Modellieren in der Angewandten Geologie II Geohydromodellierung Institut für Geowissenschaften Christian-Albrechts-Universität zu Kiel CAU 3-1
Die Finite Elemente Method (FEM) ist eine sehr allgemeine Näherungsmethode. Sie wurde in den 1950 in der Mechanik eingeführt, hat sich seither jedoch mathematisch stark weiterentwickelt und ist auf eine Vielzahl von Problemen angewendet worden, wie z.b. Grundwasserströmung und Stofftransport. Die FEM ist eine Euler sche Methode. Die Grundidee und die grundlegenden Schritte dieser Methode sind: 1) das Modellgebiet in kleine Teilgebiete zu unterteilen (räumliche Diskretisierung durch Elemente) 2) die Ableitung einer integralen Form ( schwache Form ) der zu berechnende partiellen Differentialgleichung 3) die Näherung der gesuchten Lösung durch Testlösungen, die über den Teilelementen aufgelöst sind 4) das Berechnen der im Mittel besten Näherung für das gesamte Modellgebiet CAU 3-2
1) Räumliche Diskretisierung des Modellgebiets. Im Gegensatz zur Finite Differenzen Methode benötigt die FEM keine strukturierten Gitter. Die Elemente, in die das Modellgebiet zerlegt wird, können viele Formen und Dimensionen haben. 170 Linienelemente 160 Y 150 Dreieck Viereck 140 80 90 100 110 X Tetraeder Hexaeder Prisma CAU 3-3
Einzige Anforderung an die Elemente ist, dass sie nicht überlappen dürfen und das gesamte Modellgebiet abdecken müssen (keine Lücken). Genau wie bei FD auch, wird nicht das Modellgebiet diskretisiert, sondern die prozess-beschreibende partielle Differentialgleichung. Innerhalb eines Modellgebiets können Elemente unterschiedlicher Art und auch Dimension kombiniert werden, so z.b. für die Berechnung von Kluft-Matrix-Systemen. CAU 3-4
Aus diesen Freiheiten bei der Wahl der Elemente resultiert einer der wesentlichen Vorteile der FEM gegenüber der FDM. Insbesondere die Genaue Abbildung von Geometrien und das lokale Verfeinern von Netzen (z.b. um Brunnen herum) bietet große Vorteile. Brunnengalerie Fluss Fluss CAU 3-5
2) Integrale Form Für die FEM wird die integrale Form der Erhaltungsgleichung benötigt. Dies ist insbesondere in den Fällen von Vorteil, wo Ableitungen aufgrund von Sprüngen in der Lösung nicht existieren (da kann man FD gar nicht anwenden). Die integrale Form (auch schwache Form ) wird durch die Methode der gewichteten Residuen abgeleitet. Dies ist die allgemeine Form und funktioniert in allen Fällen. Für gewisse Problemklassen können auch Variationsprinzipien herangezogen werden. Es wird dabei angenommen, dass die Lösung u einer partiellen Differentialgleichung L(u) = 0 als Näherung durch eine Testlösung (auch: Näherungslösung) û erhalten werden kann: Dabei sind φ i sog. lineare Basisfunktionen oder Interpolationsfunktionen, C i sind unbekannte Parameter und m ist die Anzahl der Gitterpunkte. CAU 3-6
Wenn diese Näherungslösung û in die partielle Differentialgleichung L(u)=0 eingesetzt wird, wird sie diese nicht vollständig erfüllen, d.h. L(û) 0: R nennt man das Residuum ( was übrig ist ). R ist ein Maß für die Genauigkeit der Lösung, d.h. je kleiner R, desto näher ist û bei der exakten Lösung u. CAU 3-7
Weil der Fehler nicht (immer) an allen Gitterpunkten gleichzeitig zum Verschwinden gebracht werden kann, müssen die Fehler an den Gitterpunkten aufaddiert und mit (irgend-)einer Gewichtung versehen werden. (Diese Gewichtung kann z.b. 1 für jeden Knoten sein). Dann kann man eine Lösung û finden, welche das Residuum R für das gesamte Modellgebiet minimiert. Unter Verwendung von Gewichtungsfunktionen ω i für das Residuum R:! wobei die Integration über das gesamte Modellgebiet Ω läuft. Die Aufgabe ist nun, die unbekannten Werte der Funktionen C i so zu bestimmen, dass das Residuum minimiert wird. CAU 3-8
Aus dieser Bedingung können Gleichungssysteme hergeleitet werden, welche die Bestimmung dieser Konstanten erlauben. Für stationäre partielle Differentialgleichung werden das algebraische Gleichungen sein, für instationäre PDG ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen. Die Methode der gewichteten Residuen ist sehr allgemein und beinhaltet weitere speziellere Methoden als Unterfälle, die auch noch von den Elementtypen abhängen. So kann z.b. für rechtwinklige Vierecke die Finite Differenzen- Methode abgeleitet werden. CAU 3-9
Unter Verwendung von ergibt sich die integrale Form der Transportgleichung zu: mit den Gewichtungsfunktionen ω und der Näherungslösung Ĉ. Durch Anwendung von partieller Integration auf Terme mit Ableitungen zweiter Ordnung sowie des Gauss schen Integralsatzes erhält man: CAU 3-10
3) Approximation der Lösung Die unbekannte Konzentrationsverteilung C (entspricht u) wird durch Testfunktionen (entspricht û) approximiert, die folgende Form haben: Dabei sind φ die Interpolationsfunktionen auf den einzelnen Elementen und m ist die Anzahl der Gitterpunkte im Modellgebiet. Für die Galerkin Finite Elemente Methode werden für die Test~ und die Gewichtungsfunktionen dieselben Funktionen verwendet (φ = ω). CAU 3-11
Sortiert man in dieser Gleichung alle Terme mit den unbekannten C i auf die linke Seite, so erhält man: mit: Massen-Matrix Advektion-Matrix Diffusion-Matrix (E ij = F ij = 0 hier) CAU 3-12 Rechte-Seite-Matrix
Die partielle Differentialgleichung ist somit in eine gewöhnliche Differentialgleichung umgewandelt worden. Man erkennt, dass die Elementmatrizen nicht mehr von der gesuchten Funktion C j abhängen. Dies gilt für lineare Differentialgleichungen. Diese hängen nur von der Elementgeometrie ab, die sich in den Basisfunktionen widerspiegelt. Zur Berechnung der einzelnen Beiträge (globale Matrizen) müssen die einzelnen Basisfunktionen der Elemente bekannt sein und berechnet werden. CAU 3-13
Die unterschiedlichen Integralterme entsprechen jeweils sog. globalen Matrizen. Da das Modellgebiet in einzelne Elemente aufgeteilt ist: Die globalen Matrizen können dann in ihre Beiträge von den einzelnen Elementen zerlegt werden, indem die lokalen Interpolationsfunktionen der Elemente verwendet werden. Diese müssen dabei so gewählt werden, dass sie Polynome innerhalb eines Elements sind und außerhalb dieses Elements den Wert 0 annehmen. Diese lokalen Elementmatrizen können dann in einem transformierten (isoparametrischen) Koordinatensystem ausgewertet werden. Diese stellen die Elementgeometrie dar sowie Kombinationen der Elementgeometrie mit Materialparametern (wie z.b. dem Diffusionskoeffizient). Die globalen Matrizen werden aus den berechneten lokalen Matrizen zusammengestellt. CAU 3-14
Damit erhält man einen Satz von algebraischen Gleichungen: Dabei sind C ij und B ij globale Elementmatrizen. Schreibt man: erhält man ein Gleichungssystem vom Typ Ax=b, welches anhand von Standardmethoden aus der numerischen Mathematik gelöst werden kann. (LU-Dekomposition, SOR, CG, ) CAU 3-15
Interpolation und Basisfunktionen Die grundlegende Idee der FEM ist, die gesuchte Funktion (=Lösung der PDG) im Modellgebiet als Linear-Kombination von bekannten Element-Basisfunktionen und den Werten der gesuchten Funktion an den Knoten (zeitlich variabel) zu beschreiben. Die Basisfunktionen (auch: Formfunktionen) sind jeweils einem Knoten zugeordnet, Summation ist über alle Knoten im Modellgebiet. Die Basisfunktionen unterliegen folgenden Bedingungen: CAU 3-16
Basisfunktionen für das 1D Linienelement Die Abbildung zeigt ein 1D Linienelement mit Basisfunktionen, der exakten Lösung u(x) und der Näherung f(x) CAU 3-17
Der einfachste Ansatz zur Näherung der unbekannten Funktion u(x) ist die lineare Interpolation zwischen den Elementenden (=Knoten, Punkte). Die Ansatzfunktion û = ω = φ ist dann: An den Knoten gilt daher: bzw. Diese Beziehung kann nach den Koeffizienten a i aufgelöst werden: Damit wird die Näherungslösung: CAU 3-18
Damit sind die lokalen, auf dem Element gültigen Formfunktionen gefunden worden: Bei zwei verbundenen Linienelementen (Achtung: Tausch N 1 N 2 ): Dazu auch Ableitungen: CAU 3-19
Die Berechnung der einzelnen Elementmatrizen kann standardisiert werden, indem nicht globale sondern lokale Koordinaten verwendet werden. Die Abbildung zeigt als Beispiel den Übergang von der x-koordinate zur lokalen r-koordinate. Unter der Annahme einer linearen Koordinatentransformation: und der Bedingung: d.h. der Bereich [x 1, x 2 ] wird auf [-1,1] abgebildet. CAU 3-20
Globale und lokale Zuweisungen: CAU 3-21
Analog zur Ableitung der Formfunktionen ergibt sich: D.H., die Koordinatentransformation kann durch Formfunktionen ausgedrückt werden: Die Koordinatentransformation erlaubt es, die Matrizen lokal in verallgemeinerten Koordinatensystemen auszuwerten. CAU 3-22
Als Beispiel die Massenmatrix aus der Transportgleichung: globale Massen-Matrix Mit: lokale Element-Formfunktionen ergeben sich die lokalen Masse-Matrizen zu: Transformation vom x-y-z in das lokale r-s-t System: CAU 3-23
Beispiel: FE für Dreieckselemente Lineare Dreieckselemente CAU 3-24
Beispiel: FE für Dreieckselemente Knotenflüsse: Beiträge des Elements e zu Knoten i Knotenflüsse: Beiträge der Elemente e1 bis e5 zu Knoten i CAU 3-25
Beispiel: FE für Dreieckselemente Flüsse an der Randbedingung Flüsse in der Fläche: Aufteilung der Neubildung gemäß den zu den Knoten gehörigen Teilflächen des Elements CAU 3-26
Beispiel: FE für Dreieckselemente Wasserbilanz am Knoten: Beiträge ohne Neubildung Wasserbilanz am Knoten: Beiträge mit NeubildungFlüsse in der Fläche CAU 3-27
Koordinatentransformation Beispiel: Kartesische ebene Polarkoordinaten CAU 3-28