Zahlenfolgen Anna Rodenhausen Wieviele Dreiecke, wieviele Trapeze?
Wieviele Dreiecke, wieviele Trapeze? # Linien # Dreiecke # Trapeze 0 3 0 3 3 6 5 0 5 6 5 3 Wieviele Dreiecke, wieviele Trapeze? # Linien # Dreiecke # Trapeze 0 3 0 3 3 6 5 0 5 6 5
Wieviele Dreiecke, wieviele Trapeze? Dreiecke Trapeze n n a n n n a n = a n n 5 Geschlossene und rekursive Formeln n 0 3 5... a n 0 3 6 0 5... Die Folge ist definiert durch die rekursive Formel a n = a n- n, a 0 = 0. Die Formel heißt rekursiv, weil die Definition des Folgegliedes a n vom vorhergehenden Folgenglied a n- abhängt. 6
Geschlossene und rekursive Formeln n 0 3 5... a n 0 9 6 5... Die Folge der Quadratzahlen ist gegeben durch die geschlossene Formel a n = n. Die Formel für a n heißt geschlossen, weil sie nur vom Index n abhängt. 7 Quadratzahlen q n 9 6 5 36... n 3 5 6... 8
Quadratzahlen Geschlossene Formel Rekursive Formel q n = n q n = q n- (n-) q = n = n = n = 3 n = n = 5 9 Dreieckszahlen d n 3 6 0 5... n 3 5 6... n = n = n = 3 n = n = 5 0
Dreieckszahlen Rekursive Formel d n = d n! n d = Geschlossene Formel n = n = n = 3 n = n = 5 Dreieckszahlen Rekursive Formel d n = d n! n d = Geschlossene Formel d n = n(n ) n = n = n = 3 n = n = 5
Summe der natürlichen Zahlen Gesucht ist die 00. Dreieckszahl! 3... 99 00 = 5050 Carl Friedrich Gauss 777-855 3 Summe der natürlichen Zahlen 00 = 0 99 = 0 3 98 = 0...... 50 5 3... 00 = 00 0 = = 0 50 * 0 = 5050
Dreiecks- und Quadratzahlen d n d n- = n d n d n- = q n Wenn man zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen addiert, erhält man eine Quadratzahl. n 0 3 5... d n 0 3 6 0 5... 5 Dreiecks- und Quadratzahlen d n d n- = n d n d n- = q n Wenn man zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen addiert, erhält man eine Quadratzahl. d n d n! = n(n ) (n! )n = n 6
Die Folge der Nicht-Quadratzahlen 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6... Gibt es für die Folge aller natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahl sind, eine Formel? Ist sie geschlossen oder rekursiv? Arbeitsblatt! u n = n! " n # # $ 7 Primzahlen zwischen und 00 3 5 3 3 3 3 53 6 7 73 83 7 7 37 7 67 97 9 9 59 79 89 8
Die Folge der Primzahlen Es gibt unendlich viele Primzahlen, doch eine Formel ist nicht bekannt. Angenommen, es gäbe nur endlich viele Primzahlen, nämlich n Stück Betrachte: p, p,..., p n. P = p p... p n Euklid von Alexandria ca. 35-65 v. Chr. 9 P = p p... p n Annahme: a) P ist eine Primzahl Dann haben wir einen Widerspruch zur Annahme, dass es nur n Primzahlen gibt. b) P ist keine Primzahl Dann muss P durch eine der Zahlen p k teilbar sein. Dann ist aber auch die Differenz P - p p... p n = durch p k teilbar. Damit wäre aber durch p k teilbar. Widerspruch! Also, wenn P keine Primzahl ist, muss es eine neue Primzahl geben. Dann haben wir wieder einen Widerspruch zur Annahme, dass es nur n Primzahlen gibt. 0
Arithmetische und geometrische Prozesse Arithmetische Prozesse 357 a n = a n 3579 n 0 3 5... a n 3 5 7 9...
Arithmetische Prozesse a 0 a n = a n m a 0 m Die Folgenglieder einer arithmetischen Folge liegen auf einer Geraden. a n - a n = m 6 5 3 0 3 5 6 7 8 9 0 3 Die arithmetische Reihe n 0 3 5... a n a 0 a 0 d a 0 d a 0 3d a 0 d a 0 5d... ( ) ( a 0 d)... ( a 0 nd) ( ) ( a 0 (n! )d ) ( a 0 (n! )d)... a 0 s n = a 0 a 0 d s n = a 0 nd ( ) ( a 0 ( a 0 nd) ) ( a 0 ( a 0 nd) )... ( a 0 ( a 0 nd) ) s n = (n ) ( a 0 a n ) ( ) s n = a 0 ( a 0 nd) s n = (n ) a 0 a n
Geometische Prozesse 6 8 a n = a n * 8 n 0 3 5... a n 8 6 3... 5 Geometische Prozesse a 0 a n = a n * q a 0 * q 35 30 5 0 5 0 5 0 3 5 6 7 8 9 0, 0,8 0,6 0, 0, 0 3 5 6 7 8 9 0 a n /a n = q q > q < 6
Zenon s Paradoxon Zenon von Elea 95 bis 30 v. Chr. / / /8 /6 7 Zenon s Paradoxon = 8 = = 3 7 8 Länge der bereits zurückgelegten Strecke. 8 6 = 5 6 / / /8 /6 8
Zenon s Paradoxon Länge der noch verbleibenden Strecke. 8 6 / / /8 /6 9 allgemein: Geometrische Reihe 8 6 3...! $ " # % & 3! $ " # % &! $ " # % & 5! $ " # % &... q q q 3 q q 5 Lassen sich unendlich viele Potenzen von q aufsummieren? 30
Geometrische Reihe s n = q q... q n q*s n = q q... q n q n s n q*s n = - q n s n (-q) = - q n s n = - qn - q 3 Geometrische Reihe s n = q q... q n 0 wenn q< ist, s n = - qn - q 8 wenn q> ist. s n - q 8 wenn q< ist, wenn q> ist. 3
Zenon s Paradoxon Zenon von Elea 95 bis 30 v. Chr. 8... = 6 / / /8 /6 33 Die unendliche geometrische Reihe s = q q... q n... Also: Werden bei der geometrischen Reihe die einzelnen Summanden kleiner, so ergibt die unendliche Reihe einen endlichen Wert. Verallgemeinerung? Werden die einzelnen Summanden (irgendwie) kleiner, so ergibt eine unendliche Reihe einen endlichen Wert. 3