Gunter Ochs Wintersemester 20/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt 4 Lösungshinweise (ohne Ganantie auf Fehlerfreiheit. Wenn man beim Roulette auf Rot oder Schwarz setzt, erhält man mit Wahrscheinlichkeit 8 den doppelten Einsatz als Auszahlung, mit Wahrscheinlichkeit 9 verfällt der Einsatz. Beim Setzten auf eine Zahl bekommt man mit Wahrscheinlichkeit das 36fache des Einsatzes zurück, ansonsten verfällt der Einsatz. (a Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Gewinns (d. h. Auszahlung minus Einsatz, wenn Sie Euro auf Rot setzen. Der Gewinn G beträgt Euro mit Wahrscheinlichkeit 8 und Euro mit Wahrscheinlichkeit 9. Es folgt EG = 8 9 = = 3 Euro. Mit E(G 2 = 8 2 + 9 2 = 2 = 232 erhält man die Varianz V (G = E(G 2 (EG 2 = 232 9 = 232 und die Standardabweichung σ G = 232 0, 96. (b Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Gewinns, wenn Sie in aufeinander folgenden Spielen jeweils einen Euro auf Rot setzen. Der Gewinn G i in einem Spiel beträgt Euro mit Wahrscheinlichkeit 8 und Euro mit Wahrscheinlichkeit 9. Es folgt EG i = 8 9 =, E(G2 i = 2 8 + 2 9 = und V (G i = ( 2 = 368. 369 Für den Gesamtgewinn G = G +... + G gilt dann (unter der Annahme, dass die Gewinne in verschiedenen Spielen unabhängig sind EG = EG + EG 2 +... + EG = ( = und V (G = V (G +... + V (G = 368 0, 9. 369 Die Standardabweichung ist damit σ G = 0, 9 0,. (c Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Gewinns, wenn Sie Euro auf die Zahl setzen. Hier erhält man den Gewinn G = 3 = 388 mit Wahrscheinlichkeit und G = mit Wahrscheinlichkeit 36 Es folgt EG =. 388 36 = 0 08 = 3, E(G 2 = 3882 + 36 2 = 407.92 +.988 = 49.93 und σ G = 4993 648.
2. Ein fairer Würfel wird geworfen. Die Zufallsvariable X sei, falls die Augenzahl ungerade ist, und 0, falls die Augenzahl gerade ist. Die Zufallsvariable Y sei, falls die Augenzahl eine ist, 2, falls die Augenzahl eine 2 ist und 0 sonst. (a Berechnen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung der Zufallsvariablen X, Y und Z = X Y. Die drei Zufallsvariablen nehmen abhängig von der gewürfelten Augenzahl die folgenden Werte an: Augenzahl 2 3 4 6 X 0 0 0 Y 2 0 0 0 0 Z 0 0 0 0 0 Es folgt P (X = 0 = P (X = =, P (Y = 0 = 2, P (Y = = P (Y = 2 = sowie 2 3 6 P (Z = 0 = und P (Z = =. 6 6 Damit erhält man EX = E(X 2 = 0 + =, EY = 2 0 + + 2 =, 2 2 2 3 6 6 2 E(Y 2 = 2 0 + + 4 = und EZ = 3 6 6 6 E(Z2 = 0 + =. 6 6 6 Benutzt wurde, dass X und Z nur die Werte 0 und annehmen und somit X 2 = X und Z 2 = Z gilt. Es folgt V (X = E(X 2 (EX 2 = = σ 2 4 4 X = =, 4 2 V (Y = E(Y 2 (EY 2 = 6 4 = 7 2 σ Y = V (Z = E(Z 2 (EZ 2 = 6 36 = 36 σ Z = 7 2 0, 76 sowie = 36 6 0,. (b Berechnen Sie die Kovarianz Cov(X, Y und den Korrelationskoezienten ρ(x, Y. Mit den Ergebnissen aus (a erhält man Cov(X, Y = E(X Y (EX (EY = EZ (EX (EY = = = 6 2 2 6 4 2 und ρ(x, Y = Cov(X,Y = /2 V (XV (Y = 48 4 7 2 = 4 3 7 2 = 3 0, 28. 7 3 7 2 (c Sind X und Y unkorreliert oder positiv oder negativ korreliert? Wegen Cov(X, Y < 0 sind X und Y negativ korreliert. (d Sind X und Y unabhängig? Unabhängige Zufallsvariablen sind immer unkorreliert. Somit können X und Y nicht unabhängig sein.
3. Bei einer Tombola gibt es 20 Lose, unter denen 6 Gewinne sind. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter gezogenen Losen (a mindestens 2, (b genau 3 Gewinne benden. Die Anzahl X der Gewinne bei k gezogenen Losen ist hypergeometrisch verteilt mit den Parametern N = 20 (Gesamtzahl der Lose, K = 6 (Gewinnlose darunter und n = (gezogene Lose. Damit gilt bei (b P (X = 3 = ( ( 6 4 3 2 ( = 20 20 9 04 0, 7 =, 7 % Analog erhält man ( ( 6 4 0 P (X = 0 = ( = 2002 20 04 und P (X = = ( 6 ( 4 4 ( = 6 00 20 04 und damit für (a P (X 2 = P (X < 2 = (P (X = 0 + P (X = = 2002+6006 04 0, 483 = 48, 3 %.. Bei einem Glücksspiel wird ein Würfel geworfen. Bei einer gewürfelten 6 beträgt der Gewinn 4 Euro, bei einer 4 oder beträgt er einen Euro und bei einer, 2 oder 3 gibt es keinen Gewinn. (a Berechnen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Gewinns. Ist X der Gewinn, so gilt P (X = 0 = 3 6 = 2, P (X = = 2 6 = 3 und P (X = 4 = 6. Damit erhält man µ = EX = 3 + 6 4 =, E(X2 = 3 + 6 6 = 8 6 = 3, σ 2 = V (X = E(X 2 (EX 2 = 3 = 2 und σ = V (X = 2. (b Berechnen Sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes approximativ die Wahrscheinlichkeit, dass bei 200 Spielen der Gesamtgewinn (i mindestens 7 Euro, (ii höchstens 220 Euro, (iii mindestens 90 Euro und höchstens 230 Euro beträgt. Der Gesamtgewinn S 200 hat den Erwartungswert 200µ = 200 und die Standardabweichung 200 σ = 200 2 = 20. Der zentrale Grenzwertsatz liefert damit die Approximation (i P (S 200 7 Φ ( 7 200 20 = Φ(, 2 = ( Φ(, 2 = Φ(, 2 = 0, 8944 = 89, 44 %, (ii P (S 200 220 Φ ( 220 200 20 = Φ( = 0, 843 = 84, 3 % und (iii P (90 S 200 230 Φ ( 230 200 20 ( Φ 90 200 20 = Φ(, Φ( 0, = Φ(, ( Φ(0, = Φ(, +Φ(0, = 0, 9332+0, 69 = 0, 6247 = 62, 47 %. Bemerkung: Eine bessere Approximation erhält man jeweils mit einer Stetigkeitskorrektur, da S = S 200 nur ganzzahlige Werte annimmt. In (i wird die untere Grenze durch 74, ersetzt und man erhält P (S 74,... = Φ(, 27 89, 88 %. In (ii betrachtet man P (S 220,... = Φ(, 02 = 84, 73 % und in (iii P (89, S 230,... = Φ(, 2 + Φ(0, 2 = 63, 66 %.
4. Bei der Übertragung von Daten werden einzelne Bits unabhängig voneinander mit Wahrscheinlichkeit p falsch übermittelt. (a Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem 2BitBlock 0,, 2 bzw. mehr als 2 Bit falsch übertragen werden, wenn p = % ist. Die Zahl X der falsch übermittelten Bits ist binomialverteilt mit Parametern n = 2 und p = 0, 0. Gesucht ist ( 2 P (X = 0 = 0, 0 0 0, 9 2 = 0, 9 2 0, 40 = 4, 0 %, 0 ( 2 P (X = = 0, 0 0, 9 = 2 0, 0 0, 9 0, 34 = 34, %, ( 2 P (X = 2 = 0, 0 2 0, 9 0 = 66 0, 0 2 0, 9 0 0, 099 = 9, 9 % sowie 2 P (X > 2 = P (0 P ( P (2 0, 020 = 2, 0%. (b Wie würde das Ergebnis in (a aussehen, wenn die Binomialverteilung durch eine Poisson Verteilung approximiert wird? Mit dem Parameter λ = n p = 0, 6 erhält man P (X = 0 = 0,60 0! e 0,6 0, 49 = 4, 9% P (X = = 0,6! e 0,6 0, 329 = 32, 9% P (X = 2 = 0,62 2! e 0,6 0, 099 = 9, 9% sowie P (X > 2 = P (0 P ( P (2 0, 023 = 2, 3%. (c Die Zufallsvariable X gebe die Zahl der übertragenen Bits bis zum ersten Übertragungsfehler an (das erste falsch übertragene Bit mitgezählt. Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung von X im Fall p = %. Hier liegt eine geometrische Verteilung mit Parameter p = 0, 0 vor. Nach den entsprechenden Formeln ist EX = = 20, p σ2 = V (X = p = 0,9 = 400 0, 9 = 380 und p 2 /400 σ X = V (X = 380 9,. (d Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung der Zahl der Übertragungsfehler bei 0000 Bit, wenn p = 0, % ist. Mit einer Binomialverteilung mit n = 0000 und p = 0, 00 erhält man den Erwartungswert n p = 0, die Varianz np( p = 9, 99 und die Standardabweichung 9, 99 3, 6. (e Berechnen Sie mit Hilfe der Approximation durch die PoissonVerteilung (näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass bei p = 0, % von 0000 Bit maximal falsch übertragen werden. Hier ist λ = np = 0 und damit P (X = 0 k k=0 e 0 = e 0 ( + 0 + 0 + 000 + 0000 + 00000 k! 6 24 20 = e 0 6 (6 + 60 + 300 + 000 + 200 + 000 0, 000044 8866 6 0, 067 = 6, 7 %
6. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, beim 20maligen Münzwurf maximal mal Zahl zu erhalten, (a mit der Binomialverteilung, Die Anzahl X der erhaltenen Zahlen ist binomoialverteilt mit n = 20 und p =, d. h. für 2 k = 0,,..., 20 gilt ( 20 P (X = k = ( k ( k 2 ( n k 20 2 = ( 20 k 2. Es folgt P (X = P (X = 0 + P (X = + P (X = 2 + P (X = 3 + P (X = 4 + P (X = = ( ( ( ( ( ( ( ( 20 20 20 20 20 20 20 2 + + + + + 0 2 3 4 2.700 = ( + 20 + 90 + 40 + 484 + 04 = 0, 0207 = 2, 07 %..048.76.048.76 (b approximativ mit der Normalverteilung mit und ohne Stetigkeitskorrektur. Mit EX = np = 20 = 0, V (X = np( p = 20 = und σ 2 2 2 X = V (X = folgt ohne Stetigkeitskorrektur P (X Φ ( 0 = Φ( Φ( 2, 24 = Φ(2, 24 = 0, 987 = 0, 02 =, 2 %. Mit Stetigkeitskorrektur erhält man mit ähnlicher Rechnung ( (, 0 P (X Φ 4, = Φ Φ( 2, 0 = Φ(2, 0 = 0, 9778 = 0, 0222 = 2, 22 %. 8. Gegeben sei die Stichprobe 2, 4, 3, 7, 2, 6. (a Bestimmen Sie das arithmetische, das geometrische und das harmonische Mittel. Das arithmetische Mittel ist x = (2 + 4 + 3 + 7 + 2 + 6 = 4, 6 das geometrische Mittel x geom = (2 4 3 7 2 6 /6 = 6 206 3, 4 und das harmonische Mittel x har / [ 6 ( 2 + 4 + 3 + 7 + 2 + 6 ] = 6 = 68 9/84 3 3, 70 (b Bestimmen Sie den Median, die Quartile sowie den Modalwert. Der Modalwert ist 2 (einziger mehrfach vorkommender Wert. Zur Bestimmung von Median und Quartilen wird die Stichprobe zunächst geordnet: 2, 2, 3, 4, 6, 7 Der Stichprobenumfang ist n = 6, somit liegt der Median zwischen dem 3. und dem 4. Stichprobenwert: x = (3 + 4 = 3,. 2 Wegen 6 0, 2 =, und 6 0, 7 = 4, entsprechen die Quartile dem 2. und dem. Stichprobenwert: x 0,2 = 2 und x 0,7 = 6. (c Bestimmen Sie die empirische Varianz, die Standardabweichung, die Spannweite und den Interquartilsabstand. Die empirische Varianz ist s 2 = ((2 4 2 + (2 4 2 + (3 4 2 + (4 4 2 + (6 4 2 + (7 4 2 = 22 = 4, 4 und die Standardabweichung s = s 2 2, 0. Die Spannweite (Dierenz zwischen dem gröÿten und dem kleinsten Wert ist 7 2 = und der Interquartilsabstand x 0,7 x 0,2 = 6 2 = 4.
7. Bei einer TelefonHotline wird davon ausgegangen, dass die Zahl der Anrufer Poissonverteilt ist. (a Zwischen 3:30 Uhr und 3.3 Uhr gehen durchschnittlich 0 Anrufe ein. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass (i genau 9, (ii zwischen 9 und Anrufe eingehen. Der Parameter λ der PoissonVerteilung ist gleich dem Erwartungswert, d. h. die Zahl X der Anrufer ist Poissonverteilt mit λ = 0. Damit ist P (X = 9 = e 0 09 0, 2 = 2, % und 9! P (9 X = P (X = 9 +P(X = 0+P(X = = e 0 09 + e 0 00 + e 0 0 9! 0!! 0, 2 + 0, 2 + 0, 4 = 0, 364 = 36, 4 %. (b Zwischen 3:30 Uhr und 7:40 Uhr gehen durchschnittlich 200 Anrufe ein. Bestimmen Sie mit Hilfe der Normalverteilung approximativ die Wahrscheinlichkeit, dass (i mindestens 2600, (ii höchstens 2468, (iii zwischen 20 und 240 Anrufe eingehen. Hier ist λ = 200 und die Standardabweichung λ = 0. Mit Stetigkeitskorrektur erhält man (i P (X 2600 = P (X < 2600 = P (X 299, = Φ ( 299, 200 0 = Φ(, 99 = 0, 9767 = 0, 0233 = 2, 33 %, (ii P (X 2468 = P (X 2468, = Φ ( 2468, 200 0 = Φ( 0, 63 = Φ(0, 63 = 0, 737 = 0, 2643 = 26, 43 % und (iii P (20 X 240 = P (209, X 240, = Φ ( ( 240, 200 0 Φ 209, 200 0 = Φ(0, 8 Φ(0, 9 = 0, 790 0, 74 = 2, 6 %.