Grundlagen der Technischen Informatik

Grundlagen der technischen Informatik Kapitel 7 Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Pascal A. Klein, M.Sc.

7. Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern... 3 7. Zahlensysteme... 3 7.. Prinzipieller Aufbau... 3 7.. Umwandlung von Zahlen in verschiedenen Systemen... 8 7. Zahlendarstellung... 5 7.. Ganzzahldarstellung... 5 7.. Festkommadarstellung... 0 7.3 Rechnen mit Dualzahlen... 7.3. Addition/Subtraktion... 7.3. Multiplikation... 6 7.3.3 Division... 9 7.4 Gleitkommazahlen... 3 7.4. Darstellungsform... 3

7. Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern 7. Zahlensysteme Das heute übliche Zahlensystem ist das dezimale Zahlensystem. Hierbei handelt es sich um ein sogenanntes Stellenwertsystem oder Positionssystem (s.u.). Das dezimale Zahlensystem wurde von den Indern aller Voraussicht nach um 600 n.chr. entwickelt. Um etwa 750 n.chr. wurde diese Art des Zahlensystems nach Persien gebracht, von wo aus es sich über den gesamten arabisch beeinflußten Raum verbreitete. Leonardo Pisano schrieb um 0 n.chr. ein uch über Arithmetik, das eine wesentliche Rolle bei der Verbreitung der "arabischen" Ziffern in Europa spielte. Obwohl die Inder und die Europäer von links nach rechts schreiben und die Araber von rechts nach links, blieb die Schreibweise der Zahlen des dezimalen Systems für alle stets von links nach rechts. eim dezimalen Zahlensystem werden die Zahlen durch die Ziffern 0,,,... 9 dargestellt. Zahlen, die außerhalb dieses Ziffernbereiches liegen, entstehen durch die Aneinanderreihung mehrerer Ziffern mit verschiedenen Stellenwertigkeiten. Die Stellenwerte sind gleich, 0, 00 usw. bzw. 0,; 0,0; 0,00 usw., also immer eine ganzzahlige Potenz der asis 0. 7.. Prinzipieller Aufbau In der Regel werden Zahlen eines Polyadischen Zahlensystems (Stellenwertsystem) verwendet. Das ildungsgesetz eines Polyadischen Zahlensystems lautet dabei wie folgt: n n Z xn xn m xm oder in Kurzform: x x 0 0 x x 3

n Z x im i i Dabei bedeutet: Z= Zahl im dezimalen Zahlensystem = asis des Zahlensystems ( mit ) xi= Ziffern der Zahl zur asis (0 xi ) i= n+= Wertigkeit der Stelle ( der i-ten Stelle) Anzahl der Stellen vor dem Komma m= Anzahl der Stellen nach dem Komma So läßt sich beispielsweise die dezimale Zahl 968 (asis = 0) schreiben als: Potenzschreibweise: Stellenschreibweise: Z = 0 3 +90 +60 +80 0 = 968 Aus der Zahl Z = 5 +0 4 +0 3 + + +0 0 zur asis = (Potenzschreibweise) wird: Z = 0 0 0 (Stellenschreibweise) In der Regel wird die Stellenschreibweise der Potenzschreibweise vorgezogen, da erstere kürzer ist. ei ihr werden nur die Ziffern ohne die Potenzangabe i nebeneinandergeschrieben (s.o). Die gängigsten Zahlensysteme sind neben dem Dezimalsystem das Dual- (asis ), Oktal- (asis 8) und Hexadezimalsystem (asis 6). Somit sind neben dem für uns vertrauten Dezimalsystem für die technische Informatik die folgenden drei Zahlensysteme von besonderer edeutung. inärsystem Im inärsystem werden alle Zahlen zur asis dargestellt. 4

Da sich der Ziffernbereich auf die beiden Elemente 0 und beschränkt, wird das inärsystem auch als Dualsystem bezeichnet. Die Ziffern einer Dualzahl werden auch als it (englisch: binary digit) bezeichnet. Für Rechnersysteme hat sich das duale (oder binäre) Zahlensystem als das Geeignetste erwiesen. Es ist das einfachste in Rechnersystemen zu realisierende Zahlensystem (Strom an / Strom aus). Aus diesem Grund arbeiten intern moderne Computerarchitekturen nahezu ausnahmslos mit nur zwei verschiedenen Zuständen, so dass das inärsystem mit Abstand das wichtigste Zahlensystem im ereich der technischen Informatik darstellt. Oktalsystem Dem Oktalsystem liegt die asis 8 zu Grunde, so dass zur Darstellung einer Zahl ausschließlich die Ziffern 0 bis 7 verwendet werden. Hexadezimalsystem Im Hexadezimalsystem werden alle Zahlen zur asis 6 dargestellt. In einem System zur asis werden genau Ziffern einschließlich der Null benötigt. Da beim Hexadezimalsystem somit 6 Ziffern benötigt werden, werden neben den Ziffern 0 bis 9 noch die uchstaben A bis F zur Darstellung verwendet. Für Rechnersysteme hat sich das duale (oder binäre ) Zahlensystem als das Geeignetste erwiesen. Es ist das einfachste in Rechnersysteme zu realisierende Zahlensystem. Es hat die asis und somit die Ziffern 0 und. Die Ziffern einer Dualzahl werden auch als it (englisch: binary digit) bezeichnet. Diese egriffe werden oft synonym gebraucht, wobei strenggenommen alle Zahlendarstellung, die mit nur zwei Zeichen zur Zahlendarstellung auskommt (z.. CD-Darstellung, s. Kap. Codierung), binär sind, während sich der egriff dual ausschließlich auf das Polyandische Zahlensystem zur asis (Dualsystem) bezieht. 5

Eine Gegenüberstellung der gängigsten Zahlensysteme zeigt die folgende Tabelle: asis 4 8 0 6 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 00 0 4 4 4 0 5 5 5 0 6 6 6 3 7 7 7 000 0 0 8 8 00 9 9 00 0 A 0 3 3 00 30 4 C 0 3 5 3 D 0 3 6 4 E 33 7 5 F 0000 00 0 6 0 Zur Kennzeichnung der asis einer Zahl wird häufig diese der Zahl als Index angehängt. z.. Dezimal (=0): 9680 6

Oktal (=8): 568 Dual (=): 000 7

7.. Umwandlung von Zahlen in verschiedenen Systemen Rechnerintern werden Zahlen im dualen Zahlensystem verarbeitet, weil dieses Zahlensystem für einen Rechner die einfachste Art der Zahlendarstellung ist und weil es im Vergleich zu anderen Zahlensystemen eine größere etriebssicherheit gewährleistet. Dies hat zur Folge, daß oftmals eine Konvertierung erforderlich wird, denn der enutzer möchte die Zahlen beispielsweise wie gewohnt im Dezimalsystem auf seinem ildschirm angezeigt bekommen und nicht als eine Folge von 0-en und -en. In der folgenden Tabelle sind die gängigsten Zahlendarstellungen aufgeführt. An ihnen soll exemplarisch die Umwandlung in verschiedene Zahlensysteme verdeutlicht werden. In der Spalte Stellenlänge wird angegeben, wie viel inärstellen notwendig sind, um die Ziffern des jeweiligen Zahlensystem als Dualzahl darzustellen. Zahlensystem asis Stellenlänge Ziffern Dual {0,} Ternär 3 * {0,,} Oktal 8 3 {0,,,3,4,5,6,7} Dezimal 0 4* {0,,,3,4,5,6,7,8,9} Hexadezimal 6 4 {0,,,3,4,5,6,7,8,9,A,,C,D,E,F} (): Ohne Ausnutzung der gesamten Stellenlänge. 7... Umwandlung in eine Dezimalzahl Die Umwandlung einer Zahl, die in einer beliebigen asis gegeben ist, in eine Dezimalzahl geschieht über wertmäßiges Ausrechnen der Formel (Kurzform der Potenzschreibweise): n i Z 0 xi im 8

Hierzu werden die einzelnen Ziffern xi der gegebenen Zahl mit den zu ihnen gehörenden Potenzen i multipliziert und aufsummiert. eispiele:. Gegeben sei die Dualzahl ( = ): Z = 000 Aufstellen der Summengleichung: Z = 5 +0 4 +0 3 + +0 + 0 = 3+06+08+4+0 + = 370. Gegeben sei die Zahl zur asis 5 ( = 5): Z = 43,35 Aufstellen der Summengleichung: Z = 45 3 +5 +35 +5 0 +35 - +5 - = 500+50+5++0,6+0,08 = 566,680 3. Gegeben sei die Zahl zur asis 6 ( = 6): Z3 = AF3,3C6 Aufstellen der Summengleichung: Z3 = A6 3 +F6 +36 +6 0 +36 - +C6 - = 40960+3840+48++0,875+0,046875 = 44859,343750 7... Umwandlung von Dual nach Oktal/Hexadezimal 9

Umwandlung einer Dualzahl in eine Oktal- oder Hexadezimalzahl: Festkommazahl: separates etrachten der Vorkomma- sowie die Nachkommastellen. Umwandlung Dualzahl in Oktalzahl: Eine einzige Oktalziffer entspricht exakt drei its in der inärdarstellung, da mit b=8 eine Zweierpotenz als asis verwendet wird (8 = 3 ). Aus diesem Grund werden Gruppen von je drei Dualstellen einzeln konvertiertn, dabei werden gegebenenfalls führende Nullen hinzugefügt bzw. für die Nachkommastellen Nullen angehängt. 000000 = 0 000 00 = 6708 6 7 0 Umwandlung Dualzahl in Hexadezimalzahl: Da dem Hexadezimalsystem mit b =6 auch eine Zweierpotenz als asis zu Grunde liegt (6 = 4 ), lassen sich inärzahlen und Hexadezimalzahlen ebenfalls auf äußerst einfache Weise ineinander überführen. Jede Hexadezimalziffer repräsentiert exakt 4 its in der inärdarstellung. Analog zur Umwandlung von Dualzahlen in Oktalzahlen werden die Gruppen mit vier Dualstellen bei einer Umwandlung einer Dualzahl in eine Hexadezimalzahl behandelt. 000000 = 0 00 000 = DC6 D C 0

7...3 Umwandlung nach dem Hornerschema Um eine Zahl Z zur asis A in eine äquivalente Darstellung zur asis zu konvertieren, muss die folgende eziehung gelten: l k i i i n m i i i x A y Z A ist hierbei die asis des Quellsystems und die asis des Zielsystems. Zur Umwandlung nach dem Hornerschema wird die oben erwähnte Gleichung in die folgende Form gebracht. Dies geschieht durch mehrfaches Ausklammern von. x...x x x x x...x x x x Z m m 0 n n i i n m i Die Konvertierung einer rationalen Zahl ist in zwei Einzelkonvertierungen zerlegbar:.) Konvertierung der ganzen Zahl: 0 n n x x...x x x Z.) Konvertierung der gebrochenen Zahl: x...x x x Z m m Zu.): Wird die Gleichung der ganzen Zahl Z betrachtet, so ergibt sich die Ziffer x0 als Rest der Division Z durch. Dabei entsteht der folgende Ausdruck: x x...x x x R G Z 0 n n

Der gebrochen-rationale Anteil R, also der Rest der Division durch, wird abgespalten und das neue Z entspricht nun mehr dem ganz-rationale Anteil dieser ersten Division durch, also G. Nun wird das neu Z wieder durch dividiert sowie der Rest erneut abgespalten, und somit ein neues Z gewonnen. Diese Verfahren wird solange fortgesetzt, bis Z = 0 geworden ist. Die suksezzive gewonnen Reste Ri ergeben von rechts nach links geschrieben den Vorkommaanteil in der Stellenschreibweise (RnRn-...RR). Zu.): Die Konvertierung der gebrochenen Zahl Z funktioniert in ähnlicher Weise wie die für Z, nur wird hier nicht durch dividiert, sondern durch / bzw. mit multipliziert. Somit entsteht bei jedem Rechenschritt kein Rest, sondern (gegebenenfalls) ein Überlauf (Üj) in die erste Vorkommastelle. Dieser wird abgespalten und so wird das neue Z gewonnen, das wiederum durch / dividiert bzw. mit multipliziert wird. Die so suksezzive anfallenden Überläufe ergeben von links nach rechts geschrieben den Nachkommaanteil in der Stellenschreibweise (ÜÜ...Üm-Üm). Sollte bei einem Rechenschritt kein Überlauf entstehen, wird für dieses Üj eine Null notiert. Anmerkung: Manchmal ist es nicht möglich eine endliche Zahl zu einer asis in eine endliche Zahl mit einer anderen asis zu konvergieren. In diesem Fall wird die Konvertierung von Z an geeigneter Stelle abgebrochen. Das Schema soll an einem eispiel verdeutlicht werden. Aufgabe: Die Dezimalzahl Z = 37,560 soll in das Dualsystem konvergiert werden: Z = Z + Z = 37 + 0,56 Z: 37:= 8 R 8:= 9 R 0

9:= 4 R 4:= R 0 := R 0 := 0 R => 370 000 Z: 0,56 =0, Ü 0, =0,4 Ü 0 0,4 =0,48 Ü 0 0,48 =0,96 Ü 0 0,96 =0,9 Ü 0,9 =0,84 Ü 0,84 =0,68 Ü an dieser Stelle wird die Konvertierung abgebrochen => 0,560 0,000 Es wurde schon gesagt, dass nicht jede Zahl in eine endliche Zahl mit einer anderen asis konvergiert werden kann. Der Konvertierungsfehler Fk der sich hierbei ergibt, lässt sich berechnen zu: F k im y i A i ik x i i Anmerkung: Prinzipiell muß bei der Verwendung des Hornerschema die asis des Quellsystems nicht 0 sein, allerdings müssen dann die notwendigen Division und Multiplikation auch in diesem Zahlensystem erfolgen. Dies wirft mit unter so große Probleme auf, daß eine Zwischenumwandlung ins 0er-System ratsam erscheint. 3

Weiterführende Frage: Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Wandle die hexadezimale Zahl A,6 ins Dualsystem um unter Verwendung des Hornerschemas. Kontrolliere das Ergebnis anhand in Kapitel Umwandlung Dual nach Oktal/Hexadezimal beschriebenen Umwandlungsmethode. 4

7. Zahlendarstellung Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Wie bereits erwähnt ist das Dualsystem für Rechner am besten geeignet. isher wurden allerdings nur Zahlen ohne Vorzeichen betrachtet, sogenannte "vorzeichenlose" Zahlen. ei dieser Form der Zahlendarstellung werden alle zur Verfügung stehenden its zur Darstellung des Zahlenwertes (etrag) genutzt. Dies hat zur Folge, daß bei dieser Darstellungsform kein Vorzeichen enthalten sein kann, und somit alle Datenwörter gleichermaßen als positiv Zahl interpretiert werden. 7.. Ganzzahldarstellung 7... Vorzeichen- etrag-darstellung (V--Darstellung) Soll ein gespeichertes Datenwort sowohl positive als auch negative Zahlen repräsentieren können, so kann dies im einfachsten Fall durch die Vorzeichen-etrag-Darstellung (V-- Darst.) erfolgen. Hierbei stellt das MS das Vorzeichen dar deshalb wird es oft auch als Vorzeichenbit bezeichnet während die restlichen its den etrag der Zahl darstellen. Per Konvention wird das Vorzeichenbit wie folgt interpretiert: Vorzeichenbit 0 Zahl positiv negativ Die Gegenüberstellung der bisher kennengelernten Zahlendarstellungsformen verdeutlich nochmals deren Aufbau und den daraus resultierenden ereich darstellbarer Zahlen (Wertebereich) für eine Datenwortlänge von 8 bit, also für eine 8-stellige Zahl. most significant bit; das it mit dem höchsten Stellenwert 5

Darstellungsform Repräsentierung im Rechner Wertebereich vorzeichenlos [0..55] MS LS Zahlenwert (it 7-0) V--Darstellung [-8..7] MS LS MS LS V V etrag (it 6-0) = most significant bit; das it mit dem höchsten Stellenwert = least significant bit; das it mit dem niedrigsten Stellenwert = Vorzeichen 7... Komplementdarstellung Neben der V--Darstellung können vorzeichenbehaftete Zahlen auch durch die Komplementdarstellung repräsentiert werden. Dabei werden zwei Komplemente 3 unterschieden: -Komplement (echtes Komplement): (-Komplement) n n K ( ) Z Z (Z) K(Z) Z n (-)-Komplement (unechtes Komplement): (-Komplement) K (Z) ( n ) Z K (Z) Z n Hierbei bedeutet: Z: entspricht positiver Zahl in V--Darstellung zur gesuchten negativen Zahl -z K (Z): zur Zahl Z gehörendes -Komplement 3 Komplement bedeutet Ergänzung, und zwar wird hier die Zahl Z durch ihr Komplement zur Zahl n bzw. n - ergänzt 6

K (Z) : zur Zahl Z gehörendes (-)-Komplement : asis des polyadischen Zahlensystems n: Stellenanzahl der Zahl Z, Datenwertlänge in it eispiel: Z = 00 = 30 mit = und n = 4 -Komplement: n K (Z) Z K (Z) 00 0 -Komplement: n n K (Z) Z K n(z) 00 00 Unechtes Komplement Das unechte Komplement K (Z) einer Zahl Z wird gebildet, indem stellenweise jede Ziffer durch die Differenz zur größten Ziffer des gegebenen Zahlenalphabets (-) ersetzt wird. Das bedeutet, dass jede Ziffer des Komplements Z K (Z) die entsprechende Ziffer der Zahl Z zur größten Ziffer ergänzt. Im Dualsystem ist die ildung des (-)-Komplement (des so genannten Einer- Komplements oder -Komplements) denkbar einfach, denn das Komplement zu 0 ist und das zu ist 0. Somit wird das -Komplement (zur asis ) durch schlichtes vertauschen der Nullen und Einsen, sprich durch eine stellenweise Inversion, gebildet. Die folgende Abbildung verdeutlicht das -Komplement für eine Datenwortlänge von 4 it. Nachteil des unechten Komplements ist, dass für die Null zwei Darstellungen existieren (im eispiel 0000 und ). 7

-3-4 - -5-0 00 0 00-6 0 00-0 000-7 +0 0000 000 0 +7 00 + 000 00 000 00 +6 + +3 +4 +5 + 0 00 = + 4 0 = - 4 - Echtes Komplement Das echte Komplement K (Z) wird in zwei Schritten gebildet. Zuerst wird das unechte Komplement K (Z) gebildet (s.o.) und dann wird eine zur niedrigstwertige Ziffer (LSD 4 ) hinzuaddiert. Im echten Komplement ist jede Darstellung einer Zahl eindeutig. Die folgende Abbildung zeigt das - Komplement oder auch Zweierkomplement zur asis = für eine Datenwortlänge von 4 it. -4-5 -3-6 - 0 00 0 00-7 0 00-000 -8 +0 0000 000 0 +7 00 + 000 00 000 00 +6 + +3 +4 +5 + 0 00 = + 4 00 = - 4-4 least significant digit 8

Man beachte, dass das echte Komplement eines echten Komplementes wieder die Zahl in Normaldarstellung ergibt. Der Vorteil der Komplementdarstellung gegenüber der Repräsentation des Vorzeichens als separates it (V-- Darstellung) zeigt sich bei der Addition bzw. Subtraktion. eispiel: V--Darstellung -Komplement + 00 () 00 (+) + - 00 (-) (-) 0 0 (-) 000 Anmerkung: ei der Komplementdarstellung zeigt das höchstwertige it (MS) zwar ebenfalls das Vorzeichen der repräsentierten Zahl, allerdings entsprechen die anderen its nicht dem etrag der Zahl. Deshalb sollte das höchstwertige it (MS) bei der Komplementdarstellung nicht als Vorzeichenbit bezeichnet werden, da die erechnung des etrags mit Hilfe der Vorschrift zur Komplementbildung nur bei Verwendung aller its stets zum richtigen Ergebnis führt. Zur Interpretation eines Datenwortes muss folglich neben der asis auch die Darstellungsform (V--Darstellung, - bzw. - Komplement) und die Datenwortlänge bekannt sein. Die folgende Tabelle stellt die verschiedenen Interpretationen der immer gleichen itfolge (Datenwortlänge = 3 it) gegenüber: itfolge vorzeichen los V-- Darst. -Kompl. -Kompl. 000 0 +0 0 0 00I + 0I0 + 0II 3 +3 3 3 9

I00 4-0 -3-4 I0I 5 - - -3 II0 6 - - - III 7-3 -0 - Weiterführende Frage: Suche Vorschriften zur direktem Umrechnen einer gegebenen ganzen Zahl von einer Darstellungsform in eine andere. estimme Vorschriften für alle möglichen Kombinationen. 7.. Festkommadarstellung Die Festkommadarstellung entspricht exakt der zuvor beschriebenen Art der Ganzzahldarstellung und zwar mit allen vier gezeigten Darstellungsformen, mit dem einzigen Unterschied, daß der Stellenwert des niedrigstwertige it (LS) nicht 0 ist. Das heißt also, daß an einer festen Position innerhalb des Datenworts ein Komma steht, welches das Datenwort in eine ganz-rationale Vorkomma- und eine gebrochen-rationale Nachkommaanteil unterteilt. Dabei ist die Anzahl an Vorkommastellen und die der Nachkommastellen immer gleich, also fest. Durch die feste Position des Kommas ist es nicht erforderlich, das Komma selbst zu speichern. Zur Repräsentation einer Festkommazahl der Wortlänge 8 in -Komplement-Darstellung mit n = 5 Vorkomma- und m = 3 Nachkommastellen ist ein Datenwort der folgenden Struktur notwendig: MS LS MS = most significant bit = least significant bit Vorkommastellen (it 7-3) LS Nachkommastellen (it -0) 0

7.3 Rechnen mit Dualzahlen 7.3. Addition/Subtraktion Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Die Addition von Dualzahlen läuft prinzipell genauso wie die Addition von Dezimalzahlen ab, nur das im Dualsystem der Ziffervorrat wesentlich geringer ist. Mit dem einzigen Unterschied, daß im Dezimalsystem erst ein Übertrag in die nächst höhere Stelle entsteht, falls die Summe der zu addierenden Ziffern größer 9 ist, während dies im Dualsystem bereits bei einer Ziffernsumme größer erfolgt. Für das Dualsystem git also: + = 0 + Übertrag in die nächst höhere Stelle. Der so entstandene Übertrag wird, wie auch bei der Addition von Dezimalzahlen, bei der Addition der nächst höheren Stelle berücksichtigt. Definition: Überlauf Tritt bei einer Addition zweier Dualzahlen der Wortlänge k ein Übertrag in die Stelle k+ auf, so wird dieser als Überlauf bezeichnet. Diese eventuell entstehende (k+)-stelle geht bei der Ergebnisdarstellung mit der Wortlänge k verloren. eispiel: Addition zweier vorzeichenloser Dualzahlen 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ei der Addition vorzeichenbehafteter Zahlen sind weitere Überlegungen nötig. So muß bei der Addition zweier Dualzahlen in V--Darstellung zuerst geprüft werden, ob beide Zahlen das selbe Vorzeichen aufweisen. Ist dies der Fall, so können die eträge wie zuvor gezeigt addiert werden. Tritt hierbei ein Übertrag in die k-te Stelle, in das Vorzeichenbit, auf, so ist das Ergebnisse mit k Stellen nicht mehr darstellbar, anderenfalls muß nur noch MS des Ergebnisses

entsprechend des gemeinsamen Vorzeichenbits gesetzt werden. Haben beide Summanden ein unterschiedliches Vorzeichen, so muß der etrag der negativen Zahl von der positiven Zahl subtrahiert werden. So wird aus der ursprünglichen Addition unter erücksichtigung der Vorzeichenungleichheit eine Subtraktion. Ebenso gut kann aus einer Subtraktion eine Addition werden, nämlich genau dann, wenn die Vorzeichen der beiden Operatoren unterschiedlich sind. Die folgende Tabelle verdeutlicht die Addition einzelner Dualziffern. Addition von Dualziffern zweiter Übertrag von Summand rechts Summe 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 erster Summand Übertrag nach links Die Subtraktion der eträge zweier Dualzahlen ähnelt wiederum der im Dezimalsystem mit all seinen Problemen. Hierbei muss der Subtrahend stellenweise vom Minuend subtrahiert werden. Tritt dabei der ungünstige Fall auf, dass die zu subtrahierende Ziffern des Subtrahenden größer ist als die des Minuenden, muss von der nächst höheren Stelle des Minuenden eine "geborgt" werden. eispiel: Subtraktion zweier vorzeichenloser Dualzahlen 0 0 0 0-0 0 0 0 0 0 0 0 0

Für Rechneranlagen ist die Überprüfung, ob der Subtrahend größer ist und das orgen einer Ziffer sehr umständlich. Insgesamt ist die Addition/Subtraktion von Dualzahlen in der V- -Darstellung sehr aufwendig; deshalb soll sie auch an dieser Stelle nicht weiter vertieft werden. Die Addition/Subtraktion zweier Dualzahlen in Komplementdarstellung ist hingegen wesentlich einfacher, da hier vor der bitweisen Addition keine Vorzeichenprüfung vorgenommen werden muß. Zudem läßt sich die Subtraktion Z-Z so auf die Addition Z+ Z zurückführen. Entsteht bei der Addition der in Komplementdarstellung gegebenen Zahlen ein Überlauf, so bedeutet dies nicht, daß das Ergebnis der durchzuführenden Addition bei gegebener Wortlänge nicht mehr darstellbar ist. Der entstehende Überlauf kann einfach abgeschnitten werden. eim -Komplement muß in diesem Fall allerdings noch eine Korrekturaddition durchgeführt werden, d.h. eine zum niedrigstwertigen it des Ergebnis-Datenworts hinzuaddiert werden. Trotzdem muß auch hier geprüft werden, ob die Summe der gegebenen Zahlen bei gegebener Wortlänge noch dargestellt werden kann. Dies kann am einfachsten wie folgt entschieden werden: Sind die Vorzeichen der beiden Summanden unterschiedlich, so ist das Ergebnis auf jeden Fall darstellbar. Sind sie gleich, so muß auch das Ergebnis-Datenwort ebenfalls dieses Vorzeichen aufweisen, ansonsten ist die Summe nicht mehr darstellbar. Die folgende Tabelle verdeutlicht die Subtraktion einzelner Dualziffern. Subtraktion von Dualziffern Subtrahend Übertrag von rechts Differenz 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Minuen d orger von links 3

ei der Addition / Subtraktion zweier Zahlen mit den Vorzeichen V und V sind weitere Überlegungen nötig: a) V--Darstellung: V V: Subtrahieren des etrages der negativen Zahl von der positiven Zahl. V = V: Tritt bei der Addition der eträge ein Übertrag in die k-te Stelle (Vorzeichenbit) auf? Ja nicht darstellbar Nein Ergebnis der eträge + gemeinsame Vorzeichen Für Rechneranlagen ist die Überprüfung, ob der Subtrahend größer ist, und das orgen einer Ziffer sehr umständlich. Insgesamt ist die Addition / Subtraktion von Dualzahlen in der V--Darstellung sehr aufwendig; deshalb soll sie auch an dieser Stelle nicht weiter vertieft werden. b) Komplementdarstellung: Die Addition / Subtraktion in Komplementdarstellung ist wesentlich einfacher: Vor der bitweisen Addition muss keine Vorzeichenprüfung vorgenommen werden und die Subtraktion Z-Z lässt sich auf die Addition Z+ Z zurückführen. V V: Das Ergebnis ist darstellbar. Falls bei der Addition ein Übertrag auftritt: Einerkomplement. +000 Korrektur. Überlauf abscheiden Zweierkomplement.. Überlauf abschneiden V = V: Das Ergebnis ist nur dann darstellbar, wenn 4

VErgebnis = V bzw. V ist. Tritt für den Fall VErgebnis = V bzw. V ein Übertrag auf: Gleiche Vorgehensweise anwenden, wie bei V V beschrieben. Die folgenden eispiele (Wortlänge = 5 it) verdeutlicht dies für das -Komplement und das -Komplement:. 000, +0,75 + 00,0 + +,5 +3,00 0,00. 0000 + + 0 + +5 +6 0000 Vorzeichenkontrolle ergibt: nicht darstellbar für beide Formen. 3. 0, +3,75 +3,75 +, + -0,5 + -0,00 +3,50 +3,75 0,0 + 0,0 Korrektur wegen Überlauf 0, 5

4. 00-0 - 9 + 00 + - 6 + - 5-6 -4 0000 + Korrektur wegen Überlauf 000 5. 00-0 - 9 + 00 + - 7 + - 6 0 nicht darstellbar für -Kompl. + Korrektur wegen Überlauf 0000-7 -5 Weiterführende Frage: Überlege wie die Addition für andere Zahlensysteme erfolgen muß und wie festgestellt werden kann, ob das Ergebnis noch darstellbar ist. Wie sieht es beispielsweise beim 9- und 0- Komplement des Dezimalsystems aus? 7.3. Multiplikation In der Schule wird häufig noch die schriftliche Multiplikation von Dezimalzahlen gelehrt. Der Multiplikant 5 wird zuerst mit der ganz links stehenden Multiplikatorstelle multipliziert und das Zwischenergebnis notiert. Danach wird der Multiplikant mit der nachfolgenden Multiplikatorstelle multipliziert und das 5 Multiplikant Multiplikator = Produkt 6

Zwischenergebnis um eine Stelle nach rechts verschoben unter das erste Zwischenergebnis geschrieben. So geht es immer weiter bis alle Ziffern des Multiplikators mit dem Multiplikanten multipliziert wurden. Abschließend werden alle Zwischenergebnisse addiert. eispiel: 49 63 49 894 447 Die 487 Multiplikation mehrstelliger Dualzahlen wird wie im Dezimalsystem durch die ildung von Teilprodukten des Multiplikanden mit den einzelnen Multiplikatorstellen und anschließender Stellenverschiebung durchgeführt. Die Teilprodukte werden dabei entweder gleich 0 oder gleich dem Multiplikanden selbst (wenn die Multiplikatorstelle ist) sein. Zum Schluss werden die Teilprodukte addiert. Damit lässt sich die Multiplikation ebenfalls auf die Addition zurückführen. Die Multiplikation kann nur in der vorzeichenlosen (s. obiges spl.) oder in der V--Darstellung erfolgen: Schritt : Multiplikation der eträge; Schritt : Ermittelung des Vorzeichens durch modulo Addition; ei der Multiplikation von Festkommazahlen ist zudem noch die Position des Kommas zu beachten. Das nachfolgende eispiel zeigt, wie dies übersichtlich gelöst werden kann: 7

Aufgabe: 000000,00 000000,0 in V--Darstellung mit n=9 Vorkomma- u. m= 3 Nachkommastellen : 000000, 00 000000,0 00000, 000 0 000000, 00 000000, 00 0 0 00000000, 000000000, _ 0000000, 0000 V: +=0 Ergebnis: 0 0000000, 00 Anmerkung: Vorkommastelle reichen hier gerade noch aus Kein Überlauf Ergebnis richtig Nachkommastellen mussten abgeschnitten werden, führen aber nur zu einem ungenauen und nicht zu einem völlig falschen Ergebnis Im Rechner läuft die Multiplikation ähnlich ab, allerdings wird dort die Addition der Teilprodukte nicht zum Schluß durchgeführt, sondern ein neu ermitteltes Teilprodukt wird sofort zum bisherigen Summationsergebnis hinzuaddiert. 8

7.3.3 Division Die Division kann für vorzeichenbehaftete Zahlen ebenfalls nur in der V--Darstellung durchgeführt werden. Hierbei wird ebenfalls zunächst eine Division der eträge vorgenommen, anschließend eine Vorzeichenbetrachtung vorgenommen und daraus das Ergebnis-Datenwort zusammengesetzt. Die schrifliche Division der eträg verläuft dabei in zwei Schritten:. Verschiebung des Kommas bei Dividenden 6 und Divisors, um soviele Stellen nach rechts bis der gebrochen-rationale Anteil des Divisor Null ist. Dies entspricht einer Erweiterung des ruches Dividend um potenziert mit Anzahl der signifikaten 7 Divisor Nachkommastellen vom Divisor.. Durchführung der eigentlichen Division. Sie läuft nach dem Prinzip der schriftliche Division ab, wie sie in der Schule für das Dezimalsystem eingeführt wurde. Durch den folgenden Vergleich der schriftlichen Division in beiden Zahlensystem soll die Vorgehensweise verdeutlich werden: 6 Dividend:Divisior=Quotient 7 d. h. Nullen hinter der letzten Eins werden nicht mehr mitgezählt. 9

Aufgabe: 368,98:, <=> 3689,8:=307, 483-36 08-0 89-84 58-48 00-96 40-36 40 3 =36; stellenrichtig Subtraktion Dividend - Divisor ergibt 0 nächste Stelle runtergeholt => 08; 08 < Divisor => 0 im Ergebnis 0 =0; 8-0=8 nächste Stelle runtergeholt => 89; 89 > ; genauer > 7 =84 89-84=5; nächste Stelle runtergeholt ergibt 58. hier wird die Stelle direkt hinter dem Komma runtergeholt, deshalb muß auch im Ergebnis ein Komma notiert werden. Keine Ziffern mehr beim Dividend vorhanden, deshalb werden nun Nullen ergänzt. Achtung: Hat der Dividend kein Komma, so muß bei der ersten geholten Null ein Komma im Ergebnis gesetzt werden! Zweite Null geholt. Die 40 war bereits Ausgangszahl für eine Division, somit liegt hier eine Periodizität vor. In der Regel wird das Ergebnis nur bis zu einer bestimmten Nachkommastellenanzahl berechnet. Aufgabe: erechne 0,0:0000,0 für V--Darstellung mit n=5 und m= 30

: 0,0:000, 0 <=> 00,:0=0,0-0 00-0 000-0 00-0 000-0 Schritt : Kommaverschiebung (s.o.), sowie führende und angehängte Nullen des Divisor gestrichen => 0=0; stellenrichtig Subtraktion Dividenden - Divisor ergibt 0 nächste Stelle runtergeholt => 00; 00 < Divisor => 0 im Ergebnis 0 0=0; 00-0=00 nächste Stelle runtergeholt => 000; 000 > 0 => Divisor 0=0; 000-0=00; nächste Stelle runtergeholt ergibt 0. hier wird die Stelle direkt hinterm Komma runtergeholt, deshalb muß auch im Ergebnis ein Komma notiert werden. Keine Ziffern mehr beim Dividenden vorhanden, deshalb werden nun Nullen ergänzt. Achtung: Hat der Dividend kein Komma, so muß bei der ersten geholten Null ein Komma im Ergebnis gesetzt werden! Zweite Null geholt. Da nur m= Nachkommastellen dargestellt werden, wird die erechnung an dieser Stelle beendet. Das Ergebnis entspricht somit nicht genau dem zu berechnenden Quotienten. Die Vorzeichenbetrachtung erfolgt wie bei der Multiplikation mit einer modulo Addition. V: +0=0 => Das Ergebnis-Datenwort lautet wie folgt: Ergebnis: 0 00,0 Ergebnis der etragsrechnung Ergänzung zur gegebenen Stellenanzahl Im Rechner läuft die Division ähnlich ab. Das versetzt Untereinanderschreiben des Divisor wird dabei durch ein Shiften des Divisor-Datenwort erzielt. Die notwendigen Subtraktionen werden in Komplementdarstellung durchgeführt. Somit läßt sich auch die Division, obwohl sie die komplizierteste Grundrechenart ist, auf die Addition zurückführen. 3

7.4 Gleitkommazahlen Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Die Festkommadarstellung weist vor allem im mathematischnaturwissenschaftlichen ereich Grenzen auf, die eine vernünftige Anwendung ausschließt, denn oftmals muß ein großer Zahlenbereich abgedeckt werden, wobei die Zahlengenauigkeit auf einige Dezimalstellen beschränkt sein darf. Die Gleitkommazahlen lösen dieses Problem, erfordern allerdings auch eine völlig neue Arithmetik. 7.4. Darstellungsform Für die Darstellung von Gleitkommazahlen sind prinzipiell zwei verschiedene Formen üblich, wobei die rechnerinterne Realisierung im Detail variieren kann. 7.4.. Normalisierte halblogarithmische Form Jede Zahl Z kann in folgende Form gebracht werden: Z E M wobei: M: Mantisse. asis E: Exponent Dies bedeutet, daß die Festkommazahl 0,000968 beispielsweise als +9680-7 geschrieben werden kann, aber auch als 9,680-5. Für Dualzahlen gilt entsprechendes: 0,000000 = +0,0-5 = +0, -7 = +0-9 Anmerkung: Für die in der halblogarithmischen Form verwendete asis muß nicht zwangsläufig die asis des zugrunde liegendem Zahlensystems angesetzt werden. Im Dualsystem wird zwar für meist die asis des Systems, also genommen, allerdings kann alternativ auch 8 oder 6 gewählt werden. 3

Die folgende Abbildung zeigt die resultierende rechnerinterne Darstellung: VE (etrag) Exponent E (Stellenanzahl e) VE = Vorzeichen des Exponenten VM = Vorzeichen der Mantisse VM (etrag) Mantisse M (Stellenanzahl m) Die Festlegung des Vorzeichenbits entspricht der Konvention, wie sie bereits für die V--Darstellung eingeführt wurde. ei dieser Darstellungsform wird also sowohl der Exponent E als auch die Mantisse M mittels der V--Darstellung repräsentiert. Der Exponent ist stets eine ganze Zahl, während die Mantisse auch einer gebrochen-rationalen Anteil entsprechen kann. Um die Position des Kommas von der Mantisse M nicht speichern zu müssen, wird eine Normierung vorgenommen. Dabei wird (meist) der Exponent E so gewählt, daß für die Mantisse M für eine Zahl Z 0 die folgende edingung gilt: M Dies bedeutet für das Dualsystem, daß die erste Stelle hinter dem Komma ungleich 0, d.h. gleich sein muß. Aus der Festlegung "erste Nachkommastelle = " kann als Einsparung abgeleitet werden, daß diese Stelle (das hidden bit) in Rechnersystemen nicht explizit gespeichert werden muß. Folglich ist die Speicherung der Ziffernfolge ab der zweiten Nachkommastelle der Mantisse völlig ausreichend. eispiel: Z = - 0,000 0 (= -0,000 00 = -0,000 000 ) wird dargestellt: ohne hidden bit 0 0 0 0 0 0 mit hidden bit 0 0 0 0 0 0 0 33

VE (etrag) Exponent E (e = 4) Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern VM (etrag) Mantisse M (m = 6) Im Allgemeinem ergibt sich für die duale Gleitkommazahl Z bei = und ohne Verwendung eines hidden bits mit den oben eingeführten Parametern der folgende absolute Wertebereich: e Z m e Die größtmögliche Genauigkeit (betraglich kleinste Differenz zweier "benachbarten", darstellbaren Zahlen) ergibt sich dabei zu: e ( m ) Anschaulich: Die betragsmäßig kleinste darstellbare Gleitkommazahl Z mit e = 4 und m = 6 lautet: min ohne hidden bit 0 0 0 0 0 VE Exponent E VM Mantisse M Z min M E 0, 4 Z min e Allgemein: e e Die betragsmäßig größte darstellbare Gleitkommazahl e = 4 und m = 6 lautet: Z max mit ohne hidden bit 0 VE Exponent E VM Mantisse M 34

Z max M E 0, 4 m Allgemein: Z max e Die größtmögliche Genauigkeit (betraglich kleinste Differenz zweier "benachbarten", darstellbaren Zahlen) ergibt sich dabei zu: (m) e Anschaulich: Die größtmögliche Genauigkeit Differenz zwischen der zweitkleinsten Zahl kleinsten Zahl G max ist die Z und der. min Z min. Für e = 4 und m = 6 lauten Z. min ohne hidden bit 0 0 0 0 VE Exponent E VM Mantisse M und Z min ohne hidden bit 0 0 0 0 0 VE Exponent E VM Mantisse M Allgemein: Z min e Z.min m e 35

36 e e e e e m m m m min.min max Z Z G

7.4.. IEEE-Standard Die zweite (heute übliche und im weiteren Verlauf ausschließlich betrachtete) Form der Gleitkommadarstellung entspricht dem 985 verabschiedeten Institute of Electrical and Electronics Engineers-Standard. (Dieser befaßt sich mit der Normung der Rechnerarithmetik und enthält Festlegungen zu Formaten, dem Rundungsverhalten, der Konvertierung von Zahlenwerten u.v.m.) Dort wird für die Gleitkommazahl folgende Form festgelegt: V Charakteristik C (Stellenanzahl c) V = Vorzeichen der Mantisse (etrag) Mantisse M (Stellenanzahl m) Die Charakteristik C wird aus dem Exponent E durch Addition einer geeigneten Konstante KE gebildet: C E K. Diese Konstante wird so gewählt, daß für die Charakteristik nur noch positive Werte auftreten, somit muß beim Exponenten nicht mehr zwischen Vorzeichen und etrag differenziert werden. Diese Art der Zahlendarstellung wird Exzessform genannt. Als geeignete Wahl von KE ergibt sich für einen Exponenten E mit e Stellen: E K E e Die Konvertierung einer Dezimalzahl in eine Gleitkommazahl im Dualsystem erfolgt in drei Schritten:.) Umwandlung der Dezimalzahl in eine Festkommazahl.) Normierung der Mantisse 3.) erechnung der Charakteristik 37

Die Konvertierung von beliebigen Dezimalzahlen liefert einen Konvertierungsfehler FK. Er gibt den maximalen Fehler (worst case) an, der bei der Konvertierung einer beliebigen Dezimalzahl in eine mit m Mantissenstellen dargestellten Gleitkommazahl auftreten kann. Er wird wie folgt berechnet: F k m m Anschaulich:.................. - -...... -m............ 0 VE Exponent E VM Mantisse M m m Umgekehrt kann so bei vorgegebener Genauigkeit die erforderliche Mantissenstellenzahl bestimmt werden: m F k ld F m k m ld Fk eispiel: Gegeben ist ein Genauigkeit von F K 0% = 0, m = [-ld 0, - ] = [3, - ] =, => mindestens m = 3 Mantissenstellen werden benötigt. 7.4..3 Addition und Subtraktion Gegeben seien die zwei normierten Gleitkommazahlen Z und Z in Exzessform (m = 7, c = 3): Z = V,M C = 0,0000 0 Z = V,M C =,0000 0 38

Zur Addition bzw. Subtraktion sind folgende vier Schritte durchzuführen:.) Abgleich der Charakteristiken. Damit die Mantissen stellenrichtig addiert bzw. subtrahiert werden können, müssen zunächst die Charakteristiken der beiden Zahlen abgeglichen werden. Die Charakteristiken C und C differieren um C - C = 0-0 = -0 = 30, somit muss das Komma der Mantisse M um 3 Stellen nach links verschoben werden. Z lautet dann 0,0000 0. Weiterführende Frage: Die Angleichung der Charakteristiken wird i.d.r. durch Linksverschieben des Kommas in der Mantisse der Zahl mit kleinerer Charakteristik vorgenommen. Überlege Dir, was alternative mit der Mantisse der Zahl größerer Charakteristik gemacht werden müßte und ob sich dieses Verfahren für die folgenden Schritt genau so gut eignet..) Umformung der beiden Mantissen und deren Vorzeichen in die -Komplement-Darstellung. Zur einfacheren Addition bzw. Subtraktion werden die beiden Mantissen und deren Vorzeichen in die -Komplement-Darstellung umgeformt. ei der Subtraktion muss zusätzlich nach Umformung des Subtrahend in -Komplement-Darstellung hiervon noch das -Komplement gebildet werden, um die Subtraktion wie üblich in eine Addition der negativen Zahl zu überführen. V,M = 0,0000 identische Darstellung in V--Darst., da positive Zahl V,M =,0000,000 in -Komplement-Darst. 3.) Durchführen der Addition in -Komplement-Darstellung. 4.) Umwandlung des Ergebnis in V--Darstellung und ggf. Normierung. Anmerkung: ei der erechnung ist nicht nur zu überlegen, 39

ob das Ergebnis, d.h. in diesem Fall die Charakteristik bei gegebener Stellenzahl noch dargestellt werden kann, sondern auch, ob durch die vor der Addition notwendig Verschiebung der Mantisse nicht alle signifikaten Stellen aus dieser geschoben werden und somit das Ergebnis stark verfälschen. 7.4..4 Multiplikation und Division Die Multiplikation oder Division zweier Gleitkommazahlen kann ohne vorheriges Angleichen der Charakteristiken erfolgen. Sie unterteilt sich folgende drei Schritte:.) Die Mantissen der Operanden werden multipliziert (durcheinander dividiert)..) Die Charakteristik des Ergebnisses wird berechnet: Multiplikation: E + E := E3 => C3 = KE + E3 C + C = (KE + E) + (KE + E) - KE C + C - KE = KE + (E + E) C + C - KE C + C - KE = KE + E3 = C3 Division: E - E := E3 => C3 = KE + E3 C - C = (KE + E) - (KE + E) C - C = E - E + KE C - C + KE = (E - E) + KE C - C + KE = KE + E3 40

C - C + KE = C3 Weiterführende Frage: Die Addition und Subtraktion der Charakteristiken verläuft nicht nach den selben Regeln wie sie im Kapitel Rechnen mit Dualzahlen für die in Komplementdarstellung gegebener Zahlen eingeführt wurden. Dies liegt darin begründet, daß die Exzessform der itfolge in ganz anderer Art Dezimalzahlen zuordnet als die bisher betrachteten Darstellungsformen. Überlege, ob es möglich ist für das Rechnen in der Exzessform ebenfalls Regeln zu finden, so daß das Ergebnis korrekt ist und Wertebereichsüberschreitungen direkt abgelesen werden können. 3.) Normalisierung des Ergebnisses durch Verschieben des Kommas. ei allen Rechenarten können im dritten Schritt Verarbeitungsfehler durch die egrenzung des Ergebnisformats entstehen. 4