Mathematik III Vorlesung 5,

Mathematik III Vorlesung 5, 03.11.2006 Markus Nemetz November 2006 1 Vorbemerkung Prof. Panholzer hat die illustrierenden Beispiele aus der zur VO empfohlenen Lektüre gebracht - sie sind hier nicht angeführt. Die z.t. gerafften Zusammenstellungen sind z.t. auch die jeweiligen theoretischen Grundlagen zu den Übungsbeispielen, die in ausgearbeiteter Form jeweils nach der Übungsrunde auf http://www.wikiserver.at/tu-mathe-inf-3/ zu finden sind. Markus Nemetz 03.11.2006 2 Lineare DGL n-ter Ordnung Der Satz über dem Lösungsraum: Homogene DGL Die homogene DGL hat die Form y (n) + a n 1 (x)y (n 1) + + a 1 (x)y + a 0 (x)y = 0 und ihre allg. Lösung hat die Form y [h] (x) = c 1 ϕ 1 (x) + c 2 ϕ 2 (x) + + c n ϕ n (x) Inhomogene DGL Die inhomogene DGLhat die Form y (n) + a n 1 (x)y (n 1) + + a 1 (x)y + a 0 (x) = s(x) 1

s(x) ist eine Störfunktion. Angenommen ϕ 1,...ϕ n sind unabh. Lösungen der homogenen DGL und bekannt - wie erhält man die Partikulärlösung y [p]? Die allg. Lösung ergibt sich aus: y(x) = y [h] (x) + y [p] (x) Erhalten eine partikuläre Lösung über den Ansatz Variation der Konstanten (c c(x)): y [p] (x) := c 1 (x)ϕ 1 (x) + c 2 (x)ϕ 2 (x) +...c n (x)ϕ n (x) Für c 1 (x),...,c n (x) gelten folgende Bedingungen: (1) c 1(x)ϕ 1 (x) + c 2(x)ϕ 2 (x) +... + c n(x)ϕ n (x) = 0 (2) c 1x)ϕ 1(x) + c 2(x)ϕ 2(x) +... + c n(x)ϕ n(x) = 0. (n 1) c 1x)ϕ (n 2) 1 (x) + c 2(x)ϕ (n 2) 2 (x) +... + c n(x)ϕ n (n 2) (x) = 0 (n) c 1x)ϕ (n 1) 1 (x) + c 2(x)ϕ (n 1) 2 (x) +... + c n(x)ϕ n (n 1) (x) = s(x) Folgendes Lineare Gleichungssystem ergibt für c 1(x),...,c n(x) eindeutige Lösungen: ϕ 1 (x) ϕ 2 (x)... ϕ n (x) c 1(x) 0 ϕ 1(x) ϕ 2(x)... ϕ n(x) c 2(x). =........ ϕ [n 1] 1 (x) ϕ [n 1] 2 (x)... ϕ n [n 1] (x) c n(x) s(x) }{{} Fundamentalmatrix Wir erhalten c 1 (x),...,c n (x) durch die Integration der aus dem Linearen Gleichungssystem errechneten c 1(x),...,c n(x) Anmerkung: Bei einer DGL 1. Ordnung sieht dieser Ansatz einfach so aus: ϕ 1 (x) ϕ 1 (x) c 1(x) = s(x). Beispiel einer Eulerschen DGL: x 2 y 2xy + 2y = x 3 2

Im ersten Schritt bestimmen wir das Fundamentalsystem ϕ 1 (x),ϕ 2 (x) der zugehörigen homogenen DGL., und zwar mit dem Ansatz ϕ(x) = x m : y(x) = x r, y (x) = rx r 1, y (x) = r(r 1)x r 2 x 2 r(r 1)x r 2 2xrx r 1 + 2x r = 0 r(r 1)x r 2rx r + 2x r 1 = 0 : r(r 1) 2r + 2 = 0 x r Indexgleichung r 2 3r + 2 = 0 (r 2)(r 1) = 0 r 1,2 = 1,2 Die Lösungen der homogenen DGL sind somit: ϕ 1 (x) = x 1 = x,ϕ 2 (x) = x 2. Mit Hilfe der Wronski-Determinante (s.4.vo) prüfen wir die Unabhängigkeit der Lösungen: x x 2 W(x) = 1 2x = 2x2 x 2 = x 2 W(1) = 1 2 = 1 0 Somit sind die Lösungen unabhängíg und die Lösung der homogenen DGL lautet: y [h] (x) = c 1 x + c 2 x 2 3

Nun wenden wir die Variation der Konstanten an: x 2 y 2xy + 2y = x 3 1 x 2 1y 2 x y + 2 x 2y = x ϕ 1 = x,ϕ 2 = x 2 Ansatz y [p] = c 1 (x)ϕ 1 (x) + c 2 (x)ϕ 2 (x) [ ] ( ) ( ) x x 2 c 1 (x) 0 = 1 2x c x 2(x) 3 = x x 2 Cramer sche Regel anwenden 0 x 2 x 2x c 1(x) = W(x) = x3 = x x 2 x 0 1 x c 2(x) = W(x) = x2 x = 1 2 Nach Integration ergibt sich c 1 (x) = x2 2 und c 2(x) = x und damit: y [p] (x) = x2 2 x + x x2 = x3 2 y(x) = x3 2 + c 1x + c 2 x 2 allg.lsg. Eine weitere Anwendung für die Variation der Konstanten ist die folgende: Es sei eine homogene lineare DGL gegeben und es sei angenommen, man kenne eine Lösung ϕ 1 (x). In diesem Fall führt man eine Reduktion der Ordnung n der DGL durch den Reduktionsansatz y(x) = ϕ 1 (x) c(x) durch, was eine DGL der Ordnung n 1 für c (x) ergibt. 4

Beispiel (s. vorhergehendes): x 2 y 2xy + 2y = 0, ϕ 1 (x) = x Ansatz y = c(x)x y = c (x) + c y = c x + c + c = c x + 2c x 2 (c x + 2c ) 2x(c x + c) + 2cx = 0 x 3 c = 0 c = 0 c = 1 c = x y(x) = c(x) x = x x = x 2 unabh. Lsg. 3 Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Die allgemeine Form (homogen) ist: y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 (x)y = 0 a 0,...,a n 1 R Verwendug des Exponentialansatzes y(x) = e λx, was das folgende charakteristische Polynom von Grad n ergibt: Nullstellen (Vielfachheit k): P(λ) = λ n + a n 1 λ n 1 + + a 1 λ + a 0 = 0 P(λ) = (λ λ 1 ) k1 (λ λ 2 ) k2 (λ λ i ) k j λ i λ j, 1 j i, λ i C Die Lösungsbasis ϕ 1 (x),...,ϕ n (x) der homogenen DGL erhält man wie folgt: Falls λ eine reelle Nullstelle mit der Vielfachheit k ist: k i ist unabhängige Lösung, gegeben durch e λ ix,xe λ ix,x 2 e λ ix,...,x k 1 e λ ix, Falls λ = α iβ eine komplexe Nullstelle mit der Vielfachheit k ist, dann ist auch λ j = α iβ eine komplexe Nullstelle mit der Vielfachheit k j. Unabhängige Lösung ist gegeben durch e αx cos(βx),xe αx cos(βx),x 2 e αx cos(βx),...,x k 1 e αx und e αx sin(βx),xe αx sin(βx),x 2 e αx sin(βx),...,x k 1 e αx sin(βx) Die allgemeine Form (inhomogen) ist: y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 (x)y = s(x) a 0,...,a n 1 R 5

Zur Lösung kann die Variation der Konstanten verwendet werden oder bei speziellen s(x) verschiedene unbestimmte Ansätze, z.b.: s(x) = (c 0 + c 1 x + + c m m)e µx, µ R Ansatz y p (x) = (A 0 + A 1 x + + A m x m )e µx µ ist die Lösung des aus der zugehörigen homogenen DGL resultierenden charakteristischen Polynoms P(λ). Wenn µ eine k-fache Nullstelle ist, so tritt der Resonanzfall auf und es gilt: Anderes Beispiel: Ansatz y p (x) = (A 0 + A 1 x + + A m x m )e µx x k s(x) = (c 0 + c 1 x + + c m m)e αx cos(βx) s(x) = (c 0 + c 1 x + + c m m)e αx sin(βx) y p (x) = (A 0 + A 1 x + + A m x m )e αx cos(βx)+ (A 0 + A 1 x + + A m x m )e αx sin(βx) (Falls α + iβ keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms P(λ) ist) Ansatz y p (x) = x k (A 0 + A 1 x + + A m x m )e αx cos(βx)+ x k (A 0 + A 1 x + + A m x m )e αx sin(βx) (Falls α + iβ k fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms P(λ) ist) 4 Lösen von DGL mittels Laplace-Transformation Gegeben ist eine Funktion f(t) [0, ) R. Falls das uneigentliche Integral für zumindest ein s R existiert, dann heißt F(s) (Bildfunktion) die Laplace-Transformierte (L-transformierte) von f(t) (Zeitfunktion): F(s) = L{f(t)} = 0 f(t)dt Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz für L-transformierte: Ist die Funktion f : [0, ) R auf beschränkten Intervallen stückweise stetig (d.h. sie besitzt in Intervallen nur endlich viele Sprungstellen) und f(t) hat höchstens exponentielles Wachstum, d.h. es existieren Konstanten M,δ > 0 dann gilt: f(t) Me δt, t 0 6

F(s) = L{f(t)} existiert für alle s > δ Das uneigentiche Integral 0 f(t)dt konvergiert für alle s s 0 > δ gleichmässig f(t) ist durch F(s) eindeutig bestimmt (bis auf die Sprungstellen). Die Rücktransformierbarkeit ist daher gewährleistet lim s F(s) = 0 Es gibt allerdings auch L-transformierbare Funktionen, die o.g. Bedingungen nich vollständig genügen. 7