Geometrische Algebra

Geometrische Algebra Florian Jung Institut für Physik, WA THEP Universität Mainz Klausurtagung des Graduiertenkollegs Bullay, 13. September 2006 Florian Jung: Geometrische Algebra 1 / 24

Gliederung Grundlagen Was ist Geometrische Algebra? Mathematischer Formalismus Spiegelungen und Drehungen Spiegelung an einer Ebene Von Spiegelungen zu Drehungen Anwendungen Klassische Physik Quantenmechanik Florian Jung: Geometrische Algebra 2 / 24

Was ist Geometrische Algebra (GA)? H. Grassmann: Äußere Algebra Verallgemeinerung von Vektoren Florian Jung: Geometrische Algebra 4 / 24

Was ist Geometrische Algebra (GA)? H. Grassmann: Äußere Algebra Verallgemeinerung von Vektoren W. R. Hamilton: Quaternionen Invertierbarkeit ( Division) Florian Jung: Geometrische Algebra 4 / 24

Was ist Geometrische Algebra (GA)? H. Grassmann: Äußere Algebra Verallgemeinerung von Vektoren W. R. Hamilton: Quaternionen Invertierbarkeit ( Division) W. K. Clifford: Geometrische Algebra Universelle Sprache der Geometrie Florian Jung: Geometrische Algebra 4 / 24

Was ist Geometrische Algebra (GA)? H. Grassmann: Äußere Algebra Verallgemeinerung von Vektoren W. R. Hamilton: Quaternionen Invertierbarkeit ( Division) W. K. Clifford: Geometrische Algebra Universelle Sprache der Geometrie M. Riesz, P. Lounesto, D. Hestenes: Weiterentwicklung und Anwendungen Florian Jung: Geometrische Algebra 4 / 24

Motivation Universelle Sprache der Geometrie! Florian Jung: Geometrische Algebra 5 / 24

Motivation Universelle Sprache der Geometrie! GA taucht (versteckt) überall in der Physik auf Florian Jung: Geometrische Algebra 5 / 24

Motivation Universelle Sprache der Geometrie! GA taucht (versteckt) überall in der Physik auf Erlaubt geometrische Interpretation Florian Jung: Geometrische Algebra 5 / 24

Motivation Universelle Sprache der Geometrie! GA taucht (versteckt) überall in der Physik auf Erlaubt geometrische Interpretation Sehr nah an der klassischen Vektoranalysis, aber in beliebigen Dimensionen gültig. Florian Jung: Geometrische Algebra 5 / 24

Definition der Geometrischen Algebra Grundlage ist ein reeller Vektorraum V mit Skalarprodukt und Normquadrat 2. Die Clifford-Algebra G(V, 2 ) ist eine reelle, assoziative Algebra (wie die Tensor-Algebra). Für Vektoren gilt aber zusätzlich die Kontraktionsregel : a 2 = aa = a 2, oder äquivalent (wie von Pauli-/Dirac-Matrizen bekannt): ab + ba = 2 a b. Florian Jung: Geometrische Algebra 6 / 24

Definition der Geometrischen Algebra Grundlage ist ein reeller Vektorraum V mit Skalarprodukt und Normquadrat 2. Die Clifford-Algebra G(V, 2 ) ist eine reelle, assoziative Algebra (wie die Tensor-Algebra). Für Vektoren gilt aber zusätzlich die Kontraktionsregel : a 2 = aa = a 2, oder äquivalent (wie von Pauli-/Dirac-Matrizen bekannt): ab + ba = 2 a b. Notation: Skalare: α, β,... Vektoren: a, b,... Allg. Elemente: A, B,... Was noch fehlt, ist die geometrische Interpretation! Florian Jung: Geometrische Algebra 6 / 24

Geometrische Bedeutung der Pauli-Matrizen Die Pauli-Matrizen σ i erfüllen: σ i σ j + σ j σ i = 2δ ij. Kontraktionsregel für eine ONB (σ i ) des 3 : σ i σ j + σ j σ i = 2 σ i σ j = 2δ ij. Algebraisch gibt es keinen Unterschied zwischen σ i und σ i. Die Pauli-Matrizen sind Darstellungen der Basisvektoren des 3! σ 3 σ 1 σ 2 Florian Jung: Geometrische Algebra 7 / 24

Universalität des Geometrischen Produkts Im Clifford-Produkt ist die vollständige geometrische Beziehung zweier Vektoren relativ zueinander enthalten! Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab. Florian Jung: Geometrische Algebra 8 / 24

Universalität des Geometrischen Produkts Im Clifford-Produkt ist die vollständige geometrische Beziehung zweier Vektoren relativ zueinander enthalten! Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab. Wenn sich b eindeutig aus P und a rekonstuieren ließe, dann folgt die Behauptung. Florian Jung: Geometrische Algebra 8 / 24

Universalität des Geometrischen Produkts Im Clifford-Produkt ist die vollständige geometrische Beziehung zweier Vektoren relativ zueinander enthalten! Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab. Wenn sich b eindeutig aus P und a rekonstuieren ließe, dann folgt die Behauptung. In der GA ist der Vektor a invertierbar: a 1 = a a 2 = aa 1 = a2 a 2 = a 2 a 2 = 1. Florian Jung: Geometrische Algebra 8 / 24

Universalität des Geometrischen Produkts Im Clifford-Produkt ist die vollständige geometrische Beziehung zweier Vektoren relativ zueinander enthalten! Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab. Wenn sich b eindeutig aus P und a rekonstuieren ließe, dann folgt die Behauptung. In der GA ist der Vektor a invertierbar: a 1 = Damit ergibt sich b mittels: a a 2 = aa 1 = a2 a 2 = a 2 a 2 = 1. a 1 P = a 1 (ab) = (a 1 a)b = b. Florian Jung: Geometrische Algebra 8 / 24

Universalität des Geometrischen Produkts Im Clifford-Produkt ist die vollständige geometrische Beziehung zweier Vektoren relativ zueinander enthalten! Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab. Wenn sich b eindeutig aus P und a rekonstuieren ließe, dann folgt die Behauptung. In der GA ist der Vektor a invertierbar: a 1 = Damit ergibt sich b mittels: a a 2 = aa 1 = a2 a 2 = a 2 a 2 = 1. a 1 P = a 1 (ab) = (a 1 a)b = b. Alle weiteren Produkte lassen sich aus Clifford-Produkt ableiten! Florian Jung: Geometrische Algebra 8 / 24

Skalar- und Dachprodukt Das Skalarprodukt ist der symmetrische Anteil: a b = 1 2( ab + ba ) = b a. Florian Jung: Geometrische Algebra 9 / 24

Skalar- und Dachprodukt Das Skalarprodukt ist der symmetrische Anteil: a b = 2( 1 ) ab + ba = b a. Das Dachprodukt ergibt sich aus dem antisymmetrischen Anteil: a b = 1 ) 2( ab ba = b a. Florian Jung: Geometrische Algebra 9 / 24

Skalar- und Dachprodukt Das Skalarprodukt ist der symmetrische Anteil: a b = 2( 1 ) ab + ba = b a. Das Dachprodukt ergibt sich aus dem antisymmetrischen Anteil: a b = 1 ) 2( ab ba = b a. Fundamentale Zerlegung des Clifford-Produkts: ab = a b + a b. Skalar- oder Dachprodukt allein sind nicht invertierbar! Florian Jung: Geometrische Algebra 9 / 24

Dachprodukte als orientierte Flächenelemente Das Dachprodukt lässt sich als orientiertes Flächenelement eines k-dim. Untervektorraums (k-spat) auffassen: a b c a a b 0-Spat = Skalar, 1-Spat = Vektor,... Die Antisymmetrie steckt in der Orientierung: a b b = b a a Florian Jung: Geometrische Algebra 10 / 24

Mit Hodge-Dualität zu Kreuzprodukt und Determinante a b Hodge-Dualität übersetzt zwischen k-spaten und (n k)-spaten mittels orhogonalem Komplement Der Betrag ist unter erhalten a b Orientierung mit Rechter-Hand-Regel a b c c a b Florian Jung: Geometrische Algebra 11 / 24

Mit Hodge-Dualität zu Kreuzprodukt und Determinante a b Hodge-Dualität übersetzt zwischen k-spaten und (n k)-spaten mittels orhogonalem Komplement Der Betrag ist unter erhalten a b Orientierung mit Rechter-Hand-Regel In 3 Dimensionen gilt: (a b) = a b, (a b c) = det(a, b, c). a b c c a b Florian Jung: Geometrische Algebra 11 / 24

Mit Hodge-Dualität zu Kreuzprodukt und Determinante a b Hodge-Dualität übersetzt zwischen k-spaten und (n k)-spaten mittels orhogonalem Komplement Der Betrag ist unter erhalten a b Orientierung mit Rechter-Hand-Regel In 3 Dimensionen gilt: (a b) = a b, (a b c) = det(a, b, c). a a b c b c In n 3 Dimensionen ist das Kreuzprodukt nicht definiert! Florian Jung: Geometrische Algebra 11 / 24

Beispiel zur Hodge-Dualität Gegeben (σ i ) ONB von 3 Wegen Orthonormalität gilt: σ i σ j = σ i σ j + δ ij Definiere den Pseudoskalar I = σ 1 σ 2 σ 3 = σ 1 σ 2 σ 3 Hodge-Dualität berechnet man mittels: A = A I 1. Damit ergibt sich: (σ 1 σ 2 ) = (σ 1 σ 2 )I 1 = (σ 1 σ 2 )σ 3 σ 2 σ 1 = σ 1 σ 2 σ 2 σ 1 σ 3 = σ 1 σ 1 σ 3 = σ 3 = σ 1 σ 2. Florian Jung: Geometrische Algebra 12 / 24

Spiegelung an einer Ebene s v Wir möchten v an der Ebene senkrecht zum Vektor s spiegeln. S(v) Florian Jung: Geometrische Algebra 14 / 24

Spiegelung an einer Ebene s v Wir möchten v an der Ebene senkrecht zum Vektor s spiegeln. Zerlege dazu v = v + v senkrecht und parallel zu s: v v s v = (v s) s 2, v = v v. S(v) Florian Jung: Geometrische Algebra 14 / 24

Spiegelung an einer Ebene s v Wir möchten v an der Ebene senkrecht zum Vektor s spiegeln. Zerlege dazu v = v + v senkrecht und parallel zu s: v v s v = (v s) s 2, v = v v. v S(v) Damit ergibt sich der gespiegelte Vektor S(v) = v v zu: s S(v) = v 2(v s) s 2. Florian Jung: Geometrische Algebra 14 / 24

Spiegelung an einer Ebene (GA-Version) In der GA lassen sich die Formeln weiter vereinfachen: s v = (v s) s 2 = (v s)s 1, v = v v = (vs v s)s 1 = (v s)s 1. Florian Jung: Geometrische Algebra 15 / 24

Spiegelung an einer Ebene (GA-Version) In der GA lassen sich die Formeln weiter vereinfachen: s v = (v s) s 2 = (v s)s 1, v = v v = (vs v s)s 1 = (v s)s 1. Damit erhält man den gespiegelten Vektor: S(v) = v v = (v s v s)s 1 = (s v + s v)s 1 = svs 1. Florian Jung: Geometrische Algebra 15 / 24

Spiegelung an einer Ebene (GA-Version) In der GA lassen sich die Formeln weiter vereinfachen: s v = (v s) s 2 = (v s)s 1, v = v v = (vs v s)s 1 = (v s)s 1. Damit erhält man den gespiegelten Vektor: S(v) = v v = (v s v s)s 1 = (s v + s v)s 1 = svs 1. s Viel kompakter als die alte Formel ( S(v) = v 2(v s) s 2 ). Komposition von Spiegelungen ist sehr einfach! Florian Jung: Geometrische Algebra 15 / 24

Von Spiegelungen zu Drehungen w n Satz von Cartan Dieudonné: Jede Drehung lässt sich in Spiegelungen zerlegen. Betrachte Drehung, die den Vektor v in w überführt. v nvn 1 Florian Jung: Geometrische Algebra 16 / 24

Von Spiegelungen zu Drehungen w n v Satz von Cartan Dieudonné: Jede Drehung lässt sich in Spiegelungen zerlegen. Betrachte Drehung, die den Vektor v in w überführt. Zuerst Spiegelung senkrecht zu n: v nvn 1. nvn 1 Florian Jung: Geometrische Algebra 16 / 24

Von Spiegelungen zu Drehungen w n v Satz von Cartan Dieudonné: Jede Drehung lässt sich in Spiegelungen zerlegen. Betrachte Drehung, die den Vektor v in w überführt. Zuerst Spiegelung senkrecht zu n: v nvn 1. Danach Spiegelung senkrecht zu w: nvn 1 R(v) = w( nvn 1 )w 1 = (wn)v(wn) 1 Florian Jung: Geometrische Algebra 16 / 24

Von Spiegelungen zu Drehungen R w n v Satz von Cartan Dieudonné: Jede Drehung lässt sich in Spiegelungen zerlegen. Betrachte Drehung, die den Vektor v in w überführt. Zuerst Spiegelung senkrecht zu n: v nvn 1. Danach Spiegelung senkrecht zu w: nvn 1 R(v) = w( nvn 1 )w 1 = (wn)v(wn) 1 = RvR 1, mit dem Rotor R = wn. Florian Jung: Geometrische Algebra 16 / 24

Geometrische Relevanz des Halbwinkels Der halbe Drehwinkel des Rotors R (zwischen w und n) hat eine zutiefst geometrische Bedeutung bei der Komposition von Drehungen: Florian Jung: Geometrische Algebra 17 / 24

Maxwell-Gleichungen E = ϱ B t E = j B = 0 E + t B = 0 Florian Jung: Geometrische Algebra 19 / 24

Maxwell-Gleichungen E = ϱ B t E = j B = 0 E + t B = 0 SRT mit Tensor-Analysis µ F µν = j ν ε µνϱσ ν F ϱσ = 0 Florian Jung: Geometrische Algebra 19 / 24

Maxwell-Gleichungen E = ϱ B t E = j B = 0 E + t B = 0 SRT mit Tensor-Analysis µ F µν = j ν ε µνϱσ ν F ϱσ = 0 Geometrische Algebra F = j F = 0 Florian Jung: Geometrische Algebra 19 / 24

Maxwell-Gleichungen E = ϱ B t E = j B = 0 E + t B = 0 SRT mit Tensor-Analysis µ F µν = j ν ε µνϱσ ν F ϱσ = 0 Geometrische Algebra F = j F = 0 F = j Florian Jung: Geometrische Algebra 19 / 24

Pauli-Schrödinger-Gleichung Die übliche Pauli-Schrödinger-Gleichung lautet: ( ˆπ 2 i t Ψ = 2m ) q + qφ (σ B) Ψ. 2m Kritikpunkte: Viele Räume nebeneinander: ( 3,, ), 2, Mat(2, ) Florian Jung: Geometrische Algebra 20 / 24

Pauli-Schrödinger-Gleichung Die übliche Pauli-Schrödinger-Gleichung lautet: ( ˆπ 2 i t Ψ = 2m ) q + qφ (σ B) Ψ. 2m Kritikpunkte: Viele Räume nebeneinander: ( 3,, ), 2, Mat(2, ) Die Bedeutung der komplexen Zahlen ist unklar! Florian Jung: Geometrische Algebra 20 / 24

Pauli-Schrödinger-Gleichung Die übliche Pauli-Schrödinger-Gleichung lautet: ( ˆπ 2 i t Ψ = 2m ) q + qφ (σ B) Ψ. 2m Kritikpunkte: Viele Räume nebeneinander: ( 3,, ), 2, Mat(2, ) Die Bedeutung der komplexen Zahlen ist unklar! σ = (σ 1, σ 2, σ 3 ) ist ein formaler Vektor. Florian Jung: Geometrische Algebra 20 / 24

Pauli-Schrödinger-Gleichung Die übliche Pauli-Schrödinger-Gleichung lautet: ( ˆπ 2 i t Ψ = 2m ) q + qφ (σ B) Ψ. 2m Kritikpunkte: Viele Räume nebeneinander: ( 3,, ), 2, Mat(2, ) Die Bedeutung der komplexen Zahlen ist unklar! σ = (σ 1, σ 2, σ 3 ) ist ein formaler Vektor. Die Rechenregel: (σ a)(σ b) = (a b) + iσ (a b), ist eben nur eine Rechenregel. Florian Jung: Geometrische Algebra 20 / 24

Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra? Interpretiere die Pauli-Matrizen σ i als Basisvektoren, dann ist: σ a = σ i a i = a i σ i = ai σ i = a 3 G 3. Florian Jung: Geometrische Algebra 21 / 24

Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra? Interpretiere die Pauli-Matrizen σ i als Basisvektoren, dann ist: σ a = σ i a i = a i σ i = ai σ i = a 3 G 3. Damit wird die obige Rechenregel (σ a)(σ b) = (a b) + iσ (a b), zu: ab = a b + I(a b) = a b + a b. Das ist die fundamentale Zerlegung des Clifford-Produkts! Die imaginäre Einheit i vermittelt hier die Hodge-Dualität! Florian Jung: Geometrische Algebra 21 / 24

Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra? Interpretiere die Pauli-Matrizen σ i als Basisvektoren, dann ist: σ a = σ i a i = a i σ i = ai σ i = a 3 G 3. Damit wird die obige Rechenregel (σ a)(σ b) = (a b) + iσ (a b), zu: ab = a b + I(a b) = a b + a b. Das ist die fundamentale Zerlegung des Clifford-Produkts! Die imaginäre Einheit i vermittelt hier die Hodge-Dualität! ( 3,, ) ist unnötig, weil in G 3 enthalten. Florian Jung: Geometrische Algebra 21 / 24

Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra! Die Pauli-Schrödinger-Gleichung: i t Ψ = ĤSΨ q (σ B)Ψ, 2m wird ersetzt durch die Pauli-Schrödinger-Hestenes-Gleichung: t ψ Iσ 3 = ĤSψ + q 2mc (IB)ψ Iσ 3. Florian Jung: Geometrische Algebra 22 / 24

Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra! Die Pauli-Schrödinger-Gleichung: i t Ψ = ĤSΨ q (σ B)Ψ, 2m wird ersetzt durch die Pauli-Schrödinger-Hestenes-Gleichung: t ψ Iσ 3 = ĤSψ + q 2mc (IB)ψ Iσ 3. Nur noch reelle Größen mit geometrischer Interpretation! Florian Jung: Geometrische Algebra 22 / 24

Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra! Die Pauli-Schrödinger-Gleichung: i t Ψ = ĤSΨ q (σ B)Ψ, 2m wird ersetzt durch die Pauli-Schrödinger-Hestenes-Gleichung: t ψ Iσ 3 = ĤSψ + q 2mc (IB)ψ Iσ 3. Nur noch reelle Größen mit geometrischer Interpretation! Die Wellenfunktion ψ ist jetzt ein (verallgemeinerter) Rotor und beschreibt lokal eine Drehstreckung. Florian Jung: Geometrische Algebra 22 / 24

Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra! Die Pauli-Schrödinger-Gleichung: i t Ψ = ĤSΨ q (σ B)Ψ, 2m wird ersetzt durch die Pauli-Schrödinger-Hestenes-Gleichung: t ψ Iσ 3 = ĤSψ + q 2mc (IB)ψ Iσ 3. Nur noch reelle Größen mit geometrischer Interpretation! Die Wellenfunktion ψ ist jetzt ein (verallgemeinerter) Rotor und beschreibt lokal eine Drehstreckung. Der Faktor Iσ 3 ersetzt i und hängt eng mit dem Spin zusammen. Florian Jung: Geometrische Algebra 22 / 24

Zusammenfassung Geometrische Algebra ist eine Universelle Sprache der Geometrie! Andere geometrische Formalismen sind darin enthalten. Florian Jung: Geometrische Algebra 23 / 24

Zusammenfassung Geometrische Algebra ist eine Universelle Sprache der Geometrie! Andere geometrische Formalismen sind darin enthalten. Die Pauli-Matrizen lassen sich in der Geometrischen Algebra als Darstellungen der Basisvektoren des 3 auffassen. Florian Jung: Geometrische Algebra 23 / 24

Zusammenfassung Geometrische Algebra ist eine Universelle Sprache der Geometrie! Andere geometrische Formalismen sind darin enthalten. Die Pauli-Matrizen lassen sich in der Geometrischen Algebra als Darstellungen der Basisvektoren des 3 auffassen. Es gibt viele fruchtbare Anwendungen (nicht nur) in der Physik. Florian Jung: Geometrische Algebra 23 / 24

Danke für die Aufmerksamkeit.