Musterlösung zur Probeklausur Lineare Algebra I Aufgabe 1 5 Punkte: Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch? Setzen Sie in jeder Zeile genau ein Kreuz. Für jede korrekte Antwort erhalten Sie 0,5 Punkte, für jede falsche 0 Punkte. Eine Begründung ist nicht erforderlich. wahr falsch Die leere Menge ist ein R-Untervektorraum von R. X Die Abbildung C C, a + bi a bi a, b R X ist C-linear. Eine Abbildung f : Z/2Z Z/2Z ist genau dann X Z/2Z-linear, wenn f0 0 gilt. Eine Abbildung f : M M ist genau dann injektiv, X wenn f f injektiv ist. Jede surjektive R-lineare Abbildung R R ist bijektiv. X Es gibt keinen Körper mit 1 Elementen. X Jeder Vektorraum besitzt eine endliche Basis. X Es gibt eine R-lineare Abbildung g : R R X mit Kerng Bildg. Es existiert keine Matrix M R 2 2 \ 0 mit M 2 0. X Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, X so ist es inhomogen.
Aufgabe 2 5 Punkte: Geben Sie das richtige Ergebnis an. Eine Begründung ist nicht erforderlich. a Ergänzen Sie zu einer Basis des C-Vektorraums C. 5 1 + i 0 6i, 4, 1 i 2 0 Es existieren auch andere korrekte Lösungen. b Bestimmen Sie die Matrix von f : R 2 R, x, y 2x 2y, y, 2x bezüglich der unten angegebenen Basen. Basis von R 2 : X 0 2, 2 2 1 1 1 Basis von R : Y 0, 2, 1 1 1 1 A f,x,y 1 4 8 c Geben Sie jeweils eine Basis für Kernf und Bildf an. f : R 2 R 2 x 2x y, y y 2x Basis von Kernf: 2 1 Basis von Bildf: 1 Es existieren auch andere korrekte Lösungen. d Berechnen Sie die Determinante folgender reeller Matrix. 1 2 0 det 0 2 6 2 1 0 e Bestimmen Sie die inverse Matrix in R 2 2. 1 2 1 1 1 1 2
Aufgabe,5 Punkte: a Auf der Menge N N ist die Relation m, n m, n : m + n m + n m, n, m, n N gegeben. Zeigen Sie, dass dies eine Äquivalenzrelation ist. 1,5 P. b Zeigen Sie, dass die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich der Addition [m, n] + [m, n ] : [m + m, n + n ] m, n, m, n N eine Gruppe bildet. 2 P. a Reflexivität: Für alle m, n N gilt offensichtlich m + n m + n und somit m, n m, n. Symmetrie: m, n m, n m + n m + n m + n m + n m, n m, n. Transitivität: m, n m, n und m, n m, n m + n m + n und m +n m +n m+n +m +n m +n+m +n m+n n + m m, n m, n. b Wohldefiniertheit der Addition: Seien [m, n] [k, l] und [m, n ] [k, l ]. m, n k, l und m, n k, l m + l k + n und m + l k + n m + m + l + l k + k + n + n m + m, n + n k + k, l + l [m + m, n + n ] [k + k, l + l ]. [0, 0] ist das neutrale Element wegen [m, n] + [0, 0] [m + 0, n + 0] [m, n] und [0, 0] + [m, n] [0 + m, 0 + n] [m, n]. Das inverse Element von [m, n] ist [n, m], denn [m, n] + [n, m] [m + n, n + m] [0, 0] und [n, m] + [m, n] [n + m, m + n] [0, 0]. Assoziativität: [m, n] + [m, n ] + [m, n ] [m + m, n + n ] + [m, n ] [m + m + m, n + n + n ] [m, n] + [m + m, n + n ] [m, n] + [m, n ] + [m, n ] Anmerkung zu Aufgabe : Man kann leicht zeigen, dass die Gruppe aus Aufgabenteil b isomorph zu Z ist. Der Gruppen-Isomorphismus ist gegeben durch [m, n] m n. Wir haben somit gesehen, wie man aus den natürlichen Zahlen die ganzen Zahlen konstruieren kann.
Aufgabe 4 4,5 Punkte: Sei V ein R-Vektorraum und f : V V eine R-lineare Abbildung. Für r R definieren wir U f,r : v V fv r v. a Zeigen Sie, dass U f,r ein R-Untervektorraum von V ist. 1,5 P. b Beweisen Sie: U f,r U f,s 0 für r s. c Zeigen Sie, dass die Abbildung g : R 2 R 2, x y x + y 2 y R-linear ist. d Bestimmen Sie jeweils eine Basis für die R-Untervektorräume U g,1, U g,2 R 2. a Wegen f0 0 r 0 gilt 0 U f,r und somit U f,r. Für v 1, v 2 U f,r gilt fv 1 rv 1 und fv 2 rv 2. Es folgt fv 1 + v 2 fv 1 + fv 2 rv 1 + rv 2 rv 1 + v 2 und somit v 1 + v 2 U f,r. Für s R und v U f,r gilt fsv sfv srv rsv und daher sv U f,r. b : Sei v U f,r U f,s, wobei r s. Dann folgt rv fv sv. Wir erhalten r sv 0 und wegen r s 0 v 0. : Da U f,r und U f,s Untervektorräume von V sind, gilt 0 U f,r und 0 U f,s. Es folgt 0 U f,r U f,s. c Die Abbildung g ist R-linear, da für alle x 1, x 2, y 1, y 2, r R gilt: g x 1, y 1 +x 2, y 2 gx 1 + x 2, y 1 +y 2 x 1 +x 2 +y 1 +y 2, 2y 1 +y 2 x 1 + y 1, 2y 1 + x 2 + y 2, 2y 2 gx 1, y 1 + gx 2, y 2 g rx 1, y 1 grx 1, ry 1 rx 1 + ry 1, 2ry 1 rx 1 + y 1, 2y 1 rgx 1, y 1 d U g,1 x, y R 2 x + y, 2y x, y x, y R 2 y 0 x, 0 R 2 x R. Basis für Ug,1 : 1, 0 Korrekte Lösungen sind auch alle anderen Vektoren x, 0 mit x 0. U g,2 x, y R 2 x + y, 2y 2x, 2y x, y R 2 x y x, x R 2 x R. Basis für Ug,2 : 1, 1 Korrekte Lösungen sind auch alle anderen Vektoren x, x mit x 0. Anmerkung zu Aufgabe 4: Die Vektoren aus U f,r \ 0 werden Eigenvektoren genannt, die zugehörigen Elemente r R Eigenwerte. Wir werden in der Vorlesung Lineare Algebra II ausführlich Eigenwerte und Eigenvektoren behandeln.
Aufgabe 5 2 Punkte: Für n N \ 0 betrachten wir die R-lineare Abbildung τ n : R n n R n n, A A t. a Zeigen Sie: detτ n ±1. b Berechnen Sie detτ 2. a Wegen τ n τn A τ n A t A gilt τ n τ n id. Es folgt detτ n 2 detτ n τ n detid 1 und detτ n ±1. b Die Matrix zu τ 2 : R 2 2 R 2 2 bezüglich der Basis E 11, E 12, E 21, E 22 lautet: 0 0 1 0 0 1 0 0 Somt erhalten wir 0 0 1 0 detτ 2 det 0 1 0 0 det 0 1 0 0 0 0 1 0 1.