6 Übung zur Linearen Optimierung SS08 1 Sei G = (V, E) ein schlichter ungerichteter Graph mit n Ecken und m Kanten Für eine Ecke v V heißt die Zahl der Kanten (u, v) E Grad der Ecke (a) Ist die Anzahl der Ecken geraden Grades stets gerade, ungerade oder kann man keine Aussage machen? (b) Zeigen Sie: Haben alle Ecken Grad, dann ist die Anzahl der Ecken gerade (c) Zeigen Sie: Ist G bipartit, dann gilt 4m n (n 1)(n ) (d) Zeigen Sie: Gilt m >, dann ist G zusammenhängend (n 1)(n ) Gibt es Graphen mit m =, die nicht zusammenhängend sind? Geben Sie gegebenenfalls ein Beispiel an! Zeigen Sie den Eulerschen Polyedersatz für Graphen: Zerlegt ein ebener zusammenhängender Graph mit e Ecken und k Kanten die Ebene in s Länder, dann gilt e k + s = Ein schlichter ebener Graph mit Eckenmenge V und Kantenmenge E heißt maximal eben, wenn es keinen ebenen Graph mit gleicher Eckenmenge und größerer Kantenmenge gibt Zeigen Sie: (a) Hat ein maximal ebener Graph mindestens Ecken, dann ist jedes Land ein Dreieck (b) Hat ein maximal ebener Graph e Ecken, dann der Graph k = e 6 Kanten (c) Ist G ein schlichter ebener Graph mit e Ecken und k Kanten, dann gilt k e 6 Gibt es kein Land mit Seiten, dann gilt sogar k e 4 (d) Der vollständige Fünfergraph und der vollständige bipartite Graph G, sind nicht als ebener Graph darstellbar 4 (a) Sei G ein Graph Man zeige, daß G genau dann einen geschlossenen Kantenzug enthält, wenn er einen Kreis enthält (b) Sei T = (V, E) ein Baum Man zeige, daß es ein v V gibt, das zu genau einer Ecke u V benachbart ist 5 Sei G = (V, E) ein Graph mit V = n und E = m Man zeige, daß die folgenden Aussagen äquivalent sind: (a) G ist ein Baum (b) G ist zusammenhängend und hat n 1 Kanten (c) G ist zusammenhängend und m < n (d) G enthält keinen Kreis und hat n 1 Kanten (e) G enthält keinen Kreis, aber wenn eine beliebige Kante hinzugefügt wird, entsteht genau ein Kreis Abgabe der Aufgaben bis Mittwoch, den 46, vor der Übung
7 Übung zur Linearen Optimierung SS08 6 Sei N = (s, t, V, E, c u, c o ) ein Netzwerk und f ein Fluß in N Zeigen Sie: f = f(u, t) f(t, u) (u,t) E (t,u) E 7 Gegeben sei der folgende gerichtete Graph mit den angegebenen Entfernungen Bestimmen Sie (a) mit Hilfe der linearen Optimierung (b) mit Dijkstras Algorithmus den Abstand von v zu g v a b 1 c d 4 1 e 5 9 1 1 f g 8 Einem Wegeplan mit n Ecken werde eine (n, n)-matrix W = ((w ij )) zugeordnet Dabei sei 0 für i = j w ij = Länge der Kante zwischen i-ter und j-ter Ecke, falls eine solche Kante existiert, falls keine Verbindungskante zwischen i-ter und j-ter Ecke existiert W heißt zugehörige Wegematrix und ist symmetrisch, dh es gilt w ij = w ji, 1 i, j n Weiter sei zwei (n, n)-matrizen A = ((a ij )) und B = ((b ij )) mit Elementen aus IN 0 { } die Matrix C = ((c ij )) durch folgende Verknüpfung zugeordnet: C := A B mit c ik = min{a ij + b jk ; 1 j n} (a) Zeigen Sie: Die Verknüpfung ist assoziativ (b) Geben Sie die Bedeutung der Elemente von W W, W W W usw an! (c) Zeigen Sie: W W, W W W usw sind symmetrisch (d) Zeigen Sie: Es gibt ein m IN mit W} {{ W} = W} {{ W} m m+1 (e) Zeigen Sie: Für alle l IN, l > m gilt W} {{ W} = W} {{ W} l m 9 Sei G = (V, E) ein gerichteter gewichteter Graph Zeigen Sie: Existiert in G ein geschlossener Kantenzug negativer Länge, dann existiert in G ein Kreis negativer Länge Abgabe der Aufgaben bis Mittwoch, den 116, vor der Übung
8 Übung zur Linearen Optimierung SS08 10 Bestimmen Sie mit Hilfe des Floyd-Warshall-Algorithmus eine Tabelle der kürzesten Entfernungen und der zugehörigen Wege zwischen je zwei Punkten des Graphen, der durch die Abstandsmatrix D = (d ij ) gegeben ist 0 64 64 64 64 64 0 64 64 64 64 D = 4 0 64 64 64 7 6 5 0 64 64, 1 11 10 9 0 64 1 0 19 18 17 0 Falls es Kreise negativer Länge gibt, so gebe man diese an 11 Gegeben sei ein gerichteter gewichteter Graph G = (V, E) mit Gewichtsfunktion c Für einen Kantenzug w = (v 1,,v k ) sei l(w) = min{c(v i, v i+1 ) 1 i k 1} die Länge von w Geben Sie einen Algorithmus an, der für jedes Paar (s, t) von Knoten aus V, für die ein verbindender Weg existiert, einen Weg maximaler Länge bezüglich l findet (Hinweis: Verwenden Sie den Floyd-Warshall-Algorithmus mit einer geeignet modifizierten Dreiecksoperation) 1 Sei V = {v 1,, v n } eine Punktmenge in der Ebene, d ij der euklidische Abstand der Punkte v i und v j und G = (V, E) der vollständige Graph bzgl V Sei C MST die Länge eines kürzesten spannenden Baumes und C TSP die Länge einer kürzesten Tour Man zeige C TSP C MST 1 Gegeben sei ein zusammenhängender gewichteter Graph G = (V, E) und ein minimal spannender Baum B = (V, T) Durch Hinzufügen einer Kante e / T entsteht ein (eindeutiger) Kreis K in T + e Man zeige, daß für jede Kante e K, e e gilt: d(e ) d(e) 14 Sei G ein zusammenhängender gewichteter Graph, dessen Kanten alle verschiedene Gewichte haben Man zeige, daß G einen eindeutig bestimmten kürzesten spannenden Baum hat Abgabe der Aufgaben bis Mittwoch, den 186, vor der Übung
9 Übung zur Linearen Optimierung SS08 15 Man bestimme den MST für folgenden Graphen mit den beiden Algorithmen der Vorlesung v 1 v 4 1 5 v 6 v 5 4 4 6 5 v 7 4 5 7 4 v 8 v 9 6 v 10 v 11 16 Sei V = {v 1,,v n } eine Punktmenge in der Ebene und sei d ij der euklidische Abstand der Punkte v i und v j Man zeige, daß beim MST des zugehörigen vollständigen Graphen sich verschiedene Strecken nie im Inneren schneiden v v 4 17 Entwerfen Sie einen Algorithmus für das folgende Problem: Gegeben ist ein kantenbewerteter zusammenhängender ungerichteter Graph G und eine feste Kante e von G Man bestimme unter allen spannenden Bäumen von G, die die Kante e enthalten, einen mit geringsten Kosten Zeigen Sie, dass Ihr Algorithmus zu dem gewünschten Ergebnis führt, und führen Sie den Algorithmus für folgendes Beispiel mit der Kante e = (v 1, v 7 ) durch! v 1 6 6 v v v 7 8 7 4 1 v 6 v 5 6 6 v 4 18 Mit Hilfe des Ford Fulkerson Algorithmus löse man das folgende MFP: a e s 1 b d f 4 1 1 t 5 4 4 c g Ferner gebe man einen minimalen Schnitt an Abgabe der Aufgaben bis Mittwoch, den 56, vor der Übung
10 Übung zur Linearen Optimierung SS08 19 Man führe folgende Probleme auf gewöhnliche Maximalflußprobleme zurück: (a) Gegeben sei ein Netzwerk N = (s 1,,s q, t 1,,t p, V, E, c o ) mit mehreren Quellen und Zielen, und es gebe keine Kanten (v, s j ), 1 j q bzw (t j, v), 1 j p q Gesucht ist ein Fluß mit maximalem Wert f(s j, u) j=1 (s j,u) E (b) Gegeben sei ein Netzwerk N = (s, t, V, E, c o ), in dem auch die Ecken Kapazitätsbeschränkungen unterliegen: Es sei also eine Abbildung d : V IR + 0 gegeben und die Flüsse f werden der weiteren Beschränkung f(v, u) d(u) für alle u (v,u) E V \{s, t} unterworfen Gesucht ist ein Fluß, der diesen Zusatzbedingungen genügt, und maximalen Wert hat 0 In einem Netzwerk sei f ein maximaler Fluß mit f > 0 (a) Kann eine Kante e existieren mit f(e) > f? (b) Zeigen Sie: Es gibt eine Kante e, so daß jeder Fluß in dem Netzwerk mit E = E\{e} Wert < f hat 1 Sei N = (s, t, V, E, c o ) ein Netzwerk Weiter sei H die Menge der Kanten, die s als Endoder t als Anfangsecke haben, und N das Netzwerk, das entsteht, wenn man aus N die Kanten von H entfernt Zeigen Sie: Die Werte maximaler Flüsse auf N bzw N stimmen überein Hinweis: Konstruktion der Fluß-Folge wie im Algorithmus von Edmonds-Karp Eine Menge von Kanten in einem ungerichteten Graphen heißt Korrespondenz, falls keine zwei von ihnen einen Endpunkt gemeinsam haben Sei G = (V, E) ein bipartiter Graph Zeigen Sie: Das Problem der Bestimmung einer Korrespondenz maximaler Mächtigkeit in G ist äquivalent der Bestimmung eines maximalen Flusses auf einem geeigneten Netzwerk Abgabe der Aufgaben bis Mittwoch, den 7, vor der Übung