Vertiefungsbox Nachfragekurve: Nutzen und Budget

Vertiefungsbox Nachfragekurve: Nutzen und Budget Motivation In dieser Vertiefung wollen wir untersuchen, wie die individuelle Nachfrage kurve hergeleitet wird. Im Gegensatz zur Analyse der aggregierten (sprich: gesamtwirtschaftlichen) Nachfragekurve (siehe Buch, Seite 41 ff.), beschränken wir uns hier also auf die Entscheidung einer einzelnen Person. Die gesamtwirtschaftliche Nachfrage ergibt sich aus der Summe aller individuellen Nachfragen: Je mehr Nachfrager es gibt, desto höher ist die nachgefragte Menge. Die gesamtwirtschaftliche Nachfragekurve verschiebt sich also nach rechts, wenn die Anzahl Nachfragerinnen und Nachfrager steigt. Wie konstituiert sich aber die individuelle Nachfragekurve? Lassen Sie uns dazu mit einem Beispiel beginnen. Nach dem Frühstück entscheiden Sie sich manchmal einen Kaffee zu trinken. Wahrscheinlich hatten Sie auch schon einen Tag, an dem Sie einen zweiten genommen haben. Haben Sie aber schon einmal drei, vier oder fünf Kaffees nacheinander getrunken? Auf den ersten Blick erscheint die Wahl der Anzahl Kaffees als eine ganz natürliche Angelegenheit. Welche ökonomischen Konzepte stecken aber hinter Ihrer Entscheidung? Diese Vertiefungsbox beschäftigt sich mit der Idee des abnehmenden Grenznutzens und der daraus resultierenden Form und Steigung der Nachfragekurve. Nachdem Sie diese Box durchgearbeitet haben, sollten Sie erklären können, wie die Krümmung der Nachfragekurve mit Ihren Vorlieben zusammenhängt. Grafik 1: Abnehmender Grenznutzen 1

Nachfragekurve: Nutzen und Budget Grafik 2: Konkave Funktion Viele sagen, dass der erste Kaffee des Tages der Beste sei. Und kaum jemand behauptet, dass der fünfte Kaffee mehr bringt als der erste. Ökonomen sprechen in diesem Zusammenhang vom Prinzip des abnehmenden Grenznutzens: Der zusätzliche Nutzen (Grenznutzen) einer konsumierten Einheit nimmt mit der Anzahl bereits konsumierten Einheiten ab. Grafisch können wir das Prinzip des abnehmenden Grenznutzens mit einer konkaven 1 Nutzenfunktion abbilden. Der Zusatznutzen des fünften Kaffees ist zwar noch immer positiv, aber kleiner als der Zusatznutzen des zweiten Kaffees. Tabelle 1 Zahlungsbereitschaft Durchschnittliche ZB pro Kaffee Kaffee 1 5.50 Franken 5.50 Franken Kaffee 2 4.50 Franken 5.00 Franken Kaffee 3 3.75 Franken 4.60 Franken Kaffee 4 3.25 Franken 4.25 Franken Kaffee 5 3 Franken 4 Franken Die Steigung der Nachfragekurve hängt mit dem Prinzip des abnehmenden Grenznutzens zusammen. Überlegen Sie sich dazu Folgendes: Wieviel würden Sie nach dem ersten Kaffee für den zweiten bezahlen? Und wieviel nach dem vierten für den fünften? Bestimmt würden Sie deutlich mehr für den zweiten bezahlen als für den fünften, weil der zweite Kaffee Ihnen mehr Zusatznutzen bringt als der 1 Eine konkave Funktion zeichnet sich dadurch aus, dass der durchschnittliche Funktionswert zweier x-werte (A) kleiner ist als der Funktionswert am Durchschnitt der beiden x-werte (B). Oder einfach ausgedrückt: Wenn Sie eine Linie durch den Funktionswert bei x=2 und den Funktionswert bei x=5 ziehen, kommt diese unterhalb der Funktion zu liegen. 2

fünfte. Ihre Zahlungsbereitschaft für einen zusätzlichen Kaffee ist also tiefer, je mehr Kaffee Sie bereits zu sich genommen haben. Weil auch die durchschnittliche Zahlungsbereitschaft pro Kaffee mit der Anzahl Kaffees sinkt (siehe Tabelle 1), ist die Nachfragekurve abwärtsgeneigt. Weshalb aber ist sie gekrümmt? Grafik 3: Positiver Nutzen: Kaffee und Ovomaltine Stellen Sie sich nun vor, dass Sie sich zwischen Kaffee und Ovomaltine entscheiden müssen. Beide Güter haben (in einem sinnvollen Bereich, sagen wir: bis 10 Einheiten) einen positiven, aber abnehmenden Grenznutzen. In anderen Worten: Jeder zusätzliche Kaffee und jede zusätzliche Ovomaltine stiftet Ihnen einen positiven Zusatznutzen. Dieser nimmt aber mit der Anzahl bereits konsumierter Getränke ab. Die Grafik oben zeigt alle Kombinationen von Ovo und Kaffee, die Ihnen einen bestimmten Nutzen (U1) generieren. Drei Kaffees und eine Ovo (Punkt A) sind Ihnen gleichviel Wert wie 1 Kaffee und 3 Ovos (Punkt B). Weil der Grenznutzen beider Produkte positiv ist, stellt eine Indifferenzkurve weiter aussen ein höheres Nutzenniveau dar. Alle Kombinationen auf der Linie U2 generieren Ihnen also mehr Nutzen als die Kombinationen auf der Indifferenzkurve U1. Sie werden sich vielleicht fragen, was das Wort «Indifferenzkurve» genau bedeutet. Die Antwort ist einfach: Alle Güterbündel auf einer Indifferenzkurve gehen mit demselben Nutzen einher. In unserem Beispiel ist es Ihnen egal, ob sie drei Kaffees und eine Ovo oder einen Kaffee und drei Ovos haben. Per Definition liegen die beiden Punkte deshalb auf derselben Indifferenzkurve. Die Indifferenzkurven sind gekrümmt, weil die beiden Güter (Kaffee und Ovo) abnehmende Grenznutzen aufweisen. Überlegen Sie sich dazu Folgendes: Wenn Sie sich im Punkt A befinden und einen Kaffee aufgeben, müssen Sie nur ungefähr 2/3 Ovo erhalten, um Ihren Nutzen konstant zu halten. Wenn Sie sich demgegenüber im Punkt D befinden und einen Kaffee aufgeben, müssen Sie mit deutlich mehr Ovomaltine entschädigt werden, um dasselbe Nutzenniveau halten zu können. Die Aufgabe eines Kaffees ist also teurer, wenn Sie nur zwei (D) statt drei (A) Kaffees zur Verfügung haben. Anders gesagt: Der Zusatznutzen des dritten Kaffees ist kleiner als der Zusatznutzen des zweiten Kaffees. 3

Nachfragekurve: Nutzen und Budget Das Prinzip des abnehmenden Grenznutzens führt dazu, dass sie möglichst beide Güter konsumieren wollen. In unserem Fall ist der Zusatznutzen der zweiten Ovo grösser als der Zusatznutzen des dritten Kaffees. Deshalb ist es im Punkt A optimal, einen Kaffee für eine Ovo aufzugeben. Durch einen solchen Tausch würde Ihr Gesamtnutzen erhöht (Sie sprängen von A nach C, das auf einer höheren Indifferenzkurve liegt). Hätten Sie Ihren Nutzen lediglich konstant halten wollen, wären nur rund 2/3 einer Ovo als Gegenleistung für den aufgegebenen Kaffee ausreichend gewesen (Punkt D, siehe oben). Grafik 4: Tauschwerte I Grafik 5: Tauschwerte II 4

Bisher haben wir nur von relativen Mengenverhältnissen gesprochen. Wodurch wird aber die absolute Anzahl Kaffees und Ovos bestimmt? Welcher Mechanismus legt fest, dass Sie beispielsweise nur je 2 Einheiten konsumieren und nicht je 10 Einheiten? Aus Ihrem Alltag wissen Sie, dass Sie nicht mehr einkaufen können, als Sie Geld (oder andere Tauschmittel) zur Verfügung haben. Ökonomen nennen diese Einschränkung eine Budgetrestriktion. Wenn beide Güter gleichviel Kosten, ist die Budgetrestriktion eine 45-Grad-Gerade, die folgende Maximal-Konsumptionen zulässt: entweder acht Kaffees und null Ovos (das gesamte verfügbare Einkommen wird für Kaffee ausgegeben, Punkt D), null Kaffees und acht Ovos (Punkt E) oder alle linearen Kombinationen davon (beispielsweise 2 Kaffees und 6 Ovos, Punkt F). Gegeben diese Einschränkung, versuchen Sie nun, den höchstmöglichen Nutzen zu generieren. Dieser wird erreicht, indem Sie die Indifferenzkurve gerade soweit nach aussen schieben, bis diese die Budgetgerade nur noch in einem (Tangential-)Punkt berührt (Punkt G). Technisch käme dies einer Maximierung unter einer Nebenbedingung (der Budgetrestriktion) gleich. Stellen Sie sich nun vor, dass sich der Preis von Kaffee verdoppelt. Neu können Sie also entweder null Ovos und vier Kaffees (Punkt H), null Kaffees und acht Ovos (Punkt E) oder alle linearen Kombinationen davon (beispielsweise einen Kaffee und sechs Ovos, Punkt I) kaufen. Durch die Preisänderung des Kaffees hat sich die Budgetgerade nach innen verschoben. Sie können nicht länger das vormals optimale Konsumbündel (G) konsumieren, weil dieses zu teuer wäre. Optimal ist unter den neuen Bedingungen Punkt J. Wenn der Preis von Kaffee sogar noch weiter steigen würde, wäre Punkt K nutzenmaximierend. Wenn Sie die Punkte G, J und K verbinden, erhalten Sie eine gekrümmte Funktion. Das optimale Verhältnis von Ovo und Kaffee ist also aufgrund des abnehmenden Grenznutzens nicht linear sondern konvex 2. Grafik 6: Gekrümmte Funktion 2 Eine konvexe Funktion zeichnet sich dadurch aus, dass der durchschnittliche Funktionswert zweier x-werte grösser ist als der Funktionswert am Durchschnitt der beiden x-werte. Oder einfach ausgedrückt: Wenn Sie eine Linie durch den Funktionswert bei x=6 und den Funktionswert bei x=4 ziehen, kommt diese oberhalb der Funktion zu liegen. 5

Nachfragekurve: Nutzen und Budget Zur Vereinfachung wollen wir zum Schluss annehmen, dass eine Ovo genau einen Franken kostet. Dadurch können wir die Anzahl Ovos auf der Y-Achse durch den Frankenpreis von Kaffee ersetzen. Das optimale Verhältnis von Anzahl Ovos und Anzahl Kaffees überträgt sich so auf das optimale Verhältnis von Preis und Anzahl Kaffees. Die Beziehung zwischen den Grössen Preis und Menge nennen wir Nachfragekurve. Wie das optimale Verhältnis zwischen Ovo und Kaffee ist die Nachfragekurve im Normalfall aufgrund des abnehmenden Grenznutzens der meisten Güter nicht nur negativ geneigt sondern auch konvex. 6

Übungsmaterial 1 1) Erklären Sie, wie die Zahlungsbereitschaft und der Grenznutzen zusammenhängen. Wie verändert sich Ihr Gesamtnutzen, wenn die Zahlungsbereitschaft nicht länger gleich hoch wie der Grenznutzen ist, sondern darüber liegt? Nutzen Sie zur Beantwortung dieser Frage die Grafik 2. Optimalerweise sind die Zahlungsbereitschaft für ein Gut (sagen wir: Cola) und der Grenznutzen desselben Gutes gleich hoch. Die Zahlungsbereitschaft entspricht in unserem Beispiel dem Preis oder der Anzahl anderer Güter, die Sie für eine zusätzliche Cola bereit sind aufzugeben. Ist die Zahlungsbereitschaft höher als der Grenznutzen, reduziert sich der Gesamtnutzen aus Ihrem Konsumbündel relativ zur Ausgangsposition (Punkt A). Grafisch zeigt sich das darin, dass Sie «zuviel» des Alternativgutes aufgeben, um eine zusätzliche Cola zu erhalten (Punkt B). 2) Wie ist die Nachfragekurve geneigt, wenn der Grenznutzen nicht abnehmend, sondern konstant ist? Nutzen Sie zur Beantwortung der Frage die Tabelle 1. Zahlungsbereitschaft Durchschnittliche ZB pro Kaffee Kaffee 1 5 Franken 5 Franken Kaffee 2 5 Franken 5 Franken Kaffee 3 5 Franken 5 Franken Kaffee 4 5 Franken 5 Franken Kaffee 5 5 Franken 5 Franken Die durchschnittliche Zahlungsbereitschaft für Kaffee ist bei jeder Kaffeemenge gleich hoch. Sie sind also bei jeder bereits konsumierten Kaffeemenge bereit, 5 Franken für einen weiteren Kaffee zu bezahlen. Der Grund liegt darin, dass der Zusatznutzen eines Kaffees immer 5 Franken beträgt, also nicht mit der Anzahl bereits konsumierter Kaffees abnimmt. Die Nachfragekurve ist in diesem Fall horizontal. 7

Nachfragekurve: Nutzen und Budget 3) Stellen Sie sich vor, Sie befänden sich auf der Indifferenzkurve U1 in Grafik 2. Hier sind Sie indifferent zwischen dem Konsumbündel drei Kaffees und eine Ovomaltine (Punkt A) und dem Konsumbündel ein Kaffee und drei Ovomaltinen (Punkt B). Welches Produkt ist Ihnen unter diesen Umständen wertvoller? Wie verändert sich Grafik 2, wenn ein Produkt wertvoller als das andere ist? Die beiden Güter sind Ihnen gleich wertvoll. Um Ihr Nutzenniveau konstant zu halten, können Sie in jedem Punkt auf der Indifferenzkurve U1 einen Kaffee für eine Ovomaltine tauschen. Wäre dieses Verhältnis nicht 1:1, wäre ein Produkt wertvoller als das andere. In einer solchen Situation wäre die Indifferenzkurve entweder steiler (Kaffee ist wertvoller) oder flacher (Ovomaltine ist wertvoller) als in unserem Beispiel. Wäre also Kaffee wertvoller, müssten Sie zwei Ovomaltinen für einen Kaffee erhalten, um Ihr Nutzenniveau konstant zu halten. In diesem Fall ist Ihnen Kaffee doppelt so wertvoll wie Ovomaltine. 8

Übungsmaterial 2: Anspruchsvoll 4a) Grafik 3 zeigt die Nutzenmaximierung unter der vorgegebenen Budgetrestriktion. Weshalb ist es ineffizient, nicht das gesamte Budget für Kaffee und Ovomaltine auszugeben? Beantworten Sie die Frage grafisch und intuitiv. Die obenstehende Grafik zeigt die Budgetrestriktion (die blaue 45-Grad-Gerade) sowie den Bereich, in welchem das Budget nicht gänzlich ausgeschöpft wird (das blaue Dreieck). Innerhalb dieses Dreiecks generieren alle (!) möglichen Konsumbündel ein tieferes Nutzenniveau (siehe beispielsweise Punkt B und Punkt C). Die Ineffizienz kommt daher, dass nicht alle Ressourcen (sprich: nicht das gesamte Einkommen) dazu eingesetzt werden, nutzengenerierende Güter zu beschaffen. 4b) Die Steigung der Budgetrestriktion zeigt den relativen Preis zwischen Ovomaltine und Kaffee. Was aber bestimmt, wie weit «aussen» die Budgetrestriktion zu liegen kommt? Versuchen Sie, die Budgetrestriktion mit einer Formel der Form # Ovomaltine =... zu beschreiben. Nutzen Sie C 1 = # Kaffee und C 2 = # Ovomaltine. Die Höhe des Einkommens bestimmt, wie weit aussen die Budgetrestriktion zu liegen kommt. Betrachten Sie dazu die Extrempunkte A und B. In diesen wird das gesamte Einkommen (Y) entweder für Kaffee (C 1 ) oder Ovomaltine (C 2 ) ausgegeben. Konsequenterweise verschiebt sich die Budgetrestriktion also nach aussen, wenn unser Einkommen steigt. P bezeichnet den Preis der jeweiligen Güter. P 1 C 1 + P 2 C 2 = Y C 2 = 1 P 2 (Y P 1 C 1 ) 9

Nachfragekurve: Nutzen und Budget 4c) Nehmen Sie folgende Nutzenfunktion und Budgetrestriktion an und maximieren Sie über die Grössen C 1 (Kaffee) und C 2 (Ovomaltine). Zeigen Sie, dass die Nachfragen nach C 1 und C 2 die unten gegebene Form annehmen. Nutzenfunktion U = ln(c 1 ) + ln(c 2 ) Budgetrestriktion P 1 C 1 + P 2 C 2 = Y Nachfrage C 1 C 1 = Nachfrage C 2 C 2 = 1 2P 1 1 2P 2 In einem ersten Schritt werden die Optimalitätsbedingungen (englisch: first order conditions, FOC) bezüglich C 1 und C 2 berechnet. wird dabei als Lagrange-Multiplikator genutzt. Gleichsetzen und Einsetzen in die Budgetrestriktion erlauben die Herleitung der Nachfragefunktionen. 1 C 1 = P 1 FOC wrt C 1 1 C 2 = P 2 FOC wrt C 2 4d) Verwenden Sie die Nutzenfunktion um zu zeigen, dass die Indifferenzkurve wie folgt repräsentiert werden kann. Was ist U? Indifferenzkurve C 2 = exp(u ln(c 1 )) Die Indifferenzkurve kann hergeleitet werden, indem die Nutzenfunktion nach C 1 aufgelöst wird. U zeigt ein mögliches Nutzenniveau. Anstatt (wie in Grafik 2) zu vermerken, dass das Nutzenniveau auf der Indifferenzkurve U1 grösser ist als das Nutzenniveau auf der Kurve U2, kann der Nutzen auch in der dritten Dimension abgebildet werden: 10

4e) Wie hängt eine Verschiebung der Nachfragekurve mit einer Verschiebung der Budgetrestriktion zusammen? In Aufgabe 4b) haben wir gezeigt, dass die Budgetrestriktion nach aussen geschoben wird, wenn das Einkommen steigt. Von Aufgabe 4c) wissen wir, dass eine Einkommenserhöhung mit einer höheren Nachfrage einhergeht. In anderen Worten: Bei jedem gegebenen Preis erhöht sich die Nachfrage nach beiden Gütern. Die Nachfragekurve verschiebt sich also nach aussen. 11