Reihe 15 S 1 Verlauf Material Gerecht teilen ggt, kgv und anderes Florian Borges, Traunstein Erdbeerkuchen annähernd gerecht geteilt Klasse: 5 und 6 Dauer: 9 Stunden Inhalt: Gemeinsamkeiten in den Einmaleins- Reihen erkennen; den größten gemeinsamen Teiler (ggt) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) kennenlernen; den ggt und das kgv im Alltag anwenden; die Primfaktorzerlegung graisch darstellen; Rechenregeln für die Teilbarkeit von Zahlen erarbeiten Ihr Plus: Material zur Einführung der Fakultät (n!; n n) F. Borges Lassen Sie Ihre Schüler Gemeinsamkeiten der Einmaleins-Reihen erkennen und herausinden, dass man den ggt und das kgv nicht nur beim Teilen einer Schokoladentafel oder eines Stück Kuchens benötigt. Ob beim Fliesenlegen oder in der Zuckerwürfelproduktion: Mit alltagsnahen Beispielen inden Ihre Schüler einen Bezug zum ggt und kgv. Außerdem lernen Ihre Schüler die Primfaktorzerlegung kennen und setzen diese graisch um. Als Abschluss entdecken sie die Fakultäten und stellen dabei fest, dass selbst der Taschenrechner Grenzen hat.
Reihe 15 S Verlauf Material Didaktisch-methodische Hinweise Die Teilbarkeit der natürlichen bzw. ganzen Zahlen (also Division OHNE Rest!) taucht in jedem Mathematiklehrplan der Unterstufe auf. Wenngleich meist im folgenden Schuljahr die Brüche eingeführt und damit das Problem Division MIT Rest gelöst wird, spielt dieses zahlentheoretische Grundphänomen in sehr vielen Bereichen eine Rolle: Innermathematisch angewandt wird das kgv bei der Bildung des Hauptnenners. Bei Verschlüsselungstechniken kommt den Primzahlen eine große Bedeutung zu, deren Notwendigkeit jeder EC-Karten-Besitzer bestätigen kann. Verlauf der Unterrichtsreihe Motivieren Sie die Problematik der Teiler und Vielfachen anhand des Märchens (M 1). Als weiteres Lernziel erreichen Sie in der Einführungsstunde die Existenz der Primzahlen. Dazu händigen Sie den Kindern zu Beginn eine Kopie des Materials M 1 (mit dem Bild der Pfosten im Meer) aus. In der zweiten Stunde führen Sie anhand des Materials M die begriflichen Grundlagen zu Primfaktorzerlegung, ggt und kgv ein. Der (optional abkürzbare) Lernzirkel M M 6 mit je einer Unterrichtsstunde (also max. vier Stunden) schließt sich daran an: M lässt die Schüler gemeinsame Zahlen in Einmaleins-Reihen erkennen. Die Schüler betrachten die Teiler einer gegebenen Zahl und suchen das kgv. Material M 4 behandelt gerechtes Aufteilen und damit die Division ohne Rest (also die Teilbarkeit) am Beispiel einer Tafel Schokolade (eben) und an einem Karton mit Zuckerwürfeln (räumlich). In Material M 5 werden die Primfaktorzerlegung, die für jede natürliche Zahl eindeutig ist, sowie ggt und kgv besprochen. Das Fliesenlegerproblem (M 5) verdeutlicht die Bedeutung dieser beiden Begriffe für reale Anwendungen im Alltag. Einen graischen Zugang zum Thema Teilbarkeit bieten die Teilerbilder (M 6), zu denen es auch eine Farbfolie gibt. Einfache Teilbarkeitsregeln folgen in M 7. Die untere Hälfte von M 7 schließlich ist nur bei Verfügbarkeit eines Internetzugangs zu bearbeiten und kann auch weggelassen werden die Inhalte Primzahlzwillinge usw. sind interessant, aber recht speziell. Setzen Sie diesen Abschnitt zur Differenzierung für leistungsstarke Schüler (bzw. als Hausaufgabe, siehe unten) ein. Jede der Stationen M M 6 eignet sich gleichermaßen als erste Station, darum lässt sich diese Sequenz gut als Lernzirkel verwenden. Als Abschluss dienen die eindrucksvollen Fakultäten, mit denen Sie die Einheit im Klassenverband abrunden. Hausaufgaben sind bei den Materialien M (Aufgabe 7) und M 7 (Internetrecherche) vorgesehen. Ziele Die Schüler sollen alle Teiler einer Zahl inden, Primzahlen erkennen, ggt und kgv von zwei gegebenen Zahlen mittels Primfaktorzerlegung bestimmen können, an Teilerbildern unter anderem die Kommutativität erkennen, die einfachen Teilbarkeitsregeln beherrschen und Fakultäten (n!; n n) kennenlernen.
Reihe 15 S 4 Verlauf Material Auf einen Blick Einstieg Material Thema Stunde M 1 M Das Märchen von König Raffzahn und seinen Reitern Gemeinsamkeiten der Einmaleins-Reihen erkennen Die Zerlegung in Primfaktoren, ggt und kgv Zahlen in ein Produkt zerlegen, den Begriff Primfaktorzerlegung kennenlernen 1.. Lernzirkel: Primfaktorzerlegung, ggt und kgv anwenden Material Thema Stunde M M 4 M 5 Das Märchen geht weiter Gemeinsamkeiten erkennen Die teilerfreundlichsten Zahlen zwischen 1 und suchen Teiler und kgv im Alltag Übungen Eine Tafel Schokolade auf unterschiedliche Art in gleich große Stücke teilen, das kgv der Zahlen 1, 8 und 9 inden Fliesenleger in Not! Die Primfaktorzerlegung anwenden Ein Schema zum Lösen von Aufgaben nachvollziehen, die Primfaktorzerlegung anwenden Die Teiler einer Zahl graisch darstellen Material Thema Stunde M 6 (Fo) Ein graischer Zugang Teilerbilder Die Zerlegung in Primfaktoren zur Erstellung von Teilerbildern verwenden. 4. 5. 6. Erkannte Regelmäßigkeiten in Gesetze umsetzen Material Thema Stunde M 7 Schnell berechnet Rechenregeln für die Teilbarkeit Gesetze zur Teilbarkeit von natürlichen Zahlen erarbeiten, Einführung von Primzahlzwillingen und -drillingen 7./8. Der Umgang mit Fakultäten Material Thema Stunde M 8 Zu groß für den Taschenrechner Fakultäten Die Fakultät kennenlernen 9.
S 1 M 1 Das Märchen von König Raffzahn und seinen Reitern Es war einmal ein König. Er lebte sehr verschwenderisch. Dauernd erhöhte er die Steuern, um sich seinen teuren Lebenswandel leisten zu können. Sein Volk hasste ihn von Tag zu Tag mehr. König Raffzahn fürchtete sich zu Recht vor einem möglichen Attentat. Zu seinem Schutz ließ er sich im angrenzenden Meer weit ab vom Festland einen Palast auf einer Insel bauen. Die Insel und das Festland waren mit einer Reihe von goldenen Pfosten im Wasser verbunden, deren Abstand so groß war, dass Menschen ihn nicht überspringen konnten. Die wohlgenährten königlichen Rösser dagegen konnten bereits im Alter von einem Jahr von einem Pfosten zum anderen springen. Das Pfostendiagramm für 1-jährige Pferde: König Raffzahn Mit zwei Jahren konnten sie sogar schon einen Pfosten auslassen und gleich zum übernächsten springen. Durch das gesunde Futter wurde ihre Sprungkraft immer größer. Mit drei Jahren konnten sie gleich auf den jeweils drittnächsten Pfosten springen. Foto: F. Borges Mit vier Jahren konnten sie auf den viertnächsten Pfosten springen, und so weiter. Natürlich werden echte Pferde im hohen Alter gebrechlich und ihre Sprungkraft lässt wieder nach, aber in einem Märchen ist das eben nicht zwangsläuig so! Aufgabe 1. Zeichne ein Pfostendiagramm, das beschreibt, wie die Pferde, die vier und fünf Jahre alt sind, springen. Beginne bei 0. Beende dein Diagramm bei Pfosten 16 für die 4-jährigen Pferde und bei Pfosten 15 für die 5-jährigen Pferde. Achte auf den richtigen Abstand der Pfosten.. Vergleiche die fünf Diagramme. Was fällt dir auf? Diskutiert in der Klasse über eure Erkenntnisse.
ggt, kgv und anderes Reihe 15 M Material S LEK Glossar Lösungen Die Zerlegung in Primfaktoren, ggt und kgv Dass aus zwei Zahlen, die man miteinander multipliziert, ein Produkt entsteht, hast du bereits in der Grundschule gelernt. Wie aber sieht der umgekehrte Weg aus? Pixelio Aufgabe Nimm einen Stift und einen Zettel zur Hand. 1. Versuche, die Zahl 48 in ein Produkt mit möglichst vielen Faktoren zu zerlegen. Stift und Block Benutze dabei aber nicht die Zahl 1!. Sortiere die Faktoren der Größe nach und verwende ggf. die Potenzschreibweise. Vergleiche dein Ergebnis mit dem deines Banknachbarn. T H C Merke Die Faktoren sind alle Primzahlen (sonst könnte man sie weiter zerlegen!). Man nennt das Ergebnis die Primfaktorzerlegung (PFZ) der Zahl 48. I S N. Zerlege die Zahl 196 in ein Produkt aus möglichst vielen Faktoren (aber ohne Faktor 1). 4. Bestimme die PFZ der Zahl 6 000. A R O Überlege dir zusammen mit deinem Banknachbarn ein Verfahren zur Bestimmung der PFZ, das bei solchen Zahlen mit Endnullen möglichst wenig Rechenaufwand benötigt. 5. Welches ist die kleinste Zahl, die sowohl im 48er- als auch im 7er-Einmaleins vorkommt? V Merke Die kleinste Zahl, die in verschiedenen Einmaleins-Reihen vorkommt, nennt man das kgv (kleinstes gemeinsames Vielfaches) dieser Zahlen. 6. Die Zahlen 48 und 7 kommen beispielsweise im Zweier-, Dreier- und Vierer-Einmaleins vor. Finde die größte Zahl, in deren Einmaleins 48 und auch 7 vorkommen. Merke Die größte Zahl, in deren Einmaleins zwei gegebene Zahlen vorkommen, nennt man den ggt (größten gemeinsamen Teiler) dieser Zahlen. 7. Bestimme den ggt und das kgv der Zahlen 6 und 54. Schreibe dir die Einmaleins-Reihen auf. Pixelio Verlauf Ist der Taschenrechner die einzige Lösung?
S M Das Märchen geht weiter Gemeinsamkeiten erkennen Die Hofangestellten von König Raffzahn wollen herausinden, welches Pferd auf welchen Pfosten springt. Dabei stellen sich ihnen folgende Fragen. Hilf ihnen! Aufgaben 1. Welche Pferde (Alter in Jahren!) springen auf den Pfosten mit der Nummer 6?. Welche Pferde springen jeweils auf die Pfosten mit den Nummern 11, 1 bzw. 1?. Eine bildhübsche -jährige Stute hat sich unsterblich in einen temperamentvollen, kräftigen 4-jährigen Hengst verliebt. Auf welchem Pfosten treffen sich die beiden Glückspilze erstmals wieder? 4. Wo treffen sich ein 6- und ein 9-jähriges Pferd erstmals wieder? 5. Wo treffen sich ein 1- und ein 18-jähriges Pferd erstmals wieder? 6. Die Geschwisterpferde Anabel ( Jahre alt), Bernadette (4 Jahre) und Chrysantheme (5 Jahre) freuen sich auf ein Zusammentreffen. Wo indet dieses erstmals statt? 7. Wo treffen sich ein -, ein 4- und ein 8-jähriges Pferd erstmals wieder? 8. Wo treffen sich ein 1-, ein 16- und ein 18-jähriges Pferd erstmals und dann weiterhin wieder? Schreib dir die Einmaleins-Reihen untereinander auf. Der König wurde immer raffgieriger. Seine Bürger konnten kaum noch so viel verdienen, wie er ihnen wieder abnehmen ließ. Eines Morgens beobachtete ein Fischer von seinem Boot aus etwas sehr Sonderbares: Als die Sonne kurz nach ihrem Aufgang lach über das Meer schien, blinkte und funkelte es bei jeder Landung eines Pferdes auf einem Pfosten. Neugierig geworden, ruderte der Fischer mit seinem Boot hinaus zu einem solchen Pfosten. Schon beim ersten Pferdesprung erkannte er die Ursache des Funkelns: Bei jeder Landung eines Pferdes bröckelte unter dessen Hufen ein kleines Stückchen Gold vom Pfosten ab, das der Fischer dann im Boot auffangen konnte. Bald wusste das ganze Fischerdorf Bescheid. Alle ruderten hinaus zu den Pfosten, um so ein wenig von dem königlichen Reichtum abzubekommen. 9. Bestimme die besten und die schlechtesten Pfosten für das Sammeln von Gold. Betrachte dabei alle Zahlen bis zur Zahl. Die Hofpferde Pixelio
S 4 M 4 Teiler und kgv im Alltag Übungen Eine rechteckige Tafel Schokolade besteht aus 6 Reihen mit je 4 gleich großen Stückchen. Aufgaben 1. Wie viele Kinder können sich diese Tafel gerecht teilen, wenn nur ganze Stückchen vorkommen dürfen? Gerecht heißt, dass jedes Kind gleich viele Stückchen bekommt.. Zeichne möglichst viele verschiedene Möglichkeiten, wie diese Tafel in 4 formgleiche Teile zerlegt werden kann.. Wie viele Stückchen muss eine Tafel mindestens haben, damit sie sich 5 und auch 9 Kinder gerecht teilen können? Gibt es weitere Anzahlen von Kindern, bei denen eine gerechte Aufteilung dieser Tafel möglich ist? 4. Nenne ein Beispiel für zwei Zahlen m und n von Kindern sowie die dann notwendige Anzahl an Stückchen, bei denen nur diese beiden Aufteilungen auf m oder n Kinder möglich sind und jeder nicht nur ein Stückchen erhält. Welche Eigenschaften müssen m und n in diesem Fall haben? Für Experten Zuckerwürfel sind eigentlich Zuckerquader und keine Würfel. Diese hier haben eine Länge von 1 mm, eine Breite von 9 mm und eine Höhe von 8 mm. a) Welche Kantenlänge muss eine würfelförmige Verpackung haben, die lückenlos und bei einheitlicher Stapelrichtung mit solchen Zuckerwürfeln gefüllt werden kann? b) Wie viele Zuckerstückchen passen hinein? 6 mal 4 Stückchen macht Borges Zuckersüß der Zuckerwürfel Borges Die Kantenlängen eines Würfels sind alle gleich. Geeignete Skizzen können dir bei der Lösung helfen.
S 6 M 6 Ein grafischer Zugang Teilerbilder Eine sehr anschauliche Darstellung aller Teiler einer Zahl ist das Teilerbild, hier im Beispiel für die Zahl 6: 6 = Die Ausgangszahl 1 wird in unterschiedlicher Reihenfolge zweimal mit und zweimal mit multipliziert, im Diagramm bedeutet jeweils einen senkrechten Strich mit Höhenunterschied vier Kästchen (willkürlich gewählt). bedeutet einen schrägen Strich mit ebenfalls vier Kästchen Höhenunterschied. Beim Anfertigen des Teilerbildes erhält man in der zweiten Ebene von oben alle Teiler mit einem Primfaktor, in der dritten Ebene von oben alle Teiler mit zwei Primfaktoren usw., bis schließlich unten das Produkt aller Primfaktoren steht. Aufgabe Lege dir kariertes Papier (oder das Mathematikheft) sowie Farbstifte zurecht und zeichne Teilerbilder für folgende Zahlen: 1. 75. 180 Beginne jeweils mit der Suche nach allen vorkommenden Primfaktoren und ihrer Vielfachheit in der Zahl. 9 18 6 6 4 1 1 Probe am Schluss: Finde rechnerisch alle Teiler der gegebenen Zahl und prüfe schließlich nach, ob sie auch alle im Teilerbild vorkommen. Für Experten Auf wie vielen verschiedenen Wegen kann man im Teilerbild der Zahlen 75 bzw. 180 vom Ausgangspunkt 1 zum Ende, also zur Zahl 75 bzw. 180, kommen? Teiler gibt es auch im Straßenverkehr. Eine Markierung teilt eine Straße in zwei Hälften. Pixelio
S 7 M 6 Ein grafischer Zugang Teilerbilder 1. Teilerbild zu 75. Teilerbild zu 180 1 5 15 5 75 1 5 4 6 10 9 15 1 0 18 0 45 6 60 90 180
S 8 M 7 Schnell berechnet Rechenregeln für die Teilbarkeit Um zu prüfen, ob die Zahl 69 99 durch 57 teilbar ist, führt man die Division durch und erhält als Ergebnis 689 (ohne Rest). Also ist 69 99 durch 57 teilbar. Anders als bei diesem exotischen Teiler der wohl eher selten vorkommt gibt es bei einigen Zahlen sehr einfache Regeln, mit denen man die Teilbarkeit auch ohne Ausführen der lästigen Division erkennen kann. Einige dieser Regeln wirst du schon kennen. Trage die übrigen mit deinem Banknachbarn zusammen. Regeln Eine Zahl ist durch teilbar, wenn Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn Eine Zahl ist durch teilbar, wenn Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch und durch teilbar ist. Eine Zahl ist durch 1 teilbar, wenn sie durch und durch teilbar ist. Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch und durch teilbar ist. Für Experten Recherchiere eine Teilbarkeitsregel für die Zahl 11 und erprobe sie an selbst gewählten Beispielen. Auch bei den Primzahlen gibt es Zwillinge und Drillinge (Internetrecherche) Bereits an den Pfosten in dem Märchen (M 1) hast du festgestellt, dass die Primzahlen sehr unregelmäßig auftreten. ist die einzige gerade Primzahl, alle anderen sind ungerade. Gelegentlich sind zwei aufeinanderfolgende ungerade Zahlen Primzahlen. Primzahlen, deren Abstand gleich ist, nennt man dann Primzahlzwillinge. Recherchiere mit den anderen Mitgliedern deiner Gruppe im Internet zu den folgenden Fragen und Aufgaben: 1. Finde die ersten elf Primzahlzwillingspaare.. Informiere dich über Primzahldrillinge. Suche nach einer Begründung, warum nicht wie bei den Zwillingen beide Abstände gleich sein können.. Finde einige Primzahldrillinge und -vierlinge. 4. Wie viele Dezimalstellen hat die größte derzeit bekannte Primzahl? 5. Suche nach Anwendungen der Primzahlen in der Verschlüsselung von Daten. Notiere Stichpunkte. Zwillinge gibt es nicht nur bei den Menschen, sondern auch bei Zahlen Pixelio
S 9 M 8 Zu groß für den Taschenrechner Fakultäten Eine Mathematiklehrerin kommt in ihre neue Klasse 8 Schülerinnen und Schüler und verspricht gleich eine Belohnung: Wenn jede mögliche Sitzordnung es stehen genau 8 Stühle für die Kinder zur Verfügung eine Unterrichtsstunde lang ausprobiert worden ist, gibt es eine Stunde, in der nur gespielt wird. Die Klasse jubelt, nur Marie grübelt. Das dauert ja ewig!, gibt sie zu bedenken, und schon sind alle beim Thema der Stunde. Um die Anzahl der möglichen Sitzordnungen (Schoß-Sitzen ist ausgeschlossen!) zu ermitteln, kann man in Gedanken die Schulkinder der Reihe nach in das Zimmer kommen und auswählen lassen: Der erste hat 8 Möglichkeiten, sich hinzusetzen, der zweite (unabhängig davon, wo der erste sitzt) in jedem Fall 7 Alternativen, die beiden zusammen also 8 7 = 756 verschiedene Sitzordnungen. Das sind schon deutlich mehr als Mathematikstunden je Schuljahr. Der dritte Schüler indet 6 freie Stühle vor usw., der letzte muss wie immer nehmen, was übrig bleibt. Insgesamt gibt es also 8 7 6... 1= 04 888 44 61171 860 501504 000 000 mögliche Sitzordnungen. Keine Lehrkraft dieser Welt wird in ihrem Leben so viele Mathematikstunden geben können, geschweige denn in derselben Klasse! Solche Produkte mit immer um 1 kleiner werdenden Faktoren kommen beim Zählen von Möglichkeiten oft vor. Die Mathematiker haben eine Kurzschreibweise dafür eingeführt: 8 7 6... 1= 8! Gesprochen wird das Ergebnis mit dem Ausrufezeichen 8 Fakultät. Wie du siehst, werden die Fakultäten schnell sehr groß, und bald ist auch der Taschenrechner damit überfordert. Wir können aber mithilfe der Regel, dass eine Zahl durch 10 teilbar ist, wenn sie durch und durch 5 teilbar ist, wenigstens ganz ohne Taschenrechner die Anzahl der Endnullen von 8! bestimmen: Für jede Endnull muss die Zahl einmal durch 10, also durch und durch 5, teilbar sein. Jede zweite Zahl eines solchen Produkts ist gerade und damit durch teilbar, das sind sicher mehr als die Zahlen, die durch 5 teilbar sind. Also reicht es aus, nur diejenigen Zahlen zu betrachten, die durch 5 teilbar sind. Bei 8! sind die Zahlen 5, 10, 15, 0 durch 5 und 5 sogar zweimal durch 5 teilbar, also kommt in 8! sechsmal der Faktor 5 vor, wenn man jeden Faktor weiter in Primzahlen zerlegt. Also hat 8! sechs Endnullen (siehe oben)! Aufgaben Wie viele Endnullen haben die folgenden Zahlen: 1. 5!. 100!. 98! Bei Fakultäten verliert selbst der Taschenrechner den Verstand. Pixelio
S 1 Lösungen und W Tipps zum Einsatz M 1 Das Märchen von König Raffzahn und seinen Reitern 1. Das Pfostendiagramm für Pferde, die 4 Jahre alt sind: Das Pfostendiagramm für Pferde, die 5 Jahre alt sind:. Vergleicht man die fünf Sprungbahnen der Pferde, fällt auf, dass einige Zahlen mehrfach auftreten. Das Pfostendiagramm für die 1-jährigen Pferde: Das Pfostendiagramm für die -jährigen Pferde: Das Pfostendiagramm für die -jährigen Pferde: Das Pfostendiagramm für die 4-jährigen Pferde: Das Pfostendiagramm für die 5-jährigen Pferde: Beobachtungen: Es gibt Zahlen, die öfters auftreten als andere. Es gibt Zahlen, die nur auf der ersten Strecke oder auf der Bahn des jeweils so alten Pferdes auftreten. Dabei handelt es sich um Primzahlen (bis auf die Zahl 1, die per Deinition keine Primzahl ist). Häuig vorkommende Zahlen sind 8, 6 und 4.