Differentialgleichungen

Differentialgleichungen Geschwindigkeit und Beschleunigung Für eine geradlinige Bewegung auf der x-achse: x x t. Momentangeschwindigkeit : v t x t dx dt Momentanbeschleunigung : a t v t x t dv d2 x. dt dt 2 Integration liefert: dv analog: dx dt dt dv v t v t 0 dt dt dx x t x t 0 t t 0 t t 0 a s ds v s ds mit x t 0 und v t 0 Position und Geschwindigkeit für t t 0. 1 Beispiel : zweites Newtonsche Gesetz F ma F mx m d2 x dt 2 Senkrechter, freier Fall/Wurf in x Richtung (senkrecht zur Erdoberfläche) mit Luftwiderstand ( v F mg kx mg kx mx x k m x g. Differentialgleichung 2. Ordnung für die Ortsfunktion x t Anfangswertproblem: Position und Geschwindigkeit zu einem Anfangszeitpunkt, also x t 0 und v t 0 sind vorgegeben sonst allgemeine Lösung mit 2 freien Parametern. UMFORMUNG: mit der neuen Variablen v x v m k v g Differentialgleichung 1. Ordnung 2

Beispiel : radioaktiver Zerfall dn dt N Differentialgleichung 1. Ordnung Lös.: N t N 0 e t 1 freier Parameter (Anfangsbedingung) N 0 Beispiel : elektrisches Potential im ladungsfreien Raum U 2 U x 2 2 U y 2 2 U z 2 0 partiellen Differentialgleichung (3 unabhängige Variable) 3 Begriffe und Definitionen In Differentialgleichungen treten Funktionen und ihre Ableitungen auf. Wenn diese Funktionen nur von einer unabhängigen Variablen (t) abhängen, spricht man von gewöhnlichen Differentialgleichungen andernfalls von partiellen Differentialgleichungen Differentialgleichungen werden hinsichtlich ihrer Ordnung klassifiziert. Wenn die gesuchte Funktion skalar ist: skalare Differentialgleichung wenn die gesuchte Funktion vektorwertig ist: System von Differentialgleichungen. In Anlehnung an die Physik (Weg x als Funktion der Zeit t) werden wir stets nach einer dx Lösung x(t) suchen. Also haben wir DGL der Form : x f x,t. dt dy In vielen Büchern y(x): y f x,y dx 4

DEFINITION: Die Ordnung einer Differentialgleichung ist die Ordnung der höchsten Ableitung, die in der Differentialgleichung auftritt. Beispiel : x tx 2 DGL 1. Ordnung Beispiel : xx 5 2 tx ln x 0 DGL 5. Ordnung Beispiel : x 0 DGL 2. Ordnung; Lösung: x t at b, a,b Parameter x t 3t 2 spezielle oder partikuläre Lösung x t at b, a,b freie Parameter allgemeine Lösung DEFINITION: Eine parameterabhängige Lösung einer DGL n-ter Ordnung heißt allgemein, wenn sie n frei wählbare Konstanten enthält. 5 Die allgemeine Form einer skalaren DGL 1. Ordnung ist F t,x,x 0 wobei : D R n 1 R eine Funktion von drei Veränderlichen ist. Eine DGL dieser Art nennt man implizite Differentialgleichung. Unter einer Lösung verstehen wir eine auf einem Intervall I R definierte, differenzierbare Funktion x t für die gilt: t, x t,x t D und F t,x t,x t 0, für t I. Lösungen einer DGL nennt man auch Trajektorien der DGL. Wenn es möglich ist die Gleichung F t,x,x 0 nach x aufzulösen, erhält man die explizite Standardform einer skalaren Differentialgleichung 1. Ordnung x f t,x wobei f eine Funktion von zwei Veränderlichen ist. 6

Beispiel : x 5x 0 implizite DGL 1. Ordnung x 5x explizite DGL 1. Ordnung allgemeine Lösung: x t ce 5t c R spezielle Lösungen: x t 3e 5t, x t 6e 5t Trajektorien für 3e 5t, 0.2e 5t, 0.02e 5t,0.02e 5t 7 Beispiel :Wenn f nicht von x abhängt, dann erhält man die einfachste gewöhnliche Differentialgleichung, mit der einparametrigen Lösungsschar x f t x t t c, c R, wobei t eine Stammfunktion von f t ist. Wenn f jedoch von x abhängt, ist die Situation viel schwieriger. 8

DEFINITION: Ist zusätzlich zur Differentialgleichung x f t,x noch die Anfangsbedingung x t 0 x 0, t 0,x 0 D gegeben, so spricht man von einem Anfangswertproblem (AWP). 9 Verallgemeinerung auf eine DGL n-ter Ordnung: DEFINITION: F t, x, x,...x n 0 ist eine implizite DGL n-ter Ordnung. Kann man die DGL nach x n auflösen: x n f t, x, x,...x n 1 haben wir eine explizite DGL n-ter Ordnung. Eine n-mal differenzierbare Funktion x t heißt explizite Lösung wenn gilt: bzw. F t, x t,x t,...x n t 0 x t n f t, x t,x t,...x n 1 t 10

Eine Gleichung U x,t 0 nennen wir eine implizite Lösung, wenn sie wenigstens in einem Intervall eine Auflösung x x t besitzt,die eine explizite Lösung der DGL darstellt. DEFINITION: Anfangswertproblem (AWP) : gesucht wird eine Lösung x(t) für die DGL n-ter Ordnung mit x n f t, x, x,...x n 1 x t 0 x 0, x t 0 x 0,...x n 1 n 1 t 0 x 0 n 1 mit t 0, x 0, x 0,...x 0 vorgegebenen Werten im Definitionsbereich von f. Beispiel: senkrechter Wurf nach oben: DGL 2. Ordnung, Anfangsbedingungen zur Zeit t 0 Ort x 0 und Anfangsgeschwindigkeit x t 0 v 0 11 Lineare DGL 1. Ordnung DEFINITION: Eine skalare lineare DGL 1. Ordnung hat die Form x q t x f t Die Gleichung heißt homogen, falls f t 0 ist, andernfalls inhomogen. linear: Linearität des Differentialoperators L : C 1 I C I, x x q t x, L dt d q t Lx dx q t x x dt q t x also gilt L x 1 x 2 Lx 1 Lx 2, reelle Zahlen mit anderen Worten: sind x 1 t und x 2 t Lösungen der homogenen DGL, dann ist es auch jede Linearkombination x 1 t x 2 t 12

Die homogene Gleichung Für x 0 kann man die homogene Gleichung x q t x 0 zu x x umformen, denn dln x dt 1 x dx dt dln x q t dt x x t ln x q s ds d t t 0 q t x t e d e q s ds t0 q s ds ce t0, c R. x t ce t0 t t q s ds, c R einparametrige Schar von Lösungen mit Scharparameter c. Dabei ist t 0 fest gewählt. 13 anschaulich: also ebenfalls: x x q t 1 x dx dt t ln x q s ds d q t dx x q t dt t 0 14

DEFINITION: e Q t mit Q t q s ds heißt integrierender t0 Faktor der Differentialgleichung x q t x 0 Satz: jede Lösung von x q t x 0 hat die Form x t ce Q t Beweis: Multiplizieren mit e Q t liefert 0 e Q t x q t x dt d xeq t xe Q t c konstant, x ce Q t. Damit sind alle Lösungen gefunden, man sagt: Die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung x q t x 0 hat die Form x h t ce t0 t t q s ds, c R 15 Beispiel: x a bcos t x 0, a,b R allgemeinelösung x t ce t a bcos s ds 0 ce at bsint, c R. 16

Die inhomogene Gleichung DEFINITION: Eine beliebige Lösung der inhomogenen Gleichung x q t x f t nennt man eine Partikulärlösung. Konstruktion einer Partikulärlösung x p t mittels Variation der Konstanten: Ansatz x p t c t e Q t. c t e Q t c t e Q t q t c t e Q t q t f t, Einsetzen ergibt c t e Q t f t, c t e Q t f t dt. 17 Beispiel: x qx a, q,a konstant. c t e Q t f t dt, Q t 0 t q s ds konstante Partikulärlösung. c t a e qt dt a q eqt, x p t a q eqt e qt a q. 18

Satz: Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung x q t x f t hat die Form x t x h t x p t. Dabei ist x h t die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung und x p t eine Partikulärlösung. Beweis: wegen L d dt q t, Lx L x h x p Lx h Lx p 0 f t f t also ist x t x h t x p t eine Lösung der inhomogenen Gleichung. zwei beliebige Lösungen x 1, x 2 der inhomogenen Gleichung unterscheiden sich nur durch Addition einer Lösung der homogenen Gleichung Lx 1 f, Lx 2 f, z : x 1 x 2. Anwenden von L auf z: Lz L x 1 x 2 Lx 1 Lx 2 f f 0 19 Also haben alle Lösungen die Gestalt : x h t x p t Beispiel: x qx a a,q... konstant allgemeine Lösung: x t ce qt a q, c R 20

Satz: Das Anfangswertproblem x q t x f t, t I R x t 0 x 0 ist für beliebiges t 0 I, x 0 R eindeutig lösbar. Beweis: Aus der Form der allgemeinen Lösung folgt Daraus kann man c eindeutig bestimmen: x 0 ce Q t 0 x p t 0. c e Q t 0 x 0 x p t 0 21 Beispiel: Für die geradlinige Bewegung bei Luftwiderstand ist das folgende AWP gegeben: Die allgemeine Lösung lautet v k m v g, v 0 v 0 v t ce k m t mg k Einsetzen von t 0 0, v 0 v 0 ergibt v 0 c mg k c v 0 mg k v t v 0 mg k e m k t mg k die Lösung des AWP. Man sieht, daß die Geschwindigkeit für t exponentiell gegen die konstante Geschwindigkeit mg k konvergiert. 22

v 0 10;k/m 2.;mg/k 5. 23 Nichtlineare DGL 1. Ordnung Jede skalare DGL 1. Ordnung, x f t,x, t,x D R 2 die nicht die im vorigen Abschnitt definierte lineare Struktur hat, ist eine nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung. Geometrische Darstellung: Betrachte x f t,x als den Anstieg im Punkt x,t in der x,t Ebene. in jedem Punkt t,x ein Linienelement definiert mit dem Anstieg f x,t. 24

Isoklinen/ Richtungsfeld/ Lösungen x t 2 x 2 Richtungsfeld der DGL: Gesamtheit der Linienelemente in allen Punkten t,x Anfangswertproblem: Suche eine Kurve durch das Richtungsfeld, das durch den Punkt t 0,x 0 geht und in jedem Punkt tangential zum Richtungsfeld liegt. Isoklinen: Kurven konstanter Steigung des Richtungsfeldes. f t,x c, c R 25 Gibt es immer Lösungen (Existenz) und sind diese eindeutig? Satz: DGL x f t,x mit: 1. f t, x sei stetig auf D R 2 2. f t, x sei Lipschitz stetig bezüglich x, d.h. f t,x 1 f t,x 2 L x 1 x 2, t,x 1, t,x 2 D. aus Voraussetzung 1 Existenz einer Lösung des AWP aus Voraussetzungen 1 2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung des AWP d.h. es gibt genau eine stetig differenzierbare Funktion x t mit x f t,x und x t 0 x 0. Diese Lösung existiert solange die Kurve t, x t in D verläuft. 26

Beispiel: f t,x e x 1 t erfüllt die obige Voraussetzung auf jedem endlichen Rechteck I 1 I 2. Beispiel: f t,x 2 x erfüllt die Voraussetzung nur, falls in D gilt: x 0. Beweis: f t,x f t,0 2 x 0 L x 1 x 2 L x 0 2 x L aber 2 für x 0 x z. B. Anfangswertproblem x 2 x, t 0, x 0 0 zwei Lösungen: x t 0 x t t 2 Da die Bedingung der Lipschitz-Stetigkeit bei x 0 nicht erfüllt ist, stellt das keinen Widerspruch zum Existenz- und Eindeutigkeitssatz dar 27 Lösungen von x 2 x 28

Spezielle DGL 1. Ordnung Es gibt eine Reihe von Gleichungstypen für nichtlin. DGL für die man Lösungen (bis auf Integration) angeben kann. Separable (trennbare) DGL Definition: x g t h x ist eine separable DGL Lösung: H x sei Stammfunktion von h x also folgt d H x t dt x g t h x unbestimmte Integration nach t h x t x t. d dt d dx H x t g t H x h x. H x t G t c G t Stammfunktion von g t explizite Lösung durch Auflösen nach x t 29 Formaler Lösungsweg: 1. Trennen der beiden Variablen x t dx dt 2. beidseitiges Integrieren Beispiel: x t H 1 G t c g t h x h x dx g t dt c. x e x 1 t 1 t e x h x dx g t dt g t h x H x e x, G t t t2 2 30

Lösung (implizite Darstellung) e x t t t2 2 c, c R Lösung (explizite Darstellung) x t ln c t t2 2, c R Lösung des Anfangswertproblems (AWP): x 0 x 0 H x 0 G 0 c c H x 0 G 0 e x 0 x t ln e x 0 t t 2 2 Ausdruck inklammer 0: t t x 0 1 1 2e x 0. Die Lösung existiert daher nur auf dem Intervall t,t.für t t wird die Lösung unbeschränkt. 31 Trajektorien von x e x 1 t 32

Autonome DGL Definition: x f x ist eine autonome DGL (Spezialfall einer separablen DGL mit h x 1) Formale Lösung: x dx dt f x dx f x aber nur in Intervallen wo 1 f x 0 dt dx f x t c 33 qualitative Überlegungen: Nullstellen von f x sind die Stationärlösungen (Ruhelagen, Fixpunkte) der DGL. x t x 0 mit f x 0 0 dx t dx 0 0 f x dt dt 0 f x t Isoklinen: const x f x, t const f x Isoklinen parallel zur t-achse. im Intervall zwischen 2 benachbarten Fixpunkten (Nullstellen) ist f x 0 oder f x 0 Also verlaufen die Lösungen nach steigenden (abfallendem) x mit t. Eine Lösungskurve kann die Stationärlösung x t x 0 nicht schneiden (Eindeutigkeitsatz) Ruhelagen die alle benachbarten Lösungen anziehen stabil (f x 0 0) Ruhelagen die alle benachbarten Lösungen abstoßen instabil (f x 0 0) (folgt unmittelbar aus Kurvendiskussion) Beispiel: x a bx 2, a,b 0. x 0 a stabile x b 1 a instabile stationäre Lösung b 34

x a bx 2 35 DGL mit homogenen Variablen Definition: Funktion g t,x heißt homogen vom Grad m Z, falls g st,sx s m g t,x, s,t,x R. Beispiel: 3t 2 x 4 2tx 5 homogen vom Grad 6. Beispiel: sin x t homogen vom Grad 0. Beispiel: 1 t 2 x 2 homogen vom Grad 1. Beispiel: 6t x 2 Definition: Eine DGL der Form nicht homogen. x g t,x h t,x Grad ist eine DGL mit homogenen Variablen mit g und h homogen vom selben 36

Lösungsansatz: führt auf die separable DGL Trennen der Variablen mit x t tu t u t u g t,tu h t,tu tm g 1,u t m h 1,u f u. du f u u ln t c. du f u u F u F x t ln t c implizite Darstellung der allgemeinen Lösung 37 Beispiel: x t3 x 3 Substitution x ut Trennung der Variablen tx 2 DGL mit homogenen Variablen. u t u 1 u3 u 2 u t 1 u 2 t u 2 du 1 t dt Integration u 3 3 ln t c x3 3t 3 ln t c 38

Exakte DGL Definition: Eine exakte DGL entsteht aus einer Funktion U x, t const durch differenzieren (Kettenregel) und hat die Form: U t x, t U x x, t x 0 mit U x 0 x U t x,t U x x,t Definition: Die DGL A x,t B x,t x 0 heißt exakt, wenn es eine Funktion U (Stammfunktion) gibt, so daß U t U A U t x U B x (vgl. Potential und Kraft in der Ebene: F gradu) Exaktheitstest: A x,t B x,t x 0 ist exakt wenn gilt: x A x, t B x, t t Integrabilitätsbedingung (vgl. Kraft hat ein Potential wenn rotf 0 39 Lösungsweg: 1. Überprüfung ob exakt A x,t B x,t x t 2. U x, t A x,t dt c x (unbest. nach t integrieren) 3. U x x, t A x,t dt d c x B x,t (partiell nach x x dx differenzieren) 4. c x durch integration nach x bestimmen Beispiel: 2xt 2x t 2 x 0 x 0 1 1. A x 2t B t 2. U x, t 2xtdt c x t 2 x c x 3. U x x, t t 2 d c x 2x t2 dx 4. c x 2xdx x 2 U x,t t 2 x x 2 const 5. x t 0 1 t 2 x x 2 1 y 1 2 x 4 4 x 2 40

Bernoulli DGL Definition: x a t x b t x a x, b x stetig, 0,1 für 0,1 liegt eine homogene/inhomogene lin. DGL vor 1. Multiplizieren mit 1 x : x 1 x a t 1 x 1 b t 1 2. Substitution t x t 1 1 x x 3. a t 1 b t 1 lineare DGL 4. Rücksubstitution in der Lösung 41 Beispiel: x 1 t x tx2 2 1. 1 x 2 x 1 x 2 1 t x 1 x 2 tx 2 x 2 x x 1 t t 2. t x t 1 1 x 2 x t t 0 3. Lösung der hom. DGL t 0 : d dt t d dt t ln ln t c ln c t h c t 4. Lösung der inhom. DGL x q t x f t : p t c t 1 t c t c c t 0 c t c c t 3 0 dc t 2 t 2 t 2 dt c t t3 3 p t2 t t2 const 3 3 t 5. wegen t x t 1 x t 3t t 3 c t3 3const 3t 42

Riccati DGL Definition: x a t x b t x 2 f t Es gibt für diese DGL kein explizites Lösungsverfahren. Haben wir aber eine partikuläre Lösung x 0 t erraten, kann man sie mit der Substitution v t 1 x t x 0 t d.h. x t x 0 t 1 v t auf eine lineare DGL zurückführen. Beispiel: x x x 2 1 t t 2 Steuerungsfunktion Verhulst-Wachstumsgesetz mit partik. Lösung: x 0 t 1 t 1 1. Substitution v t x 1 1 v x t t 1 v 2 1 1 v 1 t 1 v 2 v 1 t 1 v 2 1 t t 2 43 v v 2t 1 1 0 lin. DGL 2. Lösung der hom. DGL v v 2t 1 0 : dv v 2t 1 dt ln v t 2 t v ce t2 t 3. Lösung der inhom. DGL v v 2t 1 1 0 : v p t c t e t2 t c e t2 t v p t e t2 t e 2 d v t e t2 t e 2 d c 4. x t 1 t 1 v t 5. Bemerkung: Mathematica e 2 d Erfi 1 1 2t 2e 1/4 2 imaginary errorfunction erf(ix)/i 44

Rückführung durch Substitutionen auf bekannte DGL Typen Beispiel: x f at bx c Substitution u at bx c u a bx u a bf u separierbar...... Was tun wir wenn alles versagt??? 45 Numerische Integration 1. problematisch mit Bleistift und Papier 2. mittels Computer: Programme (Fortran, Pascal)... 3. mittels Mathematica, Maple, Derive (?): fertige Befehle exakte Pendelgleichung mit Mathematica: NDSolve[{ t gsin t L 0, 0 0, 0 2., t, t,0,100 46

DGL n-ter Ordnung System von n DGL 1.Ordung Satz: DGL n-ter Ordnung mit n Anfangsbedingungen: x n f t,x,x,...x n 1 x i t 0 x 0 i i 0,1,2...n 1 kann in ein System von n DGL 1. Ordnung umgewandelt werden. Man definiert neue Variable: x 1 x, x i 1 x i 1 i 2,...n 47 das ergibt ein System von n Gleichungen: x 1 x 2 x 2 x 3... x n 1 x n x n f t,x 1,...,x n sowie Anfangsbedingungen: x 1 t 0 x 0,x 2 t 0 x 0...x n t 0 x 0 n 1 48

Beispiel: harmon.oszillator mit Reibung mx kx cx k 0,c 0 x k m x c m x x 2 x x es ist v t x t v 2 x v x v x 0 x 0 v 0 v 0 49 Euler sche Methode AWP: x f x,t x t 0 x 0 Diskretisierung: Unterteilung der Strecke t 0 bis t: Schrittweite: h t t 0 n Stützpunkte: t i t 0 kh k 0,1,2...n Gesucht: Funktionswerte x t 1,x t 2..x t n der Lösung des AWP 50

Aus dem Mittelwertsatz der Diff.R. folgt:f,x x t k 1 x t k hf,x t k t k 1 Man ersetzt Steigung f,t am unbekannten Ort durch Näherungswert F t k, x k,h der nur von t k, x k,h abhängt. x t k 1 x t k hf t k, x k,h einfachste Näherung (EULER) f,x f t k,x k F t k, x k,h also x t k 1 x t k hf t k,x k Polygonzug Formal: f t,x dx dt x t x h x t k 1 x t k hf t,x 51 52

Verbesserte Euler Methode (Heun) Im allgemeinen wird der Mittelwert 1 2 f t k,x k f t k 1,x k 1 eine bessere Approximation für die Steigung im Polygonzug von t k, x k nach t k 1,x k 1 sein als f t k,x k. Wir kennen aber x k 1 nicht, aber wir können die Euler Methode nehmen um damit eine gute Approximation von x k 1 zu erhalten und dann den Mittelwert für die endgültige Berechnung von x k 1 verwenden. F t k, x k,h 1 2 K 1 K 2 K 1 f t k,x k K 2 f t k h,x k hk 1 53 54

Runge Kutta Methode zur Berechnung der Steigung F wird noch eine weitere Stützstelle t k 1 h und ein gewichtetes Mittel aus vier 2 Funktionswerten von f verwendet F t k, x k,h 1 6 K 1 K 2 K 3 K 4 K 1 f t k,x k K 2 f t k 1 2 h,x k 1 2 hk 1 K 3 f t k 1 2 h,x k 1 2 hk 2 K 4 f t k h,x k hk 3 55 56

Güte der Verfahren EULER HAUN RUNGE-KUTTA (Fehler ist von Ordnung O h ) 57 Es genügt nicht ein Verfahren (Euler) mit großem Verfahrenfehler zu nehmen und einfach die Schrittweite extrem klein zu machen: 1. Rechenzeit steigt extrem an (bei gleichen Fehler benötigte man mit Euler 3 Tage und mit Heun M. 45 s und mit Runge-Kutta 1s) 2. Bei extrem kleinen h dominieren die Rundungsfehler, das heißt man kann die Genauigkeit nicht beliebig steigern. 3. Bei Systemen mit Energieerhaltung (E kin E pot const, z.b. harm. Oszillator ohne Dämpfung, Mehrkörperprobleme (Sonnensystem)) kann man überprüfen ob die Gesamtenergie "davonläuft" Schrittweite verringern. 4. Viele weitere Verfahren, variable Schrittweite, Predictor-Corrector Methoden. 58

59 Beispiel: harmon.oszillator mit Reibung mx kx cx k 0,c 0 x k m x c m x x 2 x x es ist v t x t v 2 x v x v EULER x t 0 x 0 v t 0 v 0 1.Schritt x t 1 x t 0 hv t 0 x 0 hv 0 x t k 1 x t k hf t k,x k v t 1 v t 0 h 2 x t 0 v t 0 v 0 h 2 x 0 v 0 60

k-ter Schritt x t k 1 x t k hv t k v t k 1 v t k h 2 x t k v t k Matmematica File 61