Ein Betriebsleiter erwägt den Kauf eines Mähdreschers, um im Nebenerwerb als Lohnunternehmer tätig zu werden. Folgende Daten für das Investitionsprojekt sind gegeben: Mähdrescher (100 kw, 3,80 m, 4.400 l, 3,3 t): Kaufpreis: 78.000 MwSt: 16 % (pauschalierender Betrieb) Rabatt (Treuerabatt): 10 % Überführungskosten: 1.042 Skonto (Barzahler): 3% (auf Kaufpreis u. Überführ.) Nutzungsdauer: 10 Jahre Gesamtleistungsvorrat: 3.000 ha Schrott-(Rest-)wert: 10.000 Versicherung 228 / Jahr Wartung u. Reparatur: 772 / Jahr Am Ende des 5. Jahres wird zusätzlich eine Generalüberholung fällig: Kosten 3.000 Treibstoffverbrauch: 15 l/ha; Kosten Diesel: 0,50 /l sonstige variable Kosten: 10,50 /ha Leistungen des Mähdreschers: 50 ha eigene Mähdruschfläche: Bisher wurden die eigenen Flächen durch einen Lohnunternehmer gedroschen. Kosten: 140 /ha Als Lohnunternehmer rechnet der Betriebsleiter mit folgendem Auftragsvolumen: 1. Jahr bis 5. Jahr: 70 ha 6. Jahr bis 10. Jahr: 120 ha Erlös als Lohnunternehmer: 135 /ha Zeitbedarf für das Dreschen von 1 ha: durchschnittlich 2 h/ha (incl. Rüstzeiten) Arbeitskosten: Der Betriebsleiter kann in Zeitspanne GE genügend Arbeit freisetzen; er arbeitet bisher außerlandwirtschaftlich: Stundenlohn: 11 /h Zinssatz: Der Kalkulationszinsfuß (einschließlich Risikozuschlag) beträgt 10 % p.a. Übungsaufgabe 7 (Seite 1)
Fragen: 1. Ermitteln Sie mit einer statischen Methode der Investitionsrechnung (Vergleich der durchschnittlichen Kosten und Erlöse pro Jahr), ob sich die Anschaffung des Mähdreschers lohnt. 2. Ermitteln Sie mit einer dynamischen Methode der Investitionsrechnung (Kapitalwertmethode oder Annuitätenmethode), ob sich die Anschaffung des Mähdreschers lohnt. 3. Ermitteln Sie die Pay-off-Periode, d.h. den Zeitraum der vergeht, bis die Einnahmenüberschüsse (Kapitalrückflüsse) gerade die Investitionsausgaben gedeckt haben, mithin Gewinn entsteht. 4. Ermitteln Sie den internen Zinsfuß Übungsaufgabe 7 (Seite 2)
Übungsaufgabe 7 (Seite 3)
Für den Kalkulationszinsfuß p 10 % ergeben sich folgende Werte: AB- AUF- NACHSCHÜSSIG JAHR ZINSUNGS- FAKTOR ZINSUNGS- FAKTOR RENTENBAR- WERTFAKTOR RENTENEND- WERTFAKTOR ANNUITÄTEN FAKTOR 1 0,90909 1,10000 0,90909 1,00000 1,10000 2 0,82645 1,21000 1,73554 2,10000 0,57619 3 0,75131 1,33100 2,48685 3,31000 0,40211 4 0,68301 1,46410 3,16987 4,64100 0,31547 5 0,62092 1,61051 3,79079 6,10510 0,26380 6 0,56447 1,77156 4,35526 7,71561 0,22961 7 0,51316 1,94872 4,86842 9,48717 0,20541 8 0,46651 2,14359 5,33493 11,43589 0,18744 9 0,42410 2,35795 5,75902 13,57948 0,17364 10 0,38554 2,59374 6,14457 15,93742 0,16275 MS-Excel Funktion Finanzmathematik Formel bzw. Sonderfall BarWert Formel bzw. Sonderfall Zukünftiger Wert BarWert BW( ) ZukünftigerWert ZW( ) RegelmäßigeZahlung RMZ( ) Übungsaufgabe 7 (Seite 4)
Aufzinsung Den Zeitwert K n eines Anfangskapitals K 0 nach n Jahren erhält man durch Multiplikation mit dem Aufzinsungsfaktor q n. Dadurch wird der frühere Wert K 0 auf den späteren Wert K n unter Zurechnung von Zinseszinsen vorwärtsdatiert. K 0 0,38554 q n 1,1 10 2,59374 K n K 10 1 0,388554 x 2,59374 Übungsaufgabe 7 (Seite 5)
Abzinsung Den Barwert K 0 eines Endkapitals K n vor n Jahren erhält man durch Multiplikation mit dem Abzinsungsfaktor 1/q n. Dadurch wird der spätere Wert K n auf den früheren Wert K 0 um n Jahre unter Abzug von Zinseszinsen rückwärtsdatiert (diskontiert). K n K 10 1 1/q n 1/1,1 10 0,38554 K 0 0,38554 1 x 0,38554 Übungsaufgabe 7 (Seite 6)
Rentenendwertfaktor Welchen Wert haben sämtliche Raten einschließlich Zinseszinsen am Ende des letzten Jahres? Über welchen Betrag kann ein Sparer verfügen, wenn er n Jahre lang, ohne Zinsen abzuheben, am Jahresende r DM einzahlt? Man bezeichnet den Wert R n als Endwert einer n-mal nachschüssig gezahlten Rente vom Betrag r: R n R 10 r (q n -1) / (q-1) 1 x 15,93742 15,93742 Übungsaufgabe 7 (Seite 7)
Rentenbarwertfaktor Häufig entsteht die Frage nach dem gegenwärtigen Wert aller Raten, den man als Rentenbarwert (Kapitalwert) R 0 der n-mal nachschüssig gezahlten Rente bezeichnet. Er ergibt sich aus dem Endwert durch Abzinsung um n Jahre: R 0 r 1/q n (q n -1) / (q-1) Der Rentenbarwert R 0 ergibt sich durch Multiplikation der Rente r mit dem Rentenbarwertfaktor. r 1 Rentenbarwertfaktor (10 Jahre; 10 %) 6,14457 R 0 1 x 6,14457 6,14457 Übungsaufgabe 7 (Seite 8)
Annuitätenfaktor In vielen Fällen ist man auch daran interessiert, die nachschüssige Rente r über einen Zeitraum von n Jahren aus dem Anfangskapital K 0 zu ermitteln. Dazu multipliziert man den Barwert K 0 mit dem Annuitätenfaktor (Wiedergewinnungsfaktor) a n : r K 0 a n a n (q n (q-1)) / (q n -1) K 0 6,14457 Annuitätenfaktor (10 Jahre; 10 %) 0,16275 r 6,14457 x 0,16275 1 Übungsaufgabe 7 (Seite 9)
Einige in MS-Excel enthaltene finanzmathematische Funktionen (Beispiele) Zins: Zinssatz pro Periode Zw: Zukünftiger Wert (Ende des Zeitraumes) Zzr: Zahlungszeitraum (Anzahl der Perioden) F: Fälligkeit (0 nach- 1 vorschüssig) Rmz: Regelmäßige Zahlung Bw: Barwert (Wert zum Beginn des Zeitraumes) Regelmäßige Zahlung: RMZ(Zins;Zzr;Bw;Zw;F) Der Zellinhalt RMZ(10%;10;6,14457;0;0) ergibt den Wert -1,00 Der Zellinhalt RMZ(10%;10;0;15,93742;0) ergibt den Wert -1,00 Zukünftiger Wert: ZW(Zins;Zzr;Rmz;Bw;F) Der Zellinhalt ZW(10%;10;1;0;0) ergibt den Wert -15,93742 Der Zellinhalt ZW(10%;10;0;1;0) ergibt den Wert -2,59374 Barwert: BW(Zins;Zzr;Rmz;Zw;F) Der Zellinhalt BW(10%;10;1;0;0) ergibt den Wert -6,14457 Der Zellinhalt BW(10%;10;1;0;0) ergibt den Wert -0,38554 Interne Kapitalverzinsung: IKV(Zell-Bereich) & Nettobarwert: NBW(Zellbereich) A B C D E F G H I J K 1-80.000 10.650 10.650 10.650 10.650 7.650 15.400 15.400 15.400 15.400 25.400 2 Beginn 0 Ende 1 Ende 2 Ende 3 Ende 4 Ende 5 Ende 6 Ende 7 Ende 8 Ende 9 Ende 10 3 9,646% 4-1.387,2 Der Zellinhalt E3: IKV(A1:K1) ergibt den Wert 9,64627 (interner Zinsfuß). Der Zellinhalt A4: NBW(10%;A1:K1)*1,1 ergibt -1.387,23. (NBW rechnet nachschüssig, deshalb wird 1x aufgezinst.) Übungsaufgabe 7 (Seite 10)
Berechnung Anschaffungswert Kaufpreis 78.000 + 16 % Mehrwertsteuer (pauschalierender Betrieb) 12.480 90.480-10 % Treuerabatt - 9.048 81.432 + Überführung (Anschaffungsnebenkosten) 1.042 82.474-3 % Skonto (Barzahler) - 2.474 80.000 Übungsaufgabe 7 (Seite 11)
Druschleistung: Eigenfläche: 10 Jahre x 50 ha Lohndrusch: 5 Jahre x 70 ha + 5 Jahre x 120 ha Summe: durchschnittliche jährliche Druschleistung: 500 ha 950 ha 1.450 ha 145 ha Die Schwelle der variablen Abschreibung von 3.000 ha (300 ha je Jahr) wird nicht überschritten! Fixe Kosten bzw. Ausgaben pro Jahr: Versicherung: Wartung und Reparatur: durchschnittliche Kosten Generalüberholung (3.000/10): 228 /Jahr 772 /Jahr 1.000 /Jahr 300 /Jahr Variable Kosten bzw. Ausgaben pro ha: Treibstoffkosten: 15 l/ha x 0,50 /l: sonstige variable Kosten: Arbeitskosten: 2 h/ha x 11 /h: 7,50 /ha 10,50 /ha 22,00 /ha 40,00 /ha Übungsaufgabe 7 (Seite 12)
Durchschnittliche jährliche Kosten Statische Investitionsrechnung: Abschreibung (80.000-10.000 ) : 10 7.000 Zinsen (80.000 + 10.000 ) : 2 x 0,1 4.500 Kapitalkosten insgesamt: 11.500 fixe Kosten (Versicherung, Wartung, Reparatur): 1.000 durchschnittliche Kosten Generalüberholung 300 variable Kosten (145 ha x 40 /ha) 5.800 Summe (Kosten insgesamt): 18.600 Durchschnittlicher jährlicher Erlös bzw. Kostenersparnis Lohndrusch: 95 ha x 135 /ha 12.825 Eigenfläche: 50 ha x 140 /ha 7.000 Summe (Leistung insgesamt): 19.825 Durschnittlicher jährlicher Gewinn bzw. Verlust Erlös bzw. Kostenersparnis: Kosten: Gewinn: 19.825 /Jahr 18.600 /Jahr 1.225 /Jahr Übungsaufgabe 7 (Seite 13)
Zeitpunkt Ausgaben (-) / Einnahmen (+) 0 Investitionsausgabe - 80.000 Ende 1. Jahr bis Ende 4. Jahr fixe Kosten (Vers. etc.) variable Kosten: (70 ha + 50 ha) x 40 /ha Einnahmen (70 ha x 135 /ha) + (50 ha x 140 /ha) Ende 5. Jahr Ende 6. Jahr bis Ende 9. Jahr Ende 10. Jahr SALDO wie Ende 1. 4. Jahr Generalüberholung SALDO fixe Kosten (Vers. etc.) variable Kosten: (120 ha + 50 ha) x 40 /ha Einnahmen (120 ha x 135 /ha) + (50 ha x 140 /ha) SALDO wie Ende 6. bis 9. Jahr Restwert SALDO 10.650 7.650 15.400 25.400-1.000-4.800 16.450 10.650-3.000-1.000-6.800 23.200 15.400 10.000 Übungsaufgabe 7 (Seite 14)
Übungsaufgabe 7 (Seite 15)
Übungsaufgabe 7 (Seite 16)
Übungsaufgabe 7 (Seite 17)
Kapitalwertmethode Bei der Kapitalwertmethode werden alle Zahlungen auf den Beginn des ersten Jahres abgezinst (Zeitpunkt 0). Ausgaben erhalten ein negatives Vorzeichen, Einnahmen bzw. Einnahmenüberschüsse ein positives Vorzeichen. Bei einem positiven Kapitalwert (C) lohnt sich die Investition. C a) - 80.000-80.000,00 b) 10.650 x 3,16987 1) 33.759,12 c) 7.650 x 0,62092 2) 4.750,04 d) 15.400 x 3,16987 1) x 0,62092 2) 30.310,83 e) 25.400 x 0,38554 3) 9.792,72 C (Kapitalwert) -1.387,29 1) Rentenbarwertfaktor für n 4 Jahre 2 ) Abzinsungsfaktor für n 5 Jahre 3 ) Abzinsungsfaktor für n 10 Jahre Annuität (durchschnittlicher jährlicher Verlust) Der jährliche Verlust bei Durchführung der Investition beträgt: -1.387,29 4) x 0,16275 5) - 225,78 /Jahr 4) Kapitalwert der Investition 5) Annuitätenfaktor für n 10 Jahre Übungsaufgabe 7 (Seite 18)
Annuitätenmethode Die Annuitätenmethode vergleicht die sich aus dem Anschaffungswert der Investition ergebende Annuität A I (Kapitalkosten) mit der äquivalenten Annuität A Z aus den jährlich variierenden Zahlungsüberschüssen (Kapitalrückfluß). Annuität (Investition) A I -80.000 1) x 0,16275 2) + 10.000 3) x 0,38554 4) - 12.392,53 1) Anschaffungswert der Investition 2) Annuitätenfaktor für n 10 Jahre 3) Restwert am Ende der Nutzungsdauer 4) Abzinsungsfaktor für n 10 Jahre Übungsaufgabe 7 (Seite 19)
Annuität (Zahlungsüberschüsse) a) 10.650 x 3,16987 1) 33.759,12 b) 7.650 x 0,62092 2) 4.750,04 c) 15.400 x 3,79079 3) x 0,62092 2) 36.248,17 Summe 75.757,33 1) Rentenbarwertfaktor für n 4 Jahre 2 ) Abzinsungsfaktor für n 5 Jahre 3) Rentenbarwertfaktor für n 5 Jahre Annuität (Zahlungsüberschüsse) A Z 74.757,33 1) x 0,16275 2) 12.166,75 1) Kapitalwert der Zahlungsüberschüsse der Investition 2) Annuitätenfaktor für n 10 Jahre Gewinn / Verlust Gewinn A Z - A I 12.166,75-12.392,53-225,78 Übungsaufgabe 7 (Seite 20)
Dynamische Pay-off-Methode p 10 % Zeitpunkt jährlicher abgezinster kumulierter Einnahmenüberschuß Einnahmenüberschuß Einnahmenüberschuß Kapitalwert 0-80.000,00 Ende 1. Jahr 10.650 9.681,82 9.681,82-70.318,18 Ende 2. Jahr 10.650 8.801,65 18.483,47-61.516,53 Ende 3. Jahr 10.650 8.001,50 26.484,97-53.515,03 Ende 4. Jahr 10.650 7.274,09 33.759,07-46.240,93 Ende 5. Jahr 7.650 4.750,05 38.509,12-41.490,88 Ende 6. Jahr 15.400 8.692,90 47.202,01-32.797,99 Ende 7. Jahr 15.400 7.902,64 55.104,65-24.895,35 Ende 8. Jahr 15.400 7.184,21 62.288,86-17.711,14 Ende 9. Jahr 15.400 6.531,10 68.819,97-11.180,03 Ende 10. Jahr 25.400 9.792,80 78.612,77-1.387,23 Die dynamische Pay-off-Methode errechnet die Amortisationsdauer aus dem Zeitraum der vergeht, bis die abgezinsten kumulierten Kapitalrückflüsse gerade gleich dem eingesetzten Kapital sind, d.h. der Kapitalwert wird erstmalig positiv. Übungsaufgabe 7 (Seite 21)
Interner Zinsfuß Der interne Zinsfuß zeigt an, welche effektive Verzinsung des eingesetzten Kapitals sich aus den Einahmenüberschüssen (Kapitalrückfluß) ergibt. Dies bedeutet: beim internen Zinsfuß ist der Kapitalwert der Investition gleich Null. 1. Schritt Da sich bei 10 % Kalkulationzinsfuß ein negativer Kapitalwert (-1.387,23 ) ergibt, muß der effektive Zins kleiner als 10 Prozent sein. Bei einem Kalkulationszinsfuß in Höhe von 9 % erhält man einen Kapitalwert in Höhe von +2.630,40. der effektive Zins muß daher zwischen 9 % und 10 % liegen, jedoch näher bei 10 %. erste Schätzung: 9,7 % 2. Schritt Der Kapitalwert für 9,7 % beträgt -213,05. Der effektive Zins muß kleiner 9,7 % und größer als 9 % sein. zweite Schätzung: 9,65 %. Der zugehörige Kapitalwert beträgt dann -14,81. Der effektive Zins muß geringfügig kleiner als 9,65 % sein. dritte Schätzung: 9,64 % 3.Schritt Der Kapitalwert für 9,64 % beträgt 24,93. der effektive Zins muß daher zwischen 9,65 und 9,64 % liegen. Diese Genauigkeit kann durch weitere Schritte immer mehr verbessert werden. Excel errechnet einen effektiven Zinssatz in Höhe von 9,646273 % Übungsaufgabe 7 (Seite 22)
p 9 % Zeitpunkt jährlicher abgezinster kumulierter Einnahmenüberschuß Einnahmenüberschuß Einnahmenüberschuß Kapitalwert 0-80.000,00 Ende 1. Jahr 10.650 9.770,64 9.770,64-70.229,36 Ende 2. Jahr 10.650 8.963,89 18.734,53-61.265,47 Ende 3. Jahr 10.650 8.223,75 26.958,29-53.041,71 Ende 4. Jahr 10.650 7.544,73 34.503,02-45.496,98 Ende 5. Jahr 7.650 4.971,98 39.474,99-40.525,01 Ende 6. Jahr 15.400 9.182,52 48.657,51-31.342,49 Ende 7. Jahr 15.400 8.424,33 57.081,84-22.918,16 Ende 8. Jahr 15.400 7.728,74 64.810,58-15.189,42 Ende 9. Jahr 15.400 7.090,59 71.901,16-8.098,84 Ende 10. Jahr 25.400 10.729,23 82.630,40 2.630,40 Übungsaufgabe 7 (Seite 23)
p 9,7 % Zeitpunkt jährlicher abgezinster kumulierter Einnahmenüberschuß Einnahmenüberschuß Einnahmenüberschuß Kapitalwert 0-80.000,00 Ende 1. Jahr 10.650 9.708,30 9.708,30-70.291,70 Ende 2. Jahr 10.650 8.849,86 18.558,15-61.441,85 Ende 3. Jahr 10.650 8.067,33 26.625,48-53.374,52 Ende 4. Jahr 10.650 7.353,99 33.979,47-46.020,53 Ende 5. Jahr 7.650 4.815,35 38.794,83-41.205,17 Ende 6. Jahr 15.400 8.836,51 47.631,34-32.368,66 Ende 7. Jahr 15.400 8.055,16 55.686,51-24.313,49 Ende 8. Jahr 15.400 7.342,90 63.029,41-16.970,59 Ende 9. Jahr 15.400 6.693,62 69.723,03-10.276,97 Ende 10. Jahr 25.400 10.063,93 79.786,95-213,05 Übungsaufgabe 7 (Seite 24)
p 9,65 % Zeitpunkt jährlicher abgezinster kumulierter Einnahmenüberschuß Einnahmenüberschuß Einnahmenüberschuß Kapitalwert 0-80.000,00 Ende 1. Jahr 10.650 9.712,72 9.712,72-70.287,28 Ende 2. Jahr 10.650 8.857,93 18.570,65-61.429,35 Ende 3. Jahr 10.650 8.078,37 26.649,02-53.350,98 Ende 4. Jahr 10.650 7.367,41 34.016,44-45.983,56 Ende 5. Jahr 7.650 4.826,34 38.842,78-41.157,22 Ende 6. Jahr 15.400 8.860,72 47.703,50-32.296,50 Ende 7. Jahr 15.400 8.080,91 55.784,41-24.215,59 Ende 8. Jahr 15.400 7.369,73 63.154,14-16.845,86 Ende 9. Jahr 15.400 6.721,14 69.875,28-10.124,72 Ende 10. Jahr 25.400 10.109,91 79.985,19-14,81 Übungsaufgabe 7 (Seite 25)
p 9,64 % Zeitpunkt jährlicher abgezinster kumulierter Einnahmenüberschuß Einnahmenüberschuß Einnahmenüberschuß Kapitalwert 0-80.000,00 Ende 1. Jahr 10.650 9.713,61 9.713,61-70.286,39 Ende 2. Jahr 10.650 8.859,55 18.573,16-61.426,84 Ende 3. Jahr 10.650 8.080,58 26.653,74-53.346,26 Ende 4. Jahr 10.650 7.370,10 34.023,84-45.976,16 Ende 5. Jahr 7.650 4.828,55 38.852,38-41.147,62 Ende 6. Jahr 15.400 8.865,57 47.717,95-32.282,05 Ende 7. Jahr 15.400 8.086,07 55.804,02-24.195,98 Ende 8. Jahr 15.400 7.375,11 63.179,13-16.820,87 Ende 9. Jahr 15.400 6.726,66 69.905,79-10.094,21 Ende 10. Jahr 25.400 10.119,14 80.024,93 24,93 Übungsaufgabe 7 (Seite 26)
p 9,646273 % Zeitpunkt jährlicher abgezinster kumulierter Einnahmenüberschuß Einnahmenüberschuß Einnahmenüberschuß Kapitalwert 0-80.000,00 Ende 1. Jahr 10.650 9.713,05 9.713,05-70.286,95 Ende 2. Jahr 10.650 8.858,53 18.571,59-61.428,41 Ende 3. Jahr 10.650 8.079,19 26.650,78-53.349,22 Ende 4. Jahr 10.650 7.368,42 34.019,20-45.980,80 Ende 5. Jahr 7.650 4.827,16 38.846,36-41.153,64 Ende 6. Jahr 15.400 8.862,53 47.708,88-32.291,12 Ende 7. Jahr 15.400 8.082,83 55.791,72-24.208,28 Ende 8. Jahr 15.400 7.371,74 63.163,45-16.836,55 Ende 9. Jahr 15.400 6.723,20 69.886,65-10.113,35 Ende 10. Jahr 25.400 10.113,35 80.000,00 0,00 Übungsaufgabe 7 (Seite 27)