Ausgewählte Kpitel der Geometrie 3 Hperbolische Geometrie [... ] Im Folgenden betrchten wir nun spezielle gebrochen-linere Abbildungen, nämlich solche, für die (mit den Bezeichnungen ϕ,b,c,d wie oben die Prmeter, b, c, d R sind, so dss gilt: d bc 1. Der folgenden Stz liefert uns einige Eigenschften von gebrochen-lineren Abbildungen, mit Hilfe derer wir Kongruenz von Strecken Winkeln im Poincré-Modell der oberen Hlbebene definieren können. Stz 3.11. Sei ϕ,b,c,d : z z+b cz+d eine gebrochen-linere Abbildung. Ist (, b, c, d R 4 mit d bc 1, so liefert ϕ,b,c,d eine bijektive Abbildung der oberen Hlbebene in sich. Ist (, b, c, d R 4 mit d bc 1 ϕ,b,c,d (( 1 ( 1, so ist d c b. Sind P, Q Punkte in der oberen Hlbebene mit P Q, so gibt es (, b, c, d R 4 mit d bc 1, so dss ( ϕ,b,c,d (P 1 mit 1 > 1. ( ϕ,b,c,d (Q [Diese Abbildung ist eindeutig, denn es gilt:] Ist ϕ,b,c,d eine gebrochen-linere Abbildung mit (, b, c, d R 4 d b c 1 sowie ( ϕ,b,c,d (P 1 1 ϕ,b,c,d (Q ( 2 mit 2 > 1, so ist (, b, c, d (, b, c, d oder (, b, c, d (, b, c, d. (ohne Beweis Einige Kommentre: Zum ersten Punkt: Dss die Abbildung ϕ,b,c,d eine bijektive Abbildung bildet, hben wir bereits in Stz 3.1 gesehen. Allerdings ist die Abbildung ϕ,b,c,d im Fll c nicht uf gnz C definiert, ihr Bild ist uch nicht gnz C. Es fehlt jeweils ein Punkt, so dss wir diese beiden ufeinnder bbilden können, um eine bijektive Abbildung C C zu 1
Wintersemester 212/13 erhlten. Dss die Abbildungen die obere Hlbebene in sich überführen, hben wir bereits uf Übungsbltt 8, Aufgbe 3, gesehen. Zum dritten Punkt: Die Abbildung ϕ,b,c,d für lle, b, c, d, z C. z + b cz + d ( 1 (z + b ( 1 (cz + d ist dieselbe wie ϕ,b,c,d, denn es ist: z + ( b cz + ( d Der folgende Stz zeigt uns, dss Gerden uf Gerden bgebildet werden, die Zwischenreltion erhlten bleibt, weiterhin, dss es genu eine der Abbildungen gibt, die wir betrchten, die Strhlen in entsprechende Strhlen überführen. { (x } Stz 3.12. Sei E : R 2 >, G : G 1 G 2 wie oben Z : Z 1 Z 2 wie oben, ϕ,b,c,d eine gebrochen-linere Trnsformtion (Bez. wie oben. Dnn gilt: Ist (, b, c, d R 4 mit d bc 1 g G, so ist ϕ,b,c,d (g G. Ist (, b, c, d R 4 mit d bc 1 (P, Q, R Z, so ist (ϕ,b,c,d (P, ϕ,b,c,d (Q, ϕ,b,c,d (R Z. Sind P, Q, P, Q E, P Q P Q, so gibt es genu eine gebrochen-linere Abbildung ϕ,b,c,d mit (, b, c, d R 4 d bc 1, so dss gilt: ϕ,b,c,d (P P ϕ,b,c,d (S(P, Q S(P, Q, wobei S(P, Q den Strhl usgehend vom Punkt P in Richtung Q bezeichnet (S(P, Q entsprechend. (ohne Beweis Folgerung 3.13. Sind P, P Punkte g, g Gerden in der oberen Hlbebene mit P g P g, so gibt es (, b, c, d R 4 mit d bc 1, so dss ϕ,b,c,d (P P ist. ϕ,b,c,d (g g Wir definieren jetzt die Kongruenz von Strecken Winkeln in der oberen Hlbebene: 2
Ausgewählte Kpitel der Geometrie Definition 3.14. E, G Z wie oben, ϕ,b,c,d gebrochen-linere Trnsformtion (Bez. wie oben. Eine Strecke ist gegeben durch zwei Punkte P, Q E. Wir sgen, dss zwei Strecken (P, Q, (P, Q E E kongruent sind, wenn es (, b, c, d R 4 mit d bc 1 gibt, so dss ϕ,b,c,d (P P ϕ,b,c,d (Q Q ist. Wir schreiben: (P, Q (P, Q. Dieses liefert eine Äquivlenzreltion uf E E. 1 Definition 3.15. E, G Z wie oben, ϕ,b,c,d gebrochen-linere Trnsformtion (Bez. wie oben. Ein Winkel ist gegeben durch drei Punkte P, Q, R E, die nicht uf einer Gerden liegen. Wir sgen, dss zwei Winkel P QR, P Q R E E E kongruent sind, wenn es (, b, c, d R 4 mit d bc 1 gibt, so dss ist weiterhin ϕ,b,c,d (Q Q ϕ,b,c,d (P S(Q, P ϕ,b,c,d (R S(Q, R oder ϕ,b,c,d (P S(Q, R ϕ,b,c,d (R S(Q, P ist. Wir schreiben: P QR P Q R. Dieses liefert eine Äquivlenzreltion uf der Menge der Winkel in der oberen Hlbebene. 1 Insbesondere brucht mn, um ds zu zeigen, Stz 3.1. Jede Strecke ist zu sich selbst kongruent (wähle ls Abbildung ϕ 1,,,1 ; ist eine Strecke kongruent zu einer nderen, so ist die ndere uch kongruent zu der einen (wähle hierzu ls gebrochen-linere Abbildung die Umkehrbbildung der benutzten gebrochenlineren Abbildung; ist eine Strecke kongruent zu einer zweiten die zweite zu einer dritten, so ist uch die erste kongruent zur dritten (wähle ls gebrochen-linere Abbildung die Hintereinnderschltung der beiden benutzten gebrochen-lineren Abbildungen. 3
Wintersemester 212/13 Bemerkung 3.16. Die Definition der Kongruenz von Strecken liefert uns eine Möglichkeit der Längenmessung in der oberen Hlbebene. Wenn zwei Punkte P, Q in der oberen Hlbebene gegeben sind, könnten wir den hperbolischen Abstnd zwischen den beiden Punkten ddurch definieren, dss wir uns eine gebrochen-linere Abbildung ϕ,b,c,d mit, b, c, d R d bc 1 nehmen, die P uf ( ( 1 Q uf 1 mit 1 > 1 bbildet, die nch Stz 3.11 existiert eindeutig ist. Den hperbolischen Abstnd würden wir dnn definieren ls den euklidischen Abstnd der beiden Bildpunkte ( ( 1 1. Nchteil dieser Definition ist, dss wir wirklich erst einml die Prmeter, b, c, d bzw. die gebrochen-linere Abbildung bestimmen müssten, die die Punkte entsprechend bbildet, uch nicht klr wäre, dss ds wirklich eine Abstndsfunktion liefern würde ds tut es nämlich nicht (s.. folgendes Kpitel!! 4 Längenmessung im Poincré-Modell der oberen Hlbebene Um Längen für Strecken in der oberen Hlbebene zu definieren, benutzen wir eine Konstruktion in den komplexen Zhlen, ds so gennnte Doppelverhältnis. Definition 4.1. Seien z 1, z 2, z 3, z 4 C mit {z 1, z 2 } {z 3, z 4 }. Dnn definieren wir ds Doppelverhältnis von z 1, z 2, z 3, z 4 durch DV(z 1, z 2, z 3, z 4 : z 1 z 3 z 2 z 3 : z 1 z 4 z 2 z 4 C. Beispiel 4.2. DV(1, 2, 1, 4 1 ( 1 2 ( 1 : 1 4 2 4 2 3 : 3 2 4 9 Bemerkung 4.3. Seien z 1, z 2, z 3, z 4 C mit {z 1, z 2 } {z 3, z 4 }. Dnn gilt: Beweis. Durchrechnen! DV(z 1, z 2, z 3, z 4 DV(z 2, z 1, z 3, z 4 1 DV(z 1, z 2, z 4, z 3 1. Wir wollen ds Doppelverhältnis nutzen, um hperbolische Längen zu definieren. D wir den Logrithmus uf ein Doppelverhältnis nwenden wollen, müssen wir sicherstellen, dss die Zhl, die wir erhlten, nicht nur komplex, sondern reell positiv ist. Der folgende Stz liefert eine Chrkterisierung der Bedingung: Stz 4.4. Seien z 1, z 2, z 3, z 4 C mit z 1 z 2 z 1 z 3 z 2, z 3, z 4 prweise verschieden. Dnn ist DV(z 1, z 2, z 3, z 4 R genu dnn, wenn gilt: 4
Ausgewählte Kpitel der Geometrie Es gibt z C r R, r >, so dss z j z r für lle j 1, 2, 3, 4 ist, wobei den euklidischen Abstnd bezeichnet, 2 oder es gibt, b, c R mit 2 + b 2, so dss gilt: für lle j 1, 2, 3, 4 3. Weiterhin gilt: DV(z 1, z 2, z 3, z 4 > genu dnn, wenn gilt: Re z j + b Im z j + c Es gibt einen Weg uf der Kreislinie, der die Punkte z 3 z 4 verbindet, ohne dss dieser Weg einen der Punkte z 1 oder z 2 trifft (im ersten Fll oben, oder z 3 z 4 liegen beide (euklidisch zwischen z 1 z 2 bzw. z 3 z 4 liegen beide nicht (euklidisch zwischen z 1 z 2 (im zweiten Fll oben. (ohne Beweis Wir nutzen nun ds Doppelverhältnis, um Abstände zwischen zwei Punkten P ( x 1 1 Q ( x 2 2 in der oberen Hlbebene zu definieren. (Dnn ist insbesondere 1 > 2 >. Definition 4.5. Flls wir zwei Punkte P Q wie oben hben, können wir sie ls Elemente in C uffssen. Nch dem ersten Inzidenzxiom gibt es, flls P Q ist, genu eine Gerde in der oberen Hlbebene, die diese beiden Punkte enthält. Diese betrchten wir. Entweder ist die Gerde nun von der zweiten Form, lso {( x g,r R 2 } (x 2 + 2 r, > mit, r R r >, oder sie ist von der ersten Form, flls x 1 x 2, lso {( } x g R 2 x, >, wobei x 1 R sein muss. Im ersten Fll definieren wir den hperbolischen Abstnd d zwischen P Q durch ( ( r + r d(p, Q : log DV(P, Q,,, im zweiten Fll dem Spezilfll, dss P Q ist, durch d(p, Q : log P ( Q (. 2 D. h., lle z j liegen uf einem euklidischen Kreis. 3 D. h., lle z j liegen uf einer euklidischen Gerden. 5
Wintersemester 212/13 Dmit die Definition sinnvoll ist, müssen wir sicherstellen, dss der Ausdruck, uf den wir den Logrithmus nwenden, positiv ist. Im ersten Fll können wir ds, d die beiden letzten Punkte diejenigen Punkte sind, wo die Kreislinie, uf der P Q liegen, die x-achse schneidet. Dmit hben wir uf der unteren Hälfte der Kreislinie einen Weg von ( ( r zu +r, der weder P noch Q trifft, denn die beiden Punkte P Q liegen j in der oberen Hlbebene, während die untere Hälfte der Kreislinie in der unteren Hlbebene liegt. Im zweiten Fll rechnet mn einfch durch: P ( ( ( Q ( 1 ( ( ( 2 ( 1 1 ( 1 2 2 ( 1 >, 1 2 d 1, 2 R 1, 2 > nch Vorussetzung. Der folgende Stz liefert nun, dss es sich bei der Definition des hperbolischen Abstndes ttsächlich um eine Abstndsfunktion hndelt, dss der so definierte Abstnd komptibel ist mit der Kongruenz von Strecken, wie wir sie definiert htten. Stz 4.6. Sei d wie oben definiert. Dnn gilt: d(p, Q für lle P, Q, die Punkte in der oberen Hlbebene sind, d(p, Q genu dnn, wenn P Q ist. d(p, Q d(q, P für lle P, Q, die Punkte in der oberen Hlbebene sind. d(p, Q d(p, R + d(r, Q für lle P, Q, R, die Punkte in der oberen Hlbebene sind. Weiterhin gilt: Sind P, Q, P, Q Punkte in der oberen Hlbebene, so ist d(p, Q d(p, Q genu dnn, wenn es (, b, c, d R 4 mit d bc 1 gibt, so dss ϕ,b,c,d (P P ϕ,b,c,d (Q Q ist, wobei ϕ,b,c,d die gebrochen-linere Abbildung z z+d cz+d bezeichnet. (ohne Beweis Der hperbolische Abstnd ist lso genu dnn gleich, wenn die entsprechenden Strecken kongruent sind. 6