V Normalvrtilung als Nährung dr Binomialvrtilung Ggbn ist in nach B(n,p) vrtilt Zufallsgröß mit großm n. Sthn di Wahrschinlichkitn für das btrffnd n nicht in dr Tabll (z.b. wil n zu groß ist), dann ist man auf Abschätzungn 0000 0000 angwisn. Bispilswis britt di Brchnung von B (0000, ½, 5000) 5000 immr noch rhblich numrisch Schwirigkitn. Ungnau Abschätzungn lifrt di Tschbyschow-Unglichung. Mit ihr rhält man Abschätzungn für Intrvall symmtrisch zum Erwartungswrt ( X µ < a ). Rcht gnau Abschätzungn lassn sich dadurch rziln, dass man di B(n,p)-Vrtilung gzilt durch Nährungn rstzt, di unabhängig vom vrwndtn n immr vrwndbar sind, vorausgstzt, n ist groß gnug. Bispil: Poissonvrtilung Vrwndung für shr großs n und p nah Null. k µ B (n,p,k) µ k! Ein rals Problm: mm³ Matri bsitzt ungfähr (0 7 ) 3 0 Atom. Ggbn si mm³ schwach radioaktivs Matrial. Man stllt im Schnitt 0 Zrfäll pro Skund fst. Für jds Atom xistirt di Wahrschinlichkit p, in dr nächstn Skund zu zrfalln. Für di Gsamthit dr Atom ist dann dr Erwartungswrt n p 0 p 0 (Zrfäll pro Skund) Es gilt also: p 0-0. Ein Problm, das sich durch di Poissonnährung lösn lässt. Wahrschinlichkit für 9 Zrfäll:,5% Im Kurs wird vorgstllt: Normalvrtilung Vrwndung für groß n und p dutlich > 0 Standardisirung inr Zufallsgröß Foli B (n, 0,, k) mit n 0, 0, 50, 00 Es si EX µ, Var X σ² Btracht di Zufallsgröß T X µ (*) σ Es gilt: ET 0, Var T X E(X) E (T) E E (X) σ(x) σ(x) ( X E(X) ) ( E(X) E(X) ) 0 X E(X) Var(X) VarT Var Var(X E(X)) (X) σ(x) σ(x) Dfinition Ein Zufallsgröß mit dm Erwartungswrt 0 und dr Varianz hißt standardisirt. Jd Zufallsgröß lässt sich mit Hilf dr Transformation (*) standardisirn. Bmrkung: () Di Höhn dr Rchtck in dr Histogrammdarstllung müssn mit dm Faktor σ multiplizirt wrdn, da di Rchtcksbritn um dn Faktor /σ vrändrt wrdn. () Durch di Standardisirung wir bi dr Vrtilungsfunktion nur di Lag dr Sprungstlln, nicht drn Höh vrändrt. 46
Dichtfunktionn (Histogramm) von X und T - Di Wahrschinlichkitn wrdn als Rchtcksflächn dargstllt. - Di Flächninhalt ntsprchn dn Wahrschinlichkitn - Di Rchtck stoßn unmittlbar aninandr Bispil: Si X nach B (8; 0,4) vrtilt Dichtfunktion von X: Es wrdn Intrvall dr Brit gzichnt. x 0 3 4 5 6 7 8 P(Xx) 0,068 0,0896 0,090 0,787 0,3 0,39 0,043 0,0079 0,0007 EX... Var X... σ... Zichnn Si di Intrvall symmtrisch zu dn x-wrtn! Dichtfunktion von T T...... 0,7 (X 3,) t 0,7 (x 3,) Intrvallbritn: 0,7... Rchtckhöhn: P(X x),39 (...) t -,30 -,58-0,86-0,4 0,58,9,0,73 3,45 ρ8 (t),39 P(Xx) 0,03 0,5 0,9 0,387 0,33 0,7 0,057 0,0 0,00 Dichtfunktion ϕ8 (t) dr standardisirtn Normalvrtilung B(8;0,4) 47
Bmrkungn:. Di Wahrschinlichkitn lassn sich bi bidn Dichtfunktionn aus dn Rchtcksflächn ablsn. Di Wahrschinlichkitn sind idntisch.. Di Wahrschinlichkitsbrchnung in Intrvalln lässt sich also als in Flächnbrchnung (Intgration!) vrsthn. 3. Witr Dichtfunktionn standardisirtr Zufallsgrößn sih S. 99. 4. Man rknnt, dass sich dr Graph für groß n an in Glocknform symmtrisch zur y-achs annährt (S. 99 untn). 5. Auf komplizirtm Wg lässt sich zign, dass sich dr Graph dr Dichtfunktion für n -> bi jdm fst ggbnn p > 0 ggn di Funktion ϕ (t) t² π konvrgirt. t 0 ±0,5 ± ±,5 ± ±,5 ϕ (t) 0,399 0,35 0,4 0,30 0,054 0,08 Bmrkungn:. Di Summ allr Flächninhalt dr Rchtcksflächn war (Summ allr Wahrschinlichkitn!) +! > ϕ(x)dx. Flächninhalt untr dr Kurv in Tilintrvalln gbn di Wahrschinlichkitn an (P( r X s) u.s.w., mhr dazu spätr!) Dfinition: Di Wahrschinlichkitsvrtilung mit dr Dichtfunktion ϕ (t) t² π hißt Normalvrtilung. 48
3 Anwndung ds lokaln Grnzwrtsatzs Lokalr Grnzwrtsatz von d Moivr-Laplac Di Dichtfunktionn ϕn dr standardisirtn Binomialvrtilung B(n,p) mit 0 < p < strbn mit wachsndm n ggn di Grnzfunktion ϕ (t) t² π (ohn Bwis) t IR (FS S 0 f, Taflwrk S. 50 ff) Mit Hilf dr Funktionswrt von ϕ (Taflwrk, TR) lassn sich für gnügnd groß n shr gut Nährungn für B(n,p) rmittln. Faustrgl: σ² npq > 9 Zur Erinnrung (Kap. ) Um di Funktionswrt von ϕn zu bstimmn, wurdn di ursprünglichn Wahrschinlichkitn mit σ npq multiplizirt. k µ k µ Es war: σ B(n,p,k) ϕn ϕ k µ > B(n,p,k) ϕ σ Gomtrisch Intrprtation: Rchtcksfläch! Bispil B (00; 0,4; 4) Es gilt: σ npq 4,9 µ np 40 4 40 (Tabll) 0,075 4,90 4,90 4,90 B (00; 0,4; 4) ϕ ϕ( 0,408) Exakt: 0,074 B(00, 0,4, 30)? B (4, 0,43, 50)? S. 06/03a, 04a, 05ac 49
4 Intgralr Grnzwrtsatz von d Moivr und Laplac Ggbn: in nach B(n,p) vrtilt Zufallsgröß X P (r X s) F (s) F (r) (F ist di kumulativ Vrtilungsfunktion) Dis ntspricht im Histogramm dr Summ dr Balknflächn von j 0,5 bis k + 0,5. Bi dr Standardisirung (sih Kap. ) blibt dis Gsamtfläch als Fläch dr Balkn zwischn 0,5 j µ 0, 5 0,5 k µ + 0, 5 tj - und tk + rhaltn. 0,5 j µ 0, 5 0,5 k µ + 0, 5 x tj - ; x tk + Für groß n nährt sich nach Kap n an an und somit di gsucht Fläch an x ϕ (t)dt an. x Bmrkungn:. Ein Stammfunktion von lässt sich nur mit Mthodn dr Numrischn Mathmatik nährungswis bstimmn.. Ein Stammfunktion φ ligt im Tabllnwrk vor, und zwar x Φ( x) : ϕ(t)dt Gaußsch Intgralfunktion. 3. φ ist nur für x > 0 tabllirt. Wgn Symmtri von und Gsamtfläch gilt: φ (-a) - φ (a) Intgralr Grnzwrtsatz Ist X B(n,p)-vrtilt und k {0,,...n}, so gilt für groß n di Nährung k µ + 0,5 P (X k) Φ z.b. n 30, p 0,3; 35 < k 45... Bm: Groß Wahrschinlichkit, da das Intrvall dn Brich um µ nthält. 50
5 Typisch Aufgabnstllungn für di Normalvrtilung Widrholung: Di Wahrschinlichkitsvrtilung mit dr Dichtfunktion ϕ (t) x Φ( x) : ϕ(t)dt Gaußsch Intgralfunktion k µ + 0,5 P (X k) Φ Nährung dr Binomialvrtilung t² π hißt Normalvrtilung. A) Brchnung von Wahrschinlichkitn Typisch Bispil k µ + 0,5 k µ + 0,5 i) P (k X k) P (k < X k) Φ Φ Dr Zählr rchts lässt sich vrinfachn durch k µ 0, 5. k µ + 0,5 ii) P (X > k) - P (X k) Φ c + 0,5 c 0,5 iii)p ( X - µ c) P (µ - c X µ+ c) Φ Φ c + 0,5 c + 0,5 c + 0,5 Φ Φ Φ iv) P ( X - µ > c) - P ( X - µ c) ( - c + 0,5 Φ ) B) Bstimmung dr Trffrzahl k Am Bispil. C) Bstimmung dr Anzahl n dr Vrsuch Am Bispil. 5
6 Dr zntral Grnzwrtsatz Di Normalvrtilung ist nicht nur für B(n;p)-vrtilt Zufallsgrößn vrwndbar, sondrn auch für andr Fäll. Bispil: Si S di Würflsumm bi n Würfn mit L-Würfl S X + X +... + Xn, wobi Xi di Augnzahl ds Würfls bim i-tn Wurf ist. Erwartungswrt EXi 3,5 für all i > ES n 3,5 Varianz Var Xi,9 (Kap. III.4.3) > Var S n,96 (Var X 6 ( 3,5)² + 6 ( 3,5)² + 6 (3 3,5)² + 6 (4 3,5)² + 6 (5 3,5)² + 6 ( 3,5)² 6 (,5² +,5² + 0,5² + 0,5² +,5² +,5²),96) Wir wähln nun n 000 und suchn P (3450 S 3600). ES 3500, Var S 96, σ 54 Bachtn Si, dass di Zufallsgröß nicht B(n,p)-vrtilt ist! Di Xi sind kin Brnoullixprimnt. Dnnoch lässt sich das Problm mit dr Normalvrtilung lösn (S. Grafikn Buch S. 4): 3600 µ + 0,5 x,86 σ 3450 µ 0,5 x 0,94 σ P (3450 S 3600) Φ(x) - Φ(x) Φ(,86) ( - Φ(+0,94)) 0,969 + 0,86 0,795 Zntralr Grnzwrtsatz Xi (i,...,n) si in Folg von unabhängign Zufallsgrößn Si X: X+ X+... + Xn mit Erwartungswrt µ µ + µ+... + µn und σ² σ² + σ² +... + σn² als Varianz. Witr soll s rll Zahln A und B gbn, so dass 0 < A < Var Xi < B (d.h. di Varianzn solln nicht unndlich groß bzw. klin sin). x µ Dann gilt für hinrichnd großs n: P (X x) Φ 5