Mathematik für Betriebswirte I (Lineare Algebra). Klausur Wintersemester 20/204 06.02.204 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname:... Vorname:... Matrikelnummer: Studienfach:... Name des Tutors:... Vorkurs Mathematik besucht? Ja Nein Unterschrift der/des Studierenden: Überprüfen Sie die Klausur auf Vollständigkeit, sie besteht aus 9 Seiten. Bemerkungen: Aufgabe max. Pkt. err. Pkt. 0 2 0 0 4 5 5 5 6 5 7 5 Summe 90 Note
Aufgabe : Surjektivität und Injektivität (0 Punkte). Untersuchen Sie die Abbildung f : R\{0} R x f(x) = x auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. Begründen Sie Ihre Antworten kurz. 2. Skizzieren Sie eine nicht monotone, aber injektive Funktion.. Geben Sie eine Funktion einschließlich Definitions- und Wertebereich an, deren Zuordnungsvorschrift durch die unten stehende Abbildung beschrieben wird. Erläutern Sie zudem kurz, ob es sich bei f um eine surjektive und/oder injektive Abbildung handelt. x f y. (2 Punkte) Surjektiv (-), (2 Punkte) injektiv (+), ( Punkt) bijektiv (-) 2. (2 Punkte) Beispielhaft: y x. (2 Punkte) Beispielhaft: f : { 2,,0,,2} {,0,,4},x x 2 ( Punkt) Die Abbildung f ist weder surjektiv, noch injektiv. 2
Aufgabe 2: Lineare Unterräume (0 Punkte) PrüfenSie,obessichbeiM,M 2 undm umlineareunterräumedesr handelt. 2 M = λ,µ 8 λ,µ R 0 4 x y M 2 = 2,λ 2,µ 0 x,y R,λ,µ R 0 0 0 x M = x 2 x,x 2,x R,x x 2,x x 2 x ( Punkte) M ist bzgl. der Addition nicht abgeschlossen, weshalb es sich um keinen linearen Unterraum des R handelt. (4 Punkte) M 2 ist bzgl. der Addition und der skalaren Multiplikation abgeschlossen, weshalb es sich um einen linearen Unterraum des R handelt. ( Punkte) M ist bzgl. der skalaren Multiplikation nicht abgeschlossen, weshalb es sich um keinen linearen Unterraum des R handelt.
Aufgabe : Orthogonale Matrizen (0 Punkte) Zeigen Sie auf zwei verschiedenen Wegen, dass es sich bei 2 2 A = 2 2 2 2 um eine orthogonale Matrix handelt. Weg : Orthonormierte Vektoren ( Punkt) a T a 2 = ( 2 ) ( + 2 ) ( + 2 ) ( 2 ) = 0 ( Punkt) a T a = ( 2 ) ( + 2 ) ( 2 ) ( + 2 ) = 0 ( 2 ) + ( 2 ) ( + 2 ) = 0 ( Punkt) a T 2 a = ( ( Punkt) a = ( ( Punkt) a 2 = 2 ) 2 ( + ( ( Punkt) a = 2 ) 2 +( 2 2 ( + ) 2 2 = ) ) 2 +( ) 2 + ) 2 +( ) 2 = ( ) 2 = ( Punkt) Da die Vektoren von A orthonormiert sind, ist A orthogonal. Weg 2: Produkt aus A und A T ( Punkte) Da 2 2 = 0 0 0 0 0 0 gilt, ist A eine orthogonale Matrix. 4
Aufgabe 4: Mengenlehre (5 Punkte). Gegeben seien die Teilmengen A, B und C einer Grundmenge Ω. Des Weiteren gelte: P(Ω) = 8 P(B) = {,{b}} P(B) P(A) = P(C) A B = {a,b} c C Bestimmen Sie die Grundmenge Ω sowie die Teilmengen A,B,C und skizzieren Sie ein geeignetes Venn-Diagramm, aus dem alle betrachteten Mengen und ihre jeweiligen Elemente klar hervorgehen. 2. Schraffieren Sie die Menge ((A B)\(D C)) ((A C) (B C) C) im folgenden Venn-Diagramm. D A B C. Es sei M N definiert und M N. Kreuzen Sie für die folgenden Aussagen an, ob sie als wahr oder falsch zu beurteilen sind. Ein richtig gesetztes Kreuz zählt Punkt, ein falsch oder ein nicht gesetztes Kreuz zählt 0 Punkte. a) M N = M b) M N = N c) M\N = d) N M e) P(M) P(N) Wahr Falsch a) b) c) d) e) 5
. (6 Punkte) Es gilt: Ω = {a,b,c} A = C = {a,b} B = {b} A = C c B a b Ω 2. (4 Punkte) Es gilt: D A B C. (5 Punkte) a) b) c) d) e) Wahr X X X X Falsch X 6
Aufgabe 5: Matrizenalgebra (5 Punkte) Gegeben seien die Matrizen 2 0 0 2 A = 5 2, B = 2 a und C = 2 0 2 0 4 0 2 0 2 0 5 mit a R. a) Berechnen Sie die Ausdrücke 5B 2A T und A B. b) Begründen Sie, für welche a R der Zusammenhang B = A gilt. c) Begründen Sie, ob die Matrix C eine Inverse besitzt. Ändern Sie zudem eine Komponente von C derart ab, dass sich die von Ihnen ermittelte Eigenschaft in ihr Gegenteil wendet. d) Begründen Sie, ob die Zeilen der Matrix A ein Erzeugendensystem des R bilden. a) (7 Punkte) Es gilt: 9 0 7 5B 2A T = 0 5a 4 5 6 2 und A B = 0 0 0 2a 0 0 0 b) (2 Punkte) Da A B = E nur für a = 2 gilt, ist B = A im Falle von a = 2 erfüllt. c) (2 Punkte) Die Matrix C ist invertierbar, da sie regulär ist. (2 Punkte) Mögliche Änderungen, so dass C nicht mehr invertierbar ist: Vorher Nachher c = 0 c = c = c = 0 c 22 = 2 c 22 = 0 c 2 = 0 c 2 = 4 c = c = 0 d) (2 Punkte) Ja, da rg(a) = gilt. 7
Aufgabe 6: Determinanten (5 Punkte) Gegeben seien die Matrizen 4 2 5 2 0 2 A = und B = 0 2 4 5 4 4. a) Berechnen Sie die Determinanten der Matrizen A und B. b) Berechnen Sie det ( A T), det ( B ), det(a+a) und det(ab). a) (8 Punkte) Eine Entwicklung nach der zweiten Spalte von A ergibt: 2 2 det(a) = ( ) +2 ( ) det 4 4 2 5 +( ) 4+2 ( 2) det 2 2 = ( 6 8 4 (9+2 24)) 2 ( 24+2+0 ( 0+2+2)) = ( 5) 2 ( 6) = (2 Punkte) Die Determinante der Matrix B ergibt sich zu: ( ( det(b) = 5 ( ) 4 )) = 5 = 4 4 b) Es gilt: ( Punkt) det ( A T) = ( ) 4 det(a) = ( Punkt) det ( B ) = det(b) = 4 (2 Punkte) det(a+a) = det(2a) = 2 4 det(a) = 6 ( ) = 528 ( Punkt) Der Ausdruck det(ab) ist nicht definiert. 8
Aufgabe 7: Quadratische Formen (5 Punkte) Gegeben sei die Matrix sowie ihr Spektrum S = { 8, 9,9}. 2 8 A = 2 2 0 8 0 5 a) Geben Sie die charakteristische Gleichung P A (λ) = 0 explizit an. b) Bestimmen Sie die zu A gehörige quadratische Form q(x) = x T Ax. c) Bestimmen Sie die Definitheitseigenschaft von A über ihre Hauptunterdeterminanten und über ihre Eigenwerte. d) Begründen Sie in einem Satz, ob A diagonalisierbar ist. e) Bestimmen Sie die Spur und die Determinante von A auf Basis ihrer Eigenwerte. Hinweis: Sie können alle Unteraufgaben dieser Aufgabe separiert voneinander bearbeiten. a) ( Punkte) Die charakteristische Gleichung der Matrix A ergibt sich über ihre Eigenwerte direkt zu: b) ( Punkte) Es gilt: (λ+8)(λ+9)(λ 9) = 0 q(x) = x T Ax = x 2 2x 2 2 5x 2 +4x x 2 +6x x +20x 2 x c) Argumentation über die Hauptunterdeterminanten: (/2 Punkte) det(h ) = < 0 (/2 Punkte) det(h 2 ) = 8 > 0 ( Punkte) det(h ) = 458 > 0 ( Punkt) Argumentation über die Eigenwerte: Die Matrix A besitzt sowohl negative als auch positive Eigenwerte. ( Punkt) Damit folgt auf beiden Wegen, dass A indefinit ist. d) ( Punkt) Da A symmetrisch ist, ist A diagonalisierbar. e) ( Punkt) spur(a)= λ +λ 2 +λ = 8 9+9 = 8 ( Punkt) det(a) = λ λ 2 λ = 8 ( 9) 9 = 458 9