Eyler, Numeriche Mahemaik Kapiel 7 7 aplace-tranformaion Moivaion Da öen linearer Differenialgleichungen i nich immer eine einfache Aufgabe. E gib viele öunganäze, die vor allem auch in der numerichen Inegraion bechrieben werden. Für die Elekro- und egelungechnik, aber auch im Machinenbau, ha ich aber die aplace-tranformaion, die wir im Folgenden mi PT abkürzen, in der Praxi al große Vereinfachung bewähr. Dabei geh man im Weenlichen in drei Schrien vor:. Die Differenialgleichung wird mi Hilfe der aplace-tranformaion in eine algebraiche Gleichung umgewandel.. öung dieer algebraichen Gleichung i die Bildfunkion der geuchen öung. 3. Im drien Schri wird eine ückranformaion durchgeführ, deren Ergebni die geuche öung der Differenialgleichung i. Hör ich komplizier an, i aber in der Praxi ein wunderbar einfacher Mechanimu zur öung dynamicher Prozee. Diee Auarbeiung baier auf der Grundlage de Kapiel 7 unere Buche Kompendium Numeriche Mahemaik [] und i den Bedürfnien der Sudierenden de Machinenbau der FH Müner, Abeilung Seinfur, SoSe angepa worden. 7. Einleiung Wir beginnen mi einem Beipiel au der Phyik bzw. Elekroechnik. Erinnern wir un: In einem Schalkrei i die Summe der Teilpannungen gleich der Quellenpannung. Angewende auf den elekrichen Schwingkrei heiß da: u() uc() a = + + C Bild 7..: Elekricher Schwingkrei Dabei gil: () = I() C() = Id C () = d di() In der Phyik wird die Ableiung nach der Zei mei mi einem Punk bezeichne, wehalb wir chreiben können: di() () = = & I() d Faen wir zuammen, o erhalen wir: Sand 3.5.
Eyler, Numeriche Mahemaik Kapiel 7 a = I() + & I() + Id C Diee Aufgabe i nich rivial löbar. m hier weierzukommen, leien wir nach der Zei ab und erhalen: da = & I() + && I() + I() d C Wollen wir hierau die Sromärke I() berechnen, müen wir eine lineare Differenialgleichung zweier Ordnung löen. Al geeignee mahemaiche Hilfmiel biee ich die aplace-tranformaion an. 7. Definiion der aplace-tranformaion Wie au dem obigen Bild erichlich, i e innvoll, olche Funkionen zu berachen, die er von einem Zeipunk = an einen von null verchiedenen Wer annehmen. Derarige zeiabhängige Funkionen enprechen in der Elekroechnik einem wie auch immer geareen Einchalvorgang, im Machinenbau einem Syem- oder Machinenar. Da die aplace-tranformaion ich ideal zur Bechreibung dynamicher Syeme egal welcher Herkunf eigne, operieren wir im Folgenden mi Funkionen f (). Dieer ordnen wir durch folgende Vorchrif eine komplexe Funkion zu, indem wir f () mi - e, j,, =d+ wî d wî muliplizieren und dann darüber inegrieren: 7.. Definiion aplace-tranformaion (PT): Gegeben ei eine Funkion: f () :, wobei gil: f () = für <. Die Funkion () : definier durch + () : = f ()exp - d, =d+ j wî, d, wî heiß aplace-tranformiere von f (), da enprechende Inegral aplace-inegral. Die Inegraion erfolg über die Variable mi al komplexem Parameer. I die Inegraion er einmal durchgeführ, bleib al Variable nur noch die komplexe Größe übrig. Da i der Grund, warum die aplace-tranformiere die Variable enhäl. Man bezeichne f () al Originalfunkion (oder auch Oberfunkion) und enprechend () al Bildfunkion (oder nerfunkion). Eine Originalfunkion f () heiß aplace-ranformierbar, wenn da zugehörige aplace- Inegral exiier. Den Zuammenhang zwichen den beiden Funkionen kann ymbolich dargeell werden durch: { f ()} () = oder auch f () () Da zweie Symbol finden Sie auch in der ieraur und i daelbe Symbol wie bei der Fourier-Tranformaion. Benuz man alo da zweie Symbol, mu immer klar ein, um welche Ar Tranformaion e ich im konkreen Fall handel. Da wir in unerem Buch beide Tran- Sand 3.5.
Eyler, Numeriche Mahemaik Kapiel 7 formaionen behandeln, benuzen wir im Zuammenhang mi der aplace-tranformaion () = f (). konequen nur die Schreibweie { } { } ) (Hinwei: Beachen Sie bie, Prof. Göllmann benuz in einem Skrip die Noaion f () f () (. Da dor auf die Fourier-Tranformaion nich eingegangen wird, ind Verwechelungen augechloen. Der Zuaz () mach deulich, da e ich um die Bildfunkion handel, die wir über () kennlich machen.) Mi der Anwendung der aplace-tranformaion wird ein differenielle Problem durch Tranformaion in ein inegrale überführ. Bei der aplace-tranformaion exiier eine ückranformaionformel, die via öung im Bildbereich die öung im Originalbereich icherell. Wa zunäch viel komplizierer auieh, führ lezendlich zu einer Vereinfachung. Bevor wir zu den eren Beipielen der aplace-tranformaion kommen müen wir eine im Folgenden bedeuende Funkion einführen. 7.. Definiion Sprungfunkion (auch Heaviide -Funkion genann): Die Sprungfunkion i wie folg definier: ì < () : =í î ³ An Hand der folgenden Beipiele wollen wir da Vorgehen bei der aplace-tranformaion erläuern. Beipiel : Berechnung der aplace-tranformaion der Sprungfunkion (): Wir ezen die Sprungfunkion in die Definiion 7.. ein und erhalen: + l æ ö () = exp( - ) d= lim exp( - ) d= limç - ( exp( -l)- exp() ) l l è ø Alo gil: {} = ( lim exp exp() ) ( ) =- -l - =- - = l Beipiel : Berechnung der aplace-tranformaion der Koinu-Funkion: ì < f () : =í îco ³ + () = (co ) exp - d au Definiion i: Au Formelammlung [3], S., erhalen wir da paende Grundinegral: ax ax e e co bx dx= ( a co bx+ bin bx) a + b Oliver Heaviide (85-95) bri. Mahemaiker und Phyiker Sand 3.5. 3
Eyler, Numeriche Mahemaik Kapiel 7 + Mi a=-, Î und b= erhalen wir: Alo gil: + - é e ù () = (co ) exp( - ) d= ê (- co + in ) + ú ë û - - = élim( e (- co + in ) )- e (- co+ in ) ù ë û + = - - + = ( ( ) ) + + { co } = + Zum Nachchlagen der aplace-tranformaionen von den wichigen Funkionen gib e Tabellen (z. B. [], [3]). Wir verzichen hier auf eine eigene Tabelle, da ie ohnehin nich volländig ein kann. 7.3 echenregeln der aplace-tranformaion Ein weenlicher Grund für die Einführung der aplace-tranformaion (PT) i, wie chon zuvor geag, da öen von Differenialgleichungen. Dehalb i e au Anwenderich inereaner, ich mi einigen beonderen, aber prakichen Eigenchafen der aplace- Tranformaion beipielhaf aueinander zu ezen und nich zu ief in die mahemaiche Theorie einzueigen. Zu dieen Eigenchafen gehören beimme echenregeln. Die Beweie all dieer Säze werden wir hier nur in Aunahmefällen führen; ie finden ich u. a. in der angegebenen ieraur bzw. ind durch Einezen in die Definiion der aplace-tranformaion nachzuvollziehen. 7.3. Saz ineariä der PT: Gegeben eien Funkionen: f (),g() :, wobei gil: f () = g() = für <. Ferner eien a,bî. Dann gil: a f () + b g() = a f () + b g() { } { } { } Bewei: { + } = ( + ) (- ) a f () b g() a f () b g() exp d + + ( ) ( ) { } { } = a f () exp - + b g() exp - d + + = a f () exp - d+ b g() exp - d = a f () + b g() q.e.d. 7.3. Saz Ähnlichkei der PT: Gegeben ei eine Funkion: f () :, wobei gil: f () = für <. Ferner eien a Î,a>. Dann gil: Sand 3.5. 4
Eyler, Numeriche Mahemaik Kapiel 7 { f (a)} æ ö = ç a è aø 7.3.3 Saz Verchiebung der PT nach rech: Gegeben ei eine Funkion: f () :, wobei gil: f () = für <. Ferner eien a Î,a> und () die Sprungfunkion au Definiion 7... Dann gil: f (- a) (- a) = exp( - a ) f () { } { } 7.3.4 Saz Verchiebung der PT nach link: Gegeben ei eine Funkion: f () :, wobei gil: f () = für <. Ferner eien a Î,a> und () die Sprungfunkion au Definiion 7... Dann gil: a { f ( a) ()} exp(a ) æ ö + = ç { f ()}- f () exp( -)d è ø 7.3.5 Saz Dämpfungaz der PT: Gegeben ei eine Funkion: f () :, wobei gil: f () = für <. Ferner eien a Î,a>. Dann gil: exp( - a) f () = + a { } Die Frage i nun, wie ieh die aplace-tranformiere der Ableiung von f () au? Dazu uchen wir un eine Funkion: f () :, mi f () = für <. au Definiion 7.. gil: + { } = (- ) f () f ()exp d Diee Inegral berechnen wir mi parieller Inegraion gemäß Hilfaz.3. und erhalen: { } = (- ) - - (- ) f () exp f () ( ) f () exp d { } = lim exp - f ()- exp - f () + f () { } = - f () + f () = - f () Dami haben wir Teil a) de folgenden Saze bewieen: 7.3.6 Saz Ableiung der Originalfunkion der PT: Gegeben ei eine Funkion: f () :, wobei gil: f () = für <. Dann gil: f () = - f () Allgemein: a) { } b) { } + f () = - f ()- f () n (n) n n - i (i - ) c) { } å f () = - f () i= Sand 3.5. 5
Eyler, Numeriche Mahemaik Kapiel 7 Hier ieh man, da man Anfangwere der Funkion und ihrer Ableiungen für die Zei = kennen mu, um die aplace-tranformiere von Ableiungen der Originalfunkion zu berechnen. Die Beweie zu b) und c) ergeben ich kanonich durch Einezen und Aurechnen. Al näche inereier un die Ableiung der Bildfunkion. 7.3.7 Saz Ableiung der Bildfunkion der PT: Gegeben ei eine Funkion: f () :, wobei gil: f () = für <. Dann gil: n(n) n ( ) = {(-) f ()} Auch hier ergib ich der Bewei kanonich durch Einezen und Aurechnen. Ebenfall von Ineree i die aplace-tranformiere de Inegral über die Originalfunkion, der wir un al näche widmen. 7.3.8 Saz Inegraion der Originalfunkion der PT: Gegeben ei eine Funkion: f () :, wobei gil: f () = für <. Dann gil: ì ü íf d ý= { f ()} = ( ) î þ Hierzu pa ein chöne Anwendungbeipiel: Berechne { in() } mi Hilfe von { co() } = + Mi dem Inegralaz erhalen wir: ì ü { in() } = ícod ý= ( co() ) = = î + + þ ogich, da un nun auch die aplace-tranformiere de Inegral über der Bildfunkion inereier: 7.3.9 Saz Inegraion der Bildfunkion der PT: Gegeben ei eine Funkion: f () :, wobei gil: f () = für <. Dann gil: ì ü d= í f () ý î þ 7.3. Grenzweraz der PT: Gegeben ei eine Funkion: f () :, wobei gil: f () = für <. Wenn die Grenzwere limf () und limf () exiieren, dann gil: f () = limf () = lim () Anfangwer (recheiiger Grenzwer "f ( + )" ) f ( ) = limf () = lim () Endwer Sand 3.5. 6
Eyler, Numeriche Mahemaik Kapiel 7 7.4 Anwendungen der aplace-tranformaion Al Überblick zur Arbeiweie mi der aplace-tranformaion dien folgende Überich: Aufgabenellung Projekion Problemellung im Originalbereich f ()=? Þ aplace- Tranformaion f () { } Þ Aufgabenellung im Bildbereich ß öunguche ß öungfunkion Ü ückranformaion Ü öungfunkion f () () Bild 7.4.: Prinzip der aplace-tranformaion Der chwierige Teil bei dieer Vorgehenweie i immer die ückranformaion. Hilfreich ind dabei Tranformaionabellen. Einige Were haben wir ja hier chon verwende. Beipiel: Berechnung eine vereinfachen Schwingkreie: Wir wollen da Beipiel au der Einleiung wieder aufnehmen, laen aber den Ohmchen Widerand au der Berechnung rau. Aufgabenellung: Bild 7.6.3: Vereinfacher elekricher Schwingkrei Der elekriche Schwingkrei enhäl einen Kondenaor mi Kapaziä C und eine Spule mi Indukiviä in eihenchalung. Zum Zeipunk = wird von außen eine konane Spannung u angeleg. Der Schwingkrei ei zu dieem Zeipunk energielo. Zu berechnen i der zeiliche Verlauf der Sromärke im Zeiinervall ³ mi Hilfe der aplace-tranformaion. Sand 3.5. 7
Eyler, Numeriche Mahemaik Kapiel 7 öung. Phyik: In der Phyik [4] haben wir gelern, da ich in Spulen und Kondenaoren die Sröme nich chlagarig, ondern zeiabhängig ändern. Mi der Machenregel folg: u + u - u = () C Für die Spannung u an der Spule gil: di() u () = = & i() d Normalerweie wird die zeiliche Ableiung de Srom mi einem Punk über dem i gekennzeichne. Wegen der chlechen Erkennbarkei chreiben wir i'() : u () = i () In gleicher Weie gil für den Kondenaor: q() = C u C() und dq() i() = =& q() d Þ q() = i( )d Þ - q() u C() = = id C C - Bi zum Einchalpunk = i der Schwingkrei energielo; da bedeue, da die Kondenaorladung gleich null i q() = für, ebeno wie die Sromärke i() = für. Dehalb gil dann auch für die Spannung am Kondenaor: u C() = id id id C + C = C - 443 =. Aufellen der Differenialgleichung: Einezen der phyikalichen Gegebenheien in Gleichung () ergib: Þ i () + id = u C Þ () u i () + id = C Dami i au () eine ogenanne Inegro-Differenialgleichung geworden, die wir mi der aplace-tranformaion löen wollen. 3. aplace-tranformaion: E gil: Sand 3.5. 8
Eyler, Numeriche Mahemaik Kapiel 7 Definiion der PT: { i() } = I() Gem. Korrepondenzabelle (z. B. [3]): u u u ì í ü ý = {} = î þ i () = I - i() Saz 7.3.6: { } ì ü = = Saz 7.3.9: i( )d { i() } I( ) í ý î þ Die ezen wir in () ein, berückichigen i() =, und erhalen die PT: I( ) + I( ) = u C Mi der Thomonchen Schwingungformel ([4], Kap. 6.6): w = Þ C u I( ) +w I( ) = (3) 4. öung im Bildbereich: Gleichung (3) wird nach I() aufgelö: u Þ I( ) +w I( ) = u Þ ( +w ) I( ) = u Þ I( ) = +w (4) 5. ückranformaion: Au Korrepondenzabellen (z. B. [], [3]) ennehmen wir: ì in(a) ü = í ý= { in(a) }, wobei hier gil: a=w + a î a þ a Þ u u C i() = in w = C in w = u in w w C Sezen wir zur Abkürzung î : = u, o erhalen wir die öung: i() = ˆi in w (5) Þ = und dem Schei- p Die ich al periodiche Wechelromchwingung mi der Frequenz C elwer = Srompize î : = u ergib. f : w Sand 3.5. 9
Eyler, Numeriche Mahemaik Kapiel 7 Beim öen von Differenialgleichungen reen aber häufig gebrochen raionale Funkionen al öungen im Bildbereich auf. Dann mu enweder mi Hilfe der Parialbruchzerlegung die Funkion vereinfach werden, bevor die Tabellen zur aplace-tranformaion angewende werden können, oder man kann die Falungeigenchaf nuzen. Dieem Thema wollen wir un im nächen Kapiel widmen und da Gelerne anchließend an zwei Anwendungbeipielen verdeulichen. 7.5 Falung von Funkionen Da Thema Falung von Funkionen piel u. a. in der Nachrichenechnik, aber auch im Machinenbau eine große olle, wo wir e ja auch häufig mi dynamichen Syemen zu un haben. Die Falung i ein geeignee Modell zur Bechreibung zahlreicher phyikalicher Vorgänge, vor allem bei zeiinvarianen linearen Überragungyemen, ogenannen TI -Syemen. Da Problem ell ich bei der ückranformaion einer Bildfunkion, die al Produk zweier Bildfunkionen darellbar i: () = () () exiieren und bekann ind. Nun wäre ja chön, wenn die Originalfunk- - Wir gehen davon au, da die Originalfunkionen f () : = { () } - f () : = { () } - ion von f () = { () } und ich auch wieder al Produk von Originalfunkionen darellen lä. Da aber i gerade nich der Fall. Die Originalfunkion eine olchen Produk i eine - f () = () und Inegralkombinaion der beiden Originalfunkionen { } - = { () } und ieh wie folg au: f () f () = f ( ) f (-) d Ein olche Inegral nennen Mahemaiker Falunginegral. Den Bewei hierzu zu führen, führe jez zu wei und i für den Ingenieur auch zweirangig. 7.5. Definiion Falung: Gegeben eien Funkionen: f (),g() :, wobei gil: f () = g() = für <. Da Falungproduk zweier Funkionen i definier durch: f ()*g() : = f ( ) g( -) d Bemerkung: Da Falungproduk i kommuaiv, aoziaiv und diribuiv (ohne Bewei). Au dem oben Geagen lä ich jez auch leich der Falungaz formulieren: 7.5. Saz Falungaz für PT: Gegeben eien Funkionen: f (),g() :, wobei gil: f () = g() = für <. Dann gil: f ()*g() = f () g() (Û() = () () ) { } { } { } TI: linear, ime-invarian Sand 3.5.
Eyler, Numeriche Mahemaik Kapiel 7 Dami wien wir grundäzlich er einmal genug über Falungen. Mi dieem Wien wollen wir jez noch zwei Anwendungbeipiele rechnen, ein au der E-Technik und ein au der Mechanik. 7.6 Anwendungbeipiele Beipiel : Beginnen wir mi dem Beipiel au der Mechanik, angelehn an ein Beipiel au []: Eine Anenne (Federab) mi der Federkonanen c und der Schwingungmae m befinde ich fe veranker auf dem Dach eine Mebue. Dieer bilde ein idealiiere reibungfreie bewegliche Elemen (Fahrwerk). Bild 7.6.: Schwingende Anenne auf gleichmäßig bechleunigem Fahrzeug Auf da Fahrzeug wirke eine konane Bechleunigung a in der angezeigen ichung. öung:. Phyik Nach dem Newonchen Grundgeeze der Mechanik Kraf = Mae x Bechleunigung müen wir un die Einzelkomponenen, die auf da Geamyem wirken, anchauen. nere Anenne habe die Mae m, idealerweie konzenrier auf den Maenpunk an der Anennenpize, in Gang geez mi der Bechleunigung a de Fahrzeug. Die Kraf, die auf die Anenne wirk, i alo einmal durch die Fahrzeugbewegung beimm: F = m a. F Andererei berechne ich die ückellkraf der Anenne nach dem Hooke chen Geez und beräg =- cx, c = Federkonane. FA Die Mae de Fahrzeug laen wir mal außen vor und konzenrieren un nur auf da Anennenyem. Beide Kräfe ind gleichgeriche und werden für die Berechnung de Geamyem addier. Wir erhalen alo einerei: F= F + F = ma- cx F Für da Weg-Zei-Geez x= x() enprich die. Ableiung nach x der Bechleunigung x&& de Geamyem. Andererei i die Kraf, die auf da Geamyem wirk, F= mx && A Sand 3.5.
Eyler, Numeriche Mahemaik Kapiel 7. Aufellen der Differenialgleichung Da chwingungfähige Syem genüg alo folgender linearen Differenialgleichung: mx && = ma- cx () Mi c m = : w erhalen wir die angenehme Darellung: && x+w x= a () E handel ich alo um eine lineare Differenialgleichung. Ordnung mi konanen Koeffizienen. Zur öung von Differenialgleichungen brauch man immer Anfangwere und zwar o viele, wie der Grad der höchen Ableiung i. Diee werden un i. A. durch da Syem vorgegeben. In unerem Beipiel liegen un folgende Anfangwere vor: Für = folg x() = und v() = x() & = Mi dieen Anfangweren veruchen wir, die geelle Differenialgleichung mihilfe der aplace-tranformaion zu löen. 3. aplace-tranformaion E gil: Definiion der PT: { } x() = () = X() Gem. Korrepondenzabelle (z. B. [3]): a = && x() + w x() { } { } { } { a} {&& x() } { x() } {} { && } { } Þ = +w Þ a = x() +w x() Mi Beipiel (Sprungfunkion) folg: {} = Mi Saz 7.3.6 b) folg: && x() = () - x() - x() & { } {&& } x() = X -x() & - x() Berückichigen wir die Anfangwere x() = und x() & =, dann erhalen wir die PT: && x() = X { } Die ezen wir in () ein, Þ a = X +w X {} Þ a = X +w X a Þ = ( +w ) X( ) a Þ X( ) = ( +w ) (3) Sand 3.5.
Eyler, Numeriche Mahemaik Kapiel 7 4. öung im Bildbereich: Schauen wir un (3) genauer an und berückichigen wir, wa wir gerade gelern haben, dann biee ich hier zur öung der Saz 7.5. an: a X( ) = = { f ()*g()} ( +w ) { 443 g() 4. ückranformaion: f () { f ()} { } Wie ehen nun { } und { g() } () a = a = a {} und in(a) = ì í ü ý = + a î a þ a (7) { in(a) } Mi a=w folg: nd ìin( w ) ü í ý ( +w ) î w þ w in( w) Þ f () = w { f ()} = = = { in( w ) } a { g() } = = a = a {} Þ g() = a = a au? Au der Korrepondenzabelle [] ennehmen wir: Durch Einezen in Saz 7.5. erhalen wir: x() = f ()*g() = f ( ) g( -) d æ in( w) a = ç a d= in( w)d w w è a é cow ù a ö ø ( co ) = ê- ú = - w + w ë w û w ma = - co w c Wir erhalen eine harmoniche Schwingung mi Scheielwer ma c und Nullellen bei np w. Bild 7.6.: Schwingungdiagramm einer gleichmäßig bechleunigen Anenne Sand 3.5. 3
Eyler, Numeriche Mahemaik Kapiel 7 Beipiel : Al leze Beipiel oll wieder eine Anwendung au der E-Technik herhalen. Wir berachen eine elekriche Schalung mi Ohmchem und kapaziivem Widerand: C Bild 7.6.3: Vereinfacher elekricher Schwingkrei Die Machenregel ergib folgende Gleichung: mi = + (7.6.) C C Eingangpannung Spannung am Ohmchen Widerand Spannung am kapaziiven Widerand Au der Phyik wien wir: am Ohmchen Widerand gil: () = I() am kapaziiven Widerand gil: dq dc I() = C C C d = d = & Au dieen beiden Gleichungen ergib ich: () = I() = C & () C () () C = & Þ C Þ Da C() = d C C eine Konane i, ezen wir K : =. C Wenn wir eine inuförmige Eingangpannung = uˆ in(p f) = uˆ in( w ) anlegen, erhalen wir folgende Gleichung: ˆ (7.6.) () + K d = u in( w) Auf diee Gleichung wenden wir die aplace-tranformaion an. Dazu müen wir die reche Seie der Gleichung o verändern (erweiern), da wir ihre Bildfunkion in einer Tranformaionabelle (z. B. [], [3]) finden können: Sand 3.5. 4
Eyler, Numeriche Mahemaik Kapiel 7 in( w) ˆ () + K d = u w w Mi () : = () () ergib die aplace-tranformaion: () + K () uˆ = w (7.6.3) +w wobei wir für die Tranformaion de Inegral den Saz 7.3.8 angewende haben und für die reche Seie der Gleichung den Wer in einer Korrepondenzabelle für die aplace- Tranformaion nachgechau haben. Durch mformung erhalen wir: uˆ () æ ö w ç + K = è ø +w Þ û w () = = uˆ w (7.6.4) +w + K +w + K Für diee Ar der Bildfunkion finde ich nich Enprechende in der Korrepondenzabelle für die aplace-tranformaion. Üblicherweie würde man hier zunäch eine Parialbruchzerlegung anezen. Da ell ich aber die Frage, ob mi Anwendung eine der Säze au Kapiel 7.5 die öung nich einfacher zu finden i. Wenn wir die Gleichung 7.6.4 () = uˆ w +w + K berachen, fäll auf, da () ein Produk von Funkionen i. Da veruchen wir eine öung mi dem Falungaz 7.5.. Zuvor müen wir die Gleichung ewa umformen: Wir definieren: () : = und () : = + K +w Dami gil dann: () = u ˆ w () () Von dieen beiden Funkionen können wir die ückranformaionen in einer Tabelle nachchauen: () = { exp( K) } + K = - und () = = co( w) ( +w ) { } Dami gil dann: () = u ˆ w () () = uˆ w exp( - K) co( w) { } { } Für die ückranformaion gil nun mi dem Falungaz 7.5.: Sand 3.5. 5
Eyler, Numeriche Mahemaik Kapiel 7 Þ { exp( - K) } { co( w ) } = { exp( -K)*co( w) } ˆ () = uˆ w exp( -K)*co( w ) = u w exp( -K(- )) co( w ) d = û w exp( - K) exp(k ) co( w ) d Mi der Inegraionformel wie in Beipiel au Kapiel 7. erhalen wir da paende Grundinegral: ax ax e e co bx dx= ( a co bx+ bin bx) a + b Mi a : = K und b :=w erhalen wir: exp(k ) ˆ é () = u w exp( - K) ê K cow +winw ë K +w ( ( C) ) ( ) é exp(k) = û w exp( - K) ê ( K cow +winw) ë K +w exp(k ) ù - ( K co w +w in w ) K +w ú û é exp(k) ù = û w exp( - K) ê ( K cow +winw) - ( K +w ) ë K +w K +w ú û = û w exp( -K) éexp(k) ( K cow +winw) - Kù K +w ë û = û w é ( K cow +winw) - K exp( -K) ù K +w ë û Ergebni: û w C æ - ö C () = cow-w C inw-e ç +w è ø Mi w C ( +w ( C) ) = C und w C= C erhalen wir: () = uˆ C cow- uˆ C C inw- uˆ C e - Übunghalber können Sie ja mal den öungweg mi der konvenionellen, aber weniger eleganen Parialbruchzerlegung veruchen. Wie nich ander zu erwaren, wird ie zum gleichen Ergebni führen. Für einen Ingenieur führen, wie chon häufig geehen, mei mehrere Wege zum Ziel. C ù ú û Sand 3.5. 6
Eyler, Numeriche Mahemaik Kapiel 7 7.7 Nüzliche Nebenproduk der PT In den vergangenen Kapieln haben wir die mahemaiche Herleiung, einige echenregeln und die ingenieurmäßige Anwendung der PT kennengelern. Die PT ha aber noch einen ehr nüzlichen Nebeneffek: Wenn Sie ich die Definiion der PT au 7. noch mal vor Augen führen, dann ehen Sie, da Sie mi der PT auch leich Inegrale der Form: + - F() f () e d = durch Anwendung der Tranformaionabelle für PT löen können. Beipiel : + -p Geuch i F() = (in ) e d= { f ()} Au Formelammlung [], Formel (7), und Kap. 7.6, Bpl., wien wir: in(a) ì í ü ý = { in(a) } = î a þ a + a Mi a= und =p folg { in() } = p + Þ F() = { in() } = p + Beipiel : + Geuch i -p G() = (co ) e d= { g() } Au Formelammlung [] ennehmen wir Formel (8): { co a} = + a ( + 4a ) Mi a= und =p folg p + { co } = p ( p + 4) { co } p + ( 4) Þ G() = = p p + Da gil naürlich nich nur für die einfache Beipiel, ondern auch für alle echenregeln, die wir bei der aplace-tranformaion kennengelern haben, einchließlich der Falung. Somi wird die PT für den Ingenieur auch zu einem ehr nüzlichen Werkzeug bei der öung von Inegraionproblemen! Sand 3.5. 7
Eyler, Numeriche Mahemaik Kapiel 7 ieraur: [] Bernd Eyler, Dorohee Eyler, Kompendium Numeriche Mahemaik, Verlag New & Media, 3. überarbeiee Auflage, Berlin, ISBN 978-3-93657-9-4, Kap. 7 [] Papula, Mahemaik für Ingenieure und Naurwienchafler, Band,. Auflage 8, Friedrich Vieweg & Sohn Verlaggeellchaf Braunchweig, ISBN 978-3- 8348-34-7, Kap. 5..3 [3] Zypkin, Alexander G., Zypkin, Georgi G.: Kleine Formelammlung Mahemaik: Algebra Geomerie Analyi, Fachbuchverlag eipzig, Köln 99, ISBN 3-343-84- [4] Bieneck, Wolfgang: Elekro T - Grundlagen der Elekroechnik, Holland+Joenhan Verlag Sugar,, ISBN 3-778-49- Sand 3.5. 8