Lösungsvorschläge zu den Aufgaben von Blatt : ) Matrizenprodukte ausführbar? Ergebnis? ausführbar: A B, B A, A C, C D, D C nicht ausführbar: C A 8 9 9 7 4 4 9 8 7 9 A B = A B B A = 8 9 9 7 4 4 9 8 7 9 4 9 7 8 7 6 5 6 4 7 7 8 4 4 A C = 9 7 8 7 C D = 7 7 8 4 4 D C = ( 6 5 6 ) ) Ausführbarkeit, Ergebnis? a) i) 4 + (( ) 4 ( )) 6 = 5 7 ( ) = 7 5
ii) nicht ausführbar : Zeilenzahl von iii) nicht ausführbar : b) i) Spaltenzahl von 4 5 7 4 7 5 Zeilenzahl von 4 (4,, ) ( 4 Spaltenzahl von 4 = Dies ist gleichzeitig das Skalarprodukt der beiden Vektoren (4,, ) und (,, ) (oder von (4,, ) und (,, ), wenn die Spaltendarstellung bevorzugt wird). ii) iii) (4,, ) = 4 4 9 4 8 6 4 4 iv) und v) sind nicht ausführbar, da die Verkettungsbed. nicht erfüllt ist. vi) 4 8 ( 4 (4, ) 4 8 ) ( ) = 8 4 )
c) ) x i := Marktanteil von A im Jahr i y i := Marktanteil von B im Jahr i z i := Marktanteil von C im Jahr i a) ( ( ) ( )) 4 (4, ) = 8 = 8 ( ) ( ) 4 4 (, ) = 8 m i := 4 4 9 8 x i y i z i, i =,, x = x.5 + y. + z. y = x. + y. + z.5 z = x. + y.5 + z. x = 7/, y = 4/, z = /.5.. m :=...5 m =: F m..5. b) m = F m =.5.....5..5. 7 4 = 4.6. 4. Kontrolle: x + y + z = m = F m = 4.6 +. + 4..5.....5..5. = = x + y + z 4.6. 4. = 4. 4..79
4. + 4. +.9 Kontrolle: x + y + z = = c) Marktanteile im Gleichgewichtszustand : x s, y s, z s x s y s z s! =: m s = I m s = F m s d.h. =! Fm s Im s = (F I)m s =.5.....5..5. Weitere Bedingung: x s + y s + z s = Dies führt zu dem gleich in Tableauform angebenen LGS: x s y s z s -.5....7.5..5.8 x s.7.8.5.9..... y s 5.5.5 4.65.55 4.65.55 z s 4) Rohstoffbedarf: m s = x s y s z s kurz m R := m R = m Z + m Z m R = m Z + m Z m R = 4 m Z + m Z m R4 = 4 m Z + m Z m R. m R4 = 4 4 ( mz m Z ) 4
analog b) m R = m R = 5 7 9 6 9 7 6 4 4 ( 4 5 m Z = 4 4 = m E = ) m E ( 4 5 5 7 9 6 9 7 6 4 4 m E 5 7 9 6 9 7 6 4 4 ) m E 5 5 = 45 45 565 49 c) Gesamtkosten = Rostoffkosten + Fertigungskosten = 45 + 5 45 + 565 + 5 49 + 98 + + 85 5 + 55 5 =.9 6. Die Produktsummen in den einzelnen Zeilen können als Skalarprodukte aufgefasst werden. 5) x x x - - -6 6-5 - - x - - - +4 8-4 8 x - 4-4 x - - 5
Die eindeutige Lösung des LGS ist somit: 6) a) Lösung: ( ) bei exakter Rechnung. 9 x x - -7-6 - 7 69 x 7 9 x -9 9 - b) Wir runden nun bei jedem Rechenschritt auf ganze Zahlen. Dabei sind die Werte bei denen die Rundung tatsächlich greift durch Anfügen des Dezimalpunktes gekennzeichnet: x x - -7-6 - 7 69 x.. 9 x -. -77.. - ( ) 77. Die Lösung, die wir bei Rundung auf ganze Zahlen nach jedem Rechenschritt. erhalten, ist also als Näherung für die wirkliche Lösung völlig un- brauchbar. 6
7) x x x x 4-4 -4 - - 4-4 x 4 - - 6-6 5 - x - - x, x sind frei wählbar. Die Dimension der Lösungmenge ist also = und die Lösungsmenge selbst besteht aus allen Linearkombinationen der ermittelten Fundamentallösungen (,,, ) und (,,, ) und ist also die lineare Hülle dieser Fundamentallösungen: L = t + t t, t R Die zweite und dritte Zeile im zweiten Tableau können gestrichen werden, da sie sich aus der ersten Zeile durch Multiplikation mit bzw. mit 5 ergeben und somit keine neue Information liefern. Die Dimension der Lösungsmenge ist gleich der Zahl der benötigten Fundamentallösungen und damit =. 7
8) x x x x 4 s u - - - - 5 - - - 4 5 - - x - - - - 5 - - - 9-7 5 x + - -8 4 4 5-8 5 x 4.5.8.5.4.5.5.5.5.5.5 - - - Die Zahlenwerte, die festgelegt sind, sind wieder durch unterstreichen gekennzeichnet. Die übrigen Zahlenwerte werden über die Kellerzeilen berechnet. Für das homogene LGS setzen wir s = u = und erhalten die in der ersten Auswertungszeile ermittelte Fundamentallösung (,.5,.5,.5) und damit die Lösungsmenge: L =.5.5.5 t t R Zusatzbemerkung: Statt die frei wählbare Koordinate x = zu setzen, können wir sie auch = setzen, was in der dritten Auswertungszeile geschieht. Wir erhalten so die Fundamentallösung (,,, ), die nur ganze Zahlen enthält und damit die Lösungsmenge: L = t t R. a) Hier ist s := und u := zu setzen und damit führt das letzte Tableau zum Widerspruch. Das LGS ist also nicht lösbar. b) Hier ist s := und u := zu setzen und damit führt das letzte Tableau nicht zum Widerspruch. Das LGS ist also lösbar, aber nicht eindeutig. Da wir 8
eine Fundamentallösung des zugehörigen homogenen LGS schon bestimmt haben, brauchen wir nur noch eine spezielle Lösung des inhomogenen LGS zu finden, indem wir s :=, u := und die frei wählbare Koordinate x := setzen. Wir erhalten so über die zweite Auswertungszeile (,.5,.5,.5) als eine spezielle Lösung und damit L =.5.5.5 +.5.5.5 t t R als Lösungsmenge. Zusatzbemerkung: Statt die frei wählbare Koordinate x = zu setzen, können wir sie auch = setzen, was in der vierten Auswertungszeile geschieht. Wir erhalten so die (,,, ) als eine spezielle Lösung, die nur ganze Zahlen enthält und damit die Lösungsmenge: L = + t t R 9) a) Anfangsmasse A Halbwertzeit h x mg B Halbwertzeit h x mg C Halbwertzeit h x mg x,, =? nach 6h: Masse von A: x = x 6/ 6 Masse von B: Masse von C: x = x 6/ x = x 6/ 9
nach h: Masse von A: Masse von B: Masse von C: nach 8h: Masse von A: Masse von B: Masse von C: x / = x x = x / 6 x = x / 4 x 8/ = x 8 x = x 8/ 9 x = x 8/ 6 x x x - 6 6 4 9 8 9 6 4.875 x 4-858 5 6-94 8 55 9-8.75 x 6 5-56 + 8 5 9.75 x -984 984 76 96 - Wir erhalten somit die Anfangsmasse von 984mg für Komponente A, von 76mg für Komponente B, von 96mg für Komponente C. Wir betrachten nun ein neues Präparat mit einer Halbwertzeit von h bei A und einer Halbwertzeit von h bei B und C. Am Anfang haben wir die gleiche Mengen x,, für A, B bzw. C wie oben. Gewicht des Präparats beträgt nach 6h : 984 + 76 + 96 = 56 + h : 984 + 76 + 96 = 75 6 4 4 8h : 984 + 76 + 96 = 46.5 9 6 6
x x x s 56 6 4 4 75 9 6 6 46.5 x - -564 6-56 9-576 x -984 984 47 - - LGS nicht eindeutig lösbar; Rekonstruktion nicht möglich. Dies kann man auch ohne Lösung des LGS sofort erkennen; denn die Koeffizientenmatrix hat den Rang, da zwei Spalten gleich und damit erst recht l.a. sind. b) x (g) Äpfel x (g) Bananen x (g) Orangen x,, =? Wir bestimmem exemplarisch die von den Äpfeln beigesteuerte Eiweißmenge: g Äpfel enthalten. g Eiweiß, g Äpfel enthält./ g Eiweiß, x g Äpfel enthalten. x / g Eiweiß. x. + x. + x.! Eiweiß : = 9 x.6 + x. + x.! Fett : = 5 x 5 + x + x! Kohlehydrate : = 94
x x x -... 9.6.. 5 5 94 x -. -. -9.54 -..4 8.8 86 x 7 6 49 494 x -6 6 5 - Somit brauchen wir 6g Äpfel, g Bananen und 5g Orangen.