Übungen zur Linearen Algebra 1 Wintersemester 014/015 Universität Heidelberg - IWR Prof. Dr. Guido Kanschat Dr. Dörte Beigel Philipp Siehr Blatt 7 Abgabetermin: Freitag, 05.1.014, 11 Uhr Aufgabe 7.1 (Vektorräume über endlichen Körpern - + 1* Punkte) Sei K ein Körper mit #K = q N Elementen und sei V ein K-Vektorraum der Dimension n N. a) Bestimmen Sie die Mächtigkeit von V in Abhängigkeit von q und n. b) Wie viele Untervektorräume der Dimension 0 gibt es in V? c) Wie viele Untervektorräume der Dimension 1 gibt es in V? d) Zusatzaufgabe für alle, denen c) Spass gemacht hat: Wie viele Untervektorräume der Dimension m N 0 mit m n gibt es in V? Und wie viele mit m < n? a) In jeder der n Komponenten gibt es q Möglichkeiten. Damit ist #V = q n. b) Ist m = 0, so gibt es nur den Nullraum als Untervektorraum. c) Jeder 1-dimensionale Vektorraum besitzt eine Basis bestehend aus einem Vektor 0. Umgekehrt liefert jeder Vektor aus V \ {0} auch einen 1-dimensionalen UVR. Demnach hätte man q n 1 Untervektorräume. Das stimmt jedoch nicht ganz. Denn jeder Unterraum wird hierbei mehrfach gezählt. In jedem dieser Unterräume liegen q Vektoren, die auch in V liegen. Diese, bis auf die 0 im Unterraum, spannen ebenfalls denselben Unterraum auf. Daher gibt es Unterräume der Dimension 1. N(n, 1) = qn 1 q 1 d) Für m = n gibt es genau einen Untervektorraum und für m > n gibt es keine Untervektorräume. Für n > 1 ergibt sich die Anzahl der -dimensionalen Unterräume durch die Wahl von zwei linear unabhängigen Vektoren in V. Von diesen gibt es (q n 1)(q n 1 [q 1]) = (q n 1)(q n q) Paare. Wie im Fall der 1- dimensionalen Unterräume wurden wieder einige Räume mehrfach gezählt. Denn 1
jeder dieser Untervektorräume durch ein beliebiges Paar linear unabhängiger Vektoren daraus aufgespannt. Man kann (q 1)(q q) verschiedene Basisvektoren auswählen. Diese Zahl ist nichts anderes wie die Zahl der möglichen Basen des K. Für die Anzahl der -dimensionalen UVR ergibt sich damit die Formel: N(n, ) = (qn 1)(q n q) (q 1)(q q). Dieses Konstruktionsprinzip lässt sich entsprechend verallgemeinern auf 1 m n. Der Zähler der folgenden Formel ist Anzahl von Möglichkeiten m linear unabhängige Vektoren in V zu wählen. Der Nenner ist die Anzahl der Möglichkeiten eine Basis in den Unterräumen zu wählen. N(n, m) = (qn 1) (q n q)... (q n q m 1 ) (q m 1) (q m q)... (q m q m 1 ). Aufgabe 7. (Lineare Unabhängigkeit - Punkte) Zeigen Sie: 1,,, 6 sind im Q-Vektorraum R linear unabhängig. (1) Zunächst zeigen wir ein Lemma: Sei a Q \ {0}, b R \ Q, dass sind a und b linear unabhängig. Beweis. Seien λ 1, λ Q, dann gilt: λ 1 a + λ b = 0 b }{{} R\Q = λ 1a λ }{{} Q λ 1 = 0 λ = 0. Seien nun λ 1,..., λ 4 Q mit: λ 1 1 + λ + λ + λ4 6 = 0. (7.1) 1. Gleichung (7.1) lässt sich umschreiben zu: λ 1 + λ = (λ + λ4 6) (λ 1 + λ ) = (λ + λ4 6) λ 1 + λ 1 λ + λ = λ + 6λ λ 4 + 6λ 4 0 = (λ 1 + λ λ 6λ 4) 1 + (λ 1 λ 6λ λ 4 ) Da 1 und linear unabhängig sind (Lemma) gilt: λ 1 + λ = λ + 6λ 4 (7.) und λ 1 λ = 6λ λ 4 (7.)
. Analog zu 1. gilt: λ 1 + λ 4 6 = (λ + λ ) (λ 1 + λ 4 6) = (λ + λ ) λ 1 + λ 1 λ 4 6 + 6λ 4 = λ + λ λ 6 + λ Sortiert man nach 1 und 6 ergibt sich: λ 1 + 6λ 4 = λ + λ (7.4) und λ 1 λ 4 = λ λ (7.5) Auflösen von (7.) und (7.4) nach 6λ 4 λ und Gleichsetzen liefert: λ 1 λ = λ λ 1 λ 1 λ = 0 λ 1 = ± λ. Da aber Q gilt: λ 1 = λ = 0. Analog: Auflösen von (7.) und (7.4) nach λ λ 1 und Gleichsetzen liefert: λ 6λ 4 = 6λ 4 λ λ λ 4 = 0 λ = ± λ 4. Da aber Q gilt: λ = λ 4 = 0. () Eleganter mit Q( ). Seien wieder λ 1,..., λ 4 Q mit: 0 = λ 1 1 + λ + λ + λ4 6 = λ 1 + λ + (λ + λ 4 ) =: α + β. Falls β = 0, so ist ebenfalls α = 0. Nun verwendet man, dass 1 und linear unabhängig sind (Lemma). Dann folgt direkt λ 1 = λ = 0 und λ = λ 4 = 0. Falls β 0 gilt β (Q( )). Denn Q( ) ist ein Körper, also besitzt jedes Element außer 0 ein Inverses. Damit gilt: = α β Q( ). Also existieren a, b Q mit = a + b ( ). Da Q gilt b 0. Und mit Q 1 6 = = a + b gilt auch a 0. Quadriert man nun ( ), so gilt = a + ab + b. Demnach wäre rational. Dies ist ein Widerspruch und somit kann Fall β 0 nicht auftreten.
Aufgabe 7. (Erzeugnis - Punkte) Welche Dimension hat der von den Vektoren 1 1 0, t + 1, t t + t 1 erzeugte Untervektorraum von R, wobei t R ist? Für welche Werte von t sind die Vektoren ein Erzeugendensystem von R? Die beiden Vektoren (1,, t + ) und (0, t, 1) sind für alle t linear unabhängig, daher ist die Dimension des Erzeugnisses mindestens. Der Vektor ( 1, t + 1, t) ist genau dann eine Linearkombination der anderen beiden, wenn t = 1 oder t = /. In diesen Fällen ist die Dimension des Erzeugnisses, in allen anderen Fällen ist sie. Für t R \ {1, /} sind sie ein Erzeugendensystem von R. Aufgabe 7.4 (Untervektorraum - 4 Punkte) Seien U und V Untervektorräume des K-Vektorraums W. a) Wann ist die Vereinigung U V ein Untervektorraum von W? b) Wann ist U V = U, V? c) Wann ist W \ U ein Untervektorraum? a) Behauptung: V U ist ein Vektorraum V U oder U V. Im Fall V U ist V U = U und damit offensichtlich ein Vektorraum. Der Fall U V analog. Ist V U, so ist nichts zu zeigen. Angenommen V U, zz: U V ( ). Mit dieser Annahme gibt es v V mit v U. Sei nun u U beliebig. Es bleibt zu zeigen: u V (siehe ( )). Mit u U V U und v V V U und der Voraussetzung, dass V U ein Vektorraum ist, gilt v + u V U. Fall 1: v + u W. Dann ist v = (v + u) u U ein Widerspruch zur Annahme ( ). Hier wurde verwendet, dass U ein Vektorraum ist. Fall : v + u V. Dann ist u = (v + u) v V. Analog mit V ein Vektorraum ist. Da u U beliebig gilt U V. b) Behauptung: V U = U, V U V oder V U. Sei U V, dann ist U V = V und V, U = V = V. Also ist V U = U, V. Die zweite Aussage ist in Satz 1.4.5 aus der Vorlesung. 4
Für den Fall V U analog. Nach der Vorlesung (Satz 1.4.5) ist U, V ein Untervektorraum. Nach Voraussetzung ist dann auch U V ein Untervektorraum. Nach Aufgabenteil a) folgt direkt die Behauptung. c) Für jeden UVR U gilt 0 U. Dann ist 0 / W \ U und somit kann W \ U kein VR mehr sein, also auch kein UVR. Aufgabe 7.5 (Direkte Summe - 4 Punkte) Betrachten Sie folgende Mengen: V = Abb(R, R), U = {f V : f( x) = f(x), x R}, G = {f V : f( x) = f(x), x R}. a) Zeigen Sie, dass U und G Untervektorräume von V sind. Welche Bedeutung haben die Räume U und G? b) Zeigen Sie: U G = V. Was bedeutet dies für eine Funktion f V? Hinweis: Es handelt sich hierbei um unendlich dimensionale Räume. Sie können daher keine Basis wählen, sondern müssen sich für ein beliebiges f V ein geeignetes u U und g G konstruieren. a) Zunächst gilt 0 U und 0 G (klar) und auch U, G V. Sei also u, u U, g, g G und λ R. Sei nun x R beliebig. Dann gilt: (λu + u )( x) = λu( x) + u ( x) = λ( u(x)) u (x) = (λu(x) + u (x)) = (λu + u )(x) λu + u U, (λg + g )( x) = λg( x) + g ( x) = λg(x) + g (x) = (λg + g )(x) λg + g G. Demnach sind U und G reelle Untervektorräume. b) Sei f U G und x R beliebig. Dann gilt f(x) = f( x) = f(x) und somit f = 0, da x beliebig. Also ist U G = {0}. Es bleibt noch zu zeigen, dass sich jedes f Abb(R, R) als u + g darstellen lässt. Wir definieren für ein beliebiges f Abb(R, R) folgende Abbildungen: u : R R, g : R R, x 1 (f(x) f( x)) x 1 (f(x) + f( x)) 5
Dann gilt für x R: u( x) = 1 (f( x) f(x)) = 1 (f(x) f( x)) = u(x), g( x) = 1 (f( x) + f(x)) = 1 (f(x) + f( x)) = g(x). Also ist u U und g G. Zudem gilt für alle x R: u(x) + g(x) = 1 (f( x) f(x)) + 1 (f( x) + f(x)) = f(x). Demnach ist u + g = f. Da dies für ein beliebiges f Abb(R, R) gilt, folgt somit U + G = Abb(R, R). (Genauer folgt hier eigentlich erst, dass Abb(R, R) U + G. Da es sich bei U und G um UV R handelt gilt auch.) 6