Theoretische Physik 1, Mechanik

Theoretische Physik 1, Mechanik Harald Friedrich, Technische Universität München Sommersemester 2009 Mathematische Ergänzungen

Vektoren und Tensoren Partielle Ableitungen, Nabla-Operator

Physikalische Definition eines Vektors Betrachte einen Vektor v im dreidimensionalen Raum. In Bezug auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem habe er die Komponenten,,. In Bezug auf ein Koordinatensystem, dass um den Winkel α um die z-achse gedreht ist, sind die Komponenten von v: v x, v y, v z, wobei y v y y α vx v x x x v x = cos α + sinα, v y = sinα + cos α, v z =, d.h. v x cos α sinα 0 = R α, R α = sinα cos α 0. 0 0 1 Drehen wir das Koordinatensystem nun um den Winkel β um die neue y-achse, und dann um den Winkel γ um die ganz neue z-achse, so sind die Koordinaten von v schließlich,, :

= R γ = R β v x v y v z cos γ sinγ 0, R γ = sinγ cos γ 0, 0 0 1 cos β 0 sinβ, R β = 0 1 0. sinβ 0 cos β Nach einer allgemein(st)en Drehung des Koordinatensystems, hier als Beispiel durch drei Eulersche Winkel α, β, γ beschrieben, transformieren sich die Komponenten des Vektors v wie folgt: = R(α,β,γ), R(α,β,γ) = R γ R β R α = cos γ cos β cos α sinγ sinα cos γ cos β sinα+sinγ cos α cos γ sinβ sinγ cos β cos α cos γ sinα sinγ cos β sinα+cos γ cos α sinγ sinβ. sinβ cos α sinβ sinα cos β

Ein Tripel a x,a y,a z von Zahlen, dass in Bezug auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem definiert ist und bei einer Rotation des Koordinatensystems durch die Eulerschen Winkel α,β,γ in a x,a y,a z transformiert wird, wobei a x a y a z = R(α,β,γ) a x a y a z, ist im physikalischen Sinn ein Vektor im dreidimensionalen Raum. Die Matrizen R = (R i j ), welche die Transformation der Komponenten bei Rotationen beschreiben, sind orthogonale Matrizen, d.h. RR T = R T R = 1, bzw. 3 k=1 R i kr j k = 3 k=1 R k ir k j = δ i, j [δ i, j = Kronecker-Symbol: Eins für i = j und Null für i j]. Skalarprodukt zweier Vektoren: v w = + w y + ; hängt nicht von der Wahl des (rechtwinkligen) Koordinatensystems ab: Rotation w y T v w = ( ) v x T w y w z = = R T R w y T w y = T w y

Eine Größe, die bei Drehung des Koordinatensystems invariant bleibt ist ein Skalar. Ein Tensor zweiter Stufe, T i j, besteht aus 3 3 Zahlen (zwei Indizes laufen von eins bis drei), die sich bei Rotationen des (rechtwinkligen) Koordinatensystems wie folgt transformieren: T i j T i j = k=1 l=1 R i k R j l T k l. Ein Tensor dritter Stufe hat drei Indizes und transformiert sich entsprechend mit drei Matrizen R. So kann man einen Vektor auch als Tensor erster Stufe und einen Skalar als Tensor nullter Stufe verstehen. Das Vektorprodukt zweier Vektoren v und w ist: w y v w def =. w y Die Komponenten von v w transformieren sich bei Rotationen des Koordinatensystems wie Komponenten eines Vektors (in 3D!). Spatprodukt dreier Vektoren: u ( v w) = ( u v) w.

Geometrische Interpretation: Sei θ der Winkel zwischen den Vektoren v und w; v w w w θ v die Länge z.b. von v ist v = v v = u v 2 x + v2 y + v2 z. Dann ist v w = v w cos θ; v w = v w sin θ ; die Richtung von v w ist dadurch gegeben, dass v w senkrecht auf v und w steht, v ( v w) = 0, w ( v w) = 0, und dass v, w und v w ein Rechts-System bilden, d.h. eine von v nach w gedrehte Rechtsschraube bewegt sich in Richtung v w. Das Spatprodukt u ( v w) ist ein Skalar; sein Betrag ist das Volumen des von den Vektoren u, v und w aufgespannten Parallelepipeds (s. Abb. oben rechts), und es ist positive (negativ) wenn u, v und w ein Rechts- (Links-)System bilden. v

Der Nabla-Operator Sei f ( r) eine relle Funktion von r = (x,y,z) T. Um einen gegebenen Punkt r 0 approximieren wir f durch eine in den drei Variablen x, y, z lineare Funktion, f ( r) r r 0 f ( r 0 ) + c x (x x 0 ) + c y (y y 0 ) + c z (z z 0 ), und wir nehmen an, dass diese Approximation im Grenzfall r r 0 immer besser wird. Die dabei auftretenden reellen Zahlen c x, c y, c z sind die jeweiligen partiellen Ableiungen der Funktion f nach x, y, und z am Ort r 0 : f (x,y 0,z 0 ) f (x 0,y 0,z 0 ) def c x = lim = f, x x0 x x 0 x r0 f (x 0,y,z 0 ) f (x 0,y 0,z 0 ) def c y = lim = f, y y0 y y 0 y r0 f (x 0,y 0,z) f (x 0,y 0,z 0 ) def c z = lim = f. z z0 z z 0 z r0

Der Nabla-Operator ist ein Differentialoperator; er bildet die Funktion f auf die Funktion f ab. f ist eine Funktion, welche jedem Punkt r im Definitionsbereich von f den Vektor der Partiellen Ableitungen am Ort r zuordnet. präzise: r f ( r ) x f ( r ) y f ( r ) z r = r, geläufig: r f x f y f z. Eine kleiene Änderung r von r führt zur Veränderung f von f, f = r f = r f cos( r, f ), d.h. f zeigt in Richtung des stärksten Anstiegs von f. Kettenregel: Sei r eine Funktion einer reellen Variablen t (z.b. der Zeit). Für t t 0 nähern wir r(t) r(t 0 ) + r, r = (t t 0 ) d r t=t0. Die Ableitung der Funktion f ( r(t)) nach t beschreibt die Änderung df, welche durch die (kleine) Änderung dt hevorgerufen wird, df f ( r(t)) f ( r(t 0 )) = lim = d r dt t0 t t0 t t 0 dt f = f dx x dt + f dy y dt + f dz z dt. dt

Für eine Funktion r, die nur vom Betrag r = r = x 2 + y 2 + z 2 abhängt, f = f (r), gilt wg. z.b. r x = x r : f x = df r dr x = df x dr r, f y = y r, f z = z r = f = df r dr r. F/ x 1 Verallgemeinerung auf n Variable : F(x1,...x n ) =. F/ x n (x 1,... x n ) (x 1,...x n )+( x 1,... x n ) = F F(x 1,... x n )+ F, für x i 0 : F = F x, d.h. F = n i=1 F x i x i. Homogene Funktion vom Grade k : F(αx 1,... αx n ) = α k F(x 1,... x n ). n F Eulersches Theorem für homogene Funktionen : x i = k F. x i i=1

Stationäre Punkte einer Funktion von mehreren Variablen Für Funktionen f (x 1,...x n ) von n Variablen (nicht nur n = 3) ( ist der n-dimesionale Gradient f f =,... f ) T. x 1 x n Eine kleine Verschiebung x der Variablen führt zu einer Änderung n f des Funktionswerts : f x 0 = f f x = x i. x i Die Bedingung für ein Maximum, Minimum oder sonstigen stationären (z.b. Sattel-) Punkt der Funktion f ist f = 0. Um einen Punkt x zu finden, bei dem f der unter ν Nebenbedingungen, l j (x 1,... x n ) = 0, stationär ist, konstruiert man mit Hilfe von ν Lagrangeschen Multiplikatoren λ j eine Hilfsfunktion F(x 1,...x n ;λ 1,... λ ν ) = f j λ jl j und sucht einen Punkt, an dem die alle n + ν partielle Ableitungen von F verschwinden. F λ j = 0 l j = 0 (1), F x i = 0 f = i=1 ν λ j lj (2). (1): Nebenbedingungen erfüllt; (2): f = 0 auf Höhenlinien der l j. j=1