Numerische Simulation mit finiten Elementen

Institut für Numerische Mathematik und Optimierung Numerische Simulation mit finiten Elementen Antje Franke-Börner Übung im gleichnamigen Modul Hörerkreis: 2. MNC, 2. MGPHY, 4. BGIP, 6. BEC-II, 2. MGIN Sommersemester 2013

Inhalt I 1. Beispiel Wärmeleitung 1.1 Aufgabenstellung 1.2 Implementierung 1.3 Einflussmöglichkeiten 2. Zusammenfassung Variationsformulierung 2.1 Klassifizierung von partiellen Differentialgleichungen und Randbedingungen 2.2 Mathematische Hilfsmittel 2.3 Mathematische Sätze 3. Simulation von 2D MT 3.1 MT Randwertproblem 3.2 Aufgabenstellung 4. 2D Poissongleichung 4.1 Randwertproblem 4.2 FE-Ansatz Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 1

Inhalt II 4.3 Implementierung mit Matlab 5. 2D Helmholtzgleichung 5.1 Randwertproblem 5.2 FE-Ansatz 5.3 Implementierung mit Matlab 6. 3D Induktionsgleichung 6.1 Randwertproblem 6.2 FE-Ansatz 6.3 Implementierung Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 2

Inhalt 1. Beispiel Wärmeleitung 1.1 Aufgabenstellung 1.2 Implementierung 1.3 Einflussmöglichkeiten 2. Zusammenfassung Variationsformulierung 2.1 Klassifizierung von partiellen Differentialgleichungen und Randbedingungen 2.2 Mathematische Hilfsmittel 2.3 Mathematische Sätze 3. Simulation von 2D MT 3.1 MT Randwertproblem 3.2 Aufgabenstellung 4. 2D Poissongleichung 4.1 Randwertproblem 4.2 FE-Ansatz 4.3 Implementierung mit Matlab 5. 2D Helmholtzgleichung Antje 5.1 Franke-Börner Randwertproblem (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 3

Wärmeleitung Aufgabe Gegeben sei folgende Randwertaufgabe: Bestimme die Funktion u C 2 (Ω) C 1 (Ω) mit (k u) = 0 in Ω, (1a) u = g 1 auf Γ 1, (1b) n k u = 0 auf Γ 2, (1c) n k u + α(u g 3 ) = 0 auf Γ 3. (1d) 0.8 Hierbei ist Ω das in der Abbildung dargestellte zweidimensionale Gebiet, welches aus zwei Rechtecken mit einer rautenförmigen Aussparung besteht. 0.6 0.45 0.3 0.15 0 Ω 1 Γ 3 Ω 2 Γ sym Γ 1 Γ 2 0 0.17 0.35 0.65 0.83 1 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 4

Wärmeleitung Modellgeometrie Material 2 Material 1 Γ 2 Γ 1 Γ 3 Ω Geometrie zum Randwertproblem. Das große Rechteck besitzt den linken unteren Eckpunkt (0, 0) sowie Breite 1 und Höhe 0.6. Das kleine Rechteck besitzt den linken unteren Eckpunkt (0.2, 0.6) mit Breite 0.6 und Höhe 0.2. Die innere Aussparung ist ein zur Mittelachse symmetrisches Quadrat mit den Eckpunkten (0.5, 0.15), (0.65, 0.3), (0.5, 0.45) und (0.35, 0.3). Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 5

Wärmeleitung Problemstellung Die Randwertaufgabe modelliert die stationäre Wärmeverteilung in einem in der Richtung senkrecht zur Projektionsebene homogenen Werkstück. Das untere Rechteck bestehe aus Material 1 mit konstantem Wärmeleitkoeffizient k = k 1 = 1W(mK) 1, das obere aus Material 2 mit k = k 2 = 371W(mK) 1. Der Rand von Ω ist unterteilt in Randsegmente Γ 1, Γ 2 und Γ 3. Letzteres besteht aus dem unteren Rand, ersteres aus dem Rand der Aussparung und Γ 2 aus dem verbleibenden Teil. Auf Γ 1 ist eine Dirichlet-Randbedingung mit konstanter Randvorgabe g 1 = 500K (Heizung) gestellt, längs Γ 2 eine homogene Neumann-Randbedingung (wärmeisolierender Rand) und längs Γ 3 eine gemischte Randbedingung mit Wärmeaustauschkoeffizient α = 5.6W(m 2 K) 1 sowie Außentemperatur g 3 = 300K. Berechnen Sie eine numerische Lösung mit dem FEM-Paket COMSOL! Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 6

Implementierung Modellgeometrie 1. Starten Sie COMSOL Multiphysics 3.5a im Heat Transfer Module/General Heat Transfer! 2. Erstellen Sie im Draw Mode die Modellgeometrie! Benutzen Sie dazu drei Rechtecke! Die Aussparung im Inneren erhalten Sie durch Drehung und Differenzbildung. Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 8

Implementierung Differentialgleichung und Randbedingungen 1. Weisen Sie unter Physics > Subdomain Settings der Differentialgleichung die vorgegebenen Koeffizienten zu! 2. Geben Sie unter Physics > Boundary Settings die entsprechenden Randbedingungen vor! Beachten Sie die physikalische Interpretation! Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 9

Implementierung Vernetzung und Lösung 1. Vernetzen Sie das Modellgebiet! 2. Lösen Sie das Randwertproblem! 3. Wählen Sie Postprocessing > Plot Parameters > Surface > Coloring flat! Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 10

Einflussmöglichkeiten Gitter Startgitter, Gitterverfeinerung Gleichungslöser direkt, iterativ, adaptiv Modellparameter k Randbedingungen Temperatur, Wärmeübergangskoeffizient, Isolation, Wärmefluss Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 12

Typen von partiellen Differentialgleichungen Benennen Sie folgende Typen von partiellen Differentialgleichungen und ordnen Sie jeweils eine (geo-)physikalische Anwendung zu! 1. (k u) + bu = f 2. 3. 4. 5. u = f u + 1 c 2 2 u t 2 = f u + a u t = f u = 0 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 14

Arten von Randbedingungen Benennen und beschreiben Sie die folgenden Arten von Randbedingungen! Für welche (geo-)physikalischen Größen sind sie gültig? 1. 2. 3. u = r u n e n = r α u n e n + βu = r Was sind homogene und inhomogene Randbedingungen? Nennen Sie Beispiele! Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 15

Mathematische Hilfsmittel Lesen und verstehen Sie folgende mathematische Ausdrücke! 1. 2. 3. D α α u u = x α 1 1, α = (α xα d 1,..., α d ) N d 0, d α = α 1 + + α d f : D R n R : f(x) f(y) L x y, x, y D L 2 (Ω) := {u : Ω R : u 0 < }, ( ) 1/2 u 0 = u(x) 2 dx Ω Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 17

Funktionenräume H m Welche Funktionenräume werden üblicherweise als Ansatzräume für die Variationsformulierung von Randwertaufgaben genutzt? (, ) m Wie sind die entsprechenden Innenprodukte definiert? m Welche Norm ergibt sich daraus? H m 0 Welche Bedeutung hat das Verhalten der Lösung auf dem Rand des Rechengebietes? Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 18

Divergenzsatz I Vervollständigen und erklären Sie! Satz 1 Sei (1)... ein zulässiges Gebiet sowie u i (2)..., so gilt (3)... u dx = ((u 1 ) x1 + + (u d ) xd ) dx = Ω Ω (4)... (5)... ds, wobei u = (6)..., (7)... den Normalenvektor und (8)... Integration über den Rand bezeichnen. H 1 (Ω), i = 1,..., d; [u 1,..., u d ] ; Ω R d ; ds; ; Ω; n; n u Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 20

Divergenzsatz II Lösung Satz 2 Sei Ω R d ein zulässiges Gebiet sowie u i H 1 (Ω), i = 1,..., d, so gilt u dx = ((u 1 ) x1 + + (u d ) xd ) dx = n u ds, Ω Ω wobei u = [u 1,..., u d ], n den Normalenvektor und ds Integration über den Rand bezeichnen. Ω Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 21

Sobolevscher Einbettungssatz I Vervollständigen und erklären Sie! Satz 3 (Sobolevscher Einbettungssatz) Sei (1)... ein zulässiges Gebiet. Für (2)... existiert eine Konstante (3)... mit D (4)... u C u (5)... für alle α (6)... Ferner enthält die L (Ω)-Äquivalenzklasse jeder Funktion u H m (Ω) eine stetige Funktion. Ω R d ; α; m > k + d/2; m; C; k Was bedeuten und m? Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 22

Sobolevscher Einbettungssatz II Lösung Satz 4 (Sobolevscher Einbettungssatz) Sei Ω R d ein zulässiges Gebiet. Für m > k + d/2 existiert eine Konstante C mit D α u C u m für alle α k. Ferner enthält die L (Ω)-Äquivalenzklasse jeder Funktion u H m (Ω) eine stetige Funktion. ( H m (Ω) = {u L 2 (Ω) : u m < }, u m = L (Ω) = {u : u < }, Ω α m u = sup u(x) x Ω ) 1/2 D α u 2 dx Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 23

Bilinearformen Wie nennt man folgende Eigenschaften von Bilinearformen? 1. a(u 1 + u 2, v) = a(u 1, v) + a(u 2, v), a(u, v 1 + v 2 ) = a(u, v 1 ) + a(u, v 2 ), a(λu, v) = λa(u, v), a(u, vλ) = a(u, v)λ u, u 1, u 2, v, v 1, v 2 V, λ R 2. 3. 4. a(u, v) C u v a(u, v) = a(v, u) a(u, u) α u 2 u, v V u, v V u V Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 24

Lax-Milgram-Lemma I Vervollständigen und erklären Sie! Satz 5 (Lax-Milgram-Lemma, 1954) Sei V ein Hilbert-Raum mit Norm V, (1)... eine Bilinearform auf V sowie (2)... ein lineares Funktional auf V für die es Konstanten C, α und L gibt mit a(u, v) (3)... u, v V, ( a ist stetig ) a(v, v) (4)... v V, ( a ist koerziv ) l(v) (5)... v V, ( l ist stetig ). Dann besitzt das Variationsproblem genau eine Lösung. Bestimme u V sodass (6)... (7)... Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 25

Lax-Milgram-Lemma II a(u, v) = l(v); a : V V R; C u V v V ; L v V ; l : V R; v V ; α v 2 V Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 26

Lax-Milgram-Lemma III Lösung Satz 6 (Lax-Milgram-Lemma, 1954) Sei V ein Hilbert-Raum mit Norm V, a : V V R eine Bilinearform auf V sowie l : V R ein lineares Funktional auf V für die es Konstanten C, α und L gibt mit a(u, v) C u V v V u, v V, ( a ist stetig ) a(v, v) α v 2 V v V, ( a ist koerziv ) l(v) L v V v V, ( l ist stetig ). Dann besitzt das Variationsproblem genau eine Lösung. Bestimme u V sodass a(u, v) = l(v) v V Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 27

Céa-Lemma I Vervollständigen und erklären Sie! Satz 7 (Lemma von Céa) Gelten für eine Variationsaufgabe die Voraussetzungen des Lax-Milgram-Lemmas, so gilt für den Fehler (1)... der Galerkin-Approximation u u h V (2)...(3)...(4)... Hierbei bezeichnen C und α die Stetigkeits- bzw. Koerzivitätskonstante aus dem Lax-Milgram-Lemma. inf v V h; u u h ; u v V ; C α Was versteht man unter Galerkin-Orthogonalität? Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 28

Céa-Lemma II Lösung Satz 8 (Lemma von Céa) Gelten für eine Variationsaufgabe die Voraussetzungen des Lax-Milgram-Lemmas, so gilt für den Fehler u u h der Galerkin-Approximation u u h V C α inf u v V. v V h Hierbei bezeichnen C und α die Stetigkeits- bzw. Koerzivitätskonstante aus dem Lax-Milgram-Lemma. Die Tatsache, dass a(u u h, v) = 0 für alle v V h wird auch Galerkin-Orthogonalität genannt. Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 29

Variationsformulierung Wie gehen Sie vor, wenn Sie eine klassische Randwertaufgabe in eine Variationsformulierung überführen wollen? Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 30

MT Randwertproblem Induktionsgleichung Induktionsgleichung Grundlage zur Beschreibung der Ausbreitung elektromagnetischer Felder sind die Maxwell-Gleichungen. Daraus kann man für homogene, isotrope und lineare Medien die Induktionsgleichungen für das elektrische Feld E und das Magnetfeld H ableiten: F = µσḟ + µε F = µσḟ + 1 c 2 F mit c 2 = 1 µε und F = E, H. Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 32

MT Randwertproblem Ebene Welle Der Ansatz ebener zeitharmonischer Wellen... der Form F = F 0 e i(ωt ke r) in großer Entfernung von der Quelle mit e = (0, 0, e z ) T und ke = (0, 0, k z ) T liefert unter Berücksichtigung der quasistationären Näherung (T 10 5 s): F = iωµσf = k 2 F, k 2 = iωµσ. Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 33

MT Randwertproblem E-Polarisation Die Induktionsgleichung für E-Polarisation 2 E y x 2 + 2 E y z 2 + k2 E y = 0 bzw. (c u) + au = f mit c = 1, a = k 2 = iωµσ, f = 0 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 34

MT Randwertproblem H-Polarisation Die Induktionsgleichung für H-Polarisation 1 x σ H y x + 1 H y z σ z iωµh y = 0 bzw. (c u) + au = f mit c = 1/σ, a = iωµ, f = 0 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 35

MT Randwertproblem Randbedingungen Randbedingungen Zusätzlich beschreiben inhomogene Dirichletsche Randbedingungen das Abklingen der Felder an den äußeren Modellrändern: F = F 0 e ikz mit F = E, H und k = iωµσ. (2) Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 36

Aufgabenstellung Modellbeschreibung Aufgabe: Simulation elektromagnetischer Felder mit COMSOL MULTIPHYSICS 1. Starten Sie COMSOL mit MATLAB! Wählen Sie aus den allgemeinen Anwendungen die Koeffizientenform der allgemeinen elliptischen partiellen Differentialgleichung! 2. Erstellen Sie eine einfache Modellgeometrie für H-Polarisation, z.b. einen homogenen Halbraum mit 2000 < x < 2000, 2000 < z < 0! 3. Legen Sie unter Physics Subdomain Settings die Koeffizienten a und c mit den Modellparametern σ = 0.01 S/m, ω = 2 π 20 khz fest wie auf Folie 27 beschrieben! 4. Weisen Sie unter Physics Boundary Settings die Randbedingungen zu wie in Gleichung (2) angegeben! Beachten Sie, dass im vorliegenden Fall z die Streichrichtung ist und die Felder in y-richtung abklingen! Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 38

Aufgabenstellung Lösung Lösung des RWP 1. Vernetzen Sie das vorliegende Modell! 2. Lösen Sie das Gleichungssystem mit einem direkten Löser! 3. Verbessern Sie die Lösung mittels Gitterverfeinerung (h-verfeinerung) und Erhöhung des Polynomgrades der Ansatzfunktionen (p-verfeinerung)! Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 39

Aufgabenstellung FEM Finite-Elemente-Methode 1. Exportieren Sie die Struktur fem, welche alle getroffenen Einstellungen (Geometrie, Parameter, Gleichungstyp, Gitter...) enthält! 2. Assemblieren Sie die Systemmatrizen für KU = L und NU = M: [K,L,M,N]=assemble(fem)! Mit [null,compl,range]=flnull(n); ud=compl*((range *N*compl)\(range *M)); KK=null *K*null; f=null *(L-K*ud); uu=kk\f; u=null*uu+ud; ergibt sich die Finite-Elemente-Lösung des Gleichungssystems. Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 40

Aufgabenstellung E-Polarisation E-Polarisation 1. Fügen Sie zum homogenen Halbraum den Lufthalbraum (z.b. 2000 < x < 2000, 0 < z < 200) hinzu! 2. Für Luft gilt: σ 0 = 10 14 S/m. Vereinbaren Sie die entsprechenden Koeffizienten der PDE für E-Polarisation (Folie 27)! 3. Setzen Sie auch neue Randbedingungen (Gleichung (2))! Das elektrische Feld an der Erdoberfläche hat den Wert E 0 = ik 1 σ 1 berechnet sich im Lufthalbraum zu E = ik 1 σ 1 + iωµz. und Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 41

E-Polarisation - Realteil von E Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 42

E-Polarisation - Imaginärteil von E Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 43

H-Polarisation - Realteil von H Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 44

H-Polarisation - Imaginärteil von H Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 45

Aufgabenstellung ρ a und φ Post-Processing 1. Berechnen Sie die Darstellungsgrößen scheinbarer spezifischer elektrischer Widerstand ρ a = 1 ωµ E horiz H horiz 2 und Phase φ = 180 π atan( Im(E horiz/h horiz Re(E horiz /H horiz ), wobei die fehlenden horizontalen Felder aus den Vertikalableitungen der simulierten zu berechnen sind! Vereinbaren Sie diese Größen unter Options Expressions als Scalar Expressions, plotten Sie sie ( Postprocessing Cross-Section Plot Parameters ) und überprüfen Sie die Genauigkeit der Simulationen! 2. Berechnen Sie Sondierungskurven für ρ a und φ für einen Frequenzbereich von f = 10 2...10 5 Hz ( Solver Parameters Parametric )! 3. Führen Sie die Simulationen für weitere Modelle (z.b. Viertelräume, Dike, geschichteter Halbraum,... ) durch! Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 46

Dike-Modell, E-Polarisation - Realteil von E Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 47

Dike-Modell, E-Polarisation - Imaginärteil von E Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 48

Dike-Modell, H-Polarisation - Realteil von H Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 49

Dike-Modell, H-Polarisation - Imaginärteil von E Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 50

2D Poissongleichung Klassisches Randwertproblem Ausgangspunkt Gesucht ist die Lösung u in Ω = [ 1, 1] 2 R 2 für u = 0 in ([ 1, 1] [ 1, 1]) mit u(x, y) = g auf Ω = Γ D. y 1 Γ D Ω 1 0 1 x vgl. Referenzaufgabe 3, Folie 41 1 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 52

2D Poissongleichung Variationsformulierung Schritt 1 Die Variationsformulierung lautet: Gesucht ist u V, so dass a(u, v) = 0 mit a(u, v) = 1 1 u vdx. Schritt 2 Die Galerkin-Diskretisierung u h = N j=1 u jφ j liefert die diskrete Variationsaufgabe: Gesucht ist u h V h, so dass N 1 u j φ i φ j dx = 0 i = 1,..., N. j=1 1 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 53

Referenzelement Schritt 3 Basisfunktionen und ihre Gradienten auf dem Referenzelement η ˆφ 1 = ξ, ˆφ2 = η, ˆφ3 = 1 η ξ [ ] [ ] 1 0 1 ˆ ˆφ1 ˆ ˆφ2 ˆ ˆφ3 = 0 1 1 1 2 0 3 1 1 ξ Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 55

Elementsteifigkeitsmatrizen Parametrisierung Schritt 4a Element- und Koordinatenmatrix 1 2 3 4 [ ] ET = 2 3 4 1 1 1 1 1 0, p = 1 1 1 1 0 5 5 5 5 4 y 1 3 Γ D Ω 3 4 1 0 5 2 1 1 x 1 1 2 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 56

Elementsteifigkeitsmatrizen Affine Abbildung Schritt 4b Affine Abbildung [ ] x1 x B K = 3 x 2 x 3, det B y 1 y 3 y 2 y K = 2 K 3 [ ] B 1 y2 y K = 3 y 3 y 1 2 K x 3 x 2 x 1 x 3 φ = B K ˆ ˆφ Schritt 4c Elementsteifigkeitsmatrizen a K (φ j, φ i ) = φ j φ i dx K = ˆK B K ˆ ˆφ j B ˆ ˆφ K i det B K dξ Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 57

Elementsteifigkeitsmatrizen Schritt 4c Elementsteifigkeitsmatrix a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = a K = 1 1 0 1 0 1 1 2 1 1 2 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 58

Assemblierung der Steifigkeitsmatrix Algorithmus Schritt 5 Assemblierungsalgorithmus Initialisiere Ã := O, b := 0 foreach K T h berechne A K und b K k := [Index des Elementes K] j 1 := ET (1, k), j 2 := ET (2, k), j 3 := ET (3, k) Ã([j 1 j 2 j 3 ], [j 1 j 2 j 3 ]) := Ã([j 1j 2 j 3 ], [j 1 j 2 j 3 ]) + A K b([j 1 j 2 j 3 ]) := b([j 1 j 2 j 3 ]) + b K end Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 59

Brücksichtigung der wesentlichen Randbedingungen Reduziertes Gleichungssystem Schritt 6 Berücksichtigung der wesentlichen Randbedingungen: exakte Lösung zu Referenzproblem 3 auf Folie 41 liefert Randwerte u 1, u 2, u 3 und u 4 [ ] [ ] [ ] AW W A W I uw g = mit u 0 W = g A IW A II [ I O A IW A II u I ] [ ] uw u I = [ ] g 0 A IW u W + A II u I = A IW g + A II u I = 0 A II u I = A IW g Lösung u 5 = u I Vergleich mit der exakten Lösung u(x, y) = für (0, 0) 2(1+y) (3+x) 2 +(1+y) 2 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 60

Aufgabenstellung Aufgabe Implementieren Sie die FE-Lösung der vorgestellten Randwertaufgabe mit Hilfe von Matlab! 1. Vereinbaren Sie Elementtabelle ET und Punktmatrix p wie oben angegeben! 2. Berechnen Sie die Elementsteifigkeitsmatrix! 3. Setzen Sie den Algorithmus zur Assemblierung der Steifigkeitsmatrix um! 4. Fügen Sie die wesentlichen Randbedingungen hinzu und erzeugen Sie das reduzierte Gleichungssystem! 5. Lösen Sie das reduzierte Gleichungssystem mit \! 6. Erzeugen Sie den kompletten Lösungsvektor und stellen Sie die FE-Lösung unter Nutzung der Funktion trisurf dar! Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 62

Lösung 0.5 0.4 0.3 u 0.2 0.1 0 1 0.5 0 y 0.5 1 1 0.5 x 0 0.5 1 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 63

Fehler 0.03 0.025 0.02 u exakt u 0.015 0.01 0.005 0 1 0.5 0 y 0.5 1 1 0.5 x 0 0.5 1 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 64

Verallgemeinerung Aufgabe Erweitern Sie Ihren Code hinsichtlich der Verwendung beliebiger Gitter, der Berücksichtigung beliebiger wesentlicher Randbedingungen, der Berücksichtigung eines Wärmeleitkoeffizienten! Erzeugen Sie eine Matlab-Funktion zur Assemblierung! Die Generation des Gitters und die Lösung des Gleichungssystems sollen außerhalb dieser erfolgen. Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 65

Aufgabenstellung Ausgangspunkt Gesucht ist die Lösung u in Ω = [ 1, 1] 2 R 2 für k u + bu = 0 in ([ 1, 1] [ 1, 1]) mit u(x, y) = g auf Γ D und u n = 0 auf Γ N, Ω = Γ D Γ N und stückweise konstanten Koeffizienten k und b. y 1 Γ D Ω Γ N Γ N 1 0 1 x 1 Γ D Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 67

2D Helmholtzleichung Variationsformulierung Schritt 1 Wie lautet die Variationsformulierung? Schritt 2 Formulieren Sie die diskrete Variationsaufgabe! Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 68

2D Helmholtzgleichung Variationsformulierung Schritt 1 Die Variationsformulierung lautet: Gesucht ist u V, so dass a(u, v) = 0 mit a(u, v) = Ω (k u v + buv) dx. Schritt 2 Die Galerkin-Diskretisierung u h = N j=1 u jφ j liefert die diskrete Variationsaufgabe: Gesucht ist u h V h, so dass N u j j=1 Ω (k φ i φ j + bφ j φ i ) dx = 0 i = 1,..., N. Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 69

Referenzelement Schritt 3 Basisfunktionen und ihre Gradienten auf dem Referenzelement η ˆφ 1 = ξ, ˆφ2 = η, ˆφ3 = 1 η ξ [ ] [ ] 1 0 1 ˆ ˆφ1 ˆ ˆφ2 ˆ ˆφ3 = 0 1 1 1 2 0 3 1 1 ξ Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 71

Elementsteifigkeitsmatrizen Parametrisierung Schritt 4a Element- und Koordinatenmatrix 1 2 3 4 [ ] 1 1 ET = 2 3 4 1 1 1 1 1 0 5 5 5 5, p =, k = 1 1 1 1 1 0 1, b = 1 1 1 2 3 4 1 1 4 y 1 Γ D Ω 1 4 0 5 2 1 1 1 1 2 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 72 3 3 x

Elementmatrizen Affine Abbildung Schritt 4b Affine Abbildung [ x1 x B K = 3 x 2 x 3 y 1 y 3 y 2 y 3 [ ] B y2 y K = 3 x 3 x 2 1 2 K y 3 y 1 x 1 x 3 ], det B K = 2 K φ = B K ˆ ˆφ Schritt 4c Elementmatrizen a K (φ j, φ i ) = (k φ j φ i + bφ j φ i ) dx K = k + b ˆK ˆK B K ˆ ˆφ j B ˆ ˆφ K i det B K dξ ˆφ j ˆφi det B K dξ Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 73

Elementmatrizen Schritt 4c Elementsteifigkeitsmatrix a S 1 = a S 2 = a S 3 = a S 4 = a S K = k 1 1 0 1 0 1 1 2 1 1 2 Schritt 4d Elementmassematrix Berechnen Sie die Einträge der Elementmassematrizen mittels Quadraturformeln! Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 74

Elementmatrizen Schritt 4c Elementsteifigkeitsmatrix a S 1 = a S 2 = a S 3 = a S 4 = a S K = k 1 1 0 1 0 1 1 2 1 1 2 Schritt 4d Elementmassematrix a M 1 = a M 2 = a M 3 = a M 4 = a M K = b det B K 1 2 1 1 1 2 1 24 1 1 2 Schritt 4 Elementmatrix a K = a S K + a M K = 1 8 1 5 1 8 5 12 5 5 14 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 75

Assemblierung der Systemmatrix Schritt 5 Assemblierung 8 1 0 0 5 0 0 0 0 0 A = 1 1 8 0 0 5 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + 1 0 8 1 0 5 12 0 1 8 0 5 0 0 0 0 0 + 5 5 0 0 14 0 5 5 0 14 0 0 0 0 0 8 0 0 1 5 1 0 0 0 0 0 12 0 0 8 1 5 0 0 1 8 5 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 1 0 0 8 5 = 0 0 5 5 14 5 0 0 5 14 16 1 0 1 10 1 1 16 1 0 10 12 0 1 16 1 10 1 0 1 16 10 10 10 10 10 56 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 76

Brücksichtigung der wesentlichen Randbedingungen Reduziertes Gleichungssystem Schritt 6 Berücksichtigung der wesentlichen Randbedingungen: u 1 = 0, u 2 = 0, u 3 = 1 und u 4 = 1 [ ] [ ] [ ] AW W A W I uw g = mit u 0 W = g Lösung u 5 = u I A IW A II [ I O A IW A II u I ] [ ] uw u I = [ ] g 0 A IW u W + A II u I = A IW g + A II u I = 0 A II u I = A IW g Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 77

Lösung Ergebnis 0 g = 0 1, A IW = 1 12 1 [ 10 10 10 10 ], AII = 56 12 56 12 u 5 = 10 12 + 10 12 = 20 12 u 5 = 0.3571 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 78

Aufgabenstellung Aufgabe Implementieren Sie die FE-Lösung der vorgestellten Randwertaufgabe mit Hilfe von Matlab! Bauen Sie auf der Lösung der Poissongleichung auf! 1. Vereinbaren Sie die Materialeigenschaften k und b sowie deren Zuordnung zu den Elementen in der vierten Zeile der Elementtabelle ET! 2. Berechnen Sie die Elementmassematrix! Addieren Sie die Einträge der Steifigkeits- und der Massematrizen zur Elementmatrix! 3. Setzen Sie den Algorithmus zur Assemblierung der Systemmatrix um! 4. Fügen Sie die wesentlichen Randbedingungen hinzu und erzeugen Sie das reduzierte Gleichungssystem! 5. Lösen Sie das reduzierte Gleichungssystem mit \! 6. Erzeugen Sie den kompletten Lösungsvektor und stellen Sie die FE-Lösung unter Nutzung der Funktion trisurf dar! Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 80

Lösung 1 0.8 0.6 u 0.4 0.2 0 1 0.5 0 y 0.5 1 1 0.5 x 0 0.5 1 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 81

Fehler 0.14 0.12 0.1 u exakt u 0.08 0.06 0.04 0.02 0 1 1 0.5 0.5 0 0 0.5 0.5 1 1 y x Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 82

Lösung mit exakten Randbedingungen 1 0.8 0.6 u 0.4 0.2 0 1 0.5 0 y 0.5 1 1 0.5 x 0 0.5 1 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 83

Fehler für exakte Randbedingungen 0 0.005 0.01 0.015 u exakt u 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 1 0.5 0 y 0.5 1 1 0.5 x 0 0.5 1 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 84

Verallgemeinerung Aufgabe Erweitern Sie Ihren Code hinsichtlich der Verwendung beliebiger Gitter, der Berücksichtigung beliebiger wesentlicher Randbedingungen, der Berücksichtigung beliebiger Materialeigenschaften! Erzeugen Sie eine Matlab-Funktion zur Assemblierung! Die Generation des Gitters und die Lösung des Gleichungssystems sollen außerhalb dieser erfolgen. Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 85

Lösung mit feinerem Gitter 1 0.8 0.6 u 0.4 0.2 0 1 0.5 0 y 0.5 1 1 0.5 x 0 0.5 1 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 86

Fehler für feineres Gitter x 10 4 8 6 4 u exakt u 2 0 2 4 6 1 0.5 0 y 0.5 1 1 0.5 x 0 0.5 1 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 87

Aufgabenstellung Ausgangspunkt Gesucht ist die Lösung E in Ω R 3 für (µ 1 E) + (iωσ ω 2 ε)e = 0 in Ω n E = 0 auf Γ n E = E n auf Γ Γ top Γ bottom und stückweise konstanten Koeffizienten µ, σ und ɛ. Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 89

3D Induktionsgleichung Variationsformulierung 1. Schritt Die Variationsformulierung des Randwertproblems lautet: Finde E S, so dass a(e, v) = a(e, v) = l(v) v V mit l(v) = 0 Ω ( µ 1 E v + (iωσ ω 2 ε)e v ) dx, S := {E H(rot; Ω) : n E = n E n auf Γ Γ Γ top Γ bottom } und V := {v H(rot; Ω) : n v = 0 auf Γ}. Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 90

3D Induktionsgleichung Diskrete Variationsaufgabe 2. Schritt Mit E h (x) = n i=1 lh i (Eh )φ h i (x) lautet das diskrete Gleichungssystem: Au = b mit A i,j = a(φ i, φ j ), b i = l(φ i ), u j = lj h (E h ) und a(φ i, φ j ) = µ 1 φ i φ j dx Ω + (iωσ ω 2 ε)φ i φ j dx, l(φ i ) = 0. Ω Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 91

Referenzelement Schritt 3a Referenzelement ẑ 1 3 e 6 e 5 4 0 e 4 e 2 e 3 1 2 e 1 1 1 ŷ ˆx e 1 : 1 2 e 2 : 1 3 e 3 : 1 4 e 4 : 2 3 e 5 : 2 4 e 6 : 3 4 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 93

Referenzelement Schritt 3b Basisfunktionen auf dem Referenzelement ŷ ˆφ 1,2 = ˆx = ˆφ ẑ 1, ˆφ1,3 = 0 = ˆφ 2, 0 ˆx 1 + ŷ + ẑ ˆφ 1,4 = ˆx = ˆφ 0 3, ˆφ2,3 = ẑ = ˆφ 4, ˆx ŷ ŷ ˆφ 2,4 = 1 + ˆx + ẑ = ˆφ ẑ 5, ˆφ3,4 = ẑ = ˆφ 6 ŷ 1 + ˆx + ŷ Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 94

Referenzelement Schritt 3c Rotation der Basisfunktionen auf dem Referenzelement ˆ ˆφ 0 1,2 = 0 = ˆ ˆφ 0 1, ˆ ˆφ1,3 = 2 = ˆ ˆφ 2, 2 0 ˆ ˆφ 0 1,4 = 2 = ˆ ˆφ 2 3, ˆ ˆφ2,3 = 0 = ˆ ˆφ 4, 2 0 ˆ ˆφ 2 2,4 = 0 = ˆ ˆφ 2 5, ˆ ˆφ3,4 = 2 = ˆ ˆφ 6 2 0 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 95

Referenzelement Steifigkeitsmatrix Schritt 4a Elementsteifigkeitsmatrix - Referenzelement ˆK i,j = µ 1 ˆ ˆφ i ˆ ˆφ j dˆx ˆK 1 0 1 0 1 0 K = 2 0 1 1 0 0 1 3 µ 1 1 1 2 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 96

Referenzelement Massematrix Schritt 4b Elementmassematrix - Referenzelement ˆM i,j = (iωσ ω 2 ε) M = (iωσ ω2 ε) 120 ˆφ i ˆφ j dˆx ˆK 4 1 0 1 0 0 1 4 0 1 0 0 0 0 10 0 5 5 1 1 0 4 0 0 0 0 5 0 10 5 0 0 5 0 5 10 Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 97

Affine Abbildung Schritt 4c Affine Abbildung x 1 x 4 x 2 x 4 x 3 x 4 B K = y 1 y 4 y 2 y 4 y 3 y 4 z 1 z 4 z 2 z 4 z 3 z 4 u = u F K = B K û 1 B K ( det B ˆ û) K Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 98

Implementierung Aufgabe 1 Berechnen Sie die Elementsteifigkeits- und massematrizen mittels numerischer Quadratur! 1. Laden Sie die Matlab-Funktion tetquadsolin.m (https://www.dropbox.com/sh/2wf3ajuslpc0jqi/ qjzfnmfebr?n=10302573) herunter! 2. Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrix: Bestimmen Sie Quadraturpunkt und -gewicht aus tetquadsolin.m für die Ordnung 1! Werten Sie die Integranden am Quadraturpunkt aus und berechnen Sie mit dem Gewicht die Elemente der Steifigkeitsmatrix! (Folie 96) 3. Berechnung der Massematrix: Bestimmen Sie Quadraturpunkte und -gewichte aus tetquadsolin.m für die Ordnung 2! Werten Sie die Integranden an den Quadraturpunkten aus und berechnen Sie mit den Gewichten die Elemente der Massematrix! (Folie 97) Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 100

Implementierung Aufgabe 2 Bereiten Sie die Transformation vom Referenzelement auf ein beliebiges Gebietselement vor! 1. Berechnen Sie für alle Elemente eines Gitters die Abbildungsmatrix B K! 2. Berechnen Sie die Elementsteifigkeits- und Massematrizen für die Gebietselemente! Nutzen Sie zum Vergleich die Abbildung des Referenzelementes auf sich selbst! Fortsetzung Gitter, Assemblierung des Gleichungssystems, Berücksichtigung der wesentlichen Randbedingungen, Lösung Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 101

Implementierung Aufgabe 3 Assemblieren und lösen Sie das Gleichungssystem! 1. Laden Sie sich die Datei mesh.mat herunter(https: //www.dropbox.com/s/25pr7b63clzlc18/mesh.mat)! Welche Informationen enthält die Datei über das Gitter? Welche Informationen beno"tigen Sie? 2. Assemblieren Sie das Gleichungssystem! Beachten Sie, dass die Freiheitsgrade den Kanten zugeordnet sind! 3. Erstellen Sie das reduzierte Gleichungssystem unter Berücksichtigung der wesentlichen Randbedingungen! Geben Sie als Randwerte die Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes vor! Benutzen Sie als Normalfeld ein in x-richtung polarisiertes elektrischen Feld! 4. Lösen Sie das Gleichungssystem! Vergleichen Sie mit der analytischen Lösung! Antje Franke-Börner (TU Freiberg) Numerische Simulation mit finiten Elementen Sommersemester 2013 102