulation. 17 / 37

Anwendungsgebiete des Volterra-Prinzips 18 / 37

Die natürliche Auslese sorgt dafür, dass immer die Stärksten oder die am besten Angepassten überleben oder anders: Die Säugetiere haben die Dinosaurier verdrängt, weil sie schneller, kleiner und aggressiver waren. (Charles Darwin) 20 / 37

Beispiel aus der Natur 21 / 37

Mathematisches Modell Logistisches Wachstumsgesetz Als Grundlage rufen wir uns nochmals das logistische Gesetz des Bevölkerungswachstums in Erinnerung. dn dt = an bn2 (8) 22 / 37

Mathemathisches Modell Differentialgleichungssystem dn 1 dt dn 2 dt = a 1 N 1 ( K 1 N 1 m 2 K 1 ) = a 2 N 2 ( K 2 N 2 m 1 K 2 ) (9) N 1 (t) und N 2 (t) modellieren die beiden Populationen Mit K 1,K 2 wollen wir die Maxima der Populationen bezeichnen m 1 sei die Anzahl an Plätzen der zweiten Spezies, die allerdings durch Spezies 1 besetzt werden. Analog für m 2. 23 / 37

Auslese Spezialfall dn 1 dt dn 2 dt = a 1 N 1 ( K 1 N 1 N 2 K 1 ) = a 2 N 2 ( K 2 N 2 N 1 K 2 ) (10) Satz (Prinzip der Auslese durch Wettbewerb) Sei K 1 > K 2. Dann konvergiert jede Lösung N 1 (t), N 2 (t) von (10) für t gegen die Gleichgewichtslösung N 1 = K 1 und N 2 = 0. 24 / 37

Fazit Fazit Diesen Satz finden wir auch intuitiv bestätigt, wenn wir unseren Blick auf die Natur wenden. Wo immer ein Kampf zweier ähnlicher Spezies um die Existenz entbrennt, wird dieser in der totalen Auslöschung einer der beiden Parteien enden. Also, frei nach dem Prinzip: Es kann nur Einen geben! 25 / 37

Einführung 27 / 37

Mathematisches Modell nach Kermack und McKendrick Annahmen Die Krankheit macht jede Person nach ihrer Genesung dauerhaft immun Die Inkubationszeit ist vernachlässigbar klein Die Größe der Bevölkerungsgruppe N ist konstant 28 / 37

Mathematisches Modell nach Kermack und McKendrick Annahmen Die Krankheit macht jede Person nach ihrer Genesung dauerhaft immun Die Inkubationszeit ist vernachlässigbar klein Die Größe der Bevölkerungsgruppe N ist konstant wir teilen 3 Klassen ein 1 Die infizierende (ansteckende) Klasse sei (I ) 2 Die gefährdete (anfällige) Klasse sei (G) 3 Die ausgeschiedene Klasse sei (R) 28 / 37

Mathematisches Modell nach Kermack und McKendrick Differentialgleichungssystem dg dt di dt dr dt = rgi = rgi γi = γi r > 0 nennen wir Infektionsrate und γ > 0 Ausscheidungsrate. 29 / 37

Lösungskurven Integration führt zu di dg = rgi γi rgi = 1 + γ rg I (G) = I 0 + G 0 G + ρ ln G G 0 mit ρ = γ r 30 / 37

Lösungskurven 31 / 37

Schlussfolgerung Fazit Bemerkenswert ist, dass die Krankheit nicht mangels gefährdeter Personen, sondern mangels infizierender Personen ausstirbt! 32 / 37

Schwellensatz der Epidemiologie Schwellensatz der Epidemiologie Sei G 0 = ρ + ν, wobei ν ρ << 1. Ist nun die Zahl I 0 der anfangs ansteckenden Personen sehr klein, werden schließlich 2ν Personen erkranken. 33 / 37

Probleme bei der Modellierung realer Fälle Damit wir unserer Modell mit den Werten realer Epidemiefälle vergleichen können, müssen wir deshalb die Funktion dr dt aufstellen, also unsere Ursprungsgleichung modifizieren. (Warum?) Modifiziertes DGL-System Weiterhin gilt dr dt = γi = γ(n R G) dg dr = rgi γi = G ρ Durch Integrieren und Einsetzen in die erste Gleichung folgt dr dt = γ(n R G 0 exp ( R ρ )) 34 / 37

Epidemiekurve dr dt = ωsech2 ( 1 αγt φ) 2 mit sech 2 (x) = 4 (exp x+exp x) 2 35 / 37

Vergleich mit realen Werten Die beiden Begründer des Schwellensatzes verglichen ihre mathematischen Ergebnisse mit den bekannten Daten einer Seuche, die von Juli 1905 bis Juni 1906 in Bombay wütete. Sie setzten dr dt = 890sech2 (0, 2t 3, 4) t in Wochen. 36 / 37

Danke! Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit! Frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins neue Jahr! 37 / 37