Grundlegender Sachverhalt Der 70-jährige Unternehmer Paul ist seit Jahrzehnten sehr erfolgreich mit seinem Unternehmen Antroika in der Herstellung von Industrierobotern tätig. Bis vor wenigen Jahren war dieses Roboter-Geschäft in Europa sein einziges Betätigungsfeld, doch kürzlich gelang es ihm, eine Tochterfirma in China aufzubauen. Dieses China-Geschäft kann organisatorisch von dem Europa- Geschäft getrennt werden. Da Paul des Arbeitens langsam müde wird und sein Sohn Albert zudem ein qualifizierter Betriebswirt ist, der gerne das Geschäft seines Vaters übernehmen würde, erwägt Paul verschiedene Arten des Unternehmensübergangs. Mit großer Trauer muss er sich selbst eingestehen, dass Albert zwar ein guter Manager sein mag, sich jedoch auch gerne den Sonnenseiten des Lebens zuwendet und hierüber die Arbeit vernachlässigt. Paul entschließt sich somit, vorerst alleiniger Anteilseigner des Unternehmens zu bleiben und Albert als leitenden Manager einzustellen. Auf diese Weise, so glaubt Paul, könne er das Unternehmen insbesondere die Vergütung seines Sohnes kontrollieren und Albert das Unternehmen dann später erben. Für Paul stellt sich jedoch nun die Frage, wie er sicherstellen kann, dass Albert auch tatsächlich die ihm zugewiesenen Aufgaben wahrnimmt und sich nicht nur in einschlägigen Szenevierteln verlustiert. Aus diesem Grunde sucht Paul nun Sie, eine(n) auf Anreiz- und Vertragsprobleme spezialisierte(n) Unternehmensberater(in) mit fundierter mikroökonomischer Ausbildung, auf und bittet um Rat. Wir werden nun vor diesem Hintergrund im Laufe des Semesters diverse großteils voneinander unabhängige Szenarien durchspielen, um die unterschiedlichen Problemfelder und Anwendungsgebiete der Anreiztheorie zu verdeutlichen. Hierbei werden wir einen großen Teil des Semesters davon ausgehen, dass Paul risikoneutral ist und die Nutzenfunktion ( ) besitzt, wobei x den Bruttogewinn des Unternehmens und w Albert s Lohn darstellt (Paul maximiert somit lediglich seinen Nettogewinn). Albert ist dagegen risikoavers mit der Nutzenfunktion ( ), wobei e für seinen Arbeitseinsatz steht. Wenn Albert nicht für Paul arbeitet, erhält er Arbeitslosengeld in Höhe von w 0.
Übungsaufgabe 1 (Erwartungsnutzentheorie) Paul hat Albert für den Folgetag in sein Büro zu einem Gespräch über seine Zukunft im Unternehmen gebeten. Da Albert dieses Treffen möglichst gut vorbereitet angehen will, trifft er sich am Vorabend mit einigen ehemaligen Kommilitonen, die zu Zeiten Ihres Studiums in den Genuss einer Entscheidungstheorie-Vorlesung kamen. Gemeinsam will man nun Albert s Präferenzen analysieren und die hieraus erwachsenden Implikationen für seine Risikoeinstellung festlegen. Schließlich, so glaubt man sich zu erinnern, habe die Risikoeinstellung doch eine wichtige Bedeutung bei Vertragsverhandlungen?! a) Zunächst verdeutlichen die Kameraden sich noch einmal das Konzept der Risikoeinstellung anhand einiger Beispiele, zu denen auch Albert s Nutzenfunktion gehört. Bestimmen Sie für die folgenden Nutzenfunktionen in Bezug auf den Lohn w die Risikoeinstellung sowie den Grad der absoluten und relativen Risikoaversion. i. ii. iii. iv. 1 u( w, e) w e u( w, e) ln w e u( w, e) 100 6w e u ( w, e) w e b) Vergleichen Sie (i) und (ii) in Bezug auf den Grad der absoluten und der relativen Risikoaversion. Gisela, eine Freundin von Albert, arbeitet in einem Unternehmen U. Da die Auftragslage dort sehr unbeständig ist, zahlt U nur mit einer Wahrscheinlichkeit von ½ den Lohn w1 16. Mit der Gegenwahrscheinlichkeit geht es dem Unternehmen finanziell schlecht und U kann nur einen Lohn w 4 zahlen. (Der Lohn wird unabhängig vom Arbeitseinsatz e gezahlt.) Gehen Sie davon aus, dass Albert s Freundin die gleiche Nutzenfunktion U( w, e ) hat wie er. c) Bestimmen Sie grafisch und rechnerisch den erwarteten Lohn E(w), sowie den daraus resultierenden Nutzen U[E(w)], den Gisela aus diesem Arbeitsvertrag erzielt. Welchen Erwartungsnutzen E[U(w)] hat Gisela aus diesem Job? Bestimmen Sie das Sicherheitsäquivalent w und die Risikoprämie w. S RP
Übungsaufgabe (optimale Risikoteilung bei symmetrischer Information) Albert und sein Vater sitzen nun beisammen und verhandeln die konkreten Vertragsinhalte. Insbesondere geht es hierbei um Albert s Vergütung, da Vater und Sohn sich schnell darauf einigen können, dass Albert ein Einsatzlevel von leisten soll. Da Paul sich nicht sicher ist, ob Albert tatsächlich schon in der Lage ist, das Unternehmen zu führen, beschließt er, ihm im ersten Geschäftsjahr auf Schritt und Tritt zu folgen und seinen Arbeitseinsatz vollständig zu beobachten. Es bestehen somit keinerlei Informationsasymmetrien zwischen den beiden. Weiter ist davon auszugehen, dass Paul die gesamte Verhandlungsmacht besitzt, da er ja auch einfach einen anderen Manager einstellen könnte. Als Gegenleistung erhält Albert ein Gehalt, wobei die beiden sich noch darüber einigen müssen, wie dieses konkret ausgestaltet werden soll, wenn das Unternehmen gut bzw. schlecht läuft. Konkret können die beiden Gewinnniveaus mit Wahrscheinlichkeit p 1 4 und mit der entsprechenden Gegenwahrscheinlichkeit erzielt werden. Albert bewertet sein Gehalt mit der bekannten Nutzenfunktion und nimmt das Vertragsangebot nur an, wenn er dadurch im Erwartungswert keinen negativen Nutzen realisiert. Gehen Sie zunächst davon aus, dass Paul risikoneutral ist. a) a1) Stellen Sie die Situation in einem geeigneten Diagramm dar und kennzeichnen Sie die Risikoaufteilung im optimalen Vertrag. a) Formulieren Sie das Maximierungsproblem von Paul und berechnen Sie hiermit das optimale Gehalt in den jeweiligen Umweltzuständen. b) Welche Änderungen ergeben sich grafisch und formal, wenn Paul die Nutzenfunktion ( ) mit besitzt und den Erwartungsnutzen seiner Nettorendite maximieren möchte? Bestimmen Sie das optimale Gehalt in den jeweiligen Umweltzuständen, wobei auch hier der erwartete Nutzen des A nicht negativ werden darf. c) Stellen Sie für den Fall aus b) einen Zusammenhang zwischen dem optimalen Kontrakt und dem Maß der absoluten Risikoaversion her. Wer trägt im Optimum mehr Risiko?
Übungsaufgabe 3 (Übung zum Kuhn-Tucker-Theorem) Das Kuhn-Tucker-Theorem ist eine Erweiterung der Lagrange-Methode zur Lösung von (nicht notwendigerweise linearen) Maximierungsproblemen unter einer oder mehrerer Nebenbedingungen. Uns ist bekannt, dass das Problem max f x, x s. t. g( x, x ) c x1, x 1 1 mit Hilfe des Lagrange-Ansatzes ( ) ( ( )) sowie den Bedingungen erster Ordnung L f ( ) g( ) L f ( ) g( ) 0 0 x x x x x x 1 1 1 zu lösen ist. L c g x 1, x 0 Wir werden uns nun mit Problemen befassen, bei denen die Nebenbedingung eine Ungleichheitsbedingung ist, also mit Problemen der Form x1, x max f x, x s. t. g( x, x ) c 1 1 Zur Lösung kann hierfür das Kuhn-Tucker-Theorem herangezogen werden. Die Lagrange-Funktion bleibt dieselbe und die Bedingungen erster Ordnung lauten nun L f ( ) g( ) 0 x x x 1 1 1 L f ( ) g( ) 0 x x x L g x1, x c 0 Zu beachten ist hierbei ein kritisches Element des Kuhn-Tucker-Theorems: die sogenannte Complementary Slackness -Bedingung. Diese dritte Bedingung in jeder Zeile besagt, dass entweder die Entscheidungsvariable gleich Null sein muss oder aber die Ableitung nach der jeweiligen Variable gleich Null gesetzt werden kann. Sollten wir nun aus irgendeinem Grund wissen, dass eine Variable (x oder ) strikt größer als Null sein muss, dann können wir die jeweilige Ableitung gleich Null setzen und uns somit schrittweise der Lösung des Gleichungssystems nähern. Diese Kuhn-Tucker-Bedingungen sind nicht nur notwendige, sondern auch hinreichende Bedingungen für ein Maximum (so dass keine zweite Ableitung i.s.d. begrenzten Hesse-Matrix überprüft werden muss), wenn sowohl die Zielfunktion als auch die Nebenbedingungen quasikonkav sind. Da dieses Konzept hier zu weit führt, sei darauf verwiesen, dass jede konkave Funktion immer auch quasikonkav ist, so dass wir uns in dieser Veranstaltung höchstens mit dem Konzept der Konkavität beschäftigen werden. f x1 x x1 x unter den Nebenbedingungen x1 x 100 und x1 40, wobei x1, x 0. Bestimmen Sie hierzu die Bedingungen erster Ordnung und analysieren Sie, welche der Ableitungen im Optimum bindend sein muss. Berechnen Sie anschließend die optimalen Werte von x und y sowie von den beiden Lagrange-Multiplikatoren. Maximieren Sie nun zur Übung die Zielfunktion,
Übungsaufgabe 4 (Moral Hazard bei zwei möglichen Einsatzniveaus) Das erste Geschäftsjahr, in dem Paul seinen Sohn vollständig bei der Arbeit beobachtete, ist nun vorüber. Da Albert sich bewährt hat, möchte Paul ihm nun mehr Freiheit gewähren. Wieder sitzen die beiden in Vater s Büro zusammen, um den Arbeitsvertrag für das folgende Jahr auszuhandeln. Es besteht Einigkeit darüber, dass Albert s Arbeitseinsatz nun nicht mehr beobachtet werden, sondern seine private Information bleiben soll. Schließlich, so argumentiert Paul, könne er den Laden ansonsten auch einfach selbst schmeißen. Paul beauftragt Albert mit der selbständigen Leitung des Europa-Geschäfts. Er ist sich bewusst, dass der Bruttogewinn des Europa-Geschäfts zwischen den beiden Niveaus x 10. 1 000 und x 0.000 schwankt, wobei die Wahrscheinlichkeit für das hohe Umsatzniveau von der Zahl der geleisteten Arbeitsstunden des A wie folgt abhängt: p 1( e 10) 0, 75 bzw. p 1( e 5) 0,5. Der geringere Umsatz wird mit der jeweiligen Gegenwahrscheinlichkeit erzielt. Fraglich ist nun wiederum, bei welchem Unternehmensverlauf Albert welchen Lohn erhalten soll. Bevor Paul Sie als Berater aufsucht, einigt er sich jedoch mit Albert darauf, dass dieser in jedem möglichen Umweltzustand einen strikt positiven Lohn w 0 erhalten soll. Schließlich hat das neue Jahr noch eine Veränderung in politischer Hinsicht gebracht. So wurde das Arbeitslosengeld, das Albert erhalten würde, wenn er nicht arbeitet, auf 1056,5 Euro erhöht. a) Bestimmen Sie zunächst den Reservationsnutzen von Albert. b) Betrachten Sie den Referenzfall, in dem die Anzahl der Arbeitsstunden, die A tatsächlich leistet, vom P beobachtet werden kann. Stellen Sie für diese Situation das Maximierungsproblem des P auf und berechnen Sie hiermit den in dieser Situation optimalen Arbeitsvertrag, wenn P möchte, dass A 10 Stunden arbeitet. c) Wie gesehen möchte P jedoch eigentlich A s Arbeitseinsatz nicht beobachten. Formulieren Sie für diesen Fall das entsprechende Maximierungsproblem des P, der immer noch eine Arbeitszeit von 10 Stunden von A erwartet. Erläutern Sie weshalb im Optimum alle Nebenbedingungen dieses Maximierungsproblems bindend sein müssen. Zeigen Sie wie sich dies formal aus den notwendigen Bedingungen erster Ordnung ableiten lässt. d) Bestimmen Sie den optimalen Arbeitsvertrag zu c) und vergleichen Sie diesen mit dem Vertrag aus b). Erläutern Sie kurz die Gründe für die Veränderungen. e) Welchen Vertrag würde P dem A anbieten, wenn die Leistung von 10 Arbeitsstunden mit Sicherheit dazu führt, dass das Unternehmen den hohen Umsatz realisiert, d.h. ( )? Wie kommt es zu diesem Ergebnis? f) Kehren Sie zurück zu der Situation aus c). P könnte durch Einbau einer Video- Überwachungsanlage die tatsächlich von A geleistete Arbeitszeit kontrollieren. Wie viel sollte P maximal für eine derartige Überwachungsanlage bezahlen?
Übungsaufgabe 5 (Moral Hazard im LEN-Modell) Paul ist nicht zufrieden mit dem Gewinn seines Unternehmens und beschließt deshalb, die Firma von einem externen Berater durchleuchten zu lassen. Ein Bekannter empfiehlt Paul die Unternehmensberatung D.A.M.P.F. zu engagieren. Diese erstellen ein Gutachten, das den Zustand des Unternehmens z folgendermaßen ermittelt: z e, wobei e 0 die (von Paul nicht beobachtbare) Anstrengung des Beraters und ein normalverteilter Störterm (Fehler) mit Erwartungswert 0 und Varianz ist. Als Lohn soll eine Kombination aus fixen und variablen Lohnbestandteilen gezahlt werden: w 0 1z. Das Arbeitsleid der Berater ist relativ hoch: C( e) 4e. Zudem vermeiden sie es möglichst, Risiken einzugehen, was sich über eine konkave, r( w C) exponentielle Nutzenfunktion der folgenden Form ausdrücken lässt: u( w C) 1 e, mit r als konstantem Maß der absoluten Risikoaversion. Ein Berater akzeptiert den Vertrag von Paul nur, wenn er dadurch mindestens ein Sicherheitsäquivalent von 1 erreichen kann. Das Sicherheitsäquivalent errechnet sich folgendermaßen aus Erwartungswert und Varianz des Lohnes: r S( w) E( w) Var( w). Paul erwartet, seinen Gewinn durch die Beratung um z Einheiten steigern zu können. Analysieren Sie im Folgenden nur die Vertragsbeziehung zwischen Paul und der Unternehmensberatung. a) Erläutern Sie kurz, was man unter einem Sicherheitsäquivalent versteht. Wie ändert sich dieses, wenn Risikoneutralität unterstellt wird? Wie lautet das Sicherheitsäquivalent eines Beraters? b) Bestimmen Sie die Partizipations- und die Anreizkompatibilitätsbedingung formal und erklären Sie diese. c) Bestimmen Sie die optimalen Lohnbestandteile 0 und 1, sowie die optimale Anstrengung, die Paul von einem Berater fordert. d) Wie verändern sich die variable Entlohnung 1 und der geforderte Einsatz im Optimum, wenn die Risikoaversion der Berater sinkt? Wie verändert sich das Sicherheitsäquivalent?
Übungsaufgabe 6 (Moral Hazard bei stetigem Einsatz) Die folgende Aufgabe basiert auf Übungsaufgabe 4. Nach einer unternehmensinternen Umstrukturierung schwankt der Bruttogewinn des Europa- Geschäfts nun zwischen den beiden Niveaus x 1 und x, mit x1 x. Zudem wurde Paul bewusst, dass Albert seinen Arbeitseinsatz aus dem (normierten) stetigen Intervall e (0; 1) wählen kann. Die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt des hohen Ergebnisses x1 hängt vom Arbeitseinsatz des A wie folgt ab: p x1 e p1 e e. Das geringere Ergebnis x tritt mit der entsprechenden Gegenwahrscheinlichkeit p e e auf. 1 Wieder wird überlegt, welchen Lohn w 0 Albert bekommen soll. Sein Disnutzen aus dem Arbeitseinsatz lautet nun ( ). Zudem wird sein Reservationsnutzen U auf 0 normiert. a) Gehen Sie zunächst von symmetrischer Information zwischen P und A aus und stellen Sie für diese Situation das Maximierungsproblem des P auf. Wie lauten die Optimalitätsbedingungen, die den Vertrag in diesem Umfeld beschreiben? b) Sei nun der Arbeitseinsatz e des A von P nicht beobachtbar. Wie lautet nun das Maximierungsproblem des P? Welche Technik kann man zu dessen Lösung grundsätzlich benutzen? Ist die Anwendung dieser Technik hier zulässig? c) Verwenden Sie die unter b) genannte Technik zur Bestimmung derjenigen Bedingungen, die den optimalen Vertrag bei asymmetrischer Information kennzeichnen. Was folgt daraus für die Struktur des optimalen Vertrags im Vergleich zur Situation unter a)? Wieso kommt es zu diesem Ergebnis?
Übungsaufgabe 7 (Moral Hazard) Über die Zeit hat P ein beträchtliches Vermögen angehäuft. Er überlegt, sein gesamtes Vermögen bei der ortsansässigen (monopolistischen) Bank S anzulegen. Die Bank verspricht zum vereinbarten Zeitpunkt eine Rückzahlung R 0. Das Geld des P kann die Bank in verschiedene Fonds investieren, die sich bezüglich ihrer Beteiligung an umweltschädigenden Projekten unterscheidet (ein Ausfallrisiko besteht nicht). Ein Fonds, der sich mit e1 0,5 an solchen Projekten beteiligt, realisiert mit einer 1 Wahrscheinlichkeit von p1( e1) das Ergebnis x1 9, während dieser Fonds mit der Gegenwahrscheinlichkeit nur das Ergebnis x 4 realisiert. Investiert die Bank hingegen in einen Fonds, der sich mit e 1 an umweltschädigenden Projekten beteiligt, steigt die Wahrscheinlichkeit 3 für das hohe Ergebnis auf p1( e) 4. P ist aus moralischen Gründen prinzipiell gegen Umweltschädigungen. Wird sein Geld dennoch (teilweise) in solche Geschäfte investiert, erleidet er einen Disnutzen v( e) e. Die Nutzenfunktion von P lautet deshalb: U( R, e) R e. Die risikoneutrale Bank erwirtschaftet einen Gewinn aus dem erwarteten Fondsergebnis abzüglich der erwarteten Rückzahlung an P. Gehen Sie davon aus, dass der Einleger (P) die gesamte Verhandlungsmacht hat. Die risikoneutrale Bank ist bereit, die Einlage anzunehmen, wenn sie dadurch mindestens einen erwarteten Gewinn in Höhe von 0 macht. a) Gehen Sie zunächst davon aus, dass der Einleger beobachten kann, in welches Projekt die Bank investiert. Bestimmen Sie die erstbesten Rückzahlungen, die der Einleger fordert, wenn er eine Beteiligung an der Umweltschädigung in Höhe von e1 0,5 vorgibt. Gehen Sie dabei auch darauf ein, warum die Nebenbedingung im Optimum binden muss. Veranschaulichen Sie Ihr Ergebnis in einer Edgeworth-Box. b) Betrachten Sie nun den Fall, dass der Einleger nicht beobachten kann, in welches Projekt die Bank investiert. Zeigen Sie mit Hilfe des erwarteten Gewinns der Bank, wie diese reagiert, wenn der Einleger dennoch die Rückzahlungen aus Aufgabe a) fordert. c) Der Einleger möchte auch bei asymmetrischer Information erreichen, dass die Bank in das wenig umweltschädigende Projekt investiert. Stellen Sie für diese Situation das Maximierungsproblem auf. Interpretieren Sie die Nebenbedingungen und begründen Sie, warum diese im Optimum binden müssen. Bestimmen Sie die optimalen Rückzahlungen und vergleichen Sie diese mit den erstbesten Rückzahlungen. Warum kommt es zu diesen Veränderungen? d) Der Einleger hat sich einer Umweltschutzorganisation angeschlossen, die alle Banken, die in umweltschädigende Projekte investieren, bestraft. Dies führt dazu, dass dem Einleger keinerlei Disnutzen aus der (unbeobachtbaren) Investition in umweltschädigende Projekte entsteht und Bank A die konstante Strafe F an die Umweltschutzorganisation abführen muss. Was ändert sich dadurch in dem Problem zwischen dem Einleger und der Bank? Welches Projekt wird die Bank wählen? Wie müsste die Strafe gestaltet werden, um weiterhin eine geringe Umweltschädigung zu erreichen? (Konkrete Berechnungen sind nicht verlangt.)
Übungsaufgabe 8 (Moral Hazard bei mehreren Tätigkeiten) Nachdem Albert sich inzwischen gut bewährt hat, beschließt Paul, ihm nun auch das Asien-Geschäft anzuvertrauen. Die Arbeitszeit, die Albert für das Europa-Geschäft aufwendet, wird mit bezeichnet, während die für das Asien-Geschäft verwendete Zeit beschreibt. Diese Arbeitszeiten können wiederum nur von Albert selbst beobachtet werden und verursachen ihm folgende Arbeitskosten: C( t, t ) t t t t. 1 1 1 1 Obwohl er Albert s Arbeitszeiten nicht beobachten kann, weiß Paul doch, dass ein höherer Bruttogewinn in der jeweiligen Region dafür spricht, dass Albert für diese Region mehr Arbeitszeit aufgewendet hat. Konkret gilt der Zusammenhang xi ti i, wobei beide i normalverteilt sind, einen Erwartungswert von 0 sowie eine Varianz i besitzen und nicht korreliert sind. Der risikoneutrale Paul maximiert das erwartete Ergebnis in beiden Bereichen, abzüglich der erwarteten Lohnzahlung. Paul sieht für Albert eine lineare Entlohnung vor, die folgendermaßen aussieht: w 800 x x. 1 1 r( w C) Albert hat nun die exponentielle Nutzenfunktion: U( w, C) 1 e, mit r 0 als Maß seiner absoluten Risikoaversion. Er akzeptiert die Bedingungen von Paul nur, wenn ihm dadurch eine Zahlung von 800 sicher ist. Generell berechnet sich sein Sicherheitsäquivalent folgendermaßen aus r Erwartungswert und Varianz des Lohnes: S( w) E( w) Var( w). a) Interpretieren Sie die Kostenfunktion von A. b) Stellen Sie das Sicherheitsäquivalent des A auf. Wie lauten die Anreizbedingungen, mit denen P den A dazu bringen kann, die gewünschten Zeiten in die jeweilige Aufgabe zu investieren? c) Stellen Sie das vollständige Maximierungsproblem von P auf und zeigen Sie, wie es vereinfacht werden kann. Bestimmen Sie die optimale Vergütungsstruktur. d) Interpretieren Sie die optimale variable Entlohnung. Gehen Sie dabei auch auf die Anreizintensität der beiden Lohnbestandteile ein. Welche Rolle spielt die Genauigkeit der Messinstrumente?
Übungsaufgabe 9 (Moral Hazard in Teams) Als nächsten Schritt der Unternehmensübergabe beschließt Paul, seinen Sohn Albert zu seinem Geschäftspartner zu machen und die Unternehmensführung mit ihm als Team durchzuführen. Gehen Sie davon aus, dass der Ertrag x des Unternehmens alleine durch den Arbeitseinsatz der beiden Geschäftsführer beeinflusst werden kann. Konkret soll gelten: x ( ea ep). Dabei ist der Arbeitseinsatz jedoch private Information jedes Teammitglieds. Beiden Partnern entsteht durch die 1 Arbeit folgender Disnutzen: v( ei) e, i i A, P. Gehen Sie davon aus, dass der Ertrag gleichmäßig auf alle Teammitglieder verteilt wird und jedes Teammitglied die Differenz zwischen seinem Anteil am Ertrag und seinem Arbeitsleid maximieren will. a) Bestimmen Sie die sozial optimale Lösung. b) Für welche Anstrengungsniveaus entscheiden sich A und P? Warum kommt es zu diesem Ergebnis? c) Kann Paul dieses Ergebnis ändern, indem er die Anzahl der Teammitglieder erhöht? Begründen Sie Ihre Antwort. d) Wie müsste die Aufteilung des Ertrags gestaltet werden, um die effiziente Lösung zu erhalten?
Übungsaufgabe 10 (Leistungsturniere bei Moral Hazard in Teams) Aus gesundheitlichen Gründen muss sich Paul auf unbestimmte Zeit aus dem Arbeitsleben zurückziehen. Er übergibt deshalb die Verantwortung für das gesamte Unternehmen an Albert, der das Asien-Geschäft zunächst stilllegt und sich ausschließlich den Kunden in Europa widmen möchte. Da er sich jedoch nicht völlig sicher ist, ob er ein solch traditionsreiches Geschäft tatsächlich vollständig alleine führen kann, beschließt er, sich einen Partner Bert ins Boot zu holen, der 50 % der Unternehmensanteile erhalten soll. Den beiden ist bekannt, dass der Gewinn des Unternehmens unmittelbar von ihrem Einsatzniveau abhängig ist. Wieder lässt sich der Ertrag beschreiben durch ( ), von dem jeder einen Anteil s i erhalten soll. Der Arbeitseinsatz der beiden risikoneutralen Partner ist jedoch ihre eigene private Information. Aus diesem Grunde befürchten die beiden, dass der jeweils andere weniger arbeiten und vom Einsatz des anderen profitieren würde denn schließlich entsteht beiden durch die Arbeit ein Disnutzen von ( ), i=a,b. a) Welches Engagement würde ein sozialer Planer von A und B fordern? b) A und B überlegen, den Ertrag aus der Partnerschaft untereinander aufzuteilen. A soll dabei den Anteil s bekommen, B den Rest. Welche Form der Informationsasymmetrie liegt in diesem Fall vor? Beschreiben Sie den Einsatz, den beide bereit sind zu leisten. Welche Anreize haben A und B, ihr Engagement zu erhöhen bzw. zu senken? Welcher Anteil müsste A und B zugesprochen werden, damit ein effizientes Ergebnis resultiert? Albert schlägt vor, einen unternehmensinternen Wettkampf zu starten: wer einen höheren Arbeitseinsatz leistet, soll der Gewinner sein und einen höheren Anteil des Unternehmensgewinns erhalten (der Anteil des Gewinners wird nun mit s beschrieben, während der Verlierer den Anteil 1-s erhält). Da jedoch, wie gesehen, der genaue Arbeitseinsatz der beiden nicht beobachtbar ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit für Albert, diesen Wettkampf zu gewinnen e A ea f e e e B A B Bert s Gewinnwahrscheinlichkeit verhält sich hierzu symmetrisch. Den beiden ist klar, dass sie im Prinzip zwei Entscheidungen treffen müssen: zum einen müssen sie sich darüber einigen, welchen prozentualen Anteil des Gewinns der Sieger des Wettkampfes erhalten soll und zum anderen müssen sie ihren eigenen (privaten) Arbeitseinsatz bestimmen. c) Welche Anreize haben A und B, ihr Engagement zu erhöhen bzw. zu senken? Vergleichen Sie dies mit dem Fall aus b). d) Bestimmen Sie das optimale Einsatzniveau, das Albert und Bert zeigen, und vergleichen Sie es mit dem Engagement, das ein sozialer Planer von beiden ohne Wettkampf fordern würde. Lösen Sie hierzu dieses Spiel per Rückwärtsinduktion..
Übungsaufgabe 11 (Adverse Selektion Screening) Nach seiner Genesung steigt Paul wieder in das Unternehmen ein, wobei Vater und Sohn nun die Geschäftsführungseinheit P bilden. Beflügelt und mit neuer Kraft versuchen die beiden, ihr Unternehmen zu modernisieren und führen die neue Produktlinie irobot ein, Roboter, die die Mitarbeiter selbständig mit Kaffee und Snacks versorgen können. Gehen Sie davon aus, dass das Unternehmen weltweit der einzige Produzent dieser Art von Robotern ist und P daher als Monopolist betrachtet werden kann. Untersucht wird der Verkauf an einen repräsentativen Konsumenten A. Die Geschäftsführer überlegen nun welchen (Gesamt-)Preis T 0 sie verlangen sollen, damit ihr Gewinn so groß wie möglich wird. Zudem müssen sie festlegen, wie viele Sprachen irobot können soll. Je höher diese Anzahl q 0 ist, umso höher sind die Entwicklungskosten C( q) cq mit c 0. Gleichzeitig generieren mehr Sprachen den Konsumenten aber mehr Nutzen. Bei ihrer Entscheidung müssen die Geschäftsführer berücksichtigen, dass es zwei verschiedene Typen von Konsumenten ~ gibt, die sich durch ihre Zahlungsbereitschaften unterscheiden. Dabei bezeichnet { L ; H } mit L 1 und H den Parameter, der die Zahlungsbereitschaft des jeweiligen Typen wiedergibt. Der Typ H tritt mit der Wahrscheinlichkeit p auf. Die Nutzenfunktion eines repräsentativen ~ ~ Konsumenten in Abhängigkeit von der Zahlungsbereitschaft lautet U( q, T, ) q T. Beide Typen haben einen einheitlichen Reservationsnutzen U 0. a) Gehen Sie zunächst davon aus, dass P bei Abschluss des Kaufvertrags den Typ des Konsumenten kennt. Stellen Sie zunächst das Maximierungsproblem von P allgemein für einen beliebigen Kundentyp ~ auf und berechnen Sie hiermit die in dieser Situation optimalen Mengen und Preise in Abhängigkeit von ~. Wie lautet demzufolge das optimale Vertragspaar {( q L*, TL*);( qh *, TH *)}? b) Gehen Sie nun davon aus, dass P den Typ des Konsumenten bei Abschluss des Kaufvertrages nicht kennt. Wird er dann immer noch das unter a) berechnete Vertragspaar anbieten? Begründen Sie Ihre Aussage. c) P denkt nun darüber nach, sein Informationsproblem dadurch zu lösen, dass er ein Vertragsmenü anbietet, das den Konsumenten dazu bringt, freiwillig seinen wirklichen Typ zu offenbaren. Stellen Sie für diese Situation das vollständige Maximierungsproblem von P auf und erläutern Sie kurz, wie dieses noch vereinfacht werden kann. Welche grundsätzliche Aussage bezüglich der optimalen Anzahl an Sprachen ist bereits ohne explizite Lösung möglich? d) Lösen Sie das unter c) aufgestellte (vereinfachte) Maximierungsproblem und geben Sie das resultierende optimale Vertragsmenü {( q L **, TL **);( qh **, TH **)} an. Vergleichen Sie dieses Vertragspaar mit den optimalen Verträgen aus Aufgabe a) und erläutern Sie kurz, wie es zu diesem Ergebnis kommt.
Übungsaufgabe 1 (Adverse Selektion Screening) Da das Unternehmen unter den beiden Geschäftsführern Albert und Paul (P) gut läuft, wollen sie einen neuen Ingenieur Benjamin (B)- einstellen und überlegen sich, welche Lohnzahlung B erhalten soll. Das Problem ist, dass sie die Qualifikation von B für diese Position nicht genau einschätzen können (der Arbeitseinsatz von B kann hingegen problemlos sichergestellt werden). Es ist bekannt, dass sich Ingenieure ausschließlich in Bezug auf ihre Produktivität k unterscheiden, H L wobei es zwei denkbare Ausprägungen k (hohe Produktivität) und k 1 (geringe Produktivität) gibt. Das Robotergeschäft kann nun entweder erfolgreich (Zustand s) oder nicht erfolgreich (Zustand f) sein, was für die Firma P zu Erlösen in Höhe von s bzw. f 1 führt. Die Eintrittswahrscheinlichkeiten für den Erfolgsfall richten sich nach der Produktivität des Ingenieurs H L und betragen ps k 1/ bzw. ps k 1/ 4. P überlegt nun, wie ein Arbeitsvertrag, der jedem Typ Ingenieur einen Lohn in Abhängigkeit vom eingetretenen Zustand zusichert, optimalerweise aussehen muss. Hierbei ist bekannt, dass ein beliebiger Ingenieur eine Lohnzahlung mit der Nutzenfunktion u( w) w, w 0 bewertet. Der Reservationsnutzen beträgt U 0, unabhängig von der Produktivität. Gehen Sie davon aus, dass sich das Roboterunternehmen bzgl. Ingenieuren in einem Markt befindet, in dem vollkommener Wettbewerb herrscht. a) Beschreiben Sie anhand des Beispiels eines Ingenieurs die beiden grundlegenden Formen von Informationsasymmetrien und verdeutlichen Sie Ihre Ausführungen anhand eines Diagramms, in dem Sie die jeweilige zeitliche Struktur der Probleme darstellen. b) Gehen Sie zunächst davon aus, dass P bei Abschluss des Arbeitsvertrages B s Typ kennt. Stellen Sie für gegebene Produktivität das Maximierungsproblem von P auf und bestimmen Sie das H H L L optimale Paar von Arbeitsverträgen {( w, w );( w, w )}. s f c) Gehen Sie nun davon aus, dass P den Typ des Ingenieurs bei Abschluss des Arbeitsvertrages nicht kennt. Begründen Sie grafisch und formal inwieweit das Angebot der unter b) berechneten Arbeitsverträge noch sinnvoll ist. d) Welche grundsätzlichen Möglichkeiten hat das Roboterunternehmen nun, mit dem Problem der adversen Selektion umzugehen, wenn bekannt ist, dass ein Ingenieur mit hoher Produktivität mit Wahrscheinlichkeit q 1/ 3 auftritt? Können beide Möglichkeiten tatsächlich realisiert werden? Wie muss demnach eine potentielle Lösung des Informationsproblems aussehen? Begründen Sie Ihre Aussagen anhand geeigneter Grafiken. s f [Hinweis zu Aufgabenteilen c) und d): Zeichnen Sie bitte in den verlangten Grafiken die Isogewinnlinien des Roboterunternehmens der Firma P genau ein. Für die Indifferenzkurven eines Ingenieurs reicht es aus, wenn Sie diese skizzieren; eine kurze Begründung wieso diese den dargestellten Verlauf haben sollte aber gegeben werden.]
Übungsaufgabe 13 (Adverse Selektion Signalling) Wir betrachten einen ähnlichen Sachverhalt wie in Aufgabe 1. P kann die Qualifikation der Bewerber um einen Ingenieur-Posten nicht einschätzen, weiß jedoch, dass sich die Bewerber, die alle zumindest einen Bachelor-Abschluss besitzen, ausschließlich in Bezug auf ihre Produktivität k H L unterscheiden, wobei es zwei denkbare Ausprägungen k (hohe Produktivität) und k 1 (geringe Produktivität) gibt. Weiter gelten die Angaben aus Aufgabe 1. Die Bewerber können nach ihrem Bachelor-Abschluss entweder sofort in die Bewerbungsphase einsteigen oder aber noch ein Master-Studium absolvieren. Es ist allgemein bekannt, dass ein solches Master-Studium die Produktivität der Bewerber nicht verändert. Weiter ist bekannt, dass Bewerbern mit geringer Produktivität durch das Masterstudium ein höherer Disnutzen entsteht, als Bewerbern mit hoher Produktivität. Der Grund hierfür ist, dass den unproduktiven jungen Leuten das Studium wesentlich schwerer fällt als ihren produktiven Kommilitonen. Aufgrund dieser Tatsache glaubt das Unternehmen, dass ein Bewerber, der ein Master-Studium absolviert hat, eine hohe Produktivität hat und ist entsprechend bereit, ihm einen höheren Lohn zu zahlen. Die Unternehmung ist wieder in einem Markt mit vollkommenem Wettbewerb aktiv. a) Verdeutlichen Sie die zeitliche Struktur des Signalling anhand eines geeigneten Schaubilds. b) Welches Gehalt würden die beiden Typen von Bewerbern bei symmetrischer Information erhalten? Wie viele Studenten absolvieren ein Master-Studium? c) Betrachten Sie nun den Fall asymmetrischer Information. Welche Gehälter zahlt das Unternehmen nun welchen Bewerbern? Beachten Sie hierbei die Tatsache, dass sich das Unternehmen in vollkommenem Wettbewerb befindet. Stellt diese Situation ein Gleichgewicht dar? Erläutern Sie, welche Kriterien ein Signal allgemein erfüllen muss, um glaubhaft zu sein.
Übungsaufgabe 14 (Soziale Präferenzen) Paul möchte nun auch seinem Enkel Andreas in seinem Unternehmen eine Chance geben. Andreas soll eine Tochterfirma gründen, die sich um die Entwicklung von Bewässerungstechnologien für Agrarflächen in Afrika kümmern soll. Andreas ist ungleichheitsavers und besitzt die Nutzenfunktion u a w d v( w b ) wenn w b w w d v( b w ) wenn w b w j i j j j j j j i j j j j j Paul kann den Arbeitseinsatz von Andreas nicht beobachten. Er ist sich bewusst, dass der Bruttogewinn des Projekts bj zwischen den beiden Niveaus b s und b f schwankt, wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit p i vom geleisteten Einsatz di d1, d0 des A abhängt. Mit der Höhe des Einsatzes steigt auch die Wahrscheinlichkeit für das gute Ergebnis ( 1 p1 p0 0). Der geringere Umsatz wird mit der jeweiligen Gegenwahrscheinlichkeit erzielt. Gehen Sie zur Vereinfachung davon aus, dass der niedrige Einsatz von A und das Ergebnis im Misserfolgsfall auf 0 normiert werden ( bf 0, d0 0 ). Bevor Paul Sie als Berater aufsucht, einigt er sich mit Andreas darauf, dass dieser im Erfolgsfall einen strikt positiven Lohn ws 0 und im Misserfolgsfall nichts wf 0 erhalten soll. Andreas kann alternativ für die Fahrende Tafel arbeiten, was ihm den Reservationsnutzen u 0 generiert. a) Verdeutlichen Sie die Konzepte der Ungleichheitsaversion und der Reziprozität anhand geeigneter Experimente. Wie lassen sich diese beiden Konzepte in den Rahmen der sozialen Präferenzen einordnen? b) Beschreiben Sie allgemein die formale und grafische Darstellung der Nutzenfunktion eines ungleichheitsaversen Agenten. c) Betrachten Sie die Situation, in der Paul mehr verdient als Andreas. Was können Sie über den Zusammenhang zwischen optimalem Lohn im Erfolgsfall und der Stärke der Ungleichheitsaversion aussagen? d) Untersuchen Sie nun die Spezialfälle und. Gehen Sie dabei insbesondere auf deren Bedeutung und ihre Auswirkungen auf den optimalen Lohn ein. Gehen Sie nun davon aus, dass der Bruttogewinn des Projekts zwischen den beiden Niveaus bs 40000 und bf 10000 schwankt, wobei die Wahrscheinlichkeit für das hohe Ergebnis vom geleisteten Einsatz des Andreas d 1 ; wie folgt abhängt: ps ( e ) 0,8 bzw. ps ( e 1) 0,4. Andreas kann zwar weiterhin alternativ für die Fahrende Tafel arbeiten, was ihm aber jetzt den Reservationsnutzen u 5 generiert. Er besitzt zudem nun folgende Nutzenfunktion: U A ln( ) ( ), ln( wj ) di ( wj x j ) wenn wj x j wj i 1, wj di x j wj wenn wj x j wj j s f e) Bestimmen Sie den optimalen Arbeitsvertrag für den Fall, dass Andreas nicht (!) ungleichheitsavers ist. f) Betrachte Sie nun den Fall, in dem Andreas ungleichheitsavers ist. Paul möchte mehr verdienen als Andreas. Wie lautet das Maximierungsproblem für diese Situation? Mit welchen Veränderungen des optimalen Lohns im Erfolgsfall rechnen Sie aufgrund der bekannt gewordenen Ungleichheitsaversion? Begründen Sie Ihre Aussage intuitiv.
Übungsaufgabe 15 (Moral Hazard mit Motivation) Schließlich soll auch Sofia, Pauls jüngstes Enkelkind, in der familieneigenen Firma arbeiten. Sofia (S) gilt aufgrund ihrer beruflichen Misserfolge als das Sorgenkind der Familie. Paul überlegt deshalb, sich ihrer besonders anzunehmen und mit ihr an einem Motivationsseminar in den Bergen teilzunehmen. Dabei kann er zwischen verschiedenen Motivationsniveaus a 0 wählen. Es gilt als erwiesen, dass dieses Seminar die Freude an der Arbeit erhöhen kann (bzw. das Arbeitsleid reduzieren kann) und zwar umso mehr, je höher a. Allerdings entstehen P für das Motivationsseminar Kosten in Höhe von k K( a) a ta, k, t 0. Über Sofia ist zudem bekannt, dass sie risikoneutral ist, einen Reservationsnutzen von 0 hat und ihren Arbeitseinsatz e aus dem Intervall 0;1 wählt. Außerdem entsteht ihr aus der Tätigkeit bei P folgender Disnutzen: ce C( e, a), c 0. (1 a) Paul erwartet aus der Abteilung, die Sofia übernehmen soll, im guten Fall ein Ergebnis q H, im schlechten Fall ein Ergebnis ql( qh). Welches der beiden Ergebnisse eintritt, hängt neben dem Zufall von dem Arbeitseinsatz von Sofia ab, wobei gilt: P q qh e e. Als Entlohnung sieht Paul einen Grundlohn w vor, der im Erfolgsfall (Zustand H) um einen Bonus erhöht wird. a) Interpretieren Sie Sofias Disnutzenfunktion. Gehen Sie dabei insbesondere darauf ein, welchen Einfluss das Motivationsseminar hat. b) Gehen Sie zunächst davon aus, dass Paul beobachten kann, welchen Arbeitseinsatz Sofia leistet. Welchen Einsatz fordert P in dieser Situation und welches Motivationsniveau wird er wählen? c) Der Arbeitseinsatz von S ist nun unbeobachtbar. Bestimmen Sie das optimale Verhalten von S, wenn sie das Jobangebot von P annimmt. Wie verändert sich ihr Arbeitseinsatz, wenn Paul den Bonus bzw. das Motivationsniveau verändert? d) Welchen Einsatz fordert P bei asymmetrischer Information und welches Motivationsniveau wählt er? Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem bei symmetrischer Information. Wie kommt es zu dieser Abweichung?
Übungsaufgabe 16 (Unvollständige Verträge) Betrachten Sie eine Verhandlungssituation zwischen zwei Agenten mit charakteristischer Funktion 0,falls K 1,falls K 1 v(k),falls K 4,falls K 1, a) Berechnen Sie den Shapley-Wert des Agenten 1. b) Berechnen Sie den Shapley-Wert des Agenten und interpretieren Sie die Summe der beiden Shapley-Werte.