Übungsaufgaben Grundkurs Höhere Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Teil 2: Analysis Sommersemester
Folgen und Reihen Aufgabe 1 Ein Betrieb erreiche im ersten Jahr einen Umsatz von 120 Mio e. Der Umsatz nehme jedes Jahr zu a) um 5 % dieser Summe, b) um 4 1 % des Vorjahresumsatzes. 4 Berechnen Sie für beide Varianten den Umsatz im 10. Jahr sowie den Gesamtumsatz während der 10 Jahre. Nach wieviel Jahren ist der jeweilige Gesamtumsatz größer als 10 Milliarden e? Aufgabe 2 Gegeben ist eine arithmetische Folge {a n } n N mit a 51 = 1 und a 71 = 41. Berechnen Sie die Summe der ersten 100 Folgeglieder. Aufgabe 3 Gegeben ist eine konvergente geometrische Folge {a n } n N mit a 1 + a 3 = 15 und a 2 = 6. Geben Sie eine Bildungsvorschrift der Folge {a n } n N an. Aufgabe 4 Eine Einmalanlage mit einem Mindestanlagebetrag von 10.000 e wird im ersten Jahr mit 5 % und in den folgenden Jahren mit 2 % verzinst. Die Zinsen werden automatisch wieder angelegt. Für jedes Jahr wird unabhängig vom Anlagebetrag ein Bonus von 100 e am Ende der Laufzeit gutgeschrieben. Die maximale Laufzeit beträgt 7 Jahre. Über das Guthaben kann frühestens nach zwei Jahren, aber jeweils nur am Ende eines Jahres verfügt werden. Stellen Sie den Endwert der Anlage in Abhängigkeit vom Anlagebetrag und der Laufzeit dar. Berechnen Sie den Endwert für einen Anlagebetrag von 20.000 e bei einer Laufzeit von 5 Jahren. Aufgabe 5 Ein fester Anlagebetrag wird bei der Privatbank Mooshamm im ersten Jahr mit 3,0% verzinst. In jedem weiteren Jahr erhöht sich die Verzinsung um 0,2%. a) Wie hoch ist der Endwert nach n Jahren, wenn mit Verzinsung ohne Zinseszins gerechnet wird? b) Bestimmen Sie für einen Anlagebetrag von 10.000 e bei einer Laufzeit von 6 Jahren den unter a) beschriebenen Endwert. Wie hoch muss eine über 6 Jahre konstante Verzinsung mit Zinseszins sein, um zum gleichen Endwert zu gelangen?
Aufgabe 6 Herr Zackenbarth eröffnete zu Beginn des Jahres 2012 ein Konto mit einem Startkapital von 10.000 e. Es wurde Verzinsung mit Zinseszins und ein Zinssatz von 4% vereinbart. Herr Zackenbarth wird in den Jahren 2015 bis 2024 jeweils am Jahresende 5.000 e einzahlen. Am Ende des Jahres 2030 soll das Konto ein Guthaben von 100.000 e ausweisen. a) Welchen Betrag muss Herr Zackenbarth noch einmalig am Ende des Jahres 2030 einzahlen, um das gewünschte Guthaben zu erreichen? b) Nach dem Jahr 2030 leistet Herr Zackenbarth keine weiteren Einzahlungen. In welchem Jahr weist das Konto erstmalig mehr als 200.000 e aus? Aufgabe 7 Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen {a n } n N auf Monotonie und Beschränktheit und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. ( ) 2 n 1 a) a n = 2 b) a n = n2 c) a n + 1 2 n n = ( 3)n + 3 n 3 n+1 Aufgabe 8 Gegeben sind Zinssätze i nom > 0 und i real > 0. Für den Kurs einer n-jährigen Zinsschuld gilt C n = 100 i nom (1 + i real ) (1 + i real) n 1 + n i real Berechnen Sie den Grenzwert dieser Folge. 100 (1 + i real ) n, n N. Aufgabe 9 {s n } n N sei die Folge der Partialsummen einer Folge {a k } k N, d.h. s n = n a k, n N. k=1 a) Konvergiert die Folge {s n } n N, wenn a k = ( 1) k, k N, gilt? b) Geben Sie die Folge {a k } k N für s n = 2n + 1, n N, an.
Funktionen einer Veränderlicher Ableitungsbegriff und Elemente der Kurvendiskussion Aufgabe 1 Gegeben seien die Heavisidefunktion { 1, x > 0 H(x) = 0, x 0 und die Funktionen f(x) = x H(x), g(x) = x 2 H(x), x R. Untersuchen Sie die Funktionen H(x), f(x) und g(x) auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit an der Stelle x = 0. Aufgabe 2 Berechnen Sie die 1. Ableitung der Funktionen a) F (x) = x 2 2 x + ln x x + 2e x und f(x) = x ln x für x > 0, b) K 1 (t) = K 0 (1 + ti), K 2 (t) = K 0 (1 + i) t und K 3 (t) = K 0 (1 i) t für t 0 bei gegebenen K 0 > 0 und 0 < i < 1. Aufgabe 3 Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte nach der Regel von l Hospital: a) lim x 0 x sin x x 3 b) lim x 0+ 1 x 1 e x c) lim x 0+ (ex + x) 1 x und lim x (ex + x) 1 x Aufgabe 4 Für die Produktionsmenge x 1 seien K(x) = x + 2 x + 5 die Kostenfunktion und E(x) E(x) = ln x + 2x + 1 die Ertragsfunktion. Berechnen Sie den Grenzwert lim x K(x) und interpretieren Sie das Ergebnis. Aufgabe 5 Skizzieren Sie die Funktion f(x) = max{ 1, x 2 } im Intervall 2 x 2. Geben Sie alle globalen Minima der Funktion f an. Besitzt die Funktion f an der Stelle x = 0 ein lokales Maximum?
Aufgabe 6 Für Absatzmengen x > 0 seien die Preis-Absatz-Funktion p(x) und die Kostenfunktion K(x) bekannt. Mit D(x) = K(x) werden die Durchschnittskosten bezeichnet. Der Gewinn wird x durch die Funktion G(x) = x p(x) K(x) repräsentiert. a) Welche Eigenschaften besitzt die Preis-Absatz-Funktion, wenn für x > 0 die Bedingungen p(x) > 0 und p (x) 0 erfüllt sind? b) Welche Eigenschaften besitzt die Kostenfunktion, wenn für x > 0 die Bedingungen K(x) > 0 und K (x) > 0 sowie K (x w ) = 0, K (x) < 0 für 0 < x < x w und K (x) > 0 für x > x w erfüllt sind? c) Welche Relation muss zwischen den Durchschnittskosten D(x) und dem Preis p(x) für eine abgesetzte Mengeneinheit gelten, damit der erzielte Gewinn G(x) für eine Absatzmenge x > 0 positiv ist? Aufgabe 7 Es sei x(r) = 200 e r 100 eine vom Rohstoffeinsatz r abhängige Produktionsfunktion. 1 + er a) Untersuchen Sie das Monotonie- und Krümmungsverhalten der Funktion x für r 0. b) Welche Werte kann die Funktion x für r 0 annehmen? Aufgabe 8 Die Funktion f(x) = a +bx+c mit gegebenen positiven Konstanten a, b und c beschreibe die x Stückkosten für einen Lagerbestand x > 0 und wird als Lagerhaltungsfunktion bezeichnet. a) Analysieren Sie die Lagerhaltungsfunktion f und diskutieren Sie die gefundene Extremstelle. Welche Bedeutung haben die Konstanten a, b und c? b) Skizzieren Sie die Lagerhaltungsfunktionen f für a = 5, b = 0.2, c = 1. Aufgabe 9 Ein Unternehmen erzielt bei einem Absatz von x Produkteinheiten einen Gewinn vor Steuern von G(x) = 4x x. Bezüglich eines Steuersatzes 0 < r < 1 wird eine Mengensteuer in 10 Höhe von T r (x) = rx erhoben. Bei welchem Steuersatz wird die höchste Steuereinnahme erzielt, wenn gleichzeitig der Unternehmer seinen Gewinn nach Steuern maximiert? Aufgabe 10 Gegeben ist die Funktion f(x) = x 11 33x + 32. a) Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion f. b) Untersuchen Sie, ob die Funktion f an der Stelle x = 0 einen Wendepunkt besitzt. c) Weisen Sie nach, dass die Funktion f für x > 1 genau eine Nullstelle besitzt. Geben Sie diese mit einer Genauigkeit von 6 Stellen nach dem Komma an.
Funktionen einer Veränderlicher Differential, Elastizität, Taylorpolynome Aufgabe 1 x Geben Sie für die Funktion f(x) = 1 + ln den maximalen Definitionsbereich an. 2 x Berechnen Sie die Funktionswertänderungen bei Änderung von x 0 = 1 auf x = 1,1 bzw. x = 1,5 bzw. x = 1,9 näherungweise mit Hilfe des Differentials und zum Vergleich exakt mit Hilfe des Taschenrechners. Aufgabe 2 Für ein Produkt wird eine direkte Abhängigkeit der Nachfrage f vom durchschnittlichen Pro-Kopf-Einkommen x der Bevölkerung gemäß f(x) = 7e x 1000 beobachtet. Zu bestimmen sind (allgemein und speziell für x 0 = 1800) (i) die Einkommenselastizität der Nachfrage nach diesem Produkt; (ii) die prozentuale Änderung der Nachfrage bei Erhöhung des Durchschnittseinkommens um 1% (exakt und näherungsweise mit dem Ergebnis aus (i)). Aufgabe 3 Für eine Absatzmenge x > 0 sei K(x) = 0,1 x 2 + c die Kostenfunktion mit Fixkosten c > 0 und G(x) = 1,2 x K(x) die Gewinnfunktion. a) Für welche Absatzmengen verhält sich die Kostenfunktion proportionalelastisch? b) Ermitteln Sie mit Hilfe des Differentials näherungsweise die Gewinnänderung bei einer Änderung der Absatzmenge x 0 = 4 um x = 0,2. c) Bestimmen Sie für c = 4 die gewinnmaximale Absatzmenge x G und interpretieren Sie den Wert des Gewinnmaximums G(x G ). Aufgabe 4 Für Produktionsmengen x > 0 sei K(x) = (x 5) 3 + 125 eine Kostenfunktion. a) Berechnen Sie die Produktionsmenge x 0, für die die Stückkostenfunktion S(x) = K(x) x minimal wird und bestimmen Sie die Tangente an K(x) in diesem Punkt. b) Formulieren Sie allgemein für eine gegebene differenzierbare Kostenfunktion K(x) eine notwendige Bedingung für das Minimum der Stückkostenfunktion S(x) = K(x), x ausgedrückt jeweils durch eine Beziehung zwischen den Stückkosten S(x) und den Grenzkosten K (x), eine Bedingung für die Elastizität der Kostenfunktion K(x), die Lage der Tangente an die Kostenfunktion K(x) in einem Minimalpunkt x 0.
Aufgabe 5 Einer vom Zeitpunkt t 0 abhängigen Kapitalwertfunktion C(t) wird die Zinsintensität I(t) = C (t), auch Wachstumstempo zum Zeitpunkt t genannt, zugeordnet. C(t) Bestimmen Sie die Zinsintensitäten I 1 (t) und I 2 (t) für die Kapitalwertfunktionen C 1 (t) = C 0 (1 + ti) C 2 (t) = C 0 (1 + i) t (lineare Verzinsung) (exponentielle Verzinsung) bei gegebenen Startkapital C 0 > 0 und Zinssatz i > 0. Skizzieren und interpretieren Sie die Graphen der Funktionen I 1 (t) und I 2 (t) für i = 0,25. Aufgabe 6 Bestimmen Sie für die Funktion f(x) = 1 die Taylorpolynome erster bis vierter Ordnung 1 + x an der Stelle x 0 = 0 und berechnen Sie damit Näherungswerte für den Funktionswert f(0,1). Aufgabe 7 Für den Zeitpunkt der Verdoppelung eines Kapitals bei Verzinsung mit Zinseszins gibt es eine einfache Merkregel, die man gelegentlich in den Ratgeberspalten von Illustrierten findet: Die Zahl 70 wird durch den jeweiligen Zinsfuß geteilt. Zeigen Sie, dass die angegebene Merkregel gute Näherungen liefert. Aufgabe 8 Gegeben ist die Funktion f(x) = ln(x 2 + 2x + 2). a) Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktionvon f. b) Weisen Sie die Gültigkeit der Näherung f(x) x + ln 2 für betragsmäßig hinreichend kleine reelle Zahlen x nach. c) Approximieren Sie die Funktion f in einer Umgebung der Stelle x 0 = 1 durch ein Taylorpolynom zweiter Ordnung. Aufgabe 9 Gegeben ist für x > 0 die Funktion G(x) = 1 x + x ln x. a) Auf welchem Intervall ist die Funktion G monoton nichtfallend? b) Ermitteln Sie mit Hilfe des Differentials näherungsweise die Funktionswertänderung bei einer Änderung von x = 20 um x = 0,5. c) Bestimmen Sie das globale Maximum der Funktion G auf dem Intervall 20 x 35. d) Entwickeln Sie das Taylorpolynom zweiter Ordnung der Funktion G an der Stelle x 0 = 1.
Funktionen zweier Veränderlicher Niveaumengen und räumliche Vorstellung, partielle Ableitungen, totales Differential, partielle Elastizitäten, implizite Funktionen Aufgabe 1 Bestimmen Sie für die Funktionen a) z = 1 (x 2 + y 2 ) b) z = xy c) z = x + y die (maximalen) Definitionsbereiche und die zugehörigen Wertebereiche. Skizzieren Sie die verschiedenen Niveaumengen (Höhenlinien) und verschaffen Sie sich eine räumliche Vorstellung von der Gestalt der Funktionsfläche. Aufgabe 2 Gegeben sind die drei Funktionen f(x, y) = x 3 + 3x 2 y 9x y 3 + 2017, g(x, y) = x e y x, h(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) und die Stelle (x 0 ; y 0 ) = (1 ; 1). a) Bestimmen Sie für die Funktion f die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung und geben Sie den Gradienten f und die Hesse-Matrix H f für die Stelle (x 0 ; y 0 ) an. b) Interpretieren Sie für die Funktion g den Gradienten g an der Stelle (x 0 ; y 0 ). c) Weisen Sie nach, dass die Funktion h die Gleichung 2 h x 2 + 2 h y 2 = 0 erfüllt. Ist die Funktion h die einzige Funktion mit dieser Eigenschaft? Aufgabe 3 Gegeben ist die Funktion f(x, y) = (x 1) 3 y. a) Veranschaulichen Sie im kartesischen Koordinatensystem den Definitionsbereich D f und die Höhenlinie f(x, y) = 1. b) Bestimmen Sie den Gradienten f für die Stelle (x 0 ; y 0 ) = (0 ; 2) sowie die Gleichung der Tangente an die durch diese Stelle verlaufende Höhenlinie. Weisen Sie durch graphische Darstellung nach, dass f senkrecht auf der ermittelten Tangente steht. c) Bestimmen Sie ohne Anwendung der Differentialrechnung die Stellen, in denen die Funktion f ein globales Minimum annimmt. Zeigen Sie, dass die Funktion f kein globales Maximum besitzt.
Aufgabe 4 Gegeben ist die Funktion f(x, y) = x 2 e y2 + y und die Stelle (x 0 ; y 0 ) = (1 ; 0). Berechnen Sie mittels des totalen Differentials Näherungswerte für die Funktion f an den Stellen (1,1 ; 0), (1 ; -0,1) und, (1,1 ; 0,3). Bestimmen Sie die Tangentialebene an die Funktionsfläche im Punkt (x 0 ; y 0 ; f(x 0, y 0 )). Aufgabe 5 Eine Bank bietet einen Sparbrief für eine Laufzeit von n Jahren mit einem Mindestanlagebetrag von K Euro an. Der Sparbrief wird mit p % verzinst (Verzinsung mit Zinseszins) und am Ende der Laufzeit gibt es einen Bonus von b % auf den Anlagebetrag. Bezüglich der Daten wird n 2, K > 0, p > 0 und b n vorausgesetzt. a) Stellen Sie den Endwert der Anlage als Funktion in Abhängigkeit vom Zinsfuß p und dem Bonus b dar, wobei der tatsächliche Anlagebetrag K 0 K und die Laufzeit n gegebene Konstanten sind. b) Untersuchen Sie mit Hilfe des totalen Differentials, ob der Endwert der Anlage höher ausfällt, wenn der Zins nur um den Wert von 1 % erhöht aber gleichzeitig der Bonus (beträchtlich) um den Wert von n % gesenkt wird. Aufgabe 6 Gegeben ist die Produktionsfunktion z = f(x, y) = 4xy x x + y. Berechnen Sie zuerst die partiellen Elastizitäten für die Einsatzmengen x = 100 und y = 10. Die Einsatzmenge x werde um 0,5% erhöht, während y gleichzeitig um 0,5% gesenkt wird. Um wieviel Prozent ändert sich ungefähr der bisherige Funktionswert z? Aufgabe 7 Gegeben ist die Funktion f(x, y) = (x y) 2 + e 2y. Berechnen Sie mit Hilfe der Ableitung impliziter Funktionen die Anstiege der Höhenlinie f(x, y) = 2 in ihren Schnittpunkten mit der x-achse. Wie lauten die Gleichungen der Tangenten an die Kurve in diesen Punkten? In welchen Punkten besitzt die Kurve horizontale Tangenten? Aufgabe 8 Für eine Produktionsmenge x > 0 seien K(x) = a + 99x 9x 2 + x 3 die Kostenfunktion mit Fixkosten a > 0 und D(x) = K(x) die zugehörigen Durchschnittskosten. Mit x x M wird das Betriebsoptimum bezeichnet, welches die Durchschnittskosten minimiert. a) Zeigen Sie, dass das Betriebsoptimum durch die Gleichung a eindeutig bestimmt ist. x 2 M 9 + 2x M = 0 b) Ermitteln Sie das Monotonieverhalten des Betriebsoptimums bezüglich der Fixkosten mit Hilfe der impliziten Ableitung.
Funktionen zweier Veränderlicher Extremwertaufgaben ohne bzw. mit Nebenbedingungen Aufgabe 1 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf lokale Extrema: a) f(x, y) = 36x 12x 3 + 18xy 3y 2 ( b) f(x, y) = x + 9 ) y + 1 8 2y ln(x2 ) Aufgabe 2 Bestimmmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion f(x, y) = x 4 + y 4 4a 2 xy + 8a 4 in Abhängigkeit des reellen Parameters a. Welche Gestalt besitzt die Funktionsfläche für a = 0 bzw. für a 0? Aufgabe 3 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf lokale Extrema unter den jeweils gegebenen Nebenbedingungen: a) f(x, y) = x 2 + y 2 NB: 3x + 2y = 6 b) f(x, y) = 1 2 x y NB: x + y2 = 4 Verwenden Sie für beide Beispiele sowohl die Auflösungsmethode als auch die Lagrangemethode. Hinweis: Für beide Beispiele lassen sich Nebenbedingung und Niveaumengen der Funktion f leicht durch eine graphische Darstellung veranschaulichen. Damit kann die Lage und die Art der Extrema erfasst werden. Aufgabe 4 Berechnen Sie für die Funktion f(x, y) = x 2 + (x + 1) y 2 a) alle lokalen Extrema ohne Nebenbedingungen, b) alle lokalen Extrema unter der Nebenbedingung y 2 = x 1. Hinweis: Verwenden Sie die Auflösungsmethode. Beachten Sie den Satz über implizite Funktionen.
Aufgabe 5 Ein Unternehmen besitzt zwei voneinander unabhängige Fertigungsbetriebe. Die in den Betrieben erzielten Gewinne G 1 und G 2 hängen wie folgt vom jeweils eingesetzten Kapital x 1 bzw. x 2 ab : G 1 = 120 x 1, G 2 = 160 x 2 Die insgesamt verfügbare Kapitalmenge sei durch den Parameter K > 0 beschrieben. a) Wie ist die Kapitalmenge K auf die beiden Fertigungsbetriebe aufzuteilen, damit der Unternehmensgewinn maximal wird? Verwenden Sie dazu die Auflösungsmethode. b) Um wieviel würde sich der maximale Unternehmensgewinn näherungsweise ändern, wenn die Kapitalmenge K = 4.000.000 e um 100.000 e verringert wird? c) Überzeugen Sie sich davon, dass man die unter a) gefundenen Ergebnisse auch mit der Lagrangemethode erzielen kann. Welche Bedeutung hat der dabei ermittelte Lagrangemultiplikator? Aufgabe 6 Zu drucken sind rechteckige Plakate der Breite b und Höhe a. Aus technischen Gründen bleiben oben und unten ein Streifen von jeweils 10 cm, links und rechts ein Streifen von jeweils 5 cm unbedruckt. Für welche Abmessungen wird für Plakate mit einer Gesamtfläche von 1 m 2 die bedruckte Fläche maximal und wie groß ist diese Fläche?
Das Gefährlichste an der Schulmathematik... ist die Omnipräsenz der Taschenrechner. Sie töten jedes Gefühl für Zahlen. Sabine Alt