FERNUNIVERSITÄT IN HAGEN WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT

FERNUNIVERSITÄT IN HAGEN FAKULTÄT WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. A. Kleine Lehrstuhl für Angewandte Statistik und Methoden der empirischen Sozialforschung Univ.-Prof. Dr. H. Singer Klausur: Modul 32741 Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik Termin: Prüfer: 23. September 2016, 09.00-11.00 Uhr Univ.-Prof. Dr. A. Kleine/Univ.-Prof. Dr. H. Singer

Hinweise zur Bearbeitung der Modulklausur 32741 1. Die Klausur besteht aus zwei Teilen, dem Aufgabenteil und dem Lösungsteil. Weiterhin sind Aufgaben- und Lösungsteil jeweils nach den zwei Kursen (42220 Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis und 42221 Vertiefung der Statistik) des Moduls 32741 separat unterteilt. Nutzen Sie bei der Lösung der Aufgaben für jeden Klausurteil nur die entsprechenden Lösungsblätter zu dem jeweiligen Klausurteil! Zur leichteren Bearbeitung können Sie den Aufgaben- vom Lösungsteil trennen. Trennen Sie jedoch nicht die Lösungsblätter! WICHTIG: Nur der ungetrennte Lösungsteil wird am Ende der Klausur eingesammelt! Sollten Sie doch einzelne oder mehrere Lösungsblätter vom Lösungsteil getrennt haben, liegt es in Ihrer Verantwortung, diese zusammenzuführen und bspw. geheftet als ein Ganzes abzugeben! Trennen Sie jedoch in jedem Fall vor der Abgabe den Aufgaben- vom Lösungsteil. 2. Tragen Sie für beide Klausurteile (Mathematik und Statistik) auf das Deckblatt der Lösungsbögen Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein! 3. Es können insgesamt 100 erreicht werden. Bei Erreichen von 50 n ist die Klausur bestanden. Bitte kontrollieren Sie sofort, ob Sie ein vollständiges Klausurexemplar erhalten haben. 4. Bitte benutzen Sie für Ihre Rechnungen nur die beigefügten Lösungsbögen zu dem jeweiligen Klausurteil und tragen Sie dort Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein. Für den Klausurteil Mathematik müssen die Lösungen in den dafür vorgesehenen Raum auf den Lösungsbögen eingetragen werden. Falls der Platz nicht ausreicht, benutzen Sie bitte die Rückseiten oder die freien Blätter am Ende und geben Sie einen deutlichen Hinweis auf die Aufgabenzugehörigkeit. Bedenken Sie bitte bei der Anfertigung Ihrer Lösungen, dass vor allem der Lösungsweg einschließlich Ansatz und Zwischenschritten bewertet wird. Bei einem mehrfach bearbeiteten Aufgabenteil wird lediglich die erste Lösung bewertet. Nicht zu korrigierende Lösungsteile sind zu entwerten. Für den Klausurteil Statistik müssen die Lösungen in die entsprechenden Kästchen auf dem Lösungsbogen eingetragen werden. Für jede Antwort, jedes Ergebnis und jede Begründung bzw. Interpretation ist auf dem Lösungsbogen ein entsprechendes Kästchen zum Eintrag vorgesehen. Achten Sie auf eindeutige Eintragungen. Nicht eindeutige Eintragungen können nicht bewertet werden.

5. Für beide Klausurteile ist die Verwendung eines Taschenrechners dann und nur dann erlaubt, wenn dieser einer der folgenden Modellreihen angehört: Casio fx86 oder Casio fx87 Texas Instruments TI 30 X II Sharp EL 531 Eventuelle Vorgänger- oder Nachfolgemodelle, die nicht in der oben aufgeführten Liste enthalten sind, sind ebenfalls nicht erlaubt. Die Verwendung anderer Taschenrechnermodelle wird als Täuschungsversuch gewertet und mit der Note nicht ausreichend (5, 0) sanktioniert. Ob ein Taschenrechner einer der Modellreihen angehört, können Sie selbst überprüfen, indem Sie die vom Hersteller auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung mit den oben angegebenen Bezeichnungen vergleichen: Bei vollständiger Übereinstimmung ist das Modell erlaubt. Ist die auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung umfangreicher, enthält aber eine der oben angegebenen Bezeichnungen vollständig, ist das Modell ebenfalls erlaubt. In allen anderen Fällen ist das Modell nicht erlaubt. 6. Für den Klausurteil Mathematik sind weder die Kursunterlagen noch weitere Materialien der Wirtschaftsmathematik als Hilfsmittel zugelassen. Für den Klausurteil Statistik ist das Kursmaterial ggf. mit Unterstreichungen, farblichen Markierungen und/oder Aufklebern, aber ohne zusätzliche Eintragungen, als Hilfsmaterial zugelassen. Als Kursmaterial gelten lediglich Lehrtexte, nicht jedoch alte Klausuren, Einsendearbeiten oder Musterlösungen. Nicht zugelassen sind selbst ausgedruckte und kopierte Kursmaterialien. 7. Wenn Sie einzelne Blätter der Teilklausuren voneinander trennen, legen Sie bitte am Ende der Klausur die Blätter wieder zusammen. 8. Vergessen Sie nicht, beide Teilklausuren auf der letzten bearbeiteten Seite zu unterschreiben. Viel Erfolg!

Name, Vorname Matrikelnummer Teilklausur des Moduls 32741 Kurs 42221: Vertiefung der Statistik AUFGABENTEIL Termin: Prüfer: 23. September 2016, 09.00-11.00 Uhr Univ.-Prof. Dr. H. Singer Den Aufgabenteil der Klausur können Sie mit nach Hause nehmen. Es muss nur der Lösungsteil abgegeben werden.

Vertiefung der Statistik 23.9.2016 1 Hinweis: Bitte tragen Sie die Lösungen aller Aufgaben in die Lösungsbogen ein. Bewertet werden nur die Lösungsbogen. Aufgabe 1 (10 ) Bewerten Sie folgende Aussagen mit richtig oder f alsch. X, Y und Z seien drei unterschiedliche Ereignisse und weiter gelte X Y = Z. Dann gilt immer: 1. P (X Y ) = P (X) P (X Z) 2. P (Z) P (Y ) 3. P (Z) = P (X Y ) P (Y ) 4. P (Z) = P (X) + P (Y ) P (X Y ) 5. P (X Y ) = P (Y ) P (Y Z). Hinweis: Für jede korrekte Kennzeichnung werden 2 vergeben. Jede falsche Kennzeichnung sowie nicht oder unlesbar gekennzeichnete Felder werden mit 0 n bewertet. Die minimale Punktzahl der Aufgabe beträgt 0.

Vertiefung der Statistik 23.9.2016 2 Aufgabe 2 (15 ) In dieser Aufgabe interessieren wir uns dafür, ob es einen Zusammenhang zwischen dem Gehalt und der Bildung gibt. Für die Analyse stehen zur Verfügung Daten über den Stundenlohn in Dollar (Lohn) und die Bildung in Jahren (Bildung). Es wird eine lineare Regression für 500 Beobachtungen durchgeführt. 2.1 (3 ) Schätzen Sie die Parameter α, β, σ 2 des linearen Regressionsmodells Lohn n = α + βbildung n + ɛ n, n = 1,..., N, aus den in Abb. 1 angegebenen Statistiken (verwenden Sie 3 Nachkommastellen). 2.2 (6 ) Prüfen Sie bitte, ob sich die Regressionsparameter α, β signifikant von 0 unterscheiden (Signifikanzniveau 0.05). Hinweis: (N 1)s 2 x = n x2 n N x 2 2.3 (1 Punkt) Wie lautet das Bestimmtheitsmaß für die Prognose vom Gehalt durch die Bildung? 2.4 (5 ) Wie hoch wird das Gehalt unter ansonsten gleichen Bedingungen bei der Ausbildung von 8 Jahren. Berechnen Sie auch ein 95%-Prognoseintervall für den prognostizierten Wert.

Vertiefung der Statistik 23.9.2016 3 Abbildung 1: Zusammenhang zwischen dem Gehalt und der Bildung

Vertiefung der Statistik 23.9.2016 4 Aufgabe 3 3.1 (15 ) (8 ) Betrachten Sie die Zufallsgröße X mit der Dichtefunktion: { 2x 4 für 2 x 3 f X (x) = 0 sonst. 1. Bestimmen Sie E(X), verwenden Sie dabei E(X) = xf X (x)dx 2. Bestimmen Sie V AR(X). Hinweis: E(X 2 ) = x 2 f X (x)dx 3.2 (7 ) Ein Unternehmen möchte die Umsatzsteigerung beim Einsatz von zwei verschiedenen Werbemaßnahmen vergleichen. Es wurden die in der folgenden Tabelle eingetragenen Umsatzsteigerungen erzielt. (H 0 : Beide Werbemaßnahmen führen zu gleichen Umsatzsteigerungen, α = 0.1, Vorsicht: in der Tabelle sind die kritischen Werte für einseitige Tests angegeben). Werbung X 137.0 154.5 160.0 141.5 Werbung Y 120.5 145.0 153.5 138 Verwenden Sie einen nichtparametrischen Test, um festzustellen, ob Werbung X zu größeren Umsatzsteigerungen führt als Werbung Y. - Welchen nichtparametrischen Test verwenden Sie? - Geben Sie die Prüfgröße an. - Geben Sie den unteren kritischen Wert an. - Geben Sie den oberen kritischen Wert an. - Lehnen Sie die Nullhypothese, es besteht kein Unterschied, ab? - Bestimmen Sie den Erwartungswert der Prüfgröße. - Bestimmen Sie die Varianz der Prüfgröße.

Vertiefung der Statistik 23.9.2016 5 Aufgabe 4 (10 ) Ein Unternehmen untersucht die produzierte Stückzahl eines bestimmten Produktes in Abhängigkeit verschiedener Materialien und Produktionsmethoden. Dabei werden beide Faktoren getrennt voneinander betrachtet. 4.1 (2 ) Betrachtet werden zunächst die Produktionsmethoden. Vervollständigen Sie folgenden Output (s. Lösungsbogen). 4.2 (2 ) Wieviele Produktionsmethoden werden untersucht und wieviele Beobachtungen liegen der Untersuchung zugrunde? 4.3 (2 ) Bestimmen Sie anhand des Outputs in 4.1 das Bestimmtheitsmaß und interpretieren Sie kurz den Wert.

Vertiefung der Statistik 23.9.2016 6 4.4 (1 ) Mittels eines zweiten Datensatzes wird nun das Material betrachtet. Geben Sie mittels der Residualstreuung den Schätzer für σ 2 an. 4.5 (1 ) Geben Sie das für den zweiten Datensatz (s.4.4) zum Signifikanzniveau 0.05 verwendete f-quantil der F -Verteilung an. 4.6 (2 ) Wie lautet für den Datensatz in 4.4 der prognostizierte Wert der produzierten Stückzahl, wenn bekannt ist, dass mit dem ersten Material produziert wird?

Name, Vorname Matrikelnummer Teilklausur des Moduls 32741 Kurs 42220: Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis AUFGABENTEIL Termin: Prüfer: 23. September 2016, 09.00-11.00 Uhr Univ.-Prof. Dr. A. Kleine Den Aufgabenteil der Klausur können Sie mit nach Hause nehmen. Es muss nur der Lösungsteil abgegeben werden.

Kurs 42220 Klausur vom 23.09.2016 Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis 8 Aufgabenteil Aufgabe 1 20 Ein Unternehmen möchte für die nächste Planungsperiode die Produkte A und B planen, wobei x 1 die herzustellende Menge in Mengeneinheiten (ME) von Produkt A und x 2 die herzustellende Menge in ME von Produkt B bezeichnet. Der zugehörige Gewinn des Unternehmens in Euro wird annähernd durch die Funktion f(x 1, x 2 ) = 0,25x 4 1 + 4,5x 2 1x 2 1,5x 3 2 146,75 beschrieben. Helfen Sie dem Unternehmen und bestimmen Sie die gewinnmaximierende Mengenkombinationen (x 1, x 2 0). Gehen Sie dabei wie folgt vor: a) Bilden Sie die ersten partiellen Ableitungen der Funktion f(x 1, x 2 ). b) Bilden Sie die zweiten partiellen Ableitungen der Funktion f(x 1, x 2 ). c) Berechnen Sie den Gewinn im Punkt x (1) = (8, 10) T! d) Überprüfen Sie, ob der Punkt x (1) = (8, 10) T ein lokales Extremum darstellt (notwendiges Kriterium)! e) Berechnen Sie alle drei kritischen. Zeigen Sie hierzu formal einen vollständigen Rechenweg auf. Überprüfen Sie die auf Zulässigkeit! f ) Die Verpackung des Produktes A wird geändert. Für Produkt A werden jetzt zylindrische Blechkonserven mit runder Grundfläche und einem Fassungsvermögen von 2 Litern (1 Liter ˆ=1 dm 3 ) geplant. Eine Blechkonserve besteht aus zwei Grundflächen und einer Mantelfläche. Die Blechstärke und die Form sind vorgegeben. Die Wahl der Abmessungen (Radius r und Höhe h jeweils in dm) ist dem Hersteller überlassen. Ziel ist es, den Blechverbrauch pro Konserve zu minimieren! Hinweise: Zylinder: Volumen: V = π r 2 h, Mantelfläche: M = 2 π r h. Kreis: Flächeninhalt: A = π r 2. i) Formulieren Sie das entsprechende Optimierungsproblem. Geben Sie Zielfunktion und Nebenbedingung an. Die Nichtnegativitätsbedingung ist zu vernachlässigen. ii) Stellen Sie zu dem Optimierungsproblem aus i) die entsprechende Lagrange- Funktion L(r, h, λ) auf. iii) Geben Sie die ersten partiellen Ableitungen zu der in ii) aufgestellten Lagrange-Funktion für L r (r, h, λ) und L h (r, h, λ) an!

Kurs 42220 Klausur vom 23.09.2016 Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis 9 Aufgabenteil Aufgabe 2 18 Metzger Meier stellt täglich zwei Typen Wurst her, und zwar unter den Namen Standard und Porki-Deluxe. Eine Wurstkette der Marke Standard benötigt 2 kg Schweinefleisch sowie 3 kg Rindfleisch und ermöglicht Meier einen Gewinn in Höhe von 1 Geldeinheit (GE) je verkaufter Kette. Eine Wurstkette der Marke Porki-Deluxe hingegen benötigt 4 kg Schweinefleisch sowie 2 kg Rindfleisch, macht dafür aber auch einen Gewinn von 1,5 GE je Kette möglich. Metzger Meier hat 12 kg Schweinefleisch und 10 kg Rindfleisch auf Lager. Wie viele Ketten von jeder Marke sollte er täglich produzieren, um seinen Gesamtgewinn zu maximieren? a) Stellen Sie ein lineares Optimierungsmodell zur Bestimmung des optimalen Produktionsplans auf. Die Anzahl der herzustellenden Standard-Wurstketten soll durch die Entscheidungsvariable x 1 und die Anzahl der herzustellenden Porki-Deluxe-Wurstketten durch x 2 beschrieben werden. b) Lösen Sie das lineare Optimierungsproblem graphisch. Markieren Sie mithilfe des Koordinatensystems auf Seite 20 der Lösungsbögen den linearen Zulässigkeitsbereich. Wie lauten die optimalen Werte für x 1 und x 2? c) Metzger Meiers Azubi Stefan rät seinem Chef, einen dritten Typ Wurst mit dem Namen Jumbo-Total an den Mann zu bringen. Eine Wurstkette dieser Marke (x 3 ) benötigt jeweils 4 kg von beiden Fleischsorten und ermöglicht einen Gewinn von 2 Euro je Kette. Für die Produktion müsste Stefan seinen Chef mehr unterstützen, wobei selbst mit Unterstützung die Herstellung der Jumbo-Total auf maximal 3 Ketten pro Tag beschränkt wäre. i) Berücksichtigen Sie die Hinzunahme der dritten Wurstmarke Jumbo-Total und stellen Sie das neue lineare Optimierungsmodell zur Bestimmung des neuen optimalen Produktionsplans auf. ii) Stellen Sie ein Anfangstableau für die Berechnung der optimalen Lösung mittels Simplexalgorithmus auf und markieren Sie das Pivot-Element. iii) Vervollständigen Sie das Simplextableau auf Seite 22 der Lösungsbögen zur Bestimmung der optimalen Lösung des Problems. iv) Ohne die Unterstützung seines Azubis könnte Metzger Meier nur noch eine Kette Jumbo-Total pro Tag herstellen. Stefan behauptet, dass selbst dann die Berücksichtigung der Jumbo-Total zu keinem schlechteren Ergebnis führen könne als in dem Ausgangsproblem aus Aufgabenteil b). Stimmt diese Behauptung? Begründen Sie Ihre Antwort!

Kurs 42220 Klausur vom 23.09.2016 Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis 10 Aufgabenteil Aufgabe 3 12 Gegeben seien folgende Aussagen. Markieren Sie auf Seite 23 der Lösungsbögen zunächst, ob diese Aussagen entweder wahr oder falsch sind und begründen Sie anschließend die Auswahl! Hinweis: Für jede eindeutige korrekte Markierung und für jede nachvollziebare Begründung mit Rechenweg erhalten Sie jeweils die maximale Punktzahl! A) Gegeben sei die folgende Matrix A = 5 2 0 3 2 3 1 1 4 1 0 3 2 3 0 1. Die Determinante dieser Matrix lautet A = 6. ( ) 2 7 B) Gegeben sei die Matrix B =. Die Summe der beiden Eigenwerte 3 8 zu dieser Matrix beträgt λ 1 + λ 2 = 6. C) Gegeben sei die Differentialgleichung y 3x = 0. Das zugehörige Anfangswertproblem mit y(4) = 2 besitzt keine Lösung mit einer Konstanten c = 22. D) Die Hessematrix Hf(x,y) der Funktion f(x,y) = xy x + y 2y2 2xy Hf(x,y) = (x + y) 3 (x + y) 3 2xy 2x2 (x + y) 3 (x + y) 3 hat die Form.

Name, Vorname Matrikelnummer LÖSUNGSTEIL der Modulklausur 32741 Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik Datum Termin: Prüfer: 23. September 2016, 09.00-11.00 Uhr Univ.-Prof. Dr. A. Kleine, Univ.-Prof. Dr. H. Singer

Name, Vorname Matrikelnummer Teilklausur des Moduls 32741 Kurs 42221: Vertiefung der Statistik LÖSUNGSTEIL Datum Termin: Prüfer: 23. September 2016, 09.00-11.00 Uhr Univ.-Prof. Dr. H. Singer

LÖSUNGSBOGEN 42221 Klausur: Kurs 42221 Vertiefung der Statistik Termin: 23. September 2016 Prüfer: Univ.-Prof. Dr. H. Singer Name, Vorname: Matrikelnummer: Aufgabe 1 2 3 4 Summe maximale Punktzahl erreichte Punktzahl 10 15 15 10 50 Datum: Unterschrift des Prüfers: 1

LÖSUNGSBOGEN 42221 Aufgabe 1 (10 ) Bewerten Sie folgende Aussagen mit richtig oder f alsch. X, Y und Z seien drei unterschiedliche Ereignisse und weiter gelte X Y = Z. Dann gilt immer: richtig falsch 1. P (X Y ) = P (X) P (X Z) 2. P (Z) P (Y ) 3. P (Z) = P (X Y ) P (Y ) 4. P (Z) = P (X) + P (Y ) P (X Y ) 5. P (X Y ) = P (Y ) P (Y Z) Hinweis: Für jede korrekte Kennzeichnung werden 2 vergeben. Jede falsche Kennzeichnung sowie nicht oder unlesbar gekennzeichnete Felder werden mit 0 n bewertet. Die minimale Punktzahl der Aufgabe beträgt 0. 2

LÖSUNGSBOGEN 42221 Aufgabe 2 (15 ) 2.1 (3 ) ˆα (1 Punkt) ˆβ (1 Punkt) ˆσ 2 (1 Punkt) 2.2 (6 ) t α (2 ) t β (2 ) t-quantil (1 Punkt) Ablehnung von H 0 : α=0? (0.5 ) Ablehnung von H 0 : β=0? (0.5 ) 3

LÖSUNGSBOGEN 42221 2.3 (1 Punkt) Bestimmtheitsmaß 2.4 (5 ) Die Prognose Ê[Y X = 8] (1 Punkt) V AR(Ê) (2 ) Quantil (1 Punkt) 95%-Prognoseintervall (1 Punkt) 4

LÖSUNGSBOGEN 42221 Aufgabe 3 (15 ) 3.1 (8 ) E(X) Var(X) 5

LÖSUNGSBOGEN 42221 3.2 (7 ) Test Prüfgröße unterer kritischer Wert oberer kritischer Wert Ablehnung H 0 Erwartungswert Varianz 6

LÖSUNGSBOGEN 42221 Aufgabe 4 (10 ) 4.1 (2 ) [1] [2] [3] [4] 4.2 Anzahl Produktionsmethoden (1 Punkt) N (1 Punkt) 7

LÖSUNGSBOGEN 42221 4.3 Bestimmtheitsmaß (1 Punkt) Interpretation (1 Punkt) 8

LÖSUNGSBOGEN 42221 4.4 σ 2 (1 Punkt) 4.5 f-quantil (1 Punkt) 4.6 prognostizierte Stückzahl (2 ) 9

LÖSUNGSBOGEN 42221 10

Name, Vorname Matrikelnummer Teilklausur des Moduls 32741 Kurs 42220: Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis LÖSUNGSTEIL Datum Termin: Prüfer: 23. September 2016, 09.00-11.00 Uhr Univ.-Prof. Dr. A. Kleine

Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine LÖSUNGSBÖGEN Klausur: Kurs 42220 Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis Termin: 23.09.2016 Prüfer: Prof. Dr. Andreas Kleine Name, Vorname: Matrikelnummer: Aufgabe 1 2 3 Summe maximale Punktzahl 20 18 12 50 erreichte Punktzahl Gesamtpunktzahl: Datum: Note: Unterschriften der Prüfer:

Kurs 42220 vom 23.09.2016 Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 17 Lösungsbögen Aufgabe 1 Matr.-Nr.: a) f(x 1, x 2 ) = 0,25x 4 1 + 4,5x 2 1x 2 1,5x 3 2 146,75 f x1 (x 1, x 2 ) = f x2 (x 1, x 2 ) = b) f x1 x 1 (x 1, x 2 ) = f x2 x 2 (x 1, x 2 ) = f x1 x 2 (x 1, x 2 ) = f x2 x 1 (x 1, x 2 ) = c) f(x 1, x 2 ) = 0,25x 4 1 + 4,5x 2 1x 2 1,5x 3 2 146,75 d)

Kurs 42220 vom 23.09.2016 Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 18 Lösungsbögen Aufgabe 1 Matr.-Nr.: e)

Kurs 42220 vom 23.09.2016 Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 19 Lösungsbögen Aufgabe 1 Matr.-Nr.: f i) Zielfunktion: Nebenbedingung: f ii) L(r, h, λ) = f iii) L r (r, h, λ) = L h (r, h, λ) =

Kurs 42220 vom 23.09.2016 Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 20 Lösungsbögen Aufgabe 2 Matr.-Nr.: a) b) x 2 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1

Kurs 42220 vom 23.09.2016 Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 21 Lösungsbögen Aufgabe 2 Matr.-Nr.: c) i) ii)

Kurs 42220 vom 23.09.2016 Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 22 Lösungsbögen Aufgabe 2 Matr.-Nr.: c) iii) x 0 x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 b 1 0,5 0,5 0 0 0,5 0 5 0 1 2 0 1 1 0 2 0 0,75 0,5 1 0 0,25 0 2,5 0 0,75 0,5 0 0 0,25 1 0,5 iv)

Kurs 42220 vom 23.09.2016 Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 23 Lösungsbögen Aufgabe 3 Matr.-Nr.: Die Aussage zu wahr falsch 3 A) ist 3 B) ist 3 C) ist 3 D) ist Begründung zu Aussage A): Begründung zu Aussage B):

Kurs 42220 vom 23.09.2016 Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 24 Lösungsbögen Aufgabe 3 Matr.-Nr.: Begründung zu Aussage C): Begründung zu Aussage D):

Kurs 42220 vom 23.09.2016 Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 25 Lösungsbögen Aufgabe Matr.-Nr.: