KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann SS 014 Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum 1. Übungsblatt Aufgabe 1 Wir betrachten eine Funktion f : R R. a) Bestimmen Sie in den fogenden Fällen alle Punkte, in denen f stetig ist. (i) sin(y), falls (, y) (0, 0), f(, y) = +y (ii) y sin(), falls 0, f(, y) = (iii) y, falls 0, f(, y) = 0, sonst. b) Zeigen Sie die nachfolgenden Behauptungen. y, falls (, y) (0, 0), (i) Ist f(, y) = +y so eistieren die iterierten Grenzwerte lim lim 0 y 0 sind voneinander unterschieden. 1, falls Q oder y Q, (ii) Ist f(, y) = f(, y) lim lim f(, y) y 0 0 so sind die Funktionen g : R R; f(, 0) h : R R; y f(0, y) zwar stetig, doch der Grenzwert lim (,y) (0,0) f(, y) eistiert nicht.
zu a) (i): Als Produkt Komposition stetiger Funktionen ist f in allen Punkten der offenen Menge R \{(0, 0)} stetig. In (0, 0) ist f jedoch nicht stetig, denn es gilt f(n 1, n 1 ) = 1 sin(n ) n 1 0 = f(0, 0). zu a) (ii): Als Produkt Komposition stetiger Funktionen ist f in allen Punkten der offenen Menge R \{(, y) R : = 0} stetig. Des Weiteren gilt für jedes y 0 R einerseits f(0, y 0 ) = 0 andererseits f(, y) = y sin() (,y) (0,y 0 ) y 0 für (, y) R \{(0, y 0 )} mit 0. Daher ist f in (0, y 0 ) höchstens dann stetig, wenn y 0 = 0 gilt, wegen lim y 0 f(0, y) = 0 ist f in der Tat im Punkt (0, 0) stetig. Also ist {(, y) R : 0} {(0, 0)} die Menge aller Stetigkeitspunkte von f. zu a) (iii): Als Quotient stetiger Funktionen ist f in allen Punkten der offenen Menge R \{(, y) R : = 0} stetig. Ist jedoch y R \{0}, so ist f im Punkt (0, y) nicht stetig, denn man hat dann stets (n N) f(n 1, (1 n 1 )y) = (n 1) n n Aber auch in (0, 0) ist f nicht stetig, wie aus folgt. zu b) (i): Für (, y) (0, 0) gilt einerseits andererseits also f(n, 1/ n)) = n n. y. y lim f(, y) = lim y 0 y 0 + y = = 1 1 0 y lim f(, y) = lim 0 0 + y = y y lim lim 0 y 0 = 1 y 0 1, f(, y) = 1 1 = lim lim f(, y). y 0 0 zu b) (ii): Für alle, y R gilt g() = f(, 0) = 1 h(y) = f(0, y) = 1, d.h., g h sind jeweils konstante Funktionen, also auch stetig. Es sei ( n ) n eine Folge aus R \ Q mit Grenzwert 0. Dann folgt f( n, 0) = 1 1 f( n, n ) = 0 0; mithin eistiert der Grenzwert lim (,y) (0,0) f(, y) nicht.
Aufgabe Beweisen Sie: Ist d N mit d ist f : R d R stetig, so eistieren unendlich viele Punkte R d mit f() = f( ). Wir definieren g() := f() f( ) für R d zeigen, dass g unendlich viele Nullstellen hat. Es bezeichne N die Menge aller Nullstellen von g; man beachte, dass zumindest 0 N gilt. Wir machen nun die Annahme, dass N endlich sei, führen diese Annahme zu einem Widerspruch. Da N als endlich angenommen wird, eistiert ein r > 0 derart, dass N [ r, r] d erfüllt ist. Wir betrachten die offenkig stetigen Funktionen h : R R; t g(r + 1, t, 0), h : R R; t g((1 t)(r + 1), r + 1, 0) mit 0 R d ; hierbei (wie auch im Folgenden) ist (z, 0) für z R als z zu lesen, falls d = gilt; man beachte, dass die Funktionen wegen d in der Tat wohldefinierte Objekte sind. Wegen (r + 1, t, 0) / [ r, r] d für t R besitzt h keine Nullstelle (denn ist t eine Nullstelle von h, so ist (r + 1, t, 0) eine Nullstelle von g). Nach dem Zwischenwertsatz gilt dann entweder h(t) > 0 für alle t R oder es gilt h(t) < 0 für alle t R. Wir betrachten nur den ersten Fall; den zweiten erledigt man analog oder man betrachtet g anstelle von g beachtet, dass g genau dann unendlich viele Nullstellen hat, wenn dies auf g zutrifft. Wegen ((1 t)(r + 1), r + 1, 0) / [ r, r] d (t R) folgt ebenso, dass auch h keine Nullstellen besitzt. Es gilt nun jedoch einerseits andererseits h(0) = g(r + 1, r + 1, 0) = h(r + 1) > 0 h(1) = g( (r + 1), r + 1, 0) = f( (r + 1), r + 1, 0) f(r + 1, (r + 1), 0) = (f(r + 1, r 1, 0) f( (r + 1), ( r 1), 0)) = g(r + 1, r 1, 0) = h( r 1) < 0, sodass der Zwischenwertsatz die Eistenz einer Zahl τ (0, 1) mit h(τ) = 0 sicherstellt. Widerspruch! Bemerkung: Tatsächlich haben wir mehr bewiesen, als wir behauptet haben: Unser Beweis zeigt nämlich sogar, dass die Menge { R d : f() = f( )} nicht beschränkt sein kann.
Aufgabe 3 Wir betrachten eine Funktion f : D R, wobei D R (0, 0) ein Häufungspunkt der Menge D sei. Untersuchen Sie in den nachfolgenden Fällen, ob der Grenzwert lim (,y) (0,0) f(, y) eistiert berechnen Sie diesen im Falle seiner Eistenz. a) D = (R \{0}) R, f(, y) = ey 1 b) D = (R \{0}), f(, y) = sin(y) y c) D = R \{(0, 0)}, f(, y) = sin(y) +y d) D = (0, ) (R \{0}), f(, y) = y +y zu a): Es gilt f(, y) = ey 1 = { 0, falls y = 0, e y 1 y y, falls y 0, für alle (, y) (R \{0}) R. Hieraus folgt wegen lim t 0 e t 1 t = e 0 = 1, dass stets erfüllt ist. lim f(, y) = 0 (,y) (0,0) zu b): Aus lim t 0 sin(t) t = 1 ergibt sich sofort lim (,y) (0,0) f(, y) = 1. zu c): Einerseits gilt lim f(1/n, 0) = 0 (n N) andererseits lim f(n 1, n 1 ) = 1/ (siehe Lösung zu Aufgabe 1 a) (i)). Also eistiert der Grenzwert lim (,y) (0,0) f(, y) nicht. zu d): Für alle (, y) (0, ) (R \{0}) gilt 0 f(, y) = y y = y 0 + y (,y) (0,0) es folgt daher lim (,y) (0,0) f(, y) = (0, 0).
Aufgabe 4 Wir betrachten eine Funktion f : D R, wobei D := (R \{0}) (R \{0}) sowie die Grenzwerte (i) (ii) (iii) lim (,y) (0,0) f(, y), lim 0 lim y 0 f(, y) lim y 0 lim 0 f(, y). Beweisen Sie die folgenden Aussagen. a) Für f(, y) = sin(1/y) eistieren nur die Grenzwerte (i) (iii). b) Für f(, y) = y sin(1/) eistieren nur die Grenzwerte (i) (ii). c) Für f(, y) = y +y eistieren nur die Grenzwerte (ii) (iii) diese sind identisch. d) Für f(, y) = sin(1/y) + y sin(1/) eistiert nur der Grenzwert (i). e) Für f(, y) = y +y + y sin(1/) eistiert nur der Grenzwert (ii). f) Für f(, y) = y +y + sin(1/y) eistiert nur der Grenzwert (iii). zu a): Wegen f(, y) folgt sofort lim (,y) (0,0) f(, y) = 0 = lim y 0 lim 0 f(, y). Da der Grenzwert lim y 0 sin(1/y) bekanntlich nicht eistiert, eistiert auch der Grenzwert lim y 0 sin(1/y) für R \{0} nicht. Der iterierte Grenzwert lim 0 lim y 0 f(, y) kann daher ebenfalls nicht eistieren. zu b): Das sieht man, indem man in der Lösung zu Teil a) die Rollen von y vertauscht. zu c): Für (, y) D gilt f(, y) = y + y y 0 0 somit auch lim 0 lim y 0 f(, y) = 0. Vertauschen der Rollen von y liefert lim y 0 lim 0 f(, y) = 0. Dass der Grenzwert lim (,y) (0,0) f(, y) nicht eistiert, folgt aus f(1/k, 1/k) = 1 k f(/k, 1/k) = 5 k (man beachte, dass die Nichteistenz des Grenzwertes lim (,y) (0,0) f(, y) nicht aus Beispiel 16.1 der Vorlesung folgt, da dort ein größerer Definitionsbereich zugre liegt; so gilt ja für die dort verwendete Folge (1/k, 0) / D für alle k N). zu d): Das folgt aus a) b). zu e): Das folgt aus b) c). zu f): Das folgt aus a) c). 1 5