Mathematische Methoden der Physik I

Karl-Heinz otze Mathematische Methoden der Physik I Nachschrift des Vorlesungs-Manuskripts und A TEX-Satz von Simon Stützer Jena, November 2009

Inhaltsverzeichnis 9 Gewöhnliche Differentialgleichungen 2 9.1 Beispiele, Begriffsbildung und geometrische Bedeutung................ 2 9.1.1 Beispiele...................................... 2 9.1.2 Begriffsbildung.................................. 3 9.1.3 Zur geometrischen Bedeutung von Differentialgleichungen - das Richtungsfeld 4 9.2 Separable Differentialgleichungen............................ 4 9.2.1 ösungsverfahren................................. 4 9.2.2 Beispiele...................................... 5 9.3 Die inhomogene, lineare Differentialgleichung 1. Ordnung........................ 7 9.3.1 ösungsverfahren................................. 7 9.3.2 Beispiele...................................... 9 9.4 Exakte Differentialgleichungen. Der Integrierende Faktor................................. 11 9.4.1 Exakte Differentialgleichungen......................... 11 9.4.2 Nicht exakte Differentialgleichungen...................... 13 1

Kapitel 9 Gewöhnliche Differentialgleichungen 9.1 Beispiele, Begriffsbildung und geometrische Bedeutung 9.1.1 Beispiele 1. Beispiel: Nochmals zu Wachstum und Zerfall Mathematisch kann dieser Prozess mit einer Exponentialfunktion zu Basis e beschrieben werden. Darauf schließen wir durch die Forderung, dass der Anstieg der Tangente ( Wachstumsrate ) von y = f(x) = e x in jedem Punkt x gleich e x sein soll. Das ist in Worte gefaßte Differentialgleichung y = y. Etwas allgemeiner hätten wir auch die Frage stellen können: Welche Funktion y = f(x) reproduziert sich bei einmaliger Ableitung bis auf einen konstanten Faktor c, y = cy, c = const? ösung: y = Ae cx, A: Integrationskonstante. ( ) Weitere Beispiele aus der Physik 2.) y cy = d, d = const; Wachstum und Zerfall mit konstanter Zufuhr 3.) m v + γv = mg freier Fall mit Reibung 4.) I + RI = U 0 sin ωt R--Schwingkreis 5.) ẍ + ω 2 x = 0 freie, ungedämpfte Schwingung 6.) mẍ + γẋ + kx = 0 freie, gedämpfte Schwingung 7.) Q + R Q + Q C = 0 -R-C-Schwingkreis 8.) mẍ + γẋ + kx = F 0 cos ωt erzwungene Schwingung 9.) 2 φ 2 + 2 φ y 2 + 2 φ z 2 1 2 φ c 2 t 2 = 0 Wellengleichung 10.) l ϕ + g sin ϕ = 0 nichtlineare Pendelschwingung Im aufe dieses Kapitels werden wir bis auf Gleichung (9) alle Beispiele behandeln. Dabei rechnen wir das Beispiel (10) nur in linearer Nährung. 2

9.1.2 Begriffsbildung gewöhnlich - partiell Wenn die gesuchte Funktion von nur einer Variablen abhängt, z.b. y = y(x) oder x = x(t), heißt die Differentialgleichung gewöhnlich, hingegen bei mehreren Variablen, z.b. φ = φ(x, y, z, t) partiell. In diesem Sinne heißt Gleichung 9) partiell, alle anderen Beispiele sind gewöhnlich Differentialgleichungen. Ordnung Als Ordnung einer Differentialgleichung bezeichnet man die höchste vorkommende Ableitung. Die Beispiele (1)...(4) sind 1. Ordnung, (5)...(10) 2. Ordnung. linear- nichtlinear Eine Differentialgleichung heißt linear, wenn y und alle Ableitungen nur in 1. Potenz vorkommen. Die Beispiele (1)...(9) sind demnach linear und das Beispiel (10) ist wegen sin ωt nichtlinear. Eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung hat allgemein die Form y + P (x)y = Q(x), eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ay + by + cy = F (x). homogen-inhomogen Eine Differentialgleichung heißt inhomogen, wenn die unabhängigen Variablen nicht nur in y und deren Ableitungen vorkommt, sondern auch explizit als Q(x) oder F (x). Dabei kann die Inhomogenität auch konstant sein. Die Beispiele (1), (5)...(7), (9) und (10) sind homogen, (2)...(4) und (8) sind inhomogen. Integral und Quadratur Die ösung einer Differentialgleichung ist eine Funktion, die man Integral der Differentialgleichung nennt. Falls die ösung nur als Integral im üblichen Sinne darstellbar ist, das nicht analytisch ausgedrückt werden kann, heißt die Differentialgleichung auf eine Quadratur zurückgeführt. Allgemeine und Partikulärlösung Die allgemeine ösung einer Differentialgleichung 1. Ordnung enthält eine, 2. Ordnung zwei Integrationskonstanten. Die spezielle oder Partikulärlösung entsteht, wenn Konstanten aus Anfangs (Rand-) Bedingungen bestimmt werden. Beispiel (*): y(0) = A! = y 0 A = y 0 und y = y 0 e cx. Eine Differentialgleichung zu lösen heißt, aus Differentialgleichung und Anfangsbedingungen eine Funktion zu bestimmen, die diese erfüllt. Wir Zeigen für das Bespiel (*), dass y = A e cx allgemeine (einzige) ösung ist: - Annahme: Es gibt eine weitere ösung g(x) mit den gleichen Anfangsbedingungen wie für f(x), - betrachten Funktion h(x): - Resultat: g = c g g(0) = f(0). h(x) = e cx g(x), sodass h(0) = g(0) h = c e cx g + e cx g = c e cx g + e cx cg = 0 h = const mit const = h(0) = g(0) = f(0) h(x) = e cx g(x) = f(0) g(x) = f(0) e cx = f(x) q.e.d. 3

9.1.3 Zur geometrischen Bedeutung von Differentialgleichungen - das Richtungsfeld Die Idee ist, y = f (x) als Anstieg der Tangente an die gesuchte Funktion aufzufassen. Somit gibt eine Differentialgleichung 1. Ordnung an, wie groß dieser Anstieg in jedem Punkt ist. Die Differentialgleichung lösen heißt, einen Weg durch das Richtungsfeld so zu legen, dass die Kurve tangential zu der in jedem Punkt gegebenen Richtung verläuft. Das Beispiel zeigt das Richtungsfeld für die Differentialgleichung y = y, (c = 1). Man liest ab, dass der Anstieg mit y wächst und dabei unabhängig von x, also für alle x gleich ist. In der Physik ist oft die Zeit t die unabhängige Variable. Das Richtungsfeld stellt dann ein Geschwindigkeitsfeld, die ösungskurve Flußlinien dar. Abbildung 9.1: Richtungsfeld der DG y = y 9.2 Separable Differentialgleichungen Als separable Differentialgleichung bezeichnet man Differentialgleichungen 1. Ordnung der Gestalt = g(x) h(y). Ein wichtiger Spezialfall ist die lineare homogene Differentialgleichung 1. Ordnung + P (x) y = 0 mit g(x) = P (x) und h(y) = y, die wir später noch behandeln. Im allgemeinen sind separable Differentialgleichungen jedoch nichtlinear. 9.2.1 ösungsverfahren Wir schreiben für = g(x) h(y) 1 h(y) = g(x) 1 h(y) = g(x) }{{} (Substitutionsmethode) 4

ösung: 1 h(y) = g(x) Dieses ösungsverfahren bezeichnet man als die Methode der Trennung der Variablen. Man erhält im allgemeinen die ösung y = y(x) implizit, wenn die Integrale lösbar sind. Zudem ergibt sich eine Integrationskonstante, die durch die Anfangs -Bedingungen zu bestimmen ist. 9.2.2 Beispiele 1.) Wachstum und Zerfall Das Wachstum und der Zerfall werden beschrieben durch Diese Gleichung ist auch schreibbar als = c y, sodass g(x) = c = const, h(y) = y. c y = 0, ist also 1. Ordnung, linear und homogen mit konstanten Koeffizienten. - Trennung der Variablen: - Integration: - Auflösen nach y: y = c ln y + C 1 = cx + C 2 1 y = c ln y = cx + C mit einer Konstanten C = C 2 C 1 y = e cx+c = A e cx mit A e C y = A e cx, wenn A = ± e C. 2.) Orthogonaltrajektorien Wir betrachten exemplarisch die Schar von Parabeln y = kx 2. Diese erfüllen die Differentialgleichung = 2kx = 2 y x, mit g(x) = 2, h(y) = y. x Diese Gleichung ist auch schreibbar als 2 x y = 0, ist also 1. Ordnung, linear und homogen, aber die Koeffizienten sind nicht konstant. Geometrisch lässt sich die Gleichung interpretieren, indem man den Anstieg der Tangente abliest zu m = 2 y. Auf diesen Tangenten stehen die Tangenten der Orthogonaltrajektorien senkrecht, x haben also den Anstieg m = 1 m = x 2y. Die Orthogonaltrajektorien erfüllen also die Differentialgleichung = x 2y, darin g(x) = x 2, h(y) = 1 y. Schreiben wir dies als y + x 2 = 0, sehen wir, dass diese Gleichung homogen und 1. Ordnung, jedoch nichtlinear ist. 5

y - Trennung der Variablen: y = x 2 x - Integration: y = 1 2 x - ösung: y 2 2 = x2 4 + C y 2 + x2 2 = c (mit c 2C) Die Orthogonaltrajektorien der Parabelschar sind Ellipsen. 3.) R--Schwingkreis Wir wählen als Variable die Stromstärke I statt der elektrischen adung. U R di dt + RI = U, sei U = const Wir erhalten also die Differentialgleichung di dt + R I = U. Diese ist 1. Ordnung, linear, inhomogen und hat konstante Koeffizienten. Mit konstanter Inhomogenität ist die Differentialgleichung separabel. Wir haben schließlich di dt = U RI - Trennung der Variablen: - Integration beider Seiten: darin g(t) = 1, h(i) = U RI di U RI = dt ln U RI = t + c, R c = const - Auflösen nach I: U RI = e R (t+c) U RI = A e R t mit A ± e R c I = U R A R e R t - Anfangsbedingung: t = 0 : I(0) = U R A R! = I 0 A = U RI 0 - ösung: I = U R ( U R I 0 ) e R t 6

Abschließend noch eine Bemerkung zu verwandten Problemen. Mit den Worten von R.P. Feynman: The same equations have the same solutions ist klar, dass es sich beim Wachstum und Zerfall mit konstanter Zufuhr = cy + d, d = const und beim freien Fall mit linearem Reibungsgesetz um analoge Problemstellungen handelt. m dv + γv = mg, γ = const > 0 dt 9.3 Die inhomogene, lineare Differentialgleichung 1. Ordnung Die inhomogene, lineare Differentialgleichung 1. Ordnung hat allgemein die Gestalt + P (x) y = Q(x). Dabei ist der Koeffizient P (x) im allgemeinen nicht konstant. Q(x) bezeichnet man als Inhomogenität. 9.3.1 ösungsverfahren 1. Schritt: homogene Differentialgleichung (setze Q 0) + P (x) y = 0, sparabel Mit h(y) = y und g(x) = P (x) erhalten wir nach Trennung der Variablen y = P (x) ln y = P (x) + c. Durch Auflösen nach y erhalten wir die allgemeine ösung der homogenen Differentialgleichung y h = A e P (x) mit A = ± e c. 2. Schritt: ösen der inhomogenen Differentialgleichung durch Variation der Konstanten. D.h. die Konstante A der ösung des homogenen Teils wird zur Funktion u(x). Das Ziel dabei ist es, eine einfache Differentialgleichung für u(x) zu erhalten. Variation der Konstanten: y h = A e P (x) y = u(x) e P (x) Einsetzen dieses Ansatzes in die inhomogene Differentialgleichung: = du P (x) e u(x)p (x) e P (x) Damit wird Differentialgleichung aus der inhomogenen du P (x) e P (x)y + P (x)y = Q(x). Wir erhalten also eine sehr einfache Differentialgleichung für u(x), nämlich du = Q(x) e P (x) x P (x ) u = Q(x) e + c 7

ösung y = [ Q(x)e x P (x ) + c ] e P (x) Es ist jedoch besser, sich statt der ösungsformel das ösungsverfahren zu merken! Diskussion der ösung Die erhaltene ösung enthält eine Integrationskonstante und ist allgemeine ösung der inhomogenen Differentialgleichung. Mit der Abkürzung I(x) P (x), sodass di = P (x) nimmt die ösung die Gestalt [ y = ] Q(x)e I(x) e I(x) + c e I(x) an. Bedeutung des 2. Summanden: Der zweite Summand ist die allgemeine ösung (enthält Konstante c) der homogenen Differentialgleichung. Probe : y h = ce I(x) h = ce I(x) di = y h P (x) h + P (x) y h = 0 Bedeutung des 1. Summanden: Dieser ist für sich genommen eine spezielle (Partikulär-) ösung der inhomogenen Differentialgleichung. Probe : [ y p = [ d ] Q(x)e I(x) e I(x) ] Q(x)e I(x) [ e I(x) p = [ p = Q(x)e I(x)] e I(x) y p P (x) ] Q(x)e I(x) I(x) di e Wir erkennen: p + P (x) y p = Q(x) Man erhält die allgemeine ösung einer linearen, inhomogenen Differentialgleichung 1. Ordnung, indem man zur allgemeinen ösung der homogenen Differentialgleichung eine Partikulärlösung der inhomogenen Differentialgleichung addiert. Bei diesem Vorgehen ist es dabei nicht wesentlich, wie man zu einer Partikulärlösung gelangt (z.b. Erraten ). Die Methode der Variation der Konstanten ist jedoch ein systematisches Verfahren. 8

9.3.2 Beispiele 1.) R--Schwingkreis: Wir betrachten nochmals den R--Schwingkreis jedoch nun mit einer Wechselspannung. Mit U U 0 sin ωt gelangen wir zur Differentialgleichung Wir lesen an der Gleichung ab di dt + R I = 1 U 0 sin ωt. und können nun diese systematisch lösen. P (t) = R = const und Q(t) = U 0 sin ωt ösung der homogenen Gleichung durch Trennung der Variablen di dt = R I di I = R dt I h = A e R t Variation der Konstanten Einsetzen in inhomogene Gleichung Ansatz: I = u(t) e R t di dt = du dt e R t R u(t) e R t }{{} I du dt e R t R I + R I = U 0 sin ωt du dt = U 0 e R t sin ωt Integration ösung: u = U 0 I = U 0 ( R ( R e R t ) 2 + ω 2 1 ) 2 + ω 2 ( ) R sin ωt ω cos ωt + c ( ) R sin ωt ω cos ωt + c e R t (Bestimmung von c aus den Anfangsbedingungen) 2.) Radioaktive Zerfallskette Radium Radon Polonium Bezeichnungen: Ra - Index 1; N 1 (0) = N 0, Zerfallskonstante λ 1 Rn - Index 2; N 2 (0) = 0, Zerfallskonstante λ 2 (anfangs nur Ra) Der Zerfall des Radiums wird beschrieben durch dn 1 dt = λ 1 N 1 < 0 N 1 = N 0 e λ1t. 9

Das aus dem Radium entstehende Radon zerfällt seinerseits ( wobei es eine zeitabhängige Zufuhr in dem Maße gibt, wie das Radium zerfällt dn ) 1 > 0. Zusammen gelangen wir dt zur Gleichung dn 2 = λ 2 N 2 + λ 1 N 1 dt und schließlich zu dn 2 + λ 2 N 2 = λ 1 N 0 e λ1t. dt Diese lineare, inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten gilt es zu lösen. ösung der homogenen Gleichung durch Trennung der Variablen dn 2 dt = λ 2 N 2 N 2 (t) = A e λ2t Variation der Konstanten N 2 (t) = u(t) e λ2t Einsetzen in inhomogene Gleichung Integration ösung dn 2 dt = du dt e λ2t λ 2 u(t) e λ2t du dt e λ2t λ 2 u e λ2t + λ 2 u e λ2t = λ 1 N 0 e λ1t du dt = λ 1N 0 e (λ2 λ1)t u(t) = λ 1N 0 λ 2 λ 1 e (λ2 λ1)t +C N 2 (t) = u(t) e λ2t = λ 1N 0 λ 2 λ 1 e λ1t +C e λ2t Nun erhalten wir mit den Anfangsbedingungen N 2 (0) = λ 1N 0 λ 2 λ 1 + C! = 0 C = λ 1N 0 λ 2 λ 1 die spezielle ösung N 2 (t) = λ 1N 0 λ 2 λ 1 ( e λ 1t e λ2t). 10

9.4 Exakte Differentialgleichungen. Der Integrierende Faktor Bisher behandelten wir separable Differentialgleichungen. Diese sind jedoch im allgemeinen nichtlinear. Zudem haben wir gesehen, wie man allgemeine lineare, inhomogene Differentialgleichungen löst. Davon war der homogene Teil separabel, und die inhomogene Gleichung wurde anschließend durch Variation der Konstanten gelöst. Folgendes Beispiel ist mit dieser Methode jedoch nicht behandelbar Schreiben wir dafür ist die Gleichung auf die allgemeine Form ( x 2 cos y x 2 y sin y ) + 2xy cos y + x2 = 0. (2xy cos y + x 2 ) + ( x 2 cos y x 2 y sin y ) = 0, A(x, y) + B(x, y) = 0 ( ) gebracht. 9.4.1 Exakte Differentialgleichungen Wir vergleichen (*) mit dem vollständige Differential einer Funktion U(x, y) du = + y. Dabei wissen wir bereits, dass nicht jedes Differential A(x, y)+b(x, y) vollständig ist, sondern nur, wenn gilt A y = B, Integrabilitätsbedingung. Für den obigen Fall ist die Integrabilitätsbedingung erfüllt, wenn eine Funktion U(x, y) existiert, sodass A = und B = y gilt (Vertauschbarkeit der 2. partiellen Ableitungen von U). Dann nimmt die Differentialgleichung (*) die Gestallt du(x, y) = 0 an und hat di (i.allg. implizite) ösung U(x, y) = const. Solche Differentialgleichungen heißen exakt. 1. Beispiel: (siehe oben) A(x, y) = 2xy cos y + x 2, A y B(x, y) = x 2 cos y x 2 y sin y, = 2x cos y 2xy sin y B = 2x cos y 2xy sin y Wir erkennen hier, dass die Integrabilitätsbedingung erfüllt und somit die Differentialgleichung exakt ist. Es existiert also eine Funktion U(x, y). Wie lässt sich diese nun bestimmen? 1. Schritt: A(x, y) = Die Integration liefert = 2xy cos y + x2 U(x, y) = x 2 y cos y + x3 3 + g(y) wobei bei x-integration y wie eine Konstante zu behandeln ist, sodass die Integrations- Konstante im allgemeinen eine Funktion von y ist. 11

2. Schritt: Aus der im 1. Schritt erhaltenen ösung folgt. y = x2 cos y x 2 y sin y + dg 3. Schritt: Es ist unabhängig davon auch B(x, y) = y = x2 cos y x 2 y sin y. Gleichsetzen beider Ausdrücke für y, x 2 cos y x 2 y sin y + dg = x2 cos y x 2 y sin y, führt uns auf die in diesem Fall besonders einfache Differentialgleichung dg = 0 mit der ösung g = c = const. 4. Schritt: Mit der ösung für g(x) erhalten wir U(x, y) = x 2 y cos y + x3 3 + c und somit die implizite ösung der ursprünglichen Differentialgleichung x 2 y cos y + x3 3 = C. (Dabei ist in der Konstanten C die Konstante c enthalten.) Anmerkung: Man hätte im 1. ösungsschritt auch mit B(x, y) = beginnen können. Dann hätte die y y-integration auf Integrations- Konstante f(x) geführt usw. 2. Beispiel: Separable Differentialgleichungen = g(x) h(y) Wir schreiben dies als und es ist somit g(x) 1 1 = 0, sodass A(x, y) = g(x) und B(x, y) = h(y) h(y), A y = 0 = B. Alle separablen Differentialgleichungen sind exakt. ösung: = g(x) U(x, y) = y = df g(x) + f(y) andererseits zusammen und damit y = 1 h(y) df = 1 f(y) = h(y) U(x, y) = g(x) h(y) h(y). 12

Die ösung der separablen Differentialgleichung ist somit g(x) h(y) = C, was auch schreibbar ist als g(x) = h(y) (vergleiche Abschnitt 9.2), da unbestimmte Integrale Integrationskonstanten enthalten. 9.4.2 Nicht exakte Differentialgleichungen Wir betrachten nun die Differentialgleichung x xy2 y = 0, oder (xy 2 + y) x = 0. Diese hat die Gestalt wie in ( ) mit A(x, y) = xy 2 + y und B(x, y) = x, sodass A y = 2xy + 1 B = 1 Die Integrabitlitätsbedingung ist hier nicht erfüllt, die Differentialgleichung nennt man dann nicht exakt. Allgemein kann jede Differentialgleichung der Form ( ) exakt gemacht werden. Dazu führen wir den integrierenden Faktor λ(x, y) ein, mit dem wir die Differentialgleichung (*) multiplizieren, (λa) + (λb) = 0. Die Idee ist nun, λ so zu bestimmen, dass die Integrabilitätsbedingung erfüllt wird: y (λa) =! (λb) A λ y B λ ( A + λ y B ) = 0. ( ) Dies ergibt eine partielle Differentialgleichung für λ(x, y), die im allgemeinen schwer zu lösen ist. Jedoch suchen wir nicht nach der allgemeine ösung dieser Gleichung, sondern nach irgendeinem λ, das diese erfüllt. In vielen Fällen ergibt sich so eine Vereinfachung und die Gleichung gür λ ist lösbar. Mit einiger Erfahrung kann man λ in manchen Fällen auch erraten. 1. Beispiel: (sieh oben) Die Bestimmungsgleichung ( ) ist y(xy + 1) λ y + x λ + 2λ(xy + 1) = 0. Dabei lässt sich eine wesentliche Vereinfachung erreichen, wenn λ nur von y allein abhängt, λ = λ(y): y dλ + 2λ = 0. Dies ist durch Trennung der Variablen lösbar. Also dλ λ = 2 y und die Integration liefert ln λ = 2 ln y + c. Somit ergibt sich der integrierende Faktor (da wir nur spezielle ösungen suchen, kann die Konstante entfallen) zu λ = 1 y 2. 13

Die Differentialgleichung wird mit diesem λ zu Integrabilitätsbedingung erfüllt ist ösung: 1. Schritt: 2. Schritt: daraus 3. Schritt: andererseits y ( x + 1 y ) ( x + 1 ) x = 0, wobei jetzt die y y2 = 1 y 2 = ( xy ) 2. = x + 1 x2 U = y 2 + x y + g(y) y = x y 2 + dg y = x y 2 zusammen: x y 2 + dg = x dg y2 = 0 g = c = const 4. Schritt: U(x, y) = x2 2 + x y + c ösung der Differentialgleichung U(x, y) = const liefert x 2 2 + x ( ) y = C 2x explizit: y = 2C x 2 Machen wir nun noch die Probe mit der ursprünglichen Differentialgleichung. Indem wir die ösung implizit differenzieren, x + 1 y x y 2 y = 0 xy 2 + y xy = 0, sehen wir, dass sie mit der anfänglichen Differentialgleichung xy xy 2 y = 0 übereinstimmt. 2. Beispiel: allgemeine lineare, inhomogene Differentialgleichung + P (x) y = Q(x) Wir schreiben diese Gleichung als [P (x) y Q(x)] + = 0 mit A(x, y) = P (x) y Q(x) und B(x, y) = 1. Da A y = P (x), aber B = 0 ist, ist die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt, die Differentialgleichung ist nicht exakt. Wir suchen also einen integrierenden Faktor und beginnen mit der Bestimmungsgleichung ( ) y2 [P (x) y Q(x)] λ y λ + λ P (x) = 0. Man erkennt, dass sich mit einem Faktor λ = λ(x) diese Differentialgleichung zu dλ = λ P (x) vereinfachen lässt. Somit liefert die Trennung der Variablen dλ λ = P (x), wonach sich durch Integration der integrierende Faktor ergibt. λ = e P (x). 14

ösung: 1. Schritt: y 2. Schritt: daraus 3. Schritt: andererseits = λb y = λ(x), da B = 1, also U = λ(x) y + f(x) = dλ y + df df(x) = λ P (x) y + Zusammen ergibt sich also = λa = λ P (x) y λ Q(x) λ P (x) y + df = λ P (x) y λ Q(x), somit f(x) = λ(x) Q(x). 4. Schritt: Mit U = λ y + f = C gelangen wir zur ösung der Differentialgleichung y = 1 [ λ ( f + C) = e P (x) C + ] x Q(x) e P (x ) (vergleiche Abschnitt 9.3) 15