S 1 Tandembogen und Irrgarten eine Einführung der irrationalen Zahlen Irmgard Letzner, Berlin M 1 Die rationalen Zahlen Brüche würfeln und berechnen Ein Würfelspiel für 2 Spieler Materialien r 2 Würfel r Papier und Bleistift So geht s Der jüngere Spieler beginnt. Sie oder er würfelt zweimal hintereinander. Aus den Augenzahlen wird ein Bruch gebildet: Die Summe des ersten Wurfes ist gleich dem Zähler des Bruches, die Summe des zweiten Wurfes ist gleich dem Nenner des Bruches. Beispiel: 1. Wurf: 6 + 2 = 8; 2. Wurf: 3 + 4 = 7 à Der Spieler hat den Bruch 8 7 erwürfelt. Der andere Spieler rechnet diesen Bruch in eine Dezimalzahl um. Falls sich der Bruch zu einer natürlichen Zahl kürzen lässt, muss der Nenner noch einmal erwürfelt werden. Der Spieler, der gewürfelt hat, kontrolliert die Lösung. Ist die Lösung richtig, so bekommt der, der den Bruch in eine Dezimalzahl umgewandelt hat, einen Punkt. Dieser Spieler ist jetzt mit Würfeln an der Reihe. Der Spieler, der nach 30 Runden die meisten Punkte hat, gewinnt. 1. Wurf à Zähler = 4 Foto: J. Mittag Aufgabe: Dezimalbrüche sind alle und doch gibt es Unterschiede! a) Schreibe die folgenden Brüche als Dezimalzahl in dein Heft. Gruppe 1: Gruppe 2: Gruppe 3: 3 80 =? 7 40 =? 9 16 =? 1 5 =? 13 250 =? 7 160 =? 6 41 =? 5 21 =? 8 27 =? 4 9 =? 1 13 =? 1 7 =? 5 12 =? 7 30 =? 5 22 =? 1 6 =? 3 14 =? 1 18 =? b) Was fällt dir an den Ergebnissen auf? Woran liegt das? Sieh dir die Nenner der Brüche an (Primfaktorzerlegung!).
S 2 M 2 Numeri irrationales Zahlen wider die Vernunft Neben den abbrechenden und periodischen Dezimalzahlen gibt es noch weitere Dezimalzahlen, z. B. die Kreiszahl π. π = 3,141592654 Die Kreiszahl π hat unendlich viele Stellen hinter dem Komma, aber die Ziffern wiederholen sich nicht. Man sagt: Die Zahl π hat keine Periode. Solche Zahlen heißen nicht periodische Dezimalzahlen. Sie sind nicht rational. Auch die Zahl, deren Quadrat 5 ergibt (geschrieben: 5 ; gelesen: Wurzel aus 5), ist keine rationale Zahl. Merke: Irrationale Zahlen Eine rationale Zahl q q kannst du als abbrechende oder periodische Dezimalzahl und als Bruch schreiben. Dezimalzahlen, für die dies nicht möglich ist, heißen irrationale Zahlen. Alle nicht periodischen Dezimalzahlen sind irrational, viele Wurzeln und die Zahl π. Die rationalen und irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen. Diese Menge bezeichnet man mit r. Auf der Zahlengeraden liegen die reellen Zahlen dicht Auf der Zahlengeraden entspricht jeder reellen Zahl ein Punkt. Diesen Punkt kann man mithilfe einer Folge ineinandergeschachtelter Intervalle bestimmen. Zwischen den reellen Zahlen gibt es auf der Zahlengeraden keine Lücke. Die Zahlen aus r liegen dicht. So geht s: Intervallschachtelung für die Zahl 5 2 < 5 < 3 denn 2 2 = 4 und 4 < 5 < 9 und 9 = 3 2 2,2 < 5 < 2,3 denn (2,2) 2 = 4,84 und 4,84 < 5 < 5,29 und 5,29 = (2,3) 2 2,23 < 5 < 2,24 denn 4,9729 < 5 < 5,0176 2,236 < 5 < 2,237 denn 4,9997 < 5 < 5,0042 2,2360 < 5 < 2,2361 denn 4,999696 < 5 < 5,000143 Intervallschachtelung für Aufgabe Führe eine Intervallschachtelung für die Zahl 7 [ 10 ; 15 ] durch.
S 3 M 3 Wahr oder falsch? Ein Tandem Foto: Pixelio l) wahr k) wahr j) wahr 12. 1,3 r 11. Die Menge der ganzen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der reellen Zahlen. 10. Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen. 9. Irrationale Zahlen sind nicht periodisch. Wahr oder falsch? a) 5 ist ei ne natürliche Zahl. b) 1,34 ist eine rationale Zahl. c) 1000 ist eine reelle Zahl. d) 1 ist eine ganze Zahl. 3 e) 0,5155155515555155... ist eine irrationale Zahl. f) Jede rationale Zahl ist ganzzahlig. g) Natürliche Zahlen sind keine ganzen Zahlen. h) Die Menge der ganzen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen. i) 1,333333... q h) falsch g) falsch f) falsch e) wahr d) falsch c) wahr b) wahr a) falsch Hier sind die Lösungen deines Partners: i) wahr j) Jede natürliche Zahl ist eine ganze Zahl. k) Rationale Zahlen lassen sich als Bruch darstellen. l) Jede natürliche Zahl ist nicht negativ. 8. Jede ganze Zahl ist eine natürliche Zahl. 7. Jede natürliche Zahl ist rational. 6. 17 ist eine natürliche Zahl. 5. 0,1122334455667788991010111... ist eine rationale Zahl. Hier sind die Lösungen deines Partners: 1. wahr 2. falsch 3. wahr 4. wahr 5. falsch 6. falsch 7. wahr 8. falsch 9. wahr 10. wahr 11. wahr 12. wahr 4. 10 ist eine ganze Zahl. 1. 3 ist eine rationale Zahl. 1 2. ist eine ganze Zahl. 2 3. 0,5 ist eine rationale Zahl. Wahr oder falsch? Foto: Pixelio
S 5 M 5 Der Irrgarten So geht s Beginne am Eingang (bei den beiden Füßen). Entscheide bei den einzelnen Aussagen (M 4), ob sie wahr oder falsch sind. Bei einer richtigen Aussage folgst du dem durchgezogenen Pfeil, bei einer falschen Aussage dem gepunkteten Pfeil. Wenn all deine Entscheidungen richtig waren, gelangst du auf diese Weise zum Ausgang, ansonsten musst du noch einmal von vorn beginnen.
S 6 Rund um die Einzelstunde Klasse: 8 Dauer: Inhalt: 3 4 Stunden Brüche; abbrechende, periodische und nicht periodische Dezimalzahlen; Wurzeln; Kreiszahl π; rationale Zahlen + irrationale Zahlen = reelle Zahlen; Intervallschachtelung Ihr Plus: Tandembogen und Irrgarten Didaktisch-methodische Hinweise Wiederholen Sie zu Beginn der Einheit die rationalen Zahlen. Die Schüler inden anhand des Würfelspiels und der Aufgabe (M 1) heraus, dass bei der Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen drei verschiedene Typen von Dezimalzahlen entstehen können: abbrechende, reinperiodische und gemischtperiodische. Sie entdecken, woran sie erkennen können, aus welchem Bruch welcher Typ entsteht. Teilen Sie Ihre Klasse in drei Gruppen: 1. Gruppe: abbrechende Dezimalzahlen (Zeile 1) 2. Gruppe: reinperiodische Dezimalzahlen (Zeile 2) 3. Gruppe: gemischtperiodische Dezimalzahlen (Zeile 3) Die Schüler wandeln die ihnen zugeteilten Brüche in Dezimalzahlen um und schreiben diese in ihr Heft, und zwar in Stillarbeit. Sie überlegen sich, was ihnen an ihren Ergebnissen besonders auffällt. Anschließend bilden Sie Dreiergruppen, in denen jeder Dezimalzahlentyp einmal vertreten ist. Dort erläutern die Schüler, was sie in der Stillarbeit herausgefunden haben. Am Ende tragen drei Schüler aus verschiedenen Gruppen ihre Erkenntnisse vor. Stellen Sie gemeinsam Regeln zusammen, welche Art von Ergebnis bei der Umwandlung eines Bruches in eine Dezimalzahl auftreten kann (siehe Lösungsteil). Diese Regeln halten die Schüler in ihrem Heft fest. Wenn die Schüler in der Stillarbeit nicht alle zu einem Ergebnis gekommen sind, bilden Sie trotzdem die Dreiergruppen, damit sich die Schüler austauschen können. Beim Vergleich mit den Primfaktorzerlegungen der anderen Schüler kommen die Lernenden in der Regel auf die fehlenden Aussagen. Achten Sie beim Aufstellen der Regeln auf eine exakte Formulierung. Die Schüler sind im Gebrauch der logischen Verknüpfungen und bzw. oder oft nicht sicher. Überleitung zu den reellen Zahlen Stellen Sie zur Überleitung zum Zahlbereich der reellen Zahlen folgende Fragen: 1. Kann es sein, dass beim Umwandeln eines Bruches in eine Dezimalzahl eine Dezimalzahl entsteht, die nicht abbricht und auch nicht periodisch ist? Antwort: Nein. Mit der Aufgabe von M 1 haben die Schüler eine vollständige Klassiikation der Dezimalzahlen erhalten, die aus Brüchen entstehen können. Halten Sie dies an der Tafel fest. 2. Was bedeutet der Strich über den Ziffern hinter dem Komma (Beispiel: 0,92 )? Antwort: Der Strich über der 9 und der 2 ist eine Abkürzung für eine unendliche Folge von Neunen und Zweien hinter dem Komma. Die Dezimalzahl 0, 92 hat die Periode 92: 0, 92 = 0,92929292
S 7 3. Wie lang kann eine Periode sein? Antwort: Eine Periode hat eine endliche Länge. Es handelt sich um eine endliche Zahlenfolge hinter dem Komma, die sich allerdings unendlich oft wiederholt. Dadurch hat die periodische Dezimalzahl unendlich viele Stellen hinter dem Komma. Begründung: Teilt man eine natürliche Zahl p durch q n, dann gibt es höchstens q 1 Reste (1, 2,..., q 1). Sobald aber ein Rest erneut auftritt, wiederholen sich die Ziffern. 4. Gibt es noch andere Zahlen? Antwort: Ja. Es gibt auch Dezimalzahlen, bei denen die Nachkommastellen nicht in Perioden geordnet sind. Dies sind z. B. Zahlen mit einer Ziffernfolge hinter dem Komma, in der keine Regelmäßigkeit erkennbar ist, sodass man aus einer endlichen Anzahl bekannter Ziffern nicht auf die Ziffern danach schließen kann (Beispiel: Kreiszahl π). Aber auch wenn eine Regelmäßigkeit erkennbar ist (z. B. bei 0,01001000100001000001...), die es erlaubt, die Zahlenfolge unendlich weit fortzusetzen, handelt es sich in der Regel dennoch nicht um eine periodische Dezimalzahl. In diesem Beispiel kommt von Schritt zu Schritt immer eine 0 hinzu, sodass die Zahl 0,01001000100001000001... keine Periode besitzt. Sie ist daher irrational. Lassen Sie die Schüler weitere Beispiele von irrationalen Zahlen erinden. 5. Wie wandelt man Dezimalzahlen in Brüche um? 3 4 So: 1,34 = 1 + + ; 10 100 Brüche gleichnamig machen und summieren! Erklären Sie das Verfahren anhand dieses oder eines anderen Beispiels. Quadratverdoppelung Stellen Sie den Schülern jeweils zwei kongruente Quadrate aus verschiedenfarbiger Pappe (Seitenlänge = 1 dm) sowie eine Schere zur Verfügung. Arbeitsauftrag: Bilde ein Quadrat mit dem doppelten Flächeninhalt und bestimme die Seitenlänge dieses Quadrates. Alternative Einfacher ist die Lösung der umgekehrten Aufgabenstellung: Erzeuge (durch Falten oder Schneiden eines Quadrates) ein Quadrat mit halbem Flächeninhalt. Wie lang war die ursprüngliche Seite, wenn die neue, kürzere Seite die Länge 1 dm hat? Lösungsansatz: Die gesuchte Zahl d muss dann die Bedingung d 2 = 2 dm 2 erfüllen. An dieser Stelle erweist sich der Taschenrechner eher als hinderlich. Falls ein Schüler den Begriff Wurzel schon kennt, wird er 2 in den Taschenrechner eintippen und sich anzeigen lassen. Greifen Sie dies gegebenenfalls auf und lassen Sie ihn dann prüfen, ob die angezeigte Zahl beim Quadrieren tatsächlich 2 ergibt. Es zeigt sich, dass der Taschenrechner das zwar anzeigt, dass aber bei schriftlicher Kontrolle nicht genau 2 entsteht, weil der Taschenrechner einen Näherungswert für 2 angezeigt hat. Fällt der Begriff Wurzel nicht, so lassen Sie die Schüler jetzt Zahlen vermuten, für die d 2 = 2 dm 2 gilt. Das führt in natürlicher Weise zur Methode der Intervallschachtelung (M 2). In der Regel verabredet man, dass hierbei bei jedem Schritt eine Dezimale mehr angegeben wird.
S 10 Lösungen und W Tipps zum Einsatz M 1 Die rationalen Zahlen Brüche würfeln und berechnen Mit diesem einfachen Würfelspiel üben Ihre Schüler, Bruchzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln. Sie erkennen, dass hierbei verschiedene Arten von Dezimalzahlen auftreten: abbrechende und periodische. Die nicht periodischen Dezimalzahlen hingegen können sie nicht erwürfeln, weil sich diese Zahlen nicht als Bruch darstellen lassen. Aufgabe: Dezimalbrüche sind alle und doch gibt es Unterschiede! a) Gruppe 1: Abbrechende Dezimalbrüche 3 80 = 0,0375; 7 40 = 0,175; 9 16 = 0,5625; 1 5 = 0,2; 13 250 = 0,052; 7 160 = 0,04375 Gruppe 2: Reinperiodische Dezimalbrüche 6 0,14634 41 = ; 5 0, 238095 21 = ; 8 0,296 27 = ; 4 0,4 9 = ; 1 0, 076923 13 = ; 1 0,142857 7 = Gruppe 3: Gemischtperiodische Dezimalbrüche 5 0,416 12 = ; 7 0,23 30 = ; 5 227 22 = ; 1 0,16 6 = ; 3 2142857 14 = ; 1 18 = 0,05 b) Die drei Gruppen unterscheiden sich in den Nachkommastellen. Gruppe 1 enthält nur abbrechende, Gruppe 2 nur reinperiodische und Gruppe 3 nur gemischtperiodische Dezimalzahlen. Man erkennt folgende Regeln: Beim Umwandeln eines vollständig gekürzten Bruches in eine Dezimalzahl erhält man eine abbrechende Dezimalzahl, wenn der Nenner nur die Primfaktoren 2 oder 5 enthält (80 = 2 4 5; 40 = 2 3 5; 16 = 2 4 ; 250 = 5 3 2; 160 = 2 5 5). eine reinperiodische Dezimalzahl (d. h., dass die Periode gleich nach dem Komma beginnt), wenn der Nenner weder den Faktor 2 noch den Faktor 5 enthält. eine gemischtperiodische Dezimalzahl (d. h., dass vor der Periode noch andere Ziffern stehen), wenn der Nenner die Primfaktoren 2 oder 5 (oder beide) und eine weitere Zahl enthält (12 = 2 2 3; 30 = 2 3 5; 22 = 2 11; 14 = 2 7; 18 = 2 9). M 2 Numeri irrationales Zahlen wider die Vernunft Aufgabe 1. Intervallschachtelung für die Zahl 7 = 2,645751311 2 < 7 < 3 denn 4 < 7 < 9 2,6 < 7 < 2,7 denn 6,76 < 7 < 7,29 2,64 < 7 < 2,65 denn 6,9696 < 7 < 7,0225 2,645 < 7 < 2,646 denn 6,996025 < 7 < 7,001316 2,6457 < 7 < 2,6458 denn 6,999728 < 7 < 7,000258