Hans Walser. Konforme Abbildungen

Hans Walser Konforme Abbildungen

Konforme Abbildungen ii Inhalt Komplee Funktionen einer kompleen Variablen.... Schreibweise.... Problem der Darstellung....3 Beispiele....3. w = f (z) = z + b; b = r + is....3. w = f (z) = az; a R....3.3 w = f (z) = az; a C; a =... 3.3.4 w = f (z) = az... 3.3.5 w = f (z) = az + b; a,b C... 4.3.6 w = f (z) = z... 5.3.7 w = f (z) = e z...0.3.8 w = f (z) = z ; z = i...3 Differenziation einer kompleen Funktion...4. Begriff der Ableitung...4.. Reelle Funktionen...4.. Ableitung einer kompleen Funktion...5. Beispiele...5.. w = f (z) = z...5.. w = f (z) = z...5.3 Bedingungen für Differenzierbarkeit...6.3. Die CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen...6.3. Reelle Darstellung der CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen...6.3.3 Begriffe und Rechenregeln...8.3.4 Beispiele...9.4 Geometrische Bedeutung der Differenzierbarkeit...0.5 Zusammenfassung... 994 Probeausgabe 995 Ergänzungen, Fehlerkorrekturen 996 Fehlerkorrekturen, kleine Ergänzungen 997 Umschreibung auf Word 6.0., kleine Änderungen 998 Fehlerkorrekturen 999 Anpassung an neuen Studienplan 000 Neue Moduleinteilung. Ergänzungen 00 Fehlerkorrekturen, grafische Überarbeitung 00 Fehlerkorrekturen Hans Walser hwalser@bluewin.ch

Komplee Funktionen einer kompleen Variablen. Schreibweise w = f (z) Die Funktion f ordnet der kompleen Zahl z = + i die komplee Zahl w = u + iv zu. Der Definitionsbereich von f ist also eine Teilmenge von C. Der Wertebereich ist ebenfalls C. C ist die zweidimensionale Gaußsche Zahlenebene.. Problem der Darstellung Erinnerung an reellwertige Funktionen reeller Variablen = f (): (,) Darstellung im Reellen Die Zuordnung kann punktweise in R R dargestellt werden. Das entsprechende Verfahren für komplewertige Funktionen kompleer Variablen bräuchte einen vierdimensionalen Raum C C. Auf dem Papier müssen wir Definitionsbereich (Urbildebene, z-ebene) und Wertebereich (Bildebene, w-ebene) getrennt darstellen: z-ebene w = f(z) v w-ebene w z u Abbildung im Kompleen Die Funktion w = f (z) vermittelt eine Abbildung der z-ebene in die w-ebene..3 Beispiele.3. w = f (z) = z + b; b = r + is Mit der reellen Schreibweise z= + i und w= u + iv ergibt sich: Trennung in Real- und Imaginärteil ergibt: w = u + iv = + i + r + is = + r + i( + s)

Konforme Abbildungen u = + r v = + s Die Abbildung ist somit eine Translation mit dem Translationsvektor: r b = r s Die Abbildung hat keinen Fipunkt. Translation.3. w = f (z) = az; a R Mit der reellen Schreibweise z = + i und w = u + iv ergibt sich: u + iv = a+ ( i)= a + ia Trennung in Real- und Imaginärteil ergibt: u = a v = a Die Abbildung ist also eine zentrische Streckung vom Ursprung aus mit dem Streckungsfaktor a. Zentrische Streckung vom Ursprung aus

Konforme Abbildungen 3.3.3 w = f (z) = az; a C; a = In diesem Beispiel sei a C, aber a =, das heißt a = cosφ + i sin φ. Mit der reellen Schreibweise z = + i und w = u + iv ergibt sich: w = u + iv = ( cosφ + i sin φ) ( + i)= cosφ + icosφ + isin φ sin φ Trennung in Real- und Imaginärteil ergibt: u = cosφ sin φ v = sin φ + cosφ Die Abbildung ist eine Drehung um den Ursprung mit dem Drehwinkel φ = arga. Drehung um den Ursprung.3.4 w = f (z) = az Nun sei a C beliebig, also a = a ( cosφ + i sin φ)= a e iφ. Die Abbildung ist eine Drehstreckung mit dem Zentrum im Ursprung, dem Streckungsfaktor a und dem Drehwinkel φ = arga. Drehstreckung mit Zentrum im Ursprung

Konforme Abbildungen 4.3.5 w = f (z) = az + b; a,b C Dies ist die allgemeine lineare Abbildung; das reelle Analogon = f () = m + q liefert eine Gerade. Welche Abbildung liegt im Kompleen vor? Wir berechnen zunächst die Fipunkte. Die Fipunktbedingung w = z liefert z = az + b und damit den Fipunkt: Durch die Koordinatentransformation z = b a ẑ:= z b a ; ŵ:= w b a werden je die Ursprünge in den Fipunkt verschoben. Wegen ist z = ẑ + ŵ + b a = a ẑ + b a b a ; w = ŵ + b a + b = aẑ + ab a + b ab a = aẑ + b a also ŵ = aẑ. Die Abbildung w = f (z) = az + b ist somit eine Drehstreckung mit dem b Zentrum, dem Streckungsfaktor a und dem Drehwinkel φ = arga. a Drehstreckung allgemein

Konforme Abbildungen 5 Fipunkt?.3.6 w = f (z) = z In der reellen Schreibweise ergibt sich: u + iv = ( + i) = + i Trennung in Real- und Imaginärteil ergibt: u = v =

Konforme Abbildungen 6 Wir berechnen nun die Bilder der achsenparallelen Geraden der z-ebene, also die Bilder des Karo-Netzes in der z-ebene. Für die senkrechten Geraden = const.= c erhalten wir u = c v = c Aus der zweiten Gleichung folgt = v, und durch Einsetzen in die erste Gleichung ergibt c sich: u = c v 4c Dies ist die Gleichung einer liegenden, nach links offenen Parabel. z-ebene v w-ebene u Bild einer senkrechten Geraden Wir zeigen nun, daß diese Parabel den Brennpunkt im Ursprung hat. Die vom Brennpunkt ausgehenden Strahlen werden von der Parabel so reflektiert, daß die ausfallenden Strahlen parallel zur (negativen) u-achse verlaufen (Prinzip des Scheinwerfers). v u Refleion der vom Brennpunkt auslaufenden Strahlen Um zu zeigen, daß der Ursprung der Brennpunkt ist, genügt es, zu zeigen, daß die vom Ursprung ausgehenden senkrechten Strahlen (d.h. u= 0) von der Parabel rechtwinklig reflektiert werden. Dazu wiederum muß gezeigt werden, daß die Parabel die v-achse unter einem Winkel von π schneidet. Für den Schnittpunkt der v-achse mit der Parabel 4

Konforme Abbildungen 7 erhalten wir aus u = 0: Weiter ist also u = c v 4c 0 = c v 4c 4c 4 = v v =±c du v = dv 4c du dv ±c ( )=± Damit schneidet die Parabel die v-achse unter Winkeln von ± π, und der Ursprung ist 4 ihr Brennpunkt. Die Schar paralleler Geraden = const.= c wird auf eine Schar von Parabeln mit gemeinsamem Brennpunkt im Ursprung abgebildet. Parabeln mit gemeinsamem Brennpunkt heißen konfokal. Analog ergibt sich für die Bilder der waagrechten Geraden = const.= d die Gleichung: u = v 4d d Dies ist die Gleichung einer liegenden, nach rechts offenen Parabel mit Brennpunkt im Ursprung. z-ebene v w-ebene u Bild einer waagrechten Geraden Das achsenparallele Netz der z-ebene wird also auf ein Netz konfokaler Parabeln der w- Ebene abgebildet.

Konforme Abbildungen 8 v u Bemerkungen: Netz konfokaler Parabeln Dnamische Vorstellung: "Herumbiegen" der rechten Halbebene w = z w = z 4 3 w = z 5 3 w = z 8 3 4 6 4 00 0.5.5 --0.50 0 0.5.5.5 - - 00 3-4 - 00 4 - - - - - -4 - -3-4 -6-8 Herumbiegen" der rechten Halbebene Wegen ( z) = z ist die Abbildung nicht bijektiv. Durch die Einschränkung auf eine Halbebene wird die Abbildung bijektiv. Illustration mit Maple-Programm: > with(plots): conformal(z,z=0-*i..+*i,grid=[6,], scaling=constrained); conformal(z^,z=0-*i..+*i,grid=[6,], scaling=constrained);

Konforme Abbildungen 9 8 6 4 00 0.5.5-4 - 00-4 - -4-6 - -8 Die Halbebene wird auf das Parabelnetz abgebildet Die Bilder der achsenparallelen Geraden der z-ebene in der w-ebene heißen Netzlinien (oft auch Parameterlinien). Berechnung der Schnittwinkel zweier Netzlinien: α β β 4 β α α -4-0 0 4 - Refleion an zwei Parabeln Wir denken uns einen vom Brennpunkt (Ursprung) ausgehenden Lichtstrahl, der von je einer Parabel jeder Schar reflektiert wird. Der Refleionswinkel bei der einen Parabel sei α, bei der anderen Parabel β. Aus der Figur lesen wir ab: β + β + α + α = π und damit α + β = π. Nun ist aber α + β der Winkel zwischen den beiden Parabeln;

Konforme Abbildungen 0 das Parabelnetz ist somit orthogonal. Die Orthogonalität ist allerdings im Ursprung gestört. Der Ursprung ist eine Singularität (Ausnahmestelle) des Netzes. Die Bilder der Karos der z-ebene sind (angenähert) ebenfalls Quadrate. GAUSS sprach von einer Abbildung durch kleinste Quadrate.3.7 w = f (z) = e z Wir erhalten die reelle Darstellung: u + iv = e +i = e e i = e ( cos + i sin ) Trennung in Real- und Imaginärteil ergibt: u = e cos v = e sin Für die Netzlinien erhalten wir aus den senkrechten Geraden = const.= c: u = e c cos v = e c sin Dies ist ein Kreis um den Ursprung mit dem Radius e c. Für c = 0 ergibt sich der Einheitskreis. Für die waagrechten Geraden = const.= d ergibt sich v u = sin d cosd = tan d also v = u tan d ; dies ist ein Strahl vom Ursprung aus mit dem Steigungswinkel d. v u Netz der Eponentialabbildung Maple-Programm: > with(plots): conformal(z,z=-pi-pi*i..pi+pi*i,grid=[9,9], scaling=constrained); conformal(ep(z),z=-pi-pi*i..pi+pi*i,grid=[9,9], scaling=constrained);

Konforme Abbildungen 3 π w = e z 0 0-3 - - 0 0 3-0 -0 0 0 0 0 - -0 - -3 π -0 Maple-Programm Diagonalen im Netz der Eponentialfunktion?

Konforme Abbildungen Diagonalen im Polarnetz?

Konforme Abbildungen 3 Bemerkungen: Das Netz ist orthogonal mit einer Singularität im Ursprung. Wegen e i( +π ) = e i ist die Abbildung nicht bijektiv; z und z + πi (allgemein: z und z + kπi, k Z) haben dasselbe Bild. Durch Einschränken der z-ebene auf einen waagrechten Streifen der Höhe πi ergibt sich eine bijektive Abbildung. iπ v u -iπ Das Bild des Streifens.3.8 w = f (z) = z ; z = i Diese Abbildung ist die Spiegelung an der -Achse. Spiegelung an der -Achse

Konforme Abbildungen 4 Differenziation einer kompleen Funktion. Begriff der Ableitung.. Reelle Funktionen Eine reelle Funktion = f () heißt differenzierbar an der Stelle, wenn der Grenzwert eistiert. f ():= lim 0 f ( + ) f () = lim 0 Der Nachbarpunkt + kann dabei links oder rechts von liegen. Daraus ergibt sich näherungsweise: f (). Im lokalen d,d-koordinatensstem mit dem Ursprung im Punkt, f () d = f ()d ( ) ergibt sich für die Tangente an den Funktionsgraphen die Gleichung d d = f () d d Lokales d,d-koordinatensstem Die Funktion = f () kann in der Umgebung des Punktes, f () Funktion d = f ()d approimiert werden. Ein Problem stellt sich bei einem Funktionsgraphen mit einer Spitze. ( ) durch die lineare Funktionsgraf mit Spitze Hier eistiert keine durchgehende Tangente. Die Funktion ist an dieser Stelle nicht differenzierbar; es gibt für diese Stelle keine lineare Approimation.

Konforme Abbildungen 5.. Ableitung einer kompleen Funktion Eine komplee Funktion w = f (z) heißt differenzierbar an der Stelle z, falls der Grenzwert lim z 0 f (z + z) f (z) z unabhängig von der Art der Annäherung an z eistiert. Dieser Grenzwert heißt dann die Ableitung an der Stelle z. Mit der Bezeichnung w = f (z + z) f (z) ergibt sich: w w = f = lim z 0 z. Beispiele.. w = f (z) = z Es ist lim z 0 f (z + z) f (z) z = lim z 0 z + z z + z z z = lim z 0 (z + z) z z = lim z + z z 0 ( )= z Somit ist f (z) = z; es gilt dieselbe Ableitungsregel wie im Reellen. Bemerkungen: f (0) = 0. Wir werden sehen, daß das Verschwinden der Ableitung mit der Singularität des Netzes in z = 0 zusammenhängt. Allgemein hat die Funktion w = f (z) = z n die Ableitung f (z) = nz n... w = f (z) = z Wir werden sehen, daß die Funktion w = f (z) = z = i nicht differenzierbar ist. Dazu bilden wir den Grenzwert lim z 0 auf zwei verschiedenen Wegen: z Zwei verschiedene Wege

Konforme Abbildungen 6 z reell (Annäherung auf einer Parallelen zur -Achse.) Wegen z = ist z =. Damit erhalten wir für den Grenzwert: w lim z 0 z = lim 0 = z reinimaginär (Annäherung auf einer Parallelen zur -Achse.). Wegen z = i ist z = i. Damit erhalten wir für den Grenzwert: w lim z 0 z = lim i 0 i = Der Grenzwert ist abhängig von der Art der Annäherung an z; die Funktion w = f (z) = z ist also nicht differenzierbar.. 3 Bedingungen für Differenzierbarkeit. 3. Die CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen Für das Differential df einer kompleen Funktion f gilt: df = fdz= f (d + id) = fd+ i fd Wegen z = + i kann f (z) auch als komplewertige Funktion der rein reellen Variablen und geschrieben werden. Damit ergibt sich für das Differential: df = f d + f d Durch Vergleich folgt: f = f i f = f Daraus ergibt sich die CAUCHY-RIEMANNsche Differentialgleichung: f = if. 3. Reelle Darstellung der CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen Aus w = f (z) = u(z) + iv(z) ergibt sich: f = u + iv Aus f = if folgt: f = u + iv u + iv = i( u + iv )= iu v Der Vergleich von Real- und Imaginärteil liefert die reelle Darstellung der CAUCHY- RIEMANNschen Differentialgleichungen:

Konforme Abbildungen 7 u = v u = v Bemerkung: Nach unserer Herleitung sind die CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen notwendige Bedingungen für Differenzierbarkeit. Man kann aber zeigen, daß sie auch hinreichende Bedingungen sind. Augustin-Louis CAUCHY, 789-857 Augustin-Louis CAUCHY lived from 789 to 857. CAUCHY pioneered the stud of analsis, both real and comple, and the theor of permutation groups. He also researched in convergence and divergence of infinite series, differential equations, determinants, probabilit and mathematical phsics.

Konforme Abbildungen 8 Bernhard RIEMANN, 86-866 Bernhard RIEMANN lived from 86 to 866 RIEMANN's ideas concerning geometr of space had a profound effect on the development of modern theoretical phsics. He clarified the notion of integral b defining what we now call the Riemann integral. Find out more at: http://www-histor.mcs.st-andrews.ac.uk/histor/mathematicians. 3. 3 Begriffe und Rechenregeln Eine differenzierbare Funktion einer kompleen Variablen wird als analtische (oder holomorphe) Funktion bezeichnet. Es gilt (ohne Beweis für die eine Richtung): w = f (z) analtisch f = if (u = v und u = v ) Für analtische Funktionen gelten dieselben Differenzierbarkeitsregeln wie für reelle Funktionen: ( f + g ) = f + g (λf ) = λ f ( fg ) = fg+ f g

Konforme Abbildungen 9.3.4 Beispiele.3.4. w = f (z) = z Reelle Darstellung: Daraus ergibt sich: u = v = u = u = v = v = Die CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen sind erfüllt; die Funktion ist differenzierbar..3.4. w = f (z) = e z Reelle Darstellung: Daraus ergibt sich: u = e cos u = e cos v = e sin v = e cos u = e sin v = e sin Die CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen sind erfüllt; die Funktion ist differenzierbar. Bemerkung: Wegen f = f = u + iv = e (cos + i sin ) = e z folgt (e z ) = e z. Es gilt also dieselbe Ableitungsregel wie im Reellen..3.4.3 w = f (z) = z Reelle Darstellung: Daraus ergibt sich: u = v = u = v = u = 0 v = 0 Die erste CAUCHY-RIEMANNsche Differentialgleichung ist nicht erfüllt; die Funktion ist nicht differenzierbar.

Konforme Abbildungen 0. 4 Geometrische Bedeutung der Differenzierbarkeit Im Reellen bedeutet Differenzierbarkeit daß die Funktion lokal durch eine lineare Funktion ersetzt werden kann: ( ) = f () f ( 0 ) + f ( 0 ) 0 f ( 0 ) 3 + f ( ) f ( 0 4444 ) 0 3 = m + q 0 m q d d = f ( 0 )d d 0 Die Funktion kann lokal linearisiert werden ( ) ergibt sich die lineare Funk- Durch Verschieben des Nullpunktes in den Punkt 0, f ( 0 ) tion d = f ( 0 )d. Im Kompleen können wir analog verfahren. Aus f (z) f (z f (z 0 ) = lim 0 ) z z0 z z 0 ergibt sich: Daraus folgt: f (z) f (z 0 ) + f (z 0 ) z z 0 f (z 0 )( z z 0 ) f (z) f (z 0 ) ( ) = f (z 0 ) 3 z + f (z ) f (z 0 4444 )z 0 3 = az + b 0 Also ist f (z) az + b. Nun ist aber die lineare Funktion w = az + b geometrisch eine Drehstreckung. Daraus folgt: Eine analtische Funktion mit f (z 0 ) 0 ist lokal eine Drehstreckung mit dem Strekkungsfaktor f (z 0 ) und dem Drehwinkel φ = arg ( f (z 0 )). a b

Konforme Abbildungen v u Lokale Drehstreckung Wegen der lokalen Ähnlichkeit bleiben Winkel erhalten; eine analtische Funktion ist also eine winkeltreue (konforme) Abbildung. Da keine Spiegelung auftritt, haben wir sogar eine gleichsinnige Konformität. Von diesem Satz gilt auch die Umkehrung; eine gleichsinnig konforme Abbildung ist differenzierbar. Für den Beweis der Umkehrung gehen wir von einer Funktion w = f (z) oder reell u(, ), v(, ) aus, die eine gleichsinnig konforme Abbildung beschreiben soll. 0 dt dt 0 Infinitesimal kleines Quadrat Ein infinitesimal kleines "Häuschen" (achsenparalleles Quadrat der Seitenlänge dt) wird auf ein Viereck abgebildet, das wegen der Konformität wieder vier rechte Winkel hat, also ein Rechteck ist. Da aber auch der orthogonale Schnittwinkel der Diagonalen erhalten bleibt, ist das Bildviereck sogar ein Quadrat. 0 + dt 0 d r z 0 d r z 0 + dt v d r w d r w u Bildviereck eine Quadrat

Konforme Abbildungen Mit dz r = d und d r w = du ergibt sich wegen d dv du = u d + u d dv = v d + v d die Beziehung: dw r = u u v v dz r 4 34 Funktionalmatri In unserem Fall ist dz r = dt und d r z 0 = 0, und somit d r w dt = u dt und v dw r = u v dt. Infolge der Konformität ist aber dw r der um + π gedrehte Vektor d w r, also dw r = v dt. Deshalb folgt durch Vergleich u u = v und v = u. Die Abbildung erfüllt also die CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen und ist damit differenzierbar..5 Zusammenfassung Analtische Funktion CAUCHY - RIEMANNsche Differentialgleichungen sind erfüllt Gleichsinnig konforme Abbildung Bemerkungen Das Netz einer analtischen Funktion ist wegen der Konformität immer orthogonal. GAUSS nannte konforme Abbildungen auch Abbildungen durch kleinste Quadrate. Konforme Abbildungen gestatten, aus einer winkeltreuen Karte (die als z-ebene interpretiert wird) eine zweite, ebenfalls winkeltreue Karte (w-ebene) herzustellen.