Komplexe Zhle Ac '16 I der Mege der reelle Zhle ist die Gleichug x² = -1 icht lösr. Ahilfe schfft eie Zhlereichserweiterug vo der Mege uf die Mege der sogete komplexe Zhle. Die Mege der komplexe Zhle esteht us lle Zhle der Form z = + i Î i = - heißt Relteil vo z ud Imgiärteil vo z, Re(z) zw. Im(z). i heißt Imgiäre Eiheit. Die Zhl z = - i heißt kojugiert komplex zu z = + i. I dieser eue Mege ht die Gleichug z² = -1 die eide komplexe Lösuge z = i ud z = -i. Für Additio ud Multipliktio gelte die Gesetze: Kommuttivges., Distriutivges., Assozitivges.. Jede komplexe Zhl läßt sich grfisch ls Pukt (;) i der Gußsche Zhleeee" verschuliche. z = 4 + 3i = (4 ; 3) mit, ud 1 z heißt Betrg vo z ud git die Etferug vom Ursprug (0;0) zu z. Es gilt: z = + hier: z =5 heißt Argumet zw. Phse vo z. Im( z) Es gilt: t( j) = = Þ j = rct s.(*) Re( z) hier: t( ) = 0,75 ; 36,87. Außerdem gelte och: = z cos( ) sowie = z si( ) z = z cos( ) + i z si( ), lso z = z (cos( j) + i si( j)) Polrform vo z Eie weitere Drstellug ist die Eulersche Formel: z = z e i = z [cos( ) + i si( ) ] Diese Formel setzt i, e ud π (z.b. e i π = 1 ) zueider i Beziehug! (*) Präzisierug: Berechug des Wikels mittels rct(/) (s.oe): Aus der Beziehug t( ) = / folgt zwr = rct ( / ), jedoch lsse sich uf diese Weise icht lle mögliche Wikel zwische 0 ud 360 ( Bogemß: 0 ud π ) ereche. Die Grfik zeigt, dss die Wikel mit gleichem Tgeswert sich um je 180 ( π ) uterscheide, je chdem, o > 0 oder < 0 gilt! Hier ist = + π wege < 0 ud < 0. Für > 0 ud < 0 gilt: = π - Für < 0 ud > 0 gilt: = π - Außerdem sid och die Soderfälle für = 0 zw. = 0 zu uterscheide. Z.B. gilt ei = 0 etweder = 90 (π/) oder = 70 (3π/ ).
Es ergee sich folgede Fälle zur Berechug des Argumetes im Bereich [ 0 ; π ] : ìicht defiiert, flls = 0 Ù = 0 0, flls = 0 Ù > 0 p, flls = 0Ù < 0 p, flls = 0 Ù > 0 3 p, flls = 0 Ù < 0 j = í rct, flls > 0 Ù > 0 p + rct, flls < 0 Ù < 0 p + rct, flls > 0 Ù < 0 p + rct, flls < 0 Ù > 0 î vereifcht Þ ìicht defiiert, flls = 0 Ù = 0 p, flls = 0 Ù > 0 3 p, flls = 0 Ù < 0 j = í rct, flls > 0 Ù > 0 p + rct, flls > 0Ù < 0 p + rct, flls < 0 î Beispiele: 1) z = 0 ergit ist "icht defiiert" ) z = i ergit = π/ 3) z = -i ergit = -π/ 4) z = 1 + i ergit = rct(1) = π/4 5) z = 1 - i ergit = π + rct(-1) = π - π/4 = 7π/4 6) z = -1 + i ergit = π + rct(-1) = π - π/4 = 3π/4 7) z = -1 - i ergit = π + rct(1) = π + π/4 = 5π/4
Grudrecherte ud Potezierug: Additio (Sutrktio etspreched): z1 + z = 1 + i 1 + + i = 1 + + i (1 + ) z1 = 3+ 4i z= - 1+ i Þ z1+ z= + 5i Multipliktio: z1 z = (1 + i 1) ( + i ) = 1 + i 1 + i 1 1 = 1 1 + i (1 + 1 ) z1 = 4 + 3i z= - 1+ i Þ z1 z= 4 (-1) - 3 1 + i (3 (- 1) + 4 1) = - 7 + i Divisio: z1 / z = (1 + i 1) / ( + i ) = (1 + i 1) ( - i ) / [( + i ) ( - i )] = (1 + i 1 - i 1 + 1 ) / ( ² + ² ) = [1 + 1 + i (1-1 )] / ( ² + ² ) z i z i z z i i 1 = 4 + 3 = - 1+ Þ 1/ = [4 (- 1) + 3 1 + (3 (-1) - 4 1)] / (1 + 1 ) = (-1-7 ) / Spezilfll Kehrwert vo z: 1 / z = ( - i ) / (² + ²) = Potezierug: Uter Verwedug des Biomische Lehrstzes: z / z æ ö -k k æ ö! z = ( + i ) = å ç ( i ) ; ; 0! 1 ; k = 0 k ç k = = Î è ø è ø k! ( - k )! Für Poteze vo i gilt : 4 4+ 1 4+ 4+ 3 i 1 i i i 1 i i ; = = = - = - Î 3 3 3! 3-k k 3 0 1 1 0 3 (4 + 3 i) = å 4 (3 i) = 4 (3 i) + 3 4 (3 i) + 3 4 (3 i) + 4 (3 i) = k! 3! k = 0 ( - k ) 64 + 144i -108-7i = - 44 + 117i Die Ergeisse sid d üriges immer exkt, jedoch ist der Recheufwd meist hoch! Uter Verwedug des De Moivresche Stzes (Arhm de Moivre) ud der Polrform: [cos( ) + i si( ) ] = [cos( ) + i si( ) ] ; IN* z = z [cos( ) + i si( ) ] Polrform Stz vo De Moivre D gilt die De Moivre - Formel : z = z [ cos( j) + i si( j) ]; j = rct ; Î Amerkug: Diese Formel gilt uch für rtiole Expoete, d.h. k ei Bruch sei! Sie liefert im Allgemeie wege der trigoometrische Berechuge ugeue Ergeisse. (4+3i)³ = 4+3i ³ [cos(3 rct(0,75)) + i si(3 rct(0,75)) ] = (16+9)³ ( -0,35 + 0,936i ) = 15 ( -0,35 + 0,936i ) = -44 + 117i
Weitere Beispiele: 1) (4+3i)² = 16-9 + 4i = 7 + 4i (Biomische Formel). Mit der De Moivre - Formel: = rct(3/4) : (4+3i)² = 4+3i ² [cos( rct(3/4) + i si( rct(3/4)] = 5 ( 0,8 + 0,96i ) = 7 + 4i ) (4+3i) - ³ = 1 / (4+3i)³ = 1 / [(4+3i)(7+4i)] = 1 / (8 + 1i + 96i - 7) = 1 / (-44 + 117i ) = (-44-117 i) / 1565. (Biomische Formel) Mit der De Moivre - Formel: (4+3i) - ³ = 4+3i - ³ [cos(-3 rct(3/4) + i si(-3 rct(3/4)] = (16+9) - ³ ( -0,35-0,936i ) = 1/15 ( -0,35-0,936i ) = 15/15² ( -0,35-0,936i ) = (-44-117 i) / 1565 3) (4+3i) -1,5 = 1 / (4+3i) 3/ = 1 / (4+3i) 3 = 1 / (-44+117i) Für de Neer des Bruches muss ei exktes Ergeis + i gefude werde! Astz: (-44+117i) = + i, d.h. -44+117i = ( + i)² ² - ² +i = -44+117i Durch Vergleich der Terme folgt: ² - ² = -44 ud = 117 Wir setze = 58,5 / i ² - ² = -44 ei ud erhlte: ² - (58,5 / )² = -44, lso ² - 34,5/² + 44 = 0 zw. 4-34,5 + 44² = 0 Diese iqudrtische Gleichug ht Lösuge. Die erste ist = (40,5). Eie Lösug des Gleichugssystems ist dher : = (40,5) ud = 58,5 / (40,5) Der Lösugsweg ist d wie folgt: - 1,5 1 40,5 40,5 (40,5-58,5 i) (4 + 3 i) = = = 58,5 40,5 + i 40,5 + 58,5 i (40,5 + 58,5 i) (40,5-58,5 i) 40,5 9 / = (40,5-58,5 i) = (40,5-58,5 i) = (9-13 i) 506,5 115 50» 0, 050911688-0, 073539105 i Wie m sieht, k m hier uf rei lgerischem Wege ei exktes (Wurzel-)Ergeis ermittel! Mit der De Moivre - Formel: (4+3i) -1,5 = 4+3i -1,5 [cos(-1,5 rct(3/4) + i si(-1,5 rct(3/4)] (16+9) -0,75 ( 0,569099788-0,8191916i ) 0,050911688-0,073539105 i
Die Lösuge der Gleichug z = c : Wie wir oe i Beispiel 3 gesehe he, k m us dem komplexe Astz (c) = z = + i Lösuge herusfilter, wovo oe ur eie hergeleitet wurde. (c) = z k m umforme zu c = z². Gesucht sid die eide Lösuge dieser Gleichug Verllgemeierug: * Im( c) Gegee: c = c (cos( j) + i si( j)); c Î, Î ; t( j)=. Gesucht: z = c ; z Î Re( c) Lösuge vo z = c : j + k p j + k p z k = c [cos( ) + i si( )] ; k = 0,1,,... -1 z 5 = 4+ 3i. Mit c = 4+3i = 5 ud t( ) = ¾ zw. = rct(0,75) folgt: 5 rct(0, 75) + k p rct(0,75) + k p zk = 5 [cos( ) + i si( )] ; k = 0,1,,3,4 5 5 Näherugslösuge: Phi (vo z0) = 7,374 Rdius z = 1,38 z0 1,36831868 + i 0,17708171 z1 0,5441901 + i 1,35606965 z -1,1107908 + i 0,66101543 z3-1,0090705 - i 0,94753965 z4 0,5914844 - i 1,466714 Die Lösuge liege lle (i gleichem Astd) uf eiem Kreis mit Rdius r = 5 5» 1,3797 Weitere Berechuge ( jeweils für z = 4+3i ): 1) 1/z = 1/(4+3i) = (4-3i)/(4-3i)/(4+3i) = (4-3i)/(4²+3²) = (4-3i)/5. ) 1/z² = 1/(4+3i)² = (4-3i)²/(4-3i)²/(4+3i)² = (4-3i)²/(4²+3²)² = (16-9-4i)/5² = (7-4i)/65. Dies sollte uch ei Verwedug der Moivresche Formel heruskomme: 1/z² = 1/(5 [cos(rct(0,75))+i si(rct(0,75))]) = 1/(5 [ 0,8 + i 0,96]) = 1/(7+i 4) = (7-4i)/(7²+4²) = (7-4i)/65.