Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Mirjam Dür Dipl. Math. Stefan Bundfuss. Übungsblatt zur Lineare Algebra I für Physiker WS 5/6 6. Dezember 5 Gruppenübung Aufgabe G (Basis und Erzeugendensystem) Betrachte die folgenden Teilmengen des R : U = V = W =. Bei welchen handelt es sich um ein Erzeugendensystem und bei welchen um eine Basis des R? Lösung: Die Vektoren der Menge U sind linear abhängig da der erste die Summe der beiden anderen ist. Folglich ist U keine Basis. Da die Dimension von lin(u) zwei ist kann U kein Erzeugendensystem des dreidimensionalen Vektorraumes R sein. Die Vektoren der Menge V sind offensichtlich linear unabhängig. Daher hat lin(v ) die Dimension drei und folglich muß lin(v ) = R gelten. Somit ist V sowohl ein Erzeugendensystem als auch eine Basis von R. Vier Vektoren aus einem dreidimensionalen Vektorraum sind immer linear abhängig. Folglich ist die Menge W keine Basis. Da V W und V ein Erzeugendensystem ist ist auch W eines. Aufgabe G (Basen und Koordinaten) Betrachte ein Quadrat mit Seitenlänge dessen Ecken jeweils auf einer der Koordinatenachsen liegen. Gib die Koordinaten der Ecken bezüglich der Standardbasis e = ( ) e = ( ) an. Finde eine Basis bezüglich derer die Ecken ganzzahlige Koordinaten besitzen. Lösung: Nach dem Satz des Phytagoras haben die Ecken des Quadrates die Koordinaten ( ) ( ) ( ) ( ).
Bezüglich der Basis (( haben die Ecken die Koordinaten ( ) ) ( ) ( )) ( ) ( ). Aufgabe G (Berechnung der Dimension und der Basis einer linearen Hülle) Gegeben seien die m Vektoren v... v m R n. Es soll die Dimension und eine Basis der linearen Hülle der Vektoren bestimmt werden. Betrachte dazu das folgende Verfahren: Schreibe die Vektoren v... v m R n als Zeilen in eine Matrix V : v v n V =.. v m v mn Hierbei bezeichne v ij die j-te Komponente des Vektors v i. Erzeuge dann aus der Matrix V mittels der elementaren Zeilenoperationen (E) Addiere zu einer Zeile das λ-fache einer anderen Zeile für beliebige λ R. (E) Vertausche zwei Zeilen. (E) Multipliziere eine Zeile mit λ R \ {}. eine Matrix W in Zeilenstufenform das heißt w w n............ W = w rr w rn... Hierbei sind die ersten r Zeilen keine Nullzeilen und die Einträge von W erfüllen für i {... m} und k {... n} die folgende Eigenschaft: w ik w il = l {... k } w jl = j {i+... m} l {... k}. Die Anzahl r der Nichtnullzeilen in W ist die Dimension von lin(v... v m ) und die ersten r Zeilen von W bilden eine Basis von lin(v... v m ). (a) Es soll bewiesen werden daß das Verfahren das gewünschte Ergebnis liefert. Zeige dazu zunächst daß wenn eine Matrix W mittels elementarer Zeilenumformungen aus einer Matrix V erzeugt wird dann erzeugen die Zeilen der beiden Matrizen die gleiche lineare Hülle. Zeige dann daß die ersten r Zeilen von W eine Basis von lin(v... v m ) bilden. (b) Wie muß die Zeilenstufenform aussehen damit die Vektoren v... v m eine Basis von lin(v... v m ) bilden?
Lösung: (a) Sei W durch das Vertauschen zweier Zeilen (E) von V entstanden. Da beim Bilden der linearen Hülle die Reihenfolge der Vektoren keine Rollen spielt erzeugen die Zeilen der Matrizen die gleiche lineare Hülle. Daraus folgt daß es im Folgenden genügt nur die Anwendung der Operationen (E) und (E) auf die erste Zeile zu betrachten. Es bezeichne v... v m die Zeilen von V und w... w m die von W. Sei λ R und es gelte w = v + λv sowie v i = w i für i {... m} (E). Es soll gezeigt werden daß lin(v... v m ) = lin(w... w m ) gilt. Sei p lin(v... v m ). Daraus folgt daß es p... p m R gibt sodaß p = p i v i = p v + λp v λp v + p v + p i v i i= = p w + (p λp )w + i= p i w i lin(w... w m ). Folglich gilt lin(v... v m ) lin(w... w m ). Sei nun p lin(w... w m ). Daraus folgt daß es p... p m R gibt sodaß p = i= p i w i = p (v + λv ) + p v + i= = p v + (λp + p )v + p i v i i= p i v i lin(v... v m ). Folglich gilt lin(w... w m ) lin(v... v m ) und damit lin(w... w m ) = lin(v... v m ). Es bezeichne v... v m wieder die Zeilen von V und w... w m die von W. Sei λ R \ {} und es gelte w = λv sowie v i = w i für i {... m} (E). Es soll gezeigt werden daß lin(v... v m ) = lin(w... w m ) gilt. Sei p lin(v... v m ). Daraus folgt daß es p... p m R gibt sodaß i= p = i= p i v i = p λ w + p i w i lin(w... w m ). i= Folglich gilt lin(v... v m ) lin(w... w m ). Sei nun p lin(w... w m ). Daraus folgt daß es p... p m R gibt sodaß p = p i w i = λp v + p i v i lin(v... v m ). i= i= Folglich gilt lin(w... w m ) lin(v... v m ) und damit lin(w... w m ) = lin(v... v m ). Sei V die Matrix aus der Aufgabenstellung und W die daraus erzeugte Matrix in Zeilenstufenform. Dann folgt aus dem bisher Gezeigtem daß die ersten r Zeilen von W ein Erzeugendensystem von lin(v... v m ) sind. Es bleibt zu zeigen daß diese linear unabhängig sind. Es gelte für gewisse λ... λ m R λ i w i =. i= Da W Zeilenstufenform besitzt gibt es eine Spalte in der nur der erste Eintrag ungleich Null ist. Folglich muß λ = gelten. Analog folgt daß auch die übrigen λ i (i {... m}) gleich Null sind.
(b) Die Vektoren v... v m bilden genau dann eine Basis von lin(v... v m ) wenn sie linear unabhängig sind. Dies ist genau dann der Fall wenn in der Matrix W keine Nullzeilen auftreten also r = m gilt. Aufgabe G (Basis und Dimension) Gegeben seien die Vektoren a = 5 b = 4 und c = Bestimme die Dimension und eine Basis der linearen Hülle lin(a b c). Vervollständige die Basis zu einer Basis des R 4. Lösung: Schreibt man die Vektoren a b und c als Zeilen in eine Matrix und bringt diese in Zeilenstufenform dann ergibt sich: 5 4 II I 5 5 III I 7 9 III II 7 9 8 5 4 8 4 Daraus folgt daß lin(a b c) die Dimension zwei hat und eine Basis ist. Die Vektoren a = 5 b a = 7 9 e = und e 4 = ergänzen diese offensichtlich zu einer Basis des R 4. Aufgabe G4 (Lineare Gleichungssysteme) Überprüfe ob die folgenden linearen Gleichungssysteme 8 5 x + x + x = x + 4x + 6x = x + 6x + 9x = lösbar sind. Bestimme jeweils alle Lösungen. Lösung: und x + x = x + x + x = 4x + x + x = Die Koeffizientenmatrix A und die erweiterte Matrix (A b) des ersten Gleichungssystems sind A = 4 6 (A b) = 6 9 4 6 6 9 4
Da die Zeilen Vielfache voneinander sind gilt Rang(A) = und Rang(A b) =. Also ist das Gleichungssystem lösbar. Die Dimension des Lösungsraums ist Rang(A) =. Insbesondere ist der Lösungsraum gerade Kern(A). Durch elementare Zeilenumformungen ergibt sich 4 6 6 9 II I Durch Rückwärtseinsetzen erhält man 6 9 x = t x = s III I x = s t für s t R. Der Lösungsraum dieses LGS ist also L = s + t s t R. Beim zweiten Gleichungssystem sind A = (A b) = 4 Elementare Zeilenumformungen ergeben II I 5 4 4 III II 5 5 4 III 4I 5 5 Damit ist Rang(A) =. Aus Rang(A) Rang(A b) folgt Rang(A b) =. Damit ist das LGS eindeutig lösbar. Um die Lösung zu bestimmen wenden wir dieselben elementaren Zeilenumformungen auf die erweiterte Koeffizientenmatrix an. 4 III 4I Rückwärtseinsetzen ergibt II I 5 5 4 5 4 III II 5 x = 5 x = x 5 = x = x + = x =. 5 5 5 5
Somit ist L =. Hausübung Aufgabe H (Basen und Koordinaten) (6 Punkte) (a) Betrachte das gleichseitige Dreieck dessen Ecken die Koordinaten ( ) und ( ) (bezüglich der Standardbasis) besitzen und dessen dritte Ecke positive Koordinaten hat. Finde eine Basis bezüglich derer die Ecken ganzzahlige Koordinaten besitzen. (b) Betrachte ein gleichseitiges Sechseck mit Seitenlänge dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt. Läßt sich eine Basis finden bezüglich derer die Ecken ganzzahlige Koordinaten besitzen? Lösung: (a) Wählt man als Basisvektoren die Vektoren a = ( ) und b = ( dann besitzen die Ecken bezüglich dieser Basis die Koordinaten ( ) ( ) ( ) und. (b) Wählt man als ersten Basisvektor c den Koordinatenvektor einer Ecke des Sechseckes und als zweiten Basisvektor d den Koordinatenvektor der linken Nachbarecke dann besitzen die Ecken bezüglich dieser Basis die Koordinaten Siehe Abbildung. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) und ( ). Aufgabe H (Basen und Koordinaten) ( Punkte) (a) Zeige daß die Monome x x x eine Basis des Vektorraumes P bilden wobei P der Vektorraum der Polynome mit Grad kleinergleich drei ist. (b) Zeige daß die Langrangepolynome L... L (aus Aufgabe H9) für beliebige paarweise Stellen x... x ebenfalls eine Basis des Vektorraumes P bilden. Bemerkung: Es darf als bekannt vorausgesetzt werden daß die folgende Aussage gilt: Für n + paarweise verschiedene Stellen x... x n R und Funktionswerte y... y n R gibt es genau ein Polynom p vom Grad höchstens n das die Bedingung erfüllt. p(x i ) = y i i {... n} 6
( ) ( ) d ( ) ( ) c ( ) ( ) ( ) Abbildung : Ein Sechseck mit ganzzahligen Koordinaten. (c) Bestimme jeweils die Koordinaten des Polynoms p(x) = x(x )(x + ) bezüglich der Basis (x x x ) bzw. (L... L ) für paarweise verschiedene x... x R nach deiner Wahl. Lösung: (a) Offensichtlich sind die Monome x x x ein Erzeugendensystem des Vektorraumes P da sich jedes Polynom mit Grad höchstens drei in der Form i= a ix i schreiben läßt. Es bleibt die lineare Unabhängigkeit der Monome zu zeigen. Es gelte für gewisse λ... λ R λ x + λ x + λ x + λ = x R. Folglich gilt die obige Gleichung auch für x = woraus sofort λ = folgt. Für x = ± erhält man die Gleichungen λ + λ + λ = und λ + λ λ =. Addition der beiden Gleichungen ergibt λ =. Damit folgt λ = λ. Für x = erhält man dann die Gleichung = 8λ + λ = 8λ λ = 6λ. Folglich gilt λ = und damit auch λ =. (b) Die lineare Unabhängigkeit der Lagrangepolynome wurde schon in Aufgabe H9 gezeigt. Es bleibt zu zeigen daß die Langrangepolynome ein Erzeugendensystem sind. Sei p P und x... x R paarweise verschieden. Definiere q(x) := p(x i )L i (x). Dann hat q höchstens Grad drei. Für die Lagrangepolynome gilt außerdem { falls k = i L i (x k ) = falls k i. i= Daraus folgt für alle i {... } gilt q(x i ) = p(x i ). Nach der Bemerkung ist p = q und daher sind die Lagrangepolynome ein Erzeugendensystem vom P. (c) Es gilt p(x) = x(x )(x + ) = x(x ) = x x. Folglich hat p bezüglich der Basis (x x x ) die Koordinaten ( ). Sei x = x = x = und x =. Dann ist nach der Lösung zu Aufgabenteil (b) p(x) = p(x i )L i (x) = 6L (x). i= Daher hat p bezüglich der Basis (L... L ) die Koordinaten ( 6). 7
Aufgabe H (Basis und Dimension) Die lineare Hülle der vier Polynome p(t) = t t + 4t + q(t) = t t + 9t r(t) = t + 6t 5 s(t) = t 5t + 7t + 5 (6 Punkte) ist ein Unterraum V des Vektorraums P wobei P der Vektorraum der Polynome mit Grad kleinergleich drei ist. Bestimme dim V und gib eine Basis von V an. Lösung: Die Monome t t t und sind eine Basis von P. In dieser Basis haben die vier Polynome die Koordinaten p = 4 q = 9 r = 6 s = 5 7 5 5 Schreibt man diese Vektoren als Zeilen in eine Matrix und bringt diese in die Zeilenstufenform dann ergibt sich 4 II I 4 4 9 III I III II IV I 6 5 IV +II 6 5 7 5 Folglich ist dim V = und die Polynome t t + 4t + und t + t bilden eine Basis von V. Aufgabe H (Lineare Gleichungssysteme) Für welche Parameter λ R besitzt das Gleichungssystem x x x = x + x + λx = x + (λ )x x = (a) keine (b) genau eine (c) mehrere Lösungen? ( Punkte) Bestimme gegebenenfalls alle Lösungen. Lösung: Die erweiterte Koeffizientenmatrix des LGS lautet (A λ b) = λ λ Durch elementare Zeilenumformungen erhält man λ II I III I λ III λ+ II λ + λ + 5λ λ λ + λ + 8
Also sind die Fälle λ + 5λ = und λ + 5λ zu betrachten bzw. λ = : In diesem Fall ist (Ãλ b) = also ist Rang(A λ ) = = Rang(A λ b) und das LGS ist lösbar. Durch Rückwärtseinsetzen erhält man die Lösungen 4 L = + s s R. λ = 5: In diesem Fall ist (Ãλ b) = also ist Rang(A λ ) = Rang(A λ b) = und das LGS ist nicht lösbar. λ 5 : Hier gilt Rang(A λ ) = = Rang(A λ b). Somit ist das LGS eindeutig lösbar und die Lösung ist x λ = 8 λ + 5 9