Facharbeit Mathematik Die Zahl π Sascha Lambeck Jahrgangsstfe Leistngskrs Mathematik M Fachlehrer: Herr Tobias Schljahr /
Inhaltsverzeichnis Einleitng 3. Vorwort.............................. 3. Geschichtliches.......................... 3 Berechnngsmethoden 5. Das Wallissche Prodkt..................... 5. Verfahren nach Nikolas Csans................ 8 A Literatrverzeichnis B Erklärng
Einleitng. Vorwort Ich habe die Zahl π als Thema meiner Facharbeit gewählt, weil ich einmal wissen wollte, wie man überhapt af verschiedenen Wegen zr Bestimmng dieser kommen kann. Jeder kennt diese Zahl vom Taschenrechner: Sie ist einfach da, aber wo kommt sie her? Mit diesem Thema möchte ich mich daher im folgenden in meiner Facharbeit beschäftigen. Znächst werde ich einige relevante geschichtliche Informationen anführen nd mich darafhin mit der Herleitng nd Erläterng zweier Verfahren für die Bestimmng von π beschäftigen. In meiner Zeit der Recherche nach Informationen nd der Umsetzng dieser bin ich af einige Probleme des Verständnisses der an einigen Stellen doch schon komplexen Iterationsverfahren gestoßen. Dies hat mir hinsichtlich des mathematischen Umfangs doch sehr die Agen geöffnet, aber ich hoffe es geschafft z haben, diese Probleme weitestgehend z beseitigen nd somit eine angemessene Darstellng der Verfahren erzielt z haben.. Geschichtliches Die Zahl π z erforschen bedetet, das Universm z erforschen... David Chdnovsky Die Zahl π ist seit nnmehr ca. 4 Jahren Gegenstand eines immens großen Bereiches der Mathematik; seit jeher hat sie die hellen Köpfe der mathematisch versierten Kltren fasziniert nd sie daz bewegt, diese aßergewöhnliche Zahl z bestimmen. Immer mehr Mathematiker befaßten sich mit ihr nd entwickelten Methoden, af denen die hetigen modernen Verfahren immer noch basieren. Waren es früher gerade mal eine Handvoll bekannter Nachkommastellen, so liegt der Rekord nach riesigem Rechenafwand mit Spercomptern bei mittlerweile mehr als 68 Milliarden! Die ersten schriftlich überlieferten Werte von π sind 3, 3 + nd 3 +. 7 8 Der letzte Wert wrde 936 af einer ca. 4 Jahre alten babylonischen Keilschrifttafel entdeckt; er wrde wohl anhand einer Abschätzng zwischen dem Umfang eines Kreises mit dem Radis nd einem ihm einbeschriebenen Sechseck näherngsweise angegeben. Die Ägypter halten af ihrem Papyrs Rhind, der etwa af das Jahr 65 v. Chr. zrückdatiert werden kann, eine interessante Methode fest: Man sbtrahiere vom Drchmesser eines Kreises nd qadriere die übrig gebliebenen 8. Somit lag der Wert für ihr π bei ngefähr 3,64... Wie sie 9 9 3
aber af diese Formel gekommen sind, bleibt bis hete ein Rätsel. Die aber wohl bekannteste Formel stammt von Archimedes von Syraks (87- v. Chr.), die ihn letztendlich in seiner Arbeit Über Kreismessng z der bemerkenswerten Ungleichng 3+ < π < 3+ geführt hat. Er näherte 7 7 einem gegebenen Kreis jeweils einbeschriebene nd mschriebene Polygone an nd hatte somit eine ansteigende Folge von Umfängen der Inkreise nd eine abnehmende Folge von dem Umfängen der Umkreise, die er bentzte, m π einzschachteln. Im Lafe der Zeit haben sich noch sehr viele Mathematiker mit der Berechnng von π beschäftigt, nter ihnen ach Größen wie Leonhard Eler oder Isaac Newton, aber daraf möchte ich nicht im einzelnen eingehen, m den Rahmen der geschichtlichen Betrachtngen nr af einige wichtige Informationen z beschränken. Das Verhältnis zwischen dem Umfang nd dem Drchmesser eines Kreises wrde erstanlicherweise erst 647 von Newtons Lehrer William Oghtred mit dem griechischen Bchstaben π bezeichnet. Diese Zahl wird ach weitläfig nach Ldolph van Celen Ldolphsche Zahl genannt; dieser war ein fanatischer Stellenjäger nd stellte 69 nter Verwendng einer verbesserten Formel von Archimedes einen neen Rekord af, worafhin diese Zahl ehrenhalber nach ihm benannt wrde. 4
Berechnngsmethoden. Das Wallissche Prodkt Der englische Mathematiker John Wallis (66-73) hat eine Prodktdarstellng von π gefnden, die znächst daraf basiert, daß im Intervall x < π stets sinx < ist nd für natürliche Zahlen k die Ungleichng sin k+ x sin k x sin k x () gilt. Somit ging er wie folgt vor: Er betrachtete znächst das nachstehende Integral nd formte es entsprechend m x sin n dx = n sinn cos x + n sin n x dx () n Diese Umformng des Integrals erhält man drch die sogenannte partielle Integration. Ist nämlich der Integrand ein Prodkt zweier Fnktionen, in diesem fall x nd sinx, so gibt es zm Unterschied der Prodktregel in der Differenzialrechnng keine allgemein gültige Regel, m die Berechnng des Integrals eines Prodktes af die Berechnng der Integrale seiner Faktoren zrückzführen. Man kann sich hier aber helfen, denn es gibt eine Möglichkeit, ein schwierig z lösendes Integral af ein einfacheres zrückzführen: Satz: Seien (x) nd v(x) zwei im Intervall ] a; b [ differenzierbare Fnktionen, dann gilt nach der Prodktregel der Differenzialrechnng ((x) v(x)) = (x) v(x) + (x) v (x). Ist (x) v (x) integrierbar, so folgt hieras (x) v (x) dx = ((x) v(x)) dx (x) v(x) dx = (x) v(x) (x) v(x) dx, so daß ach (x) v(x) integrierbar ist. Andwendng des Satzes am oberen Integral: Der gegebene Integrand wird in das Prodkt sin x sin n x zerlegt, d.h. man setzt = sin n x, v = sin x nd findet v = cos x, = (n ) sin n x cos x (Kettenregel). Mithin ist v = (n ) sin n x cos x = (n ) sin n x ( sin x) = (n ) sin n x + (n ) sin n x 5
oder sin n x dx = cos x sin n x + (n ) sin n x dx (n ) sin n x dx, ( + n ) sin n x dx = cos x sin n x + (n ) sin n x dx Dividiert man beide Seiten drch n, so ergibt sich gerade (). Somit ist dieses Integral nachgewiesen. Nn kann man die Grenzen nd π einsetzen nd es ergibt sich sin n x dx = n n sin n x dx (n > ) Integriert man das rechts stehende Integral nn immer wieder (mehrfache partielle Integration), so erhält man nter Berücksichtigng der Fallnterscheidng zwischen geraden Zahlen (n = k) nd ngeraden Zahlen (n = k + ) die folgende Darstellng sin k x dx = k k k 3 k dx sin k+ x dx = k k + k k 3 nd nach dem Aflösen des Integrals ergibt sich sin x dx, sin k x dx = k k k 3 k π sin k+ x dx = k k + k k 3. Nn kommt () ins Spiel: Die eben gefndenen Prodkte lassen sich nach der Fallnterscheidng nn mit () als Ungleichng darstellen: 4 k 3 5 (k + ) 3 (k ) 4 k π 4 (k ) 3 5 (k ) (k + ) ( 3 (k ) 4 k ) π k + k = + k 6
Betrachtet man den Grenzwert so mß ebenfalls lim k lim (k + ) k ( + ) k ( 3 (k ) 4 k =, (3) ) π = (4) sein; keine andere Zahl aßer könnte gleichzeitig die Eigenschaft x haben. Wallis hat also mit () die Abschätzng der Integrale nter Bildng der Grenzwerte dergestalt erlangt, daß man diese sogenannte rekrsive Formel (d.h. nach mehrmaligem partiellen Integrieren) schließlich nach π aflösen nd mschreiben kann: π = lim 4 (k) k 3 5 (k ) (k + ) (5) Dieses meiner Meinng nach sehr interessante Verfahren zr Bestimmng von π als nendliches Prodkt nennt man das Wallissche Prodkt (ach das Wallissche Integral). Es nterscheidet sich so, wie es ist, von jeglichen anderen Verfahren nd ist somit etwas Einzigartiges, was gerade mein Interesse hieran geweckt hat. Ferner sind der Afba nd die Herleitng dieses Prodktes sehr übersichtlich nd nd in sich anhand der klar gegliederten Strktr logisch gt nachvollziehbar. 7
. Verfahren nach Nikolas Csans Nikolas von Kes (4-464), lateinisiert Nicolas Csans, war eigentlich Theologe, doch er beschäftigte sich darüberhinas ach mit der Mathematik, den Natrwissenschaften nd der Philosophie. Sein Name leitet sich von seiner Gebrtstadt Kes (hete: Bernkastel-Kes) ab. Er entwickelte m etwa 45 ebenfalls eine Methode zr Berechnng von π, die eigentlich genaso wie die von Archimedes war, nr ganz anders. Anstatt einem Kreis regelmäßige n-ecke ein- nd mzschreiben, schrieb er einem n-eck mit n (n N) Seiten einen Kreis ein nd m. Den Umfang der Polygone setzte er gleich. Somit näherte er drch Erhöhng der Seitenanzahl die beiden Kreise an die Polygone an nd berechnete dann den Umfang der Kreise (r = Radis des einbeschriebenen Kreises, R = Radis des mschriebenen Kreises, n = Iterationsschritt). In dieser Konstellation ist es leicht ersichtlich, daß π r n < < π R n (6) gelten mß. Nach dem Kürzen nd Umkehren erhält man r n > π > R n. (7) Mit der Festsetzng n = hat man ein Qadrat der Seitenlänge, r 4 = 4 nd R = a =. 4 Der Winkel zwischen R n nd r n ist 8 (in diesem Fall also 8 = 45 ) nd n es folgt die nachstehende Beziehng nter Betrachtng der Konstrktion: tan 8 = n+ ; r n n = r n n+ tan 8 (8) n sin 8 = n n+ ; R n n = R n n+ sin 8 (9) n 8
Diese einfachen Zsammenhänge sind die elementaren Basteine af dem Weg z den Iterationsvorschriften. Um nn den Weg dorthin z beschreiten, werden R n nd r n znächst addiert: R n + r n = = n+ n+ sin 8 n + sin 8 n + n+ tan 8 n cos 8 n sin 8 n () Der hier entstandene Term läßt sich in dieser Gestalt allerdings noch nicht vereinfachen. Hierz mß noch ein weiterer Schritt in der Umformng gemacht werden, der im Ergebnis so assieht: = n+ sin ( ) 8 n+ ( + cos ( 8 )) n+ () Der Term wrde einfach nr anders geschrieben nd die Exponenten wrden gleichnamig gemacht (n+), m nn mit den trigonometrischen Lehrsätzen sin α = sin α cos α () cos α = cos α sin α (3) = sin α + cos α (4) den Term weiter vereinfachen z können. Gerdade diese Umformng stellt den entscheidenden Schritt für die weiterfolgenden Rechnngen dar, denn sonst könnte man mit dem Asgangsterm nie ans Ziel (Iterationsvorschriften) gelangen; es gäbe keine Möglichkeit der Vereinfachng nd damit verbnden keine Möglichkeit, effektiv an r n bzw. R n heranzkommen. Mithin ergibt dies mit (3) nd (4) ( n+ sin 8 cos 8 + cos 8 ) 8 sin n+ n+ n+ n+ (5) Nn kann (5) angewendet werden - man erhält schließlich nach Umstellng 8 cos n+ n+ sin 8 = n+ n+ tan 8 = n+ tan 8 (6) n+ n+ Betrachtet man (6) nd vergleicht den Term mit (9), so erkennt man, daß (6) gerade r n+ ist. Damit ist eine Iterationsvorschrift afgestellt: r n+ = r n + R n (7) 9
Nn zr zweiten: Da (7) die Iterationsvorschrift für den Inkreisradis ist, mß nn diejenige für den Umkreisradis afgestellt werden. Nachdem die ganze Vorarbeit getan ist, erfolgt dies jetzt nach nr wenigen Schritten. Znächst werden r n+ nd R n miteinander mltipliziert nd es folgt damit r n+ R n = n+ tan 8 n+ = n+ n+ sin ( 8 ) cos 8 n+ sin 8 (8) n+ n+ Nn mß der Term nr noch verändert werden (genaso wie oben), woras letztlich n+ n+ sin 8 n+ sin 8 n+ = folgt. Es mß die Wrzel gezogen werden: R n+ = ( ) n+ sin 8 n+ = Rn+ (9) R n r n+ () Damit ist ach die zweite Iterationsvorschrift gefnden; π kann af diesem Wege einmal von innen nd von aßen eingeschachtelt nd somit angenähert werden. Zsammenfassng: r n+ = (r n + R n ) R n+ = r n+ R n () Mit diesen Iterationsvorschriften hat Csans sicherlich ebenfalls ein interessantes Verfahren entwickelt; es basiert im wesentlichen vollständig af trigonometrischen Überlegngen nd nterscheidet sich somit sehr vom Wallisschen Prodkt. Gerade dieser Unterschied hat mir den Anreiz gegeben, dieses Verfahren z verschen darzstellen.
A Literatrverzeichnis. Jean-Pal Delahaye: Pi - Die Story, Birkhäser Verlag 999. R. Rothe: Höhere Mathematik Teil II, B.G. Tebner Verlag 96 3. Liedl/Khnert: Analysis in einer Variablen, B.I. Wissenschaftsverlag 99 4. Mathematische Bibliothek, J. Lindaer Verlag 5. Sieber: Mathematische Formeln (E), Klett Verlag 98
B Erklärng Hirmit erkläre ich, daß ich diese Facharbeit selbständig nd nr nter Verwendng der im Literatrverzeichnis angegebenen Qellen verfaßt habe.... Remscheid, den 3.4. (Sascha Lambeck)