Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Übungen zur Klassischen Theoretischen Physik III Theorie C Elektrodynamik WS 2-3 Prof. Dr. Alexander Mirlin Blatt Dr. Igor Gornyi Besprechung 6..23 Aufgabe : Kugel 2+2+2+2=8 Punkte Betrachten Sie eine Kugel mit Radius a aus dielektrischem Material. Die Kugel trage eine konstante Polarisation P = P e z a Berechnen Sie die Ladungsdichte ρ geb der lokalisierten Ladungen auf der Oberfläche der Kugel. Die Ladungsdichte der lokalisierten Ladungen is gegeben durch ρ geb r = P r. Innerhalb der Kugel gilt Mit wobei erhalten wir ρ geb r =, r < a. 2 P r = P e z Θa r, 3 Θa r = {, r < a, r > a, 4 ρ geb r = P Θa r ez }{{} = P e z Θa r + Θa r e z }{{} B, Ad = }{{} B, Aa dθa r r P e z dr r = P e z e r δr a = P cos θ δr a = σ pol δr a. 5 Die Oberflächendichte der Polarisationslandungen erfüllt σ pol = P }{{} 2 P e }{{} r = P e z e r. 6 = Vorlesung: Dielektrische Kugel in einem homogenen elektrischen Feld = P E = E e z = const. =
Polarisation innerhalb der Kugel, P = D E 4π ist homogen über das ganze Volumen V der Kugel. Also, = 3 ε 4π ε + 2 E e z = P e z, 7 σ pol = P cos θ = 3 ε 4π ε + 2 E cos θ. 8 b Berechnen Sie das gesamte Dipolmoment der Kugel. Mit Gl. 5 kann man das gesamte Dipolmoment explizit berechnen: p = d 3 r r ρ geb r = P d 3 r r δr a e r e z e r 9 = P 2π π dφ dθ sin θ drr 2 r sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ cos θδr a. Die x- und y-komponenten verschwinden aufgrund der ϕ-integration und es bleibt nur die z-komponente: Es gilt: 2π p = P e z dφ π dθ sin θ cos 2 θ p = P V = P 4 3 πa3 e z. drr 3 δr a = P e z 2π 2 3 a3. Eine in ein nichtmagnetisches Medium eingebettete Kugel vom Radius a hat die konstante Magnetisierung M = M e z. c Berechnen Sie die Oberflächen-Stromdichte j geb der lokalisierten Ladungen. Da die Magnetisierung außerhalb der Kugel verschwindet, kann man auch schreiben: M r = M e z Θa r. 2 Die Stromdichte ergibt sich aus s. Vorlesung j geb r = c M r = cm δr a e z e r = cm sin θ e φ. 3 d Berechnen Sie das gesamte magnetische Moment m der Kugel. Konstante Magnetisierung Explizit: m = 2c m = MV = M 4 3 πa3 e z. 4 d 3 r [ r j geb r] = 2 M = 2π 2 M e z dφ π dθ sin θ cos 2 θ d 3 r r [ e r [ e z e r ]]δr a drr 3 δr a = 2 M e z 2π 4 3 a3 = MV. 5
Aufgaben 2, 3 und 4 benutzen SI-Einheiten: wobei D = ϵ E, ϵ = ϵ ϵ r die elektrische Permittivität ist. Die elektrische Suszeptibilität χ ist mit der relativen Permittivität ϵ r auch Dielektrizitätskonstante oder Dielektrizitätszahl genannt über verknüpft. ϵ r = χ Aufgabe 2: Kondensator und Dielektrikum 3+2+5= Punkte Betrachten Sie zwei koaxiale, zylinderförmige Leiter mit Radien a < b und Länge L b. a Berechnen Sie die im Feld gespeicherte Energie W E für den Fall, dass sich zwischen den Leitern ein Dielektrikum der Dielektrizitätskonstante ϵ befindet. Für die Energiedichte gilt w e = 2 E D Mit dem Gauss schen Satz findet man Dd A = D = 2πrL e r = ϵ E Einsetzen liefert 2 w e = 8π 2 r 2 L 2 ϵ Somit folgt für die gespeicherte Energie W E = w e rdrdϕdz = b Berechnen Sie die Kapazität C der Anordnung. U = b a Edr = b a 2πϵrL dr = 2 4πLϵ ln 2πϵL ln L C = 2πϵ lnb/a = ϵ C ϵ b a b = a C c Die Zylinder stehen nun in einem Bad dielektrischer Flüssigkeit mit der Suszeptibilität χ e und Dichte ρ. Der Flüssigkeitsspiegel befindet sich anfangs bei z =. Bei Anlegen einer Spannung U zwischen den beiden Leitern steigt die Flüssigkeit innerhalb der Zylinder bis zur Höhe z = h an. Im Gleichgewicht gleichen sich elektrostatische und Gravitations-Kraft mit der Gravitationsbeschleunigung g aus.
Nehmen Sie das Flüssigkeitsbad als unendlich gross an, d.h. vernachlässige Änderungen im Flüssigkeitsspiegel ausserhalb der Zylinder. Finden Sie die Höhe h der Flüssigkeit im Gleichgewicht. Mit dem Gauss schen Satz findet man direkt, dass für r < a das elektrische Feld null ist. Die mechanische Arbeit, die nötig ist, um die Flüssigkeit auf die Höhe h + h zu bringen, ist W mech = h F G dz = h ρgv dz = h ρgπb 2 a 2 zdz = ρgπb 2 a 2 2 h2. Durch das Ansteigen der Flüssigkeit ändert sich die Kapazität des Kondensators: h C = 2πϵ lnb/a + 2πϵ L h lnb/a. 6 Dadurch wird elektrische Energie frei, die dann wiederum für einen weiteren Anstieg der Flüssigkeit sorgt. Die Spannung U bleibt konstant. Im Gleichgewicht gilt W E = 2 CU 2 = 2 2πϵ ϵ h lnb/a U 2. F G = W mech h und somit erhalten wir für die Höhe h = = F E = W E h 7 ϵ ϵ U 2 ρgb 2 a 2 lnb/a = ϵ χ e U 2 ρgb 2 a 2 lnb/a. 8 Gauß: h = χ e U 2 ρgb 2 a 2 lnb/a. 9 Aufgabe 3: Spiegelladungen mit Dielektrikum 3+4=7 Punkte Eine Punktladung befindet sich auf der z-achse bei z = d. Der Halbraum z > wird von einem Dielektrikum der Dielektrizitätskonstante ϵ ausgefüllt, der Halbraum z < von einem Medium der Dielektrizitätskonstante ϵ 2. a Verwenden Sie die Methode der Spiegelladungen um das elektrostatische Potential im gesamten Raum zu finden. Um das Potential im Halbraum z > zu finden, platzieren wir eine Spiegelladung bei z = d. Unter Verwendung von Zylinderkoordinaten hat das Potenzial folgende Form 4πϵ ρ2 + d z +, z >. 2 ρ2 + d + z 2 Für den Bereich z < entspricht das Potenzial dem einer Ladung bei z = d., z <. 4πϵ 2 ρ2 + d z 2
Bei z = gelten die folgenden Randbedingungen: ϵ E z ϵ 2 E z lim E x = lim E x. z + z E y E y Mit und z ρ2 + d z 2 z= = z ρ2 + d + z 2 z= = d ρ 2 + d 2 3/2 = ρ ρ2 + d z z= ρ = 2 ρ ρ2 + d + z z= 2 ρ 2 + d 2 3/2 erhalten wir Dies liefert: und = ϵ + = ϵ 2 ϵ ϵ 2 = ϵ 2 + ϵ 2ϵ2 = ϵ 2 + ϵ 4πϵ ρ2 + d z + ϵ ϵ 2, z >, 2 2 ϵ + ϵ 2 ρ2 + d + z 2, z <. 2 2πϵ + ϵ 2 ρ2 + d z 2 Grenzfälle: ϵ = ϵ, ϵ 2 = Vakuum + Metall: 4πϵ ρ2 + d z, z >, 22 2 ρ2 + d + z 2, z <. 23 ϵ = ϵ 2 : 4πϵ 4πϵ, z >, 24 ρ2 + d z 2, z <. 25 ρ2 + d z 2 26
b Bestimmen Sie die induzierte Ladungsverteilung sowie die gesamte induzierte Ladung. Es gilt Mit erhält man σ geb = P 2 P n 2. P i = ϵ i ϵ E i = ϵ i ϵ Φ ± σ geb = ϵ ϵ 2 ϵ d 2π ϵ ϵ + ϵ 2 ρ 2 + d 2 3/2 geb = σ geb da = ϵ ϵ 2 ϵ ϵ ϵ + ϵ 2 Grenzfall ϵ = ϵ, ϵ 2 = Vakuum + Metall: geb =. Bonusaufgabe Kugelkondensator 4+3+3= Bonuspunkte Zwei kugelförmige konzentrische Leiter der Radien a, b mit a < b tragen die Ladung ±. Der Raum zwischen den Kugeln ist zur Hälfte mit einem Dielektrikum der Dielektrizitätskonstante ϵ gefüllt. a Berechnen Sie das elektrische Feld E im gesamten Raum zwischen den beiden Kugeln. Ohne das Dielektrikum wäre das elektrische Feld zwischen den beiden Kugeln radial. Man kann nicht annehmen, dass sich das durch das Dielektrikum nicht ändert. Jedoch ist das elektrische Feld mit Sicherheit tangential zur Fläche zwischen den Regionen mit und ohne Dielektrikum. Somit ist die Bedingung E = E 2 automatisch erfüllt. Da es keine Komponente senkrecht zur Grenzfläche gibt, ist die Bedingung D = D2 automatisch erfüllt. Somit können wir einen Ansatz der folgenden Form wählen. E = c e r r 2 Wir benutzen den Gauss schen Satz verwenden, um die Konstante c zu bestimmen. Somit erhalten wir D da = c = ϵ c r 2 2πr2 + ϵc r 2 2πr2 = 2πϵ + ϵ
b Berechnen Sie die Oberflächenladungsdichte der freien Ladungsträger σ frei auf der inneren Kugel. Die Oberflächenladungsdichte ist gegeben durch σ = D r=a wobei D = ϵ E oder D = ϵe gilt, abhängig von der Region. Somit erhalten wir ϵ ϵ + ϵ σ = ϵ ϵ + ϵ 2πa 2 ; 2πa 2 ; dielektrische Hälfte leere Hälfte c Berechnen Sie die durch die Polarisation P induzierte Ladungsdichte σ geb auf der Oberfläche des Dielektrikums bei r = a. Die Polarisationsladungsdichte ist gegeben durch ρ geb = P Ausserhalb des Dielektrikums ist die Polarisation natürlich null. Mit dem Gauss schen Satz erhalten wir σ geb = P r=a = χ e E r=a = ϵ ϵ ϵ + ϵ 2πa 2