Lösungen Mathematik Dossier Rechnen mit Varilen a) Erweitern mit Bruch (-) (-) 6 a+ b+6 a+ a- 6 (a+) 6 a+ (b+6) b+ (a+) (a-) a+ a-6 6 0 (a+) a+ (b+6) 6 b+ 6 (a+) (a-) a+ a- (-0) (-0) (-) (-) (-0) (-)(a+) (-0) (-a) - (-)(b+6) (- - 0 (-) (-) (-)(a+) (-)(a-) (-a)-0 (-a)+0 (-) (-6) (-) (-) (-) (-)(a+) (-) (-a) - (-)(b+6) (-6) (-- (-6) (-)(a+) (-)(a-) (-a)- (-a) + Seite Erweitern von Brüchen a) (-) (-) (-) (-)(a-) (-) (-a)+ 6 Bruch erweitert mit neuer Bruch a) b a 6b b 6b 6b Seite Kürzen von Brüchen a) 0 a kürzen mit (ggt) kürzen mit (ggt) j) kürzen mit (ggt) k) kürzen mit (ggt) l) a b a c ef g kürzen mit (ggt) kürzen mit b (gemeinsamer Faktor) kürzen mit fg (gemeinsame Faktoren) kürzen mit (m + n) Gemeinsamer Faktor kürzen mit (ggt) m) (r + s) kürzen mit (r + s) Gemeinsamer Faktor kürzen mit (ggt) n) kürzen mit (ggt) o) kürzen mit (ggt) p) a kürzen mit c. y kürzen mit 6 (e+ Gemeinsame Faktoren (Achtung, nach Kommutativgesetz ist f+e e+ kürzen mit xz (Gemeinsame Faktoren) Loesungen Mathematik-Dossier - - Die Welt der rationalen Zahlen A. Räz / 6.0.0 Seite
Lösungen Mathematik Dossier Rechnen mit Varilen Seite Kürzen von Brüchen Seite 6 Ordnen und Vergleichen von Brüchen Seite Brüche gleichnamig machen a) a) + 0 (-) + (-) (-6) (-) + - (-) (-) + + 6 (-6)+ -(+) (-6)+ 6- j) 0 x - 6xy x ( - y) a - ay a( - y) x a 60c-0d 0c 0(c- 0c c-d c x + 0 (x + ) x + 0m + (m + ) m + x + 6 (x + ) x + a) 0 < < < < < 0 < < Regel bei gleichen Zählern: Je grösser der Nenner, desto kleiner die Zahl < < < < < < < Regel bei gleichen Nennern: Je kleiner der Zähler, desto kleiner die Zahl a) > > > > > (- 0 )> (- 6 ) Regel bei gleichen Zählern: Je kleiner der Nenner, desto grösser die Zahl 6 > > > (- ) > (- ) > (- ) Regel bei gleichen Nennern: Je grösser der Zähler, desto grösser die Zahl (-) a) 6 (-6) (- ) (- ) > (Ergänzen auf (-)!) (- 6 ) (- ) > (-6) (-) (Ergänzen auf!) (-) (-) > > (Wieviel über?) a) a) a) (-) > (-) (-) > (Ergänzen auf (-)!) a 6 ; a - a HN: 0 kgv (, 6, ) 0 ; (a - ) 0 ; 0 oder a - 0 ; ; 6 HN: kgv (,, ) ; 6 ; 0 > 66 0 > 6 0 > 60 0 6 > > 0 > 6 0 > 0 0 > 0 0 > (- 0 ) > (- 0 ) > > > (- 6 ) > (- ) 6 ; bc HN ; bc x- a, x+ b(x-) HN b, a(x+) a 6 x, HN 6x 6x, x f-r 6x ef ; e+r f-r HN ef ef ef ; f(e+r) ef ; c HN c bc c ; a e-t c b ; e+k (e-t) HN b b b ; b(e+k) b a+ ; b- a+ HN ; b-6 x - ; x- (x-) HN ; x- Loesungen Mathematik-Dossier - - Die Welt der rationalen Zahlen A. Räz / 6.0.0 Seite
Lösungen Mathematik Dossier Rechnen mit Varilen Seiten / Addition und Subtraktion von Bruchtermen a) a) a+b+a-b a a HN: b - a a-b + b (-a) + b oder a - b + b b c + a c - c a +b - c b - a a i i + i 0i 0 - i 0 + i 0 0 + 0 (-) 0 p - q - ( p + q ) + a b a b - 0 p - q - p - q 0i - i + i 0 i 0 HN: HN: HN: c HN: 0-0 - 0 ( - 0 ) HN: 0 (-q) HN: HN: a b ax a x - a a x ax-a a x a(x-) a x (x-) HN: a x ax x (x-y) - y+x (x-y) 0 (x-) + (x-) x - y - x (x-y) x - y (x-y) - (x-) 0+- (x-) (x-) x x-y - y x (x-y) (x-y) - y (x-y) x-y (x-y) ( a - b + c ) ( a + b - c ) a -b + c - a - b + c (- + c (-b + HN: (x y) HN: (x ) HN: (x y) HN: Seite Multiplikation und Division von Bruchtermen a) 6 6 6 0 0x 6 6x x 6 6x x 6 6 6 6 (-) j) k) l) m) n) o) (-) p) (-) cbd c (-) ( -) bd a (- x (-a x (c- a a c c-d c (a+ x x x (a+ (a+ 0x (a+ : 6 x y w (-z) 6pq x x 6q r x x w y (-z) wx (-yz) 6pq x r x 6q x pr x Loesungen Mathematik-Dossier - - Die Welt der rationalen Zahlen A. Räz / 6.0.0 Seite
Lösungen Mathematik Dossier Rechnen mit Varilen Seite Gemischte Operationen mit Bruchtermen a) (e+ 6 - (e+ (e+ 6 x - 60x - 6 x - x - - (e+ 6 x - x - x - x - (e+ - (e+ 6 e + f 6 0x - 0x - x - 60 60 60x - x - 6 6x - 6-66x + 6x - x + x - x 6( - x) 6 - x x - 6x 0x - x 6x 0 0 x 0 x - 6 (x 0 + ) x - x 0 - x - x - 6 x - x - 0 x - 0 (x - 0) 00 00 00 Seite Gleichungen mit Bruchtermen (ohne Satzaufgen) Seite Gleichungen mit Bruchtermen (Satzaufgen) a) 0x - x HN () 0 x 6x V x : x x x - x HN () x - x - x (- ) x x (- ) x 6 x HN () 0 6x 0 0x + 0x 0 + x 0-0 x 60 : x x x+ - x+ HN () a) 6x + (x+) V 6x + 0x V 6x + 0 0x +0x 6x + 0-6x : 6 x 6 x 6 Situation heute: Veränderung Vergleich Vater Jahre Sohn Jahre beide werden x Jahre älter, also Vater + x Jahre Sohn + x Jahre Vater ist dann doppelt so alt wie der Sohn Vater Sohn Gleichung aufstellen + x (+x ) V Gleichung lösen + x + x -x Antwortsatz: + x - x In Jahren ist der Vater doppelt so alt wie der Sohn. Loesungen Mathematik-Dossier - - Die Welt der rationalen Zahlen A. Räz / 6.0.0 Seite
Lösungen Mathematik Dossier Rechnen mit Varilen Situation: Tiere. Schweine und Hühner. Vergleich: Es hat also: x Schweine mit je Füssen x Füsse x Hühner mit je Beine (-x) Beine 0 Hühnerbeine mehr als der Schweinefüsse Schweinefüsse + 0 Hühnerbeine Gleichung aufstellen x + 0 ( x) V x + 0 0 x HN () x + 0 0 6x + 6x 0x + 0 0-0 0x 0 :0 X Antwortsatz: Es hat Schweine und Hühner auf dem Hof (da x Anzahl Schwein Zustand jetzt: Flughöhe von A: der Flughöhe von B x Flughöhe von B: x beide fahren 0 Meter höher, also Seiten / Gleichungen mit Bruchtermen (Satzaufgen) Veränderung: Vergleich: Gleichung aufstellen: Gleichung lösen: Antwortsatz: A: x + 0 B: x + 0 Dann fährt A auf einer Flughöhe von von A (neue Flughöhen verglichen!) A fährt neu auf von B x + 0 (x + 0) V x x + 0 + 0 HN (6) x + 0 x + 060 - x 0 x + 060-060 0 x : 0 x B hat eine Flughöhe von 0 m, A eine solche von 0 m Bemerkung: (x ist definiert als Höhe von B, A hat eine Höhe von x, also von 0 0) Situation: Veränderung: Vergleich: Lift A in 6 m Höhe Lift B in m Höhe Jeder Lift steigt um x Meter, also Lift A: 6 + x Lift B: + x Lift A hat eine neue Höhe von der Höhe von Lift B (neue Höhen verglichen) Lift A ist auf von Lift B Gleichung aufstellen 6 + x ( + x) V 6 + x + x HN () + x + x -x + x - x : x Antwortsatz: Beide Lifte müssen um Meter steigen. (x ist die Veränderung der Höhe!) Loesungen Mathematik-Dossier - - Die Welt der rationalen Zahlen A. Räz / 6.0.0 Seite
Lösungen Mathematik Dossier Rechnen mit Varilen a) (-) + (-) + (-) + (-) + (-) (-) (-) Seiten 0 / Rechnen mit Potenzen (-0.) (-0.) (-0.) (-0.) (-0.) ( ) 0 (- ) (- ) (- ) (- ) (- ) 6 6 a) (-) (-) (-) 6 ( ) 0. 0. 0. 0.0 ( (-) ) (-) (-) 0 (- ) 0. 0. 0. 0. 0. 0.006 (-) (-) Differenz Berechnungsweg Quadratzahl Quadratzahl a) 0 + (Summe der Basiszahlen) 0 00 6 + (Summe der Basiszahlen) + 6 (Summe der Basiszahlen) 6 6 0 + (Summe der Basiszahlen) 0 600 6 + 6 (Summe der Basiszahlen) 6 6 a) ( p 6 ) (p) 6 p 6 6p 6 ( (-a) (- (-) ) ((-a) (-) (-) (-a) (- (-) a b a b (-e (-e (-) e f 6 e f (-6a (-6) a b (-6a b ) ( f (-) ) ( (-) f (-) f (-) ( 6x y ) (6x) (y) 6 x y 6x 0y a) (-) - (-) (-) + (g (g g h 6g h (- ) - ( ) (- ) - (- ) - (- ) - (-)- (-0) + (- ) : + (- ) + (- ) + (- ) + (-) ( - ) - (- ) ( - ) - (-) + + ((-.) -.) : (0. ) ((-.) : (0. ). :. (-6.) ((-.) :.) (-6.) (-.6) (-6.).6 (-0.0) Flächeninhalt 6 6 6 6 Seitenlänge 6 Seiten / Aufgen Quadratwurzeln a) : > : Grund: und das ist sicherlich grösser als Grund: Gemäss Rechenregeln mit Wurzeln (siehe Theorieteil) + + : < Grund: + 6, und + + 6 : Grund: 6 (-0) 6 (-0 6 ) : > Grund: (-0) 6 ist positiv (Exponent gerad; (-0 6 ) negativ (Exponent ist in der Klammer, gilt also nur für die 0, nicht er für das Minus. a) - 6. 6. 6.... 6. (-) unlösbar (Quadratwurzeln können nicht aus negativen Zahlen bestimmt werden) - -6 6. + (-) + 0 6 6. +(-) - +(- ) +-6+(-). Loesungen Mathematik-Dossier - - Die Welt der rationalen Zahlen A. Räz / 6.0.0 Seite 6
Lösungen Mathematik Dossier Rechnen mit Varilen a).6 - (- ) 66.6-6 66.6 006.60 00. - 6 006. -.6 Seite Aufgen Quadratwurzeln (-) + 0.6 + 0.6 +.0.0 6.0 + 0.6 0.06 6 0000 6 0000 00 00 00 (-) + (- 6 ) (-) + (- 6 ) (-) + (- ) (-) a) 0 0 + 0.6 + 0.6. + (- (-) + (-) ) (-) ( - ) 6 0 0 0 () (da keine Päärchen vorhanden, kann diese Wurzel nicht zerlegt werden). 6 a) a a a b a a b a b a b y -(y) y -6y y y y y 6r +(-r ) 6r -r 6r 6 r r (c 6) c c c c 6 r q 6 r q 6 r q qr Loesungen Mathematik-Dossier - - Die Welt der rationalen Zahlen A. Räz / 6.0.0 Seite