KITL 9 alytische Geometrie Gerade arameterdarstellug eier Gerade ie Gerade g ist bestimmt durch eie Richtug, gegebe durch eie Vektor c, c 0, ud eie ukt, der auf der Gerade liegt Ma et de ufpukt i ukt X liegt geau da auf der Gerade g durch i Richtug c, c 0, we X parallel zu c ist, dh we es eie Zahl t R gibt mit X = t c Ma sagt dazu: g hat die ukt-richtugsgleichug X = t c, t R () Dabei et ma t eie arameter Zu jedem arameterwert t = t 0 gehort geau ei ukt X 0 auf g mit X 0 = t c ud umgekehrt g c B X O Wege X = X lat sich g i Bezug auf eie beliebige ukt darstellte als 0
0 9 NLYTISCH GOMTRI X = + t c, t R (4) Ist u im Raum ei kartesisches Koordiatesystem (O; e, e, e ) gegebe ud wird der Vektor c = c e + c e + c e durch verschiedee ukte = (a, a, a ) ud B = (b, b, b ) bestimmt, dh c i = b i a i, i =,,, da geht (4) mit = O uber i OX = ( ) O + t c = O + t OB O, t R, (5) ud ei Kompoetevergleich ergibt fur die Geradepukte X = (x, x, x ) die drei Gleichuge x i = a i + t c i, t R, (i =,, ) ukt-richtugsgl (6) bzw x i = a i + t (b i a i ), t R, (i =,, ) Zwei ukte-gl (7) Die Gleichuge () bis (7) sid arameterdarstelluge der Gerade g bstad ukt-gerade Der Lotvektor vom ukt auf die Gerade g durch de ukt i Richtug c ist c S S gerade der Vektor mius der rojektio des Vektors auf de Vektor c, dh S = c c c Mit Hilfe der Regel fur das Vektorprodukt ergibt sich S = ( ( c c) ( ) c) c c = ( c ( c)) c
GRDN 0 ud der Betrag gibt de bstad d des uktes vo der Gerade g a: d = c ( c ( c) ) = ( c c si ( c; c) ) = c c ( c ) = si (, c), da c sekrecht auf c steht g c x( x c) c S S x c Der bstad d des uktes vo der Gerade g ist d = c = si (, c) = c c c (8) Beispiel 9 Der bstad des uktes = g : x x x = }{{} O +t 5 6 0 vo der Gerade } {{ } c
04 9 NLYTISCH GOMTRI Da ist c =, = O O = c = ud c = 5 Damit ist e x e y e z 4 4 0 4 4 ud damit = 4 e x 4 e y + e z d = c ( c ) = 5 8, 75 bee arameterdarstellug eier bee ie bee ist gegebe durch zwei icht parallele (vo 0 verschiedee) Vektore u ud v ud eiem ukt, der i der bee liegt Ma sagt, die Vektore u ud v spae die bee auf, der ukt wird auch " ufpukt\ geat v u t v x =a+ s u + t v s u X i Raumpukt X liegt geau da auf, we sich der Vektor X als Summe vo Vielfache der Vektore u ud v darstelle lasst, dh ma hat die arameterdarstellug X = s u + t v, t, s R Wird ei kartesisches Koordiatesystem (O, e, e, e ) festgelegt, so dass = (a, a, a ), u = u e +u e +u e, v = v e +v e +v e, da ist die arameterdarstellug aquivalet zu de drei Gleichuge:
BNN 05 x i = a i + su i + tv i, i =,,, t, s R Werde u ud v durch die drei verschiedee ukte = (a, a, a ), B = (b, b, b ) ud C = (c, c, c ) bestimmt, also u = B ud v = C da geht die arameterdarstellug uber i die Drei-ukte-Gleichug der bee : x i = a i + s(b i a i ) + t(c i a i ), i =,,, t, s R, mit = (a, a, a ), B = (b, b, b ), C = (c, c, c ) arameterfreie Darstellug eier bee i ukt X liegt geau da auf der bee, we X = s u + t v = s B + t C, das impliziert aber, dass [ X, B, C] = 0 (9) sei muss Ist umgekehrt (9) so bedeutet dies ach dem Test auf lieare Uabh agigkeit, dass die Vektore parallel zu eier bee sid, amlich gerade Deshalb ist die parameterfreie Drei-ukte-Formel fur i Determiateform gerade [ X, B, C] = 0 Isbesodere zeigt das, dass der Vektor = B C = u v sekrecht auf der bee steht Ma et deshalb eie Normalevektor vo ud X = 0, ( ufpukt, Normalevektor vo ) eie Normalegleichug vo I kartesische Koordiate X = (x, x, x ), = (a, a, a ) ud = e + e + e wird hieraus die
06 9 NLYTISCH GOMTRI Koordiatedarstellug vo x + x + x = c mit c := a + a + a = O Bemerkug 9 Durch Berechug des Normalevektors gelagt ma vo der arameterdarstellug zur parameterfreie Darstellug Umgekehrt gelagt ma vo der parameterfreie Darstellug zur arameterdarstellug durch Bestimmug vo ukte, die auf der Gerade liege, ud bildet da die - ukt-form eier Gerade Wird die bee durch eie ufpukt ud eie Normalevektor gegebe, so ist der bstad eies beliebige Raumpuktes zur bee gleich der Lage des Vektors S, wobei S der Fupukt des Lots vo auf ist ud damit gleich der Lage der rojektio des Vektors auf de Normalevektor, dh der bstad des uktes vo der bee ist d = S = S φ φ g Ist =, so gibt bereits d = de bstad des uktes vo der bee a Mit usere Ketisse ist es relativ eifach de Schittwikel zweier bee zu bestimme ls Wikel zwische zwei bee ist immer der spitze Wikel (0 ϕ π ) zu verstehe Oesichtlich gilt: cos ϕ =
BNN 07 Hesse-Normalform Ma et diese Darstellug Hesse-Normalform der bee x + x + x = c, we + + = ud c 0 Ma gelagt vo eier beliebige Koordiatedarstellug vo zur Hessesche Normalform mittels Divisio durch ± = ± + + Ist x + x + x = c 0 i Hesse-Normalform, so gilt: () Der Normalevektor = e + e + e weist, we er i eiem ukt der bee agetrage wird, vom Ursprug weg, da x = x cos (, x) = c 0 ud damit muss gelte π (, x) π : () s ist c der bstad der bee vom Ursprug, da OL parallel zu ist ud i dieselbe Richtug zeigt, gilt OL = k ud k = OL, da folgt aus der Hesse-Normalform (k ) = k = k = c () i beliebiger ukt hat vo de bstad d = c O Der bstad vo zur bee ist die Lage S = OL OT, wobei OL = c der bstad des Ursprugs vo der bee ud OT die rojektio vo O auf de Normalevektor ist L S L S S T T (4) Falls O, da gilt c O > 0 O, liege auf derselbe Seite vo, c O < 0 tret O ud
08 9 NLYTISCH GOMTRI Beispiel 9 Ma bestimme de bstad des uktes = bee, die durch die ukte 0 = 0, = 0 ud = 0 4 vo der gegebe ist ls erstes bestimme wir als arameterform die -ukte-gleichug der bee: x 0 0 x = 0 +s 0 +t 0 = 0 +s +t, s, t R x 0 0 Die parameterfreie Form ergibt sich aus der Bestimmug des Normalevektors 0 e x e y e z = = 0 = e y + e z + e x = 0 0 Dh die beegleichug lautet x + y + z = c, wobei c durch das isetze eies uktes der bee berechet wird, fur 0 ergibt sich + 0 + = c =, folglich ist die parameterfreie Form der beegleichug x + y + z = Hieraus erhalt ma wege = + + = de iheitsormalevektor 0 = ud die Hesse-Normalform x + y + z = Wir zwei Moglichkeite de bstad des uktes vo der bee zu bereche ls erstes beutze wir die Formel fur de bstad mit 0 als ufpukt der bee mit 0 = O 0 0 O = durch d = 0 = 0 = 5 Das gleiche rgebis ka ma mit Hilfe der Hesse-Normalform erhalte: d = c O 0 = c x y z = 4 = 5,
BNN 09 da c O 0 = c x y z = 4 = 5 < 0 ist, die tret die bee de Ursprug ud de ukt