Bohner Ihlenburg Ott Mathematik für Berufsfachschulen Merkur M Verlag Rinteln 3
Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Praxis Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap Die Verfasser: Kurt Bohner Oberstudienrat Dipl.-Phys. Dr. Peter Ihlenburg Oberstudienrat Roland Ott Oberstudienrat Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 52a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Fast alle in diesem Buch erwähnten Hard- und Softwarebezeichnungen sind eingetragene Warenzeichen. * * * * * Bildnachweise Seite 48 unpict - Fotolia.com, Seite 52 K.-U. - Fotolia.com, Seite 74 Rido - Fotolia.com, Seite 89 pizuttipics - Fotolia.com, Seite 90 bluedesign - Fotolia.com, Seite 95 Andres Rodriguez - Fotolia.com, Seite 98 Marco Mayer - Fotolia.com, Seite 105 kiwi1902 - Fotolia.com, Seite 106 Bäckers Junge - Fotolia.com, Seite 114 smilingsunray - Fotolia.com Es war leider nicht möglich, alle Rechteinhaber ausfindig zu machen. Berechtigte Ansprüche werden selbstverständlich nach den üblichen Konditionen abgegolten. 3. Auflage 2013 2005 by MERKUR VERLAG RINTELN Gesamtherstellung: MERKUR VERLAG RINTELN Hutkap GmbH & Co. KG, 31735 Rinteln E-Mail: info@merkur-verlag.de Internet: www.merkur-verlag.de ISBN 3-8120-0119-5 4
Vorwort Vorwort Der vorliegende Band ist ein Arbeitsbuch für den Mathematikunterricht in den Berufsfachschulen aller Schultypen. Aufgrund des neuen Lehrplans wurden vor allem neue Unterrichtsmethoden berücksichtigt. So soll die Mathematik auch spielerisch erlernt werden, z. B. durch Domino-Spiele, Zahlenmauern, Spielkarten, Gleichungsparkett usw. Die Schüler in den Berufsfachschulen haben unterschiedliche Vorkenntnisse. Um die Schüler dennoch möglichst auf gleiches Wissensniveau zu bringen und damit gleiche Ausgangsbedingungen für den Mathematikunterricht zu schaffen, beginnen die Kapitel mit anschaulichen, einfachen Beispielen. Die Einführungsbeispiele sind oft Beispiele aus dem Alltag, sodass ein Bezug zur Praxis hergestellt wird. Der Stoff wird danach schrittweise anhand von weiteren Musterbeispielen erarbeitet. Dabei legen die Autoren großen Wert auf die Verknüpfung von Anschaulichkeit und sachgerechter mathematischer Darstellung. Die übersichtliche Präsentation und die methodische Aufarbeitung bieten dem Schüler die Möglichkeit, Unterrichtsinhalte selbstständig zu erschließen bzw. sich anzueignen. Der Lernerfolg wird positiv beeinflusst. Jede Lerneinheit schließt mit einer ausreichenden Anzahl von Aufgaben ab. Diese sind zur Ergebnissicherung und Übung gedacht und auch als Hausaufgaben geeignet. Die Aufgaben eignen sich sowohl zum Einüben des Stoffes als auch zur Einarbeitung neuer mathematischer Probleme. Am Ende eines jeden Kapitels findet der Schüler eine Zusammenfassung, die den Stoff in übersichtlicher Darstellung auf das Wesentliche konzentriert. Aufgaben mit unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad, die es dem Schüler ermöglichen, den Stoff zu festigen und zu vertiefen, beenden jedes Kapitel. Das Buch schließt mit einem Kapitel Prüfungsvorbereitung und den Wahlthemen Funktionen und Strahlensätze ab. Um dem Schüler eine schnelle Orientierung über die Inhalte zu ermöglichen, wurden Farben als Gestaltungsmittel eingesetzt. Aufgabenbeispiele und Aufgaben sind grau hinterlegt. Definitionen, Festlegungen, Merksätze und mathematisch wichtige Grundlagen sind rot hinterlegt. Bemerkungen, Hinweise und Beachtenswertes sind blau hinterlegt. Hinweise und Anregungen, die zur Verbesserung beitragen, werden dankbar aufgegriffen. Die Verfasser 5
I. Terme und Gleichungen... 11 1 Mengen... 11 1.1 Begriff der Menge... 11 1.2 Schreibweise für Mengen... 11 1.3 Zahlenmengen... 12 1.3.1 Die natürlichen Zahlen... 12 1.3.2 Die ganzen Zahlen... 13 1.3.3 Die rationalen Zahlen... 14 1.3.4 Die reellen Zahlen... 15 2 Terme... 17 2.1 Einführung... 17 2.2 Berechnung von Termen... 19 2.2.1 Addition... 19 2.2.2 Subtraktion... 21 2.2.3 Auflösen von Klammern bei Addition und Subtraktion... 23 2.2.4 Multiplikation... 26 2.2.5 Multiplikation von Summen... 28 2.2.6 Binomische Formeln... 31 2.2.7 Zerlegung von Summen in Faktoren... 34 2.2.8 Division... 36 2.2.9 Addition und Subtraktion von Brüchen...44 2.2.10 Multiplikation von Brüchen... 48 2.2.11 Division von Brüchen... 50 3 Potenzrechnung... 52 3.1 Definition der Potenz... 52 3.2 Zehnerpotenzen... 54 3.3 Addition und Subtraktion von Potenzen... 55 3.4 Multiplikation von Potenzen... 56 3.5 Division von Potenzen... 58 3.6 Potenzieren von Potenzen... 60 3.7 Potenzen mit negativen ganzen Hochzahlen... 61 7
4 Quadratwurzel... 66 4.1 Einführung... 66 4.2 Rechnen mit Quadratwurzeln... 68 4.2.1 Addition und Subtraktion... 68 4.2.2 Multiplikation und Division... 69 4.3 Wurzeln in Potenzschreibweise... 71 5 Gleichungen... 74 5.1 Einführung... 74 5.2 Lösen von Gleichungen... 76 5.3 Gleichungen mit einer Formvariablen... 82 5.4 Formelrechnen... 84 5.5 Anwendungsaufgaben... 85 5.5.1 Zahlenrätsel... 85 5.5.2 Verteilungsrechnung... 87 5.5.3 Prozentrechnung... 89 5.5.4 Zinsrechnung... 92 5.5.5 Mischungsrechnung... 98 5.5.6 Vermischte Aufgaben... 99 II. Geometrie... 103 1 Grundbegriffe... 104 1.1 Punkt, Gerade, Strecke, Kreis... 104 1.2 Koordinatensystem... 106 1.3 Längen... 108 1.4 Winkel und Winkelsumme... 109 1.5 Symmetrie... 112 2 Vielecke... 114 2.1 Rechteck und Quadrat... 114 2.2 Dreieck... 117 2.3 Rechtwinkliges Dreieck, Satz des Pythagoras... 119 2.4 Parallelogramm... 123 2.5 Trapez... 125 2.6 Drachen... 128 3 Flächeninhalt und Umfang eines Kreises... 130 4 Darstellung von Körpern... 134 8
5 Rauminhalt und Oberfläche... 139 5.1 Quader... 139 5.2 Prisma... 143 5.3 Zylinder... 145 5.4 Pyramide... 148 5.5 Kegel... 151 6 Sinus, Kosinus und Tangens... 154 6.1 Sinus... 154 6.2 Kosinus... 158 6.3 Tangens... 161 6.4 Anwendungen... 164 6.5 Vermischte Aufgaben... 168 III. Geraden... 171 1 Ursprungsgeraden... 172 2 Die Steigung einer Geraden... 179 3 Geraden mit der Gleichung y = mx + b... 182 4 Schnittpunkte von Gerade und Koordinatenachsen... 186 5 Aufstellen von Geradengleichungen... 190 5.1 Aufstellen von Geradengleichungen aus Punkt und Steigung... 190 5.2 Aufstellen von Geradengleichungen aus zwei Punkten... 193 6 Schnittpunkt von zwei Geraden... 197 7 Anwendungen von Geraden... 201 8 Lineare Gleichungssysteme... 207 8.1 Einführung... 207 8.2 Zeichnerische Lösung eines linearen Gleichungssystems... 209 8.3 Rechnerische Lösung eines linearen Gleichungssystems... 211 8.4 Anwendungen... 215 IV. Parabeln... 219 1 Normalparabel... 219 2 Parabel mit der Gleichung y = a x 2... 221 3 Parabel mit der Gleichung y = a x 2 + c... 223 4 Parabel mit der Gleichung y = (x d ) 2... 226 5 Parabel mit der Gleichung y = (x d ) 2 + e... 228 6 Parabel mit der Gleichung y = a(x d ) 2 + e... 230 7 Parabel mit der Gleichung y = a x 2 + bx + c... 232 9
8 Quadratische Gleichung... 233 8.1 Einführungsbeispiel... 233 8.2 Rechnerische Lösung einer quadratischen Gleichung... 234 8.3 Anwendungen... 242 9 Schnittpunkte einer Parabel mit den Koordinatenachsen... 245 10 Bestimmung des Scheitelpunktes... 252 11 Schnittpunkte von Parabel und Gerade... 260 12 Schnittpunkte von zwei Parabeln... 264 Prüfungsvorbereitung... 268 Wahlthema Funktionen... 275 Wahlthema Strahlensätze... 281 Anhang: Herleitung der a,b,c-formel... 285 Mathematische Zeichen... 286 Stichwortverzeichnis... 287 10