Mikroökonomik B 2. Entscheidung bei Unsicherheit

Mikroökonomik B 2. Entscheidung bei Unsicherheit Dennis L. Gärtner 14. April 2011

Entscheidung bei Unsicherheit Literaturangaben: Varian (2007), Kapitel 12, 13 Jehle und Reny (2001), Kapitel 2.4 Kreps (1990), Kapitel 3. Bisher: Entscheidung zwischen verschiedenen Handlungsalternativen (Güterbündeln, Konsumplänen). Folgen der Entscheidung sind bekannt und treten mit Sicherheit ein. 2 / 132

Entscheidung bei Unsicherheit Was, wenn manche Güterbündel nicht immer mit Sicherheit, sondern zufällig verfügbar sind? Das Gut Skifahren in den schweizer Alpen ist z.b. nur verfügbar, falls dort die richtigen Temperaturen herrschen. Ganz allgemein hängt das Ergebnis einer Entscheidung oft nicht nur von der gewählten Handlungsalternative ab, sondern auch vom Zufall, der Realisation eines Zustands der Welt. Zustand der Welt kann z.b. das Wetter sein, aber auch der Eintritt eines Schadens, Erfolg oder Misserfolg bei einem Test, der Entwicklung eines neuen Produkts, etc. 3 / 132

Fragen, welche wir beantworten wollen Wie kann man Präferenzen über unsichere Ergebnisse von Entscheidungen formal beschreiben? Was bedeutet rationales Verhalten (Optimieren unter Ausnutzung verfügbarer Informationen) bei Unsicherheit? Wie kann man dies in einem Modell abstrakt abbilden? Welche theoretischen Vorhersagen ergeben sich für empirisch beobachtbares Verhalten? Welche Implikationen für wirtschaftliches Handeln folgen aus der Theorie? 4 / 132

Lotterien: Skiurlaub in den schweizer Alpen Entweder es liegt Schnee oder nicht. D.h. es gibt zwei Zustände der Welt, S und N. Beide Zustände der Welt treten mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit ein, sagen wir p S und p N. Nachdem sich beide Zustände gegenseitig ausschliessen (sie sind disjunkt), gilt p S + p N = 1. Das Gut Skifahren ist nur im Zustand der Welt S erhältlich, ansonsten müssen Brettspiele konsumiert werden. 5 / 132

Lotterien Skiurlaub in den schweizer Alpen ist also ein Glücksspiel, eine Lotterie. D.h. das Güterbündel, das im Urlaub konsumiert wird, ist unsicher und gegeben durch { } 2 Tage Skifahren... mit Wahrscheinlichkeit p S, 2 Tage Brettspiele...mit Wahrscheinlichkeit 1 p S. Dabei sind Skifahren und Brettspiele Ergebnisse (outcomes) der Lotterie. Eintritts-Wahrscheinlichkeiten (p S ) sind in diesem Teil der Vorlesung immer objektiv (könnten auch subjektiv sein!). 6 / 132

Lotterien Allgemeiner Formalismus Bezeichne die Menge aller möglichen Ergebnisse mit A = {a 1, a 2,..., a n }; wir konzentrieren uns hier der Einfachheit halber auf numerische Ergebnisauszahlungen. Bezeichne die Wahrscheinlichkeitsverteilung über A mit p = (p 1,..., p n ) wobei p i 0 für i = 1,...,n und n i=1 p i = 1. D.h. Wahrscheinlichkeit für Ergebnis a i ist p i. Bezeichne die Menge aller möglichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Lotterien) über A mit P. Ein sicheres Ergebnis (z.b. ein Güterbündel) kann als Lotterie über A = {x} mit p x = 1 beschrieben werden. 7 / 132

Lotterien Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung p über eine Ergebnismenge A = {a 1, a 2,..., a n } nennt man eine einfache Lotterie g S, g S = (p 1 a 1, p 2 a 2,..., p n a n ). Das Symbol steht dabei für eine Zuordnung von Wahrscheinlichkeit und Ergebnis. Eine Ergebnismenge kann selber auch Lotterien beinhalten, z.b. A = {g 1, g 2,..., g n }. In diesem Fall nennt man die Wahrscheinlichkeitsverteilung p über A eine zusammengesetzte Lotterie g, g = (p 1 g 1, p 2 g 2,..., p n g n ). 8 / 132

Einfache und zusammengesetzte Lotterien graphisch a 1 p q g S a 3 1 p q a 2 Abbildung: Einfache Lotterie g S = (p a 1, q a 3,(1 p q) a 2 ). 9 / 132

Einfache und zusammengesetzte Lotterien graphisch g 11111111111111111111 a 1 p a 3 q 11 q g 1 p q 1 q a 4 a 2 Abbildung: Zusammengesetzte Lotterie g = (p a 1, q g,(1 p q) a 2 ). 10 / 132

Lotterien Bezeichne Menge aller (zusammengesetzten) Lotterien mit G. Beispiel Skiurlaub: Skiurlaub hängt davon ab, ob das Auto funktioniert. Mit Wahrscheinlichkeit 1 q fährt es, mit q muss es in die Werkstatt und Gut Brettspiele zuhause wird konsumiert. D.h. die Autofahrt in den Skiurlaub ist eine zusammengesetzte Lotterie der Form Ist g äquivalent zu g = (q a 1,(1 q) (p a 2,(1 p) a 3 )). g = (q a 1,(1 q)p a 2,(1 q)(1 p) a 3 )? Nicht klar, hängt von Präferenzen ab! Aber wir werden die Reduktionseigenschaft einfach annehmen. 11 / 132

Reduktion zusammengesetzter Lotterien Einfache Lotterie: Wahrscheinlichkeitsverteilung über Ergebnismenge A. Zusammengesetzte Lotterie: Wahrscheinlichkeitsverteilung über andere Lotterien. Reduktion zusammengesetzter Lotterie g auf einfache Lotterie: Ausrechnen der Eintrittswahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis in A gegeben die Wahrscheinlichkeiten in g und allen zusammengesetzten Lotterien in g. Ergibt einfache Lotterie, die von g impliziert wird. 12 / 132

Reduktion zusammengesetzter Lotterien graphisch g 11111111111111111111 a 1 p a 3 q 11 q g 1 p q 1 q a 4 a 2 Abbildung: Zusammengesetzte Lotterie g = (p a 1, q g,(1 p q) a 2 ). 13 / 132

Reduktion zusammengesetzter Lotterien graphisch a 1 p a 3 qq g S q(1 q ) 1 p q a 4 a 2 Abbildung: Reduktion der zusammengesetzte Lotterie g lässt auf die einfache Lotterie g S = (p a 1,(1 p q) a 2, qq a 3, q(1 q ) a 4 ). 14 / 132

Lotterie vs. Zufallsvariable Für den Moment: seien Ergebnisse a 1,...,a n A Zahlen (z.b. Geldbeträge). Mathematisch ist eine einfache Lotterie dann nichts anderes als eine Zufallsvariable. Eine einfache Lotterie g = (p 1 a 1, p 2 a 2,...,p n a n ) kann man ebenso beschreiben als eine Zufallsvariable ã verteilt gemäss der Dichtefunktion P(a i ) = p i auf dem Wahrscheinlichkeitsträger (support) A. Der Erwartungswert von ã ist E[ã] = n i=1 p ia i. Diese Vorlesung verwendet das Konzept Lotterie, lässt sich aber auch über Zufallsvariablen darstellen. 15 / 132

Präferenzen über Lotterien Lotterien stellen wohldefinierte Mengen von Entscheidungsalternativen dar. Um Entscheidungen bei Unsicherheit zu modellieren, wird ein Modell der Präferenzen über Lotterien benötigt (analog zur Nutzentheorie bei Sicherheit). Wir werden in der Folge analog zum Vorgehen bei Sicherheit Annahmen an die Präferenzordnung stellen, welche die Existenz einer Nutzenfunktion sicherstellen. Diese Nutzenfunktion u(g) ist über die Menge der Lotterien definiert. 16 / 132

Präferenzen über Lotterien Eine Nutzenfunktion u(g), die direkt auf Wahrscheinlichkeitsverteilungen definiert ist, ist sowohl analytisch als auch empirisch schwer zu ermitteln. Sehr viel angenehmer wäre es, mit einer Nutzenfunktion zu arbeiten, die auf der Ergebnismenge definiert ist. Ein Beispiel dafür ist die folgende Nutzenfunktion n u(g) = E[ã] = p i a i. D.h. die Lotterie ist gerade so gut wie ihr Erwartungswert. Dies erscheint bei monetären Ergebnissen nicht unsinnig. i=1 17 / 132

St. Petersburg-Paradox Gegeben ist folgendes Glücksspiel g: Eine faire Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal Zahl erscheint. Falls Zahl zum ersten Mal beim n-ten Münzwurf auftritt, wird ein Betrag von 2 n e ausgezahlt. # 1 2 3 4 5 6 7 8 e 2 4 8 16 32 64 128 256 Wieviel würden Sie bezahlen, um an diesem Glücksspiel teilzunehmen? Die meisten Befragten antworten in der Grössenordnung von 3 5e. 18 / 132

Daniel Bernoullis St. Petersburg-Paradox Erwartungswert der Lotterie g? E[g] = 1 2 2+ 1 4 4+... = ( ) 1 t 2 t = 1. 2 t=1 Gewisse Diskrepanz in beobachteter Zahlungsbereitschaft für g und dem Erwartungswert von g. Bernoullis Vorschlag: Ergebnisse 2 n mit einer konkaven Funktion zu bewerten, damit werden frühere (kleinere) Auszahlungen höher gewichtet und die Zahlungsbereitschaft für g wird endlich. t=1 19 / 132

Daniel Bernoulli Daniel Bernoulli (1700-1782) Jakob Bernoulli (-Verteilung!) 20 / 132

St. Petersburg-Paradox Bernoullis Vorschlag für eine Nutzenfunktion unter Unsicherheit: n 1 U(g) = p t ln(a t ) = 2 t ln(2t ) = ln(4) t 2 2 t = ln(4) 1.4. t=1 t=1 t=1 } {{ } =2 Damit wäre das Glücksspiel g genauso gut wie eine sichere Auszahlung von 4e. Annahme, Ergebnisse mit ln(a t ) zu bewerten ist willkürlich. U(g) linear in Wahrscheinlichkeiten, damit Nutzen direkt auf Ergebnismenge definierbar. Dies ist eine sehr angenehme Form, die das Rechnen erleichtert und einfache Vergleichbarkeit von Lotterien ermöglicht. 21 / 132

Erwartungsnutzen-Eigenschaft Formal lässt sich diese angenehme Form allgemein so beschreiben: Definition (Erwartungsnutzen-Eigenschaft) Eine reellwertige Nutzenfunktion U(g) hat die Erwartungsnutzen-Eigenschaft, wenn für alle g G gilt n U(g) = p i u(a i ), i=1 wobei (p 1 a 1, p 2 a 2,..., p n a n ) die von g induzierte einfache Lotterie ist. 22 / 132

Erwartungsnutzen-Eigenschaft Erwartungsnutzen-Eigenschaft ist gleichbedeutend mit n U(g) = p i (g)u(a i ) = E[u(a i )], i=1 wobei E[ ] der Erwartungswert bezüglich Verteilung p(g) ist. D.h. ein Individuum maximiert den Erwartungswert einer Nutzenfunktion (Erwartungsnutzen) und nicht z.b. den Nutzen des Erwartungswerts. 23 / 132

Erwartungsnutzen Die Erwartungsnutzen-Eigenschaft postuliert eine Nutzenfunktion der Form U(g) = n p i u(a i ) i=1 U(g) wird Erwartungsnutzen oder von Neumann-Morgenstern (vnm) Nutzenfunktion genannt. u(a i ) wird als Bernoulli-Nutzenfunktion bezeichnet. Falls die Ergebnismenge A ein Güterraum X ist, kann u(x) eine Nutzenfunktion aus der Konsumententheorie sein. Falls die Ergebnismenge A verschiedene Einkommen y enthält, dann kann u(y) eine indirekte Nutzenfunktion sein. 24 / 132

Invarianz bezüglich positiver linearer Transformation Proposition (Invarianz bezüglich positiver linearer Transformation) Angenommen U und V sind zwei vnm Nutzenfunktionen mit den zugehörigen Bernoulli-Nutzenfunktionen u und v, die dieselbe Präferenzordnung über G repräsentieren. Dann existieren a, b mit b > 0, so dass u(x) = a+bv(x). Erwartungsnutzen sind linear in Wahrscheinlichkeiten. Bernoulli-Nutzenfunktionen sind (wie in Konsumententheorie) invariant bezüglich monotoner positiver Transformationen. Daher sind auch vnm Nutzenfunktionen nicht eindeutig bestimmt. Beweis: Wird hier nicht vorgestellt aber die Idee folgt. 25 / 132

Beweisidee Bernoulli Nutzenfunktionen für riskikoaverse und risikofreudige Einstellungen. u(3) u(2) u(1) 1 2 u(1)+ 1 2 u(3) u(x) u(3) u(2) 1 2 u(1)+ 1 2 u(3) u(x) u(1) e 1 2 3 1 2 3 e Da also die Form der Bernoullifunktion u( ) eine Rolle spielt, können Erwartungsnutzenfunktionen nur linear steigend transformiert werden. 26 / 132

Erwartungsnutzen Das Invarianzresultat bedeutet, dass der Erwartungsnutzen mehr Information enthält als eine Nutzenfunktion aus der Konsumententheorie. Nutzenfunktion aus der Konsumententheorie war rein ordinal. Erwartungsnutzen nicht nur Ordnungsnummer eines Ergebnisses. Nutzendifferenz zwischen verschiedenen Ergebnissen kann nicht beliebig verändert werden und doch dieselbe Präferenzordnung über Lotterien abbilden! D.h. Erwartungsnutzen kein ordinales, sondern ein kardinales Konzept. 27 / 132

Verhaltensimplikationen Erwartungsnutzen-Eigenschaft der Nutzenfunktion ist eine Annahme an das Verhalten der Entscheider. Welche Einschränkungen an das Entscheidungsverhalten wird durch das Konzept Erwartungsnutzen impliziert? Sind diese Verhaltensimplikationen plausibel? Es existiert eine Axiomatisierung der Erwartungsnutzen- Eigenschaft. D.h., es existieren eine Reihe von Annahmen an die Präferenzen der Wirtschaftssubjekte, die sicherstellen, dass diese durch eine Nutzenfunktion mit der Erwartungsnutzen- Eigenschaft dargestellt werden können. 28 / 132

Die Axiome der Erwartungsnutzentheorie 1. Rationalität 2. Stetigkeit 3. Reduktion 4. Unabhängigkeit 29 / 132

Axiome der Erwartungsnutzentheorie 1. Rationalität: Die Präferenzrelation über G ist vollständig, reflexiv und transitiv, d.h. (i) Für alle g, g in G gilt entweder g g, g g, oder beides. (ii) Für alle g in G gilt g g. (iii) Für alle g, g, g in G gilt: g g und g g impliziert g g. Dies entspricht den üblichen Rationalitätsannahmen an die Präferenzrelation eines Konsumenten über Güterbündel unter Sicherheit. 30 / 132

Axiome der Erwartungsnutzentheorie 2. Stetigkeit: Für alle g, g, g in G mit g g g existieren reelle Zahlen α,β (0, 1), so dass (α g,(1 α) g ) g (β g,(1 β) g ). Diese Annahme impliziert, dass immer ein trade-off in Wahrscheinlichkeiten zwischen verschiedenen Lotterien bestehen muss (ähnlich der Stetigkeitsannahme der Konsumententheorie). 31 / 132

Axiome der Erwartungsnutzentheorie 3. Reduktion: Für alle g, g in G, die dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Ergebnisse A implizieren, gilt g g. Dies bedeutet, die Lotterien g = (q a 1,(1 q) (p a 2,(1 p) a 3 )) und g = (q a 1,(1 q)p a 2,(1 q)(1 p) a 3 ) aus dem Skiurlaub-Beispiel sind tatsächlich gleichwertig unter der Präferenzordnung des Entscheiders. 32 / 132

Axiome der Erwartungsnutzentheorie 4. Unabhängigkeit: Für alle g, g, g in G mit g g gilt, dass (α g,(1 α) g ) (α g,(1 α) g ) für alle α (0, 1). Die Präferenz für eine zusammengesetzte Lotterie hängt nicht von gemeinsamen Konsequenzen g ab. Anm: Für die Indifferenzrelation lässt sich das gleichlautendende Axiom für alle α [0, 1] definieren. 33 / 132

Monotonie Lemma (Monotonie) Unter den Annahmen Rationalität, Stetigkeit, Reduktion und Unabhängigkeit gilt für alle g, g in G mit g g, dass (α g,(1 α) g ) (β g,(1 β) g ) mit α,β [0, 1] genau dann wenn α > β. Der Beweis wird hier nicht vorgestellt. Monotonie bedeutet, dass mehr Wahrscheinlichkeit auf präferierten Ergebnissen immer besser ist (ähnlich zur Monotonie in der Konsumententheorie). 34 / 132

Das von Neumann-Morgenstern Repräsentationstheorem Theorem (von Neumann-Morgenstern) Die Präferenzrelation über Lotterien erfüllt die Annahmen Rationalität, Stetigkeit, Reduktion und Unabhängigkeit dann und nur dann, wenn eine Nutzenfunktion U : G R existiert, welche repräsentiert und die Erwartungsnutzen-Eigenschaft U(g) = n p i u(a i ) besitzt. i=1 Das Theorem sagt, dass die vorgestellten Axiome notwendig und hinreichend sind für Repräsentation einer Präferenzordnung über Lotterien durch den Erwartungsnutzen. Der Beweis wird hier nicht vorgestellt. 35 / 132

von Neumann und Morgenstern John von Neumann Oskar Morgenstern 36 / 132

Bedeutung des vnm-theorems Falls ein Individuum Präferenzen hat, welche den vnm-axiomen genügen, so existiert eine Nutzenfunktion über Lotterien, welche die Erwartungsnutzeneigenschaft besitzt. D.h. die Eigenschaft, den erwarteten Nutzen als Zielfunktion zu haben, basiert auf Annahmen direkt an die Präferenzen eines Entscheidungsträgers. Umgekehrt impliziert die Annahme einer Erwartungsnutzenfunktion, dass die Präferenzen eines Entscheiders den Axiomen genügen. 37 / 132

Anwendungen Erwartungsnutzentheorie ermöglicht es optimale Entscheidungen zu treffen (normativ), oder das Verhalten von Entscheidern vorherzusagen (positiv). Potentiell grosse Menge an Anwendungen der Theorie Berufswahl: Beamter oder Unternehmer? Prüfungsvorbereitung: Wieviel Mut zur Lücke? Heirats-Entscheidung: Wann sollte man aufhören zu suchen? Portfolioentscheidung: Aktien oder Anleihen? Versicherungswahl: Wie hoch sollte man sich versichern? Wert von Information: Was sollte Wissen über den wahren Zustand der Welt kosten? 38 / 132

Beispiel 1: Einkommensrisiko und monetäre Auszahlungen Im Leben eines Bauern gebe es zwei mögliche Zustände: genug Regen G und kein Regen S. Zustand G tritt mit Wahrscheinlichkeit p G und S mit der Gegenwahrscheinlichkeit 1 p G ein. Ernte und damit Bauerneinkommen y sind vom realisierten Zustand der Welt abhängig, dh. die Ergebnismenge eines Bauern ist A = {y G, y S }. Es gelte y S < y G. Also sieht sich der Bauer folgender Einkommens-Lotterie gegenüber g = (p G y G,(1 p G ) y S ). 39 / 132

Beispiel 1: Einkommens-Lotterie graphisch g y G p G 1 p G y S Abbildung: Einfache Lotterie g = (p G y G,(1 p G ) y S ), d.h. mit Wahrscheinlichkeit p G tritt Zustand G ein ( Einkommen y G ), andernfalls tritt Zustand S ein ( Einkommen y S ). 40 / 132

Beispiel 1: Einkommens-Zustandsdiagramm y G (y S, y G ) (y S,y G ) ={(y G,y S ): Eu(y ) = Eu(y)} (y S,y G ) - (1-p )/p u'(y )/u'(yg G G S ) -(1-p G )/p G y S 41 / 132

Beispiel 1: Indifferenzkurven Indifferenzkurve: Zwischen welchen Zustandseinkommen y G und y S, ist der Bauer indifferent (dh. U(g) konstant, bei gegebenen Wahrscheinlichkeiten)? Erwartungsnutzen von g = (p G y G,(1 p G ) y S ): U(g) = E u(y) = p G u(y G )+(1 p G )u(y S ). Also: Bauer ist indifferent zwischen Lotterie g und einer Lotterie g = (p G x G,(1 p G ) x S ) mit gleichen Wahrscheinlichkeiten, aber anderen Ergebnissen, genau dann wenn p G u(y G )+(1 p G )u(y S ) = p G u(x G )+(1 p G )u(x S ). Damit bilden alle Bündel x = (x G, x S ) mit obiger Eigenschaft die Indifferenzkurve I. 42 / 132

Beispiel 1: Indifferenzkurven y G y = (y S, y G ) (y S,y G ) ={(y G,y S ): Eu(y ) = Eu(y)} I = {(x G, x S ) : E u(x) = E u(y)} (y S,y G ) - (1-p G )/p G u'(y )/u'(yg S ) -(1-p )/p G G Indifferenzkurve I zur Ausgangslotterie (p G y G,(1 p G ) y S ) gegeben Bernoullis Vorschlag u(y) = ln(y). Beachte: Bessermenge von I ist streng konvex. y S 43 / 132

Beispiel 1: Indifferenzkurven Im Punkt (x G, x S ) gilt E u(x) = p G u(x G )+(1 p G )u(x S ). Variieren von (x G, x S ) um ( x G, x S ) ergibt p G u (x G ) x G +(1 p G )u (x S ) x S = 0. Also gilt x G = (1 p G)u (x S ) x S p G u = GRS (x G ) GS. 44 / 132

Beispiel 1: Indifferenzkurven y G y = (y S, y G ) (y S,y G ) ={(y G,y S ): Eu(y ) = Eu(y)} I = {(x G, x S ) : E u(x) = E u(y)} (x G, x (y S,y S ) G ) - (1 p G) u (x S ) (1-p p G )/p G u'(y )/u'(yg S ) G u (x G ) -(1-p )/p G G Negative Steigung von I entspricht Verhältnis der Grenznutzen, d.h. GRS zwischen Einkommen in Zustand G und S. y S 45 / 132

Beispiel 2: Versicherung Gegeben die ursprüngliche Lotterie über Einkommen y G und y S, würde der Bauer Einkommen in G gegen Einkommen in S tauschen? Ja, falls eine Einheit Einkommen in S nicht mehr als GRS GS Einheiten Einkommen in G kostet. Eine Möglichkeit, Einkommen zwischen den Zuständen zu verschieben, ist eine Versicherung. Versicherung hat typischerweise zwei Bestandteile: Leistung (Versicherungssumme): zustandsabhängige Auszahlung K, die (hier in S) an den Bauern gezahlt wird. Preis (Versicherungsprämie): zustandsunabhängige Zahlung des Bauern γk, γ [0, 1], die zur zustandsabhängigen Leistung berechtigt. 46 / 132

Beispiel 2: Einkommens-Lotterie mit Versicherung g V y G γk p G 1 p G y S γk + K Abbildung: Lotterie mit Versicherung g V, Versicherungsleistung ist K im Zustand S und Versicherungsprämie ist γk, formal g V = (p G y G γk,(1 p G ) y S γk + K). 47 / 132

Beispiel 2: Versicherung Versicherung mit Versicherungsleistung K im Zustand S und Versicherungsprämie γk verschiebt Einkommen zwischen den Zuständen. Umtauschrate von G nach S bei Kauf von Leistung K : Zustand G S Einkommensänderung γk +(1 γ)k D.h. Umtauschrate (relativer Preis) ist G S = γk (1 γ)k = γ 1 γ. Durch Transfer von y S γ 1 γ y G, hat der Bauer eine Budgetmenge B = {(x G, x S ) : γx S +(1 γ)x G γy S +(1 γ)y G }. 48 / 132

Beispiel 2: Transfer von y S γ y G 1 γ y G y = (y S, y G ) (y S,y G Versicherung abbildbar als Menge aller Punkte, die von (y G, y S ) aus ={(y G,y S ): Eu(y ) = Eu(y)} erreichbar sind. I B = {(x G, x S ) : γx S +(1 γ)x G γy S +(1 γ)y G }. (y S,y G ) - (1-p G )/p G u'(y )/u'(yg S ) -(1-p )/p G γ G (1 γ) y S 49 / 132

Beispiel 2: Optimale Versicherungsentscheidung y G y G γk y (y S,y G ) ={(y G,y S ): Eu(y ) = Eu(y)} I (x G, x S ) I (y S,y G ) - (1-p )/p u'(y )/u'(yg G G S ) -(1-p )/p G γ G (1 γ) y S +(1 γ)k Optimale Versicherungsentscheidung (x S, x G ) ist Tangentialpunkt von Indifferenzkurve und Budgetmenge. y S 50 / 132

Beispiel 2: Optimale Entscheidung bei Unsicherheit Steigung der Versicherungsgerade (Budgetgerade) muss im Optimum gleich der Steigung der Indifferenzkurve sein! Also: x E[u(x S S, x G )] E[u(xS, x G )] = x G x S [(1 p G ) ln(x S )] x G [p G ln(x G )] = (1 p G)x G p G x S! = γ 1 γ. D.h. im Optimum gilt die BEO (1 p G ) 1 x S = γ 1 γ p 1 G. x G 51 / 132

Beispiel 2: Position der Versicherung Geht für Preis γk die Lotterie (p G 0,(1 p G ) K) ein. Erwarteter Profit: π = γk (1 p G )K. Angenommen, Versicherung macht im Schnitt Nullgewinne, also π = 0, dann ist γk = (1 p G )K. Bei γ = (1 p G ) heisst die Versicherung aktuarisch fair, dh. die Versicherungsprämie entspricht den erwarteten Kosten. Faire Versicherungsprämie bepreist Zustands-Einkommen mit Eintrittswahrscheinlichkeit des jeweiligen Zustands. 52 / 132

Beispiel 2: Optimale Entscheidung bei Unsicherheit Bauern-BEO von zuvor: xg = p G γ 1 p G 1 γ x S. Aktuarisch faire Versicherung, γ = (1 p G ), impliziert x G = p G 1 p G 1 p G p G x S = x S. Also wählt der Bauer ein zustandsunabhängiges Einkommen E[x] = xg = x S, d.h. volle Versicherung. 53 / 132

Risikoaversion Beispiel: Streng konvexe Präferenzen im Zustands-Diagramm und positive Nachfrage nach Versicherung. Besteht ein allgemeiner Zusammenhang zwischen Form der Indifferenzkurven / Nutzenfunktion und Nachfrage nach Versicherung? Wenn die Nachfrage nach Versicherung von der Form der Nutzenfunktion abhängt, dann ist diese Form als Risiko-Einstellung eines Individuums interpretierbar! Kann also das Risikoverhalten (z.b. suchend oder vermeidend) als Parameter der Nutzenfunktion modelliert werden? 54 / 132

Risikoverhalten & Form der Nutzenfunktion Wie zuvor werden hier nur monetäre Auszahlungen w als Ergebnisse betrachtet, dh. Ergebnismenge A = R + 0. Die Bernoulli-Nutzenfunktion u(w) über die Ergebnismenge ist als indirekte Nutzenfunktion interpretierbar. u(w), w R + 0 sei mindestens so oft stetig differenzierbar in w wie benötigt. Technische Annahme: A enthält nur endlich viele Ergebnisse mit positiver Wahrscheinlichkeit. 55 / 132

Jensens Ungleichung Vermutung: Konvexität der Bessermengen wichtig. Individuum fragt Versicherung nach, wenn Nutzen aus Erwartungswert einer Lotterie g = (p 1 w 1,..., p n w n ) höher als Nutzen aus g, also wenn ( n ) n u(e[g]) > E[u(g)] u p i w i > p i u(w i ). Diese Ungleichung hält genau dann, wenn u(w) streng konkav ist; sie heisst Jensens Ungleichung. i=1 i=1 56 / 132

Risikoaversion Klassifizierung der Risikoeinstellungen von Individuen nach ihrer Nachfrage nach fairer Versicherung. Dies entspricht nach Jensens Ungleichung einer Klassifizierung anhand der Eigenschaften der Nutzenfunktion. Definition Ein Individuum mit einer vnm-nutzenfunktion U(g) = E[u(w)] über einfache Lotterien g = (p 1 w 1,..., p n w n ) ist bezüglich g risikoavers, falls u(e[g]) > E[u(w)], risikoneutral, falls u(e[g]) = E[u(w)], risikofreudig, falls u(e[g]) < E[u(w)]. 57 / 132

Risikoaversion Ein Individuum kann sich bezüglich einer einfachen Lotterie g risikoavers, sich aber bezüglich einer anderen einfachen Lotterie g g risikofreudig verhalten. Falls ein Individuum für jede nicht-triviale Lotterie g risikoavers ist, sagt man das Individuum ist risikoavers. Analoges gilt für Risikoneutralität und Risikofreude. Jensens Ungleichung impliziert, dass dies bestimmten Eigenschaften der Bernoulli Nutzenfunktion u( ) entspricht. 58 / 132

Graphische Interpretation der Bernoulli Nutzenfunktion u( ) u(w) u(w 2 ) u(e[w]) E[u(w)] u(w 1 ) Gegeben sei eine konkave Bernoulli Nutzenfunktion (also u < 0) und die Lotterie (p 1 w 1,(1 p 1 ) w 2 ). (1-p 1 )(w 2 - w 1 ) p 1 (w 2 - w 1 ) w w 1 E[w] 2 e 59 / 132

Graphische Interpretation der Bernoulli Nutzenfunktion u( ) u(w) u(w 2 ) u(e[w]) E[u(w)] u(w 1 ) P ErwartungswertE[w] der Lotterie (p 1 w 1,(1 p 1 ) w 2 ) lässt sich durch Streckenteilung darstellen. (1 p 1 )(w 2 w 1 ) p 1 (w 2 w 1 ) w w 1 E[w] 2 w e 60 / 132

Graphische Interpretation der Bernoulli Nutzenfunktion u( ) u(w) u(w 2 ) u(e[w]) E[u(w)] u(w 1 ) P Ähnlich kann man den Erwartungswert der Nutzenwerte bestimmen. (1 p 1 )(w 2 w 1 ) p 1 (w 2 w 1 ) w w 1 E[w] 2 w e 61 / 132

Graphische Interpretation der Bernoulli Nutzenfunktion u( ) u(w 2 ) u(w) u(e[w]) E[u(w)] u(w 1 ) SÄ P Erwartungsnutzen als Punkt auf Konvexkombination der einzelnen Nutzenwerte aus den Auszahlungen w 1 und w 2. (1 p 1 )(w 2 w 1 ) p 1 (w 2 w 1 ) w 1 w 2 E[w] w e 62 / 132

Graphische Interpretation der Bernoulli Nutzenfunktion u( ) u(w 2 ) u(e[w]) E[u(w)] u(w 1 ) SÄ P (1 p 1 )(w 2 w 1 ) p 1 (w 2 w 1 ) w 1 w 2 E[w] u(w) Jensens ( Ungleichung n ) n u p i w i > p i u(w i ) w i=1 e i=1 besagt, dass für streng konkave u( ), der Erwartungsnutzen kleiner ist als Nutzen des Erwartungswertes. 63 / 132

Graphische Interpretation der Bernoulli Nutzenfunktion u( ) u(w) u(w 2 ) u(e[w]) E[u(w)] SA SÄ u(e[w] P) P Sicherheitsäquivalent SA: sichere Auszahlung, die gleichen Nutzen verschafft wie Lotterie. u(w 1 ) Riskoprämie P: Differenz zwischen Erwartungswert und Sicherheitsäquivalent der Lotterie. (1 p 1 )(w 2 w 1 ) p 1 (w 2 w 1 ) w 1 w 2 E[w] w e 64 / 132

Sicherheitsäquivalent Definition Das Sicherheitsäquivalent einer einfachen Lotterie g über monetäre Auszahlungen w ist eine Auszahlung SA(g), so dass u(sa(g)) = E[u(w)]. Das Sicherheitsäquivalent einer Lotterie g beschreibt also, wie hoch eine sichere Auszahlung sein muss, damit ein Individuum gerade indifferent zwischen der sicheren Auszahlung und g ist. Das Sicherheitsäquivalent reflektiert Risikoeinstellung: Falls SA(g) < E[w], so ist das Individuum risikoavers bzgl g, SA(g) = E[w], so ist das Individuum risikoneutral bzgl g, SA(g) > E[w]), so ist das Individuum risikofreudig bzgl g. 65 / 132

Risikoprämie Definition Die Risikoprämie einer einfachen Lotterie g über monetäre Auszahlungen w ist eine Auszahlung P(g), so dass E[u(w)] = u(e[w] P(g)). Die Risikoprämie einer Lotterie g beschreibt also, welchen Betrag ein Individuum gerade bereit ist zu bezahlen, um die Lotterie g zu vermeiden. Es gilt: P(g)+SA(g) = E[w], für alle g G. Risikoprämie und Risikoeinstellung: Falls P(g) > 0, so ist das Individuum risikoavers bzgl g, P(g) = 0, so ist das Individuum risikoneutral bzgl g, P(g) < 0, so ist das Individuum risikofreudig bzgl g. (Die Risikoprämie ist nicht gleich der Versicherungsprämie.) 66 / 132

Masse der Risikoeinstellung Messung und Vergleich von Risikoeinstellungen verschiedener Individuen? Interessant für Verhalten auf Kapitalmärkten, Nachfrage nach Versicherung. Wann ist ein Individuum risiko-averser als ein anderes? Generell oder bezüglich einer bestimmten Lotterie? Vorschlag: Risikoprämie als Mass der Risikoeinstellung. 67 / 132

Masse der Risikoeinstellung Risikoprämie P(g): Ein Individuum ist risikoaverser als ein anderes bezüglich einer einfachen Lotterie g, falls seine Risikoprämie für g höher ist. Diese Charakterisierung hängt von Lotterien g ab; es könnte technisch aufwendig sein, Risikoeinstellungen zu vergleichen. Vielleicht könnte ein adäquates Mass auch über Eigenschaften der Bernoulli-Nutzenfunktion u(w) definiert werden? 68 / 132

Krümmung der Bernoulli Nutzenfunktion u( ) u(w) u(e[w]) E[u(w)] SÄ P Gegeben sei eine Nutzenfunktion u(w) und eine Lotterie g = (p 1 w 1,(1 p 1 ) w 2 ) mit ErwartungswertE[w]. w 1 E[w] w 2 e 69 / 132

Krümmung der Bernoulli Nutzenfunktion u( ) u(w) u(e[w]) E[u(w)] SÄ P P Berechne Erwartungsnutzen E[u(w)] und Risikoprämie P(g). w 1 E[w] w 2 e 70 / 132

Krümmung der Bernoulli Nutzenfunktion u( ) u 2 (w) = w 1/2 u(e[w]) SÄ P u 3 (w) = w 1/3 u 4 (w) = w 1/4 u 5 (w) = w 1/5 w 1 E[w] w 2 e 71 / 132

Krümmung der Bernoulli Nutzenfunktion u( ) u 2 (w) = w 1/2 u(e[w]) SÄ P u 3 (w) = w 1/3 u 4 (w) = w 1/4 u 5 (w) = w 1/5 w 1 E[w] w 2 e Risikoprämie höher für stärkere Krümmung der Nutzenfunktion! 72 / 132

Masse der Risikoeinstellung Je gekrümmter die Bernoulli-Nutzenfunktion, desto höher die Risikoprämie P der Lotterie g. Gilt dies nur für g oder allgemein? Was wäre ein einfaches Krümmungsmass? Die Krümmung einer Funktion wird bestimmt durch ihre zweite Ableitung, die angibt, wie stark ihre erste Ableitung steigt bzw. fällt. 73 / 132

Arrow-Pratt-Mass der absoluten Risikoaversion Definition (Arrow-Pratt-Mass der absoluten Risikoaversion) Das Arrow-Pratt-Mass der absoluten Risikoaversion R a (w) is gegeben durch R a (w) = u (w) u (w). R a (w) ist streng positiv, wenn u(w) streng konkav ist (u < 0), Null, wenn u(w) linear ist (u = 0), und streng negativ, wenn u(w) streng konvex ist (u > 0). Je grösser R a (w) ist, desto grösser die Risikoaversion. 74 / 132

Beispiel: Arrow-Pratt-Mass von u(w) = w u( ) u(w) = w = w 1 2 u(e[w]) E[u(w)] SÄ P u (w) = 1 2 w 1 2, u (w) = 1 4 w 3 2, R a (w) = u 1 (w) u (w) = 4 w 3 2 1 2 w 1 2 = 1 2w. w 75 / 132

Arrow-Pratt-Mass der absoluten Risikoaversion Das Arrow-Pratt-Mass der absoluten Risikoaversion R a (w) = u (w)/u (w) ist invariant bezüglich linearer Transformationen der Nutzenfunktion. enthält alle identifizierenden Eigenschaften einer Nutzenfunktion, d.h. kennt man R a (w) für alle w A, kann man daraus die (bis auf positiv-lineare Transformation eindeutige) zugehörige Nutzenfunktion konstruieren. ist ein lokales Mass, kann also in w variieren! Also kann sich die Risikoaversion eines Individuums in der Höhe der Auszahlungen einer Lotterie und damit ebenfalls im Anfangsvermögen eines Individuums verändern. 76 / 132

Absolute Risikoaversion und Risikoprämie Proposition Für zwei monoton steigende, streng konkave Nutzenfunktionen u 1 (w) und u 2 (w) sind die folgenden Bedingungen äquivalent: (i) Ra 1(w) R2 a (w) für alle Ergebnisse w A und (ii) P 1 (g) P 2 (g) für alle Lotterien g G. Also misst R a in der Tat die Risikoaversion (ebenso wie P). 77 / 132

Absolute Risikoaversion und Risikoprämie Intuition: Sowohl Risikoprämie als auch absolute Risikoaversion sind Masse der Konkavität einer Nutzenfunktion. Man kann auch zeigen, dass Bedingungen (i) und (ii) äquivalent sind zu dieser Bedingung: u 1 ( ) ist eine konkave Transformation von u 2 ( ). Def. u 1 ( ) heisst konkave Transformation von u 2 ( ) wenn gilt, dass u 1 (w) ρ(u 2 (w)) für eine steigende und konkave Funktion ρ( ). 78 / 132

Absolute Risikoaversion und Einkommensänderung Die Risikoprämie einer Lotterie g ist ein intuitives Mass für die Risikoeinstellung eines Entscheiders (Zahlungsbereitschaft, um Lotterie g zu vermeiden). Falls Einkommen eines Individuums steigt, könnte sich die Risikoprämie für g verändern. Beispiel: Zu welchem Preis würden sie folgende Wette akzeptieren, bei der sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1e bezahlen müssen oder 1e bekommen? 79 / 132

Beispiel: Einkommmenslotterien in den Fällen (a) und (b) g a 2 1.000.001 1/2 1/2 g b 1/2 1/2 0 999.999 Abbildung: Durch die ±1e-Wette induzierte Einkommenslotterien g a und g b unter den Einkommen 1e und 1 Mioe. 80 / 132

Absolute Risikoaversion und Einkommensänderung Proposition (Arrow-Pratt) Für jede vnm-nutzenfunktion E[u(w)], u(w) streng monoton steigend und streng konkav, sind diese Aussagen äquivalent: (i) R a (w) ist eine fallende (konstante, steigende) Funktion von w. (ii) Risikoprämie P(g) einer Lotterie g mit Auszahlungen w i = w ±ε i, ε i hinreichend klein im Vergleich zu w, ist eine fallende (konstante, steigende) Funktion von w. Veränderung von Risikoprämie und absoluter Risikoaversion im Einkommen w haben das gleiche Vorzeichen. 81 / 132

DARA: Funktionen mit fallender absoluter Risikoaversion Falls das Arrow-Pratt-Mass der absoluten Risikoaversion einer Funktion im Einkommen sinkt, bezeichnet man diese Funktion als DARA-Funktion (decreasing absolute risk aversion). Formal: Falls für eine Nutzenfunktion u(w) gilt, dass < 0, dann ist u(w) eine DARA Nutzenfunktion. R a(w) w Beispiel: u(w) = w. Ableitungen: u (w) = 1 2 w 1 2 und u (w) = 1 4 w 3 2. Daher ist Ra = 1 4 w 3 2 1 2 w 1 2 = 1 1 2 w. Ableitung von Ra (w): Ra(w) w = 1 1 2 < 0. w 2 82 / 132

CARA: Funktionen mit konstanter absoluter Risikoaversion Falls das Arrow-Pratt-Mass der absoluten Risikoaversion einer Funktion im Einkommen konstant bleibt, nennt man diese Funktion CARA-Funktion (constant absolute risk aversion). Formal: Falls für eine Nutzenfunktion u(w) gilt, dass R a(w) w = 0, dann ist u(w) eine CARA Nutzenfunktion. Beispiel: u(w) = exp( ρw), ρ > 0. Ableitungen: u (w) = ρ exp( ρw), u (w) = ρ 2 exp( ρw). Daher ist Ra = ρ2 exp( ρw) ρ exp( ρw) = ρ. Ableitung von Ra (w): Ra(w) w = 0. 83 / 132

IARA: zb. Quadratische Nutzenfunktion In manchen Anwendungen der politischen Ökonomie oder der Finanzwirtschaft wird eine quadratische Nutzenfunktion benutzt, z.b. u(w) = 2w ( w w) 2 mit w w. Ableitungen: u (w) = 2+2( w w), u (w) = 2. Daher ist R a = 2 2+2( w w) = 1 1+ w w. Ableitung von R a (w): Ra(w) w = 1 (1+ w w) 2 > 0. Also hat die quadratische Nutzenfunktion steigende absolute Risikoaversion (manchmal auch IARA genannt). 84 / 132

Relative Risikoaversion Fallende absolute Risikoaversion (DARA) scheint empirisch plausibel. Akzeptanz für kleine Lotterien könnte im Einkommen steigen, sie werden immer unwichtiger im Vergleich zum Einkommen. Vielleicht nützlich, den Anteil des Einkommens zu betrachten, der unsicherheitsbehaftet ist. Z.B. bei der optimalen Aufteilung eines Anlagebetrages in verschiedene Wertpapiere. Steigt Anteil, der in unsichere Anlagen investiert wird im Anlagebetrag? 85 / 132

Relative Risikoaversion Definition (Relative Risikoaversion) Das Mass der relativen Risikoaversion R r (w) is gegeben durch R r (w) = u (w) u (w) w = R a(w) w. 86 / 132

Relative Risikoaversion: u(w) = ln(w) Ableitungen: u (w) = 1 w, u (w) = 1 w 2. Daher ist R a = 1 w 2 1 w = 1 w. Ableitung von R a (w): Ra(w) w = 1 DARA. R r (w) = 1, eine Konstante. Damit Rr(w) w w 2 < 0, also ist ln(w) = 0 und ln(w) ist eine CRRA-Funktion (constant relative risk aversion). Es gilt generell: Falls eine Funktion CRRA ist, so ist sie auch DARA. Falls eine Funktion CARA oder IARA ist, so hat sie auch steigende relative Risikoaversion. 87 / 132

Beispiel 3: Investition in ein riskantes Wertpapier Wichtiges Anwendungsgebiet: Finanzmärkte. Auszahlungen von Aktien, Anleihen, und ähnlichen Wertpapieren unsicher (Kurs-, Ausfall-, Währungs- und Zinsrisiko etc.). Hier einfaches Beispiel: Individuum entscheidet über die Investition seines Einkommens w. Zwei Anlagemöglichkeiten stehen zur Verfügung: Risikolose Anlage A, zahlt mit Sicherheit am Ende des Tages (1+r)w A aus (dabei r 0 Zinssatz und w A Anlagebetrag). Wertpapier W, zahlt mit Wahrscheinlichkeit p Betrag (1+r H )w W und mit (1 p) Betrag (1+r N )w W aus (dabei r H > r > r N Rendite und w W Anlagebetrag). 88 / 132

Beispiel 3: Investition in ein riskantes Wertpapier Investor mit Nutzenfunktion ln(w): DARA & CRRA. Was ist die optimale Aufteilung des Vermögens auf A und W? Optimierungsproblem des Investors: max wa,w W p ln((1+r)w A +(1+r H )w W ) +(1 p) ln((1+r)w A +(1+r N )w W ) so dass w W + w A = w. Hilfreiche Definition: Einkommensanteil α,welcher in W investiert wird, also α = w W w = 1 w A w. 89 / 132

Beispiel 3: Investition in ein riskantes Wertpapier Optimierungsproblem des Investors in α: max α p ln((1+r H )αw +(1+r)(1 α)w) w lässt sich ausklammern: +(1 p) ln((1+r N )αw +(1+r)(1 α)w). max α ln(w)+p ln((1+r H )α+(1+r)(1 α)) +(1 p) ln((1+r N )α+(1+r)(1 α)). Vor dem Ableiten zusammenfassen: max α ln(w)+p ln(1+r +α(r H r))+(1 p) ln(1+r +α(r N r)). Die optimale Wahl von α ist unabhängig von w. 90 / 132

Beispiel 3: Investition in ein riskantes Wertpapier BEO (durch Ableiten der Zielfunktion nach α): p(r H r) 1+r +α(r H r) = (1 p)(r r N) 1+r +α(r N r). Interpretation: Erwarteter Grenznutzen muss bei optimaler Wahl α in beiden Zuständen gleich hoch sein. Auflösen nach α ergibt nach einigem Rechnen α = (1+r)(pr H +(1 p)r N r). (r H r)(r r N ) pr H +(1 p)r N ist gerade die erwartete Rendite des Wertpapiers E[r W ]. 91 / 132

Beispiel 3: Investition in ein riskantes Wertpapier Optimaler Anteil α: α = (1+r)(E[r W] r) (r H r)(r r N ). α > 0 genau dann wenn E[r W ] > r. α < 0 entspricht Leerverkauf des WPs, α > 1 Kauf auf Kredit. Sollten Staatsanleihen oder Aktien im Erwartungswert höhere Rendite erzielen? Def. Der Verkauf eines Wertpapiers, das der Verkäufer zum Verkaufszeitpunkt noch nicht besitzt heisst Leerverkauf. Der Verkäufer profitiert von dem Leerverkauf, wenn der verkaufte Gegenstand im Preis sinkt. 92 / 132

Aktien vs. Staatsanleihen Abbildung: Reale Jahres-Renditen des Standard & Poor s Index (links) und amerikanischer Staatsanleihen (rechts). Graphiken aus Kocherlakota (1996, JEL 34(1), pp. 42-71) mit verschiedener Skalierung. 93 / 132

Aktien vs. Anleihen: Durchschnittliche reale Renditen p.a. S & P 500 Staatsanleihen Differenz 1881-1890 5,08 % 7,23 % -2,15 % 1891-1900 9,15 % 5,08 % 4,08 % 1901-1910 6,78 % 3,18 % 3,60 % 1911-1920 -0,83 % 0,82 % -1,64 % 1921-1930 17,54 % 7,41 % 10,13 % 1931-1940 7,52 % 2,80 % 4,72 % 1941-1950 8,22 % -4,57 % 12,79 % 1951-1960 15,32 % 1,05 % 14,27 % 1961-1970 5,90 % 2,27 % 3,63 % 1971-1980 2,12 % -0,30 % 2,42 % 1981-1990 9,59 % 5,32 % 4,28 % 1991-2000 15,16 % 2,61 % 12,54 % Sample Mean 8,81 % 3,24 % 5,57 % (Daten aus Fama, French (2002, JoF 57(2), pp. 637-659)) 94 / 132

Beispiel 3: Investition in ein riskantes Wertpapier Nachfrage nach unsicherem Wertpapier hängt von Risikoeinstellung des Investors, und von den Preisen für Einkommen in Zustand H bzw. N (also r H bzw. r N ) ab. Bedingung erster Ordnung: Grenznutzen des Einkommens aus den verschiedenen Zuständen angleichen (wie immer bei der Wahl des optimalen Güterbündels). 95 / 132

Risiko Im Beispiel musste der Investor durch einen höheren Erwartungswert der unsicheren Anlage kompensiert werden, um eine positive Menge nachzufragen. Nicht sonderlich überraschend, dies ist Definition von Risikoaversion! Was ist aber das Risiko einer Lotterie? Intuitiv: Ein risikoaverser Entscheider sollte, ohne dafür kompensiert zu werden, eine weniger riskante Lotterie gegenüber einer riskanteren bevorzugen. 96 / 132

Risikovergleich zwischen Lotterien Im Beispiel: riskantes Wertpapier und sichere Anlage. Wertpapier doch sicher riskanter als sichere Anlage? Trotzdem positive Nachfrage nach Wertpapier möglich, abhängig vom Erwartungswert! Also wird Risiko der riskanteren Lotterie zumindest teilweise über die Differenz der Erwartungswerte kompensiert. Idee: Vergleiche Lotterien und halte dabei Erwartungswert konstant. 97 / 132

Beispiel 4: Risikovergleich Seien g und h zwei Lotterien definiert durch g = (p w g 1,(1 p) w g 2 ) und h = (p w h 1,(1 p) w h 2 ). Die erwarteten Auszahlungen von g und h seien gleich, d.h. E[w g ] = pw g 1 +(1 p)w g 2 = pw h 1 +(1 p)w h 2 = E[w h ]. Ausserdem gelte w g 1 > w 1 h > w 2 h > w g 2, also liegen Auszahlungen von g ausserhalb jener von h. 98 / 132

Beispiel 4: Lotterien g und h graphisch wg 1 = 10 p g wh 1 = 7, 5 p h 1 p 1 p wh 2 = 2, 5 w 2 g = 0 99 / 132

Beispiel 4: Risikovergleich Wird ein risikoaverser Entscheider g oder h bevorzugen? E[u(w h )] > E[u(w g )] falls (1 p)(u(w2 h ) u(w g 2 )) > p(u(w g 1 ) u(w 1 h )). Teilen beider Seiten durch p(w g 1 w 1 h) = (1 p)(w 2 h w g 2 ) u(w h 2 ) u(w g 2 ) w h 2 w g 2 > u(w g 1 ) u(w 1 h) w g 1 w 1 h. Diese Ungleichung hält, falls u(w) global konkav in w. Also wird jeder risikoaverse Entscheider h gegenüber g vorziehen, egal welche Nutzenfunktion er genau hat. Also erscheint g riskanter als h. 100 / 132

Beispiel 4: Risikovergleich u(wg) 1 u(wh) 1 u(w 2 h) u( ) SÄ P u(w) Für jede streng konkave Funktion u( ) gilt, dass u(w2 h) u(w g 2 ) w2 h w g > 2 u(w g 1 ) u(w 1 h) w g 1 w 1 h. u(wg) 2 wg 2 = 0 wh 2 = 2, 5 w 1 h = 7, 5 w 1 g = 10 e 101 / 132

Allgemein: Mean Preserving Spreads Idee: Betrachte Geldlotterie h = (p h 1 w h 1,..., ph n w h n ). Dann, betrachte zusammengesetzte Geldlotterie g, welche an Stelle jedes Ergebnisses wi h von h (i {1,..., n}) zu einer Lotterie h i führt, wobei E[h i ] = w h Dann ist g ein Mean Preserving Spread (MPS, erwartungstreue Streckung ) von h. Intuitiv: g schiebt Wahrscheinlichkeitsmasse nach aussen an die Ränder, ohne den Erwartungswert zu ändern. i. 102 / 132

Allgemein: Mean Preserving Spreads Definition (Mean Preserving Spread) Betrachte die Geldlotterien h und g. Bezeichne x h und x g die jeweils zugehörige Zufallsvariable. Dann ist g ein Mean Preserving Spread (MPS, erwartungstreue Streckung ) von h, wenn gilt: x g = x h + z für eine beliebige Zufallsvariable z mit E[z] = 0. 103 / 132

Mean Preserving Spreads u(w) u( ) u(e[w 0 ]) Gegeben sind eine Bernoulli-Nutzenfunktion u( ) und eine Lotterie g, die mit Sicherheit w 0 auszahlt. E[w 0 ] w 104 / 132

Beispiel: Lotterien g und g graphisch g 1 w 0 w 3 1/2 g 1/2 w 2 Abbildung: Links: Lotterie g, die mit Sicherheit w 0 auszahlt. Rechts: g mit 1/2(w 2 + w 3 ) = w 0 ist ein MPS von g. 105 / 132

Mean preserving spreads u(w) u( ) u(e[w 0 ]) U(g ) Der Erwartungsnutzen der Lotterie g ist kleiner als der von g U(g ) = 1 2 u(w 2)+ 1 2 u(w 3). w 2 E[w 0 ] w 3 w 106 / 132

Mean preserving spreads u(e[w 0 ]) U(g ) U(g ) u(w) P u( ) Abermaliges erwartungstreues Spreizen von g ergibt den weiteren MPS g mit noch geringerem Erwartungsnutzen. w 1 w 2 E[w 0 ] w 3 w 4 w 107 / 132

Risiko Proposition Betrachte zwei Lotterien g und h mit Auszahlungen w g i Die folgenden Bedingungen sind äquivalent: (i) g ist ein MPS von h. (ii) E[u(wi h )] > E[u(w g i )] für jede konkave Funktion u(w). und w h i. Unter Bedingung (i) bevorzugen alle risikoaversen Agenten h gegenüber g. Umkehrschluss: h ist weniger riskant als g, g ist ein Risikoanstieg gegenüber h. 108 / 132

Beispiel 5: Prüfungsvorbereitung Student S bereitet sich auf ein Examen vor. Die Prüfung besteht aus einer Frage, die zufällig mit gleicher Wahrscheinlichkeit aus 3 Themengebieten ausgewählt wird. S kann seine Zeit T = 1 auf die Vorbereitung der Themen aufteilen, wählt (t 1, t 2, t 3 ). t i bestimmt direkt die Punktzahl bei Frage aus Thema i. S ist risikoavers und bezieht Nutzen aus erzielten Punkten u S = t i, wobei i das zufällig ausgewählte Thema bezeichnet. Was ist die optimale Vorbereitungsstrategie? 109 / 132

Beispiel 5: Prüfungsvorbereitung g t 1 1/3 t 2 1/3 1/3 Abbildung: Über die Zeitaufteilung (t 1, t 2, t 3 ) kann Nutzen zwischen den verschiedenen Zuständen der Welt (Prüfungsthemen) verschoben werden. t 3 110 / 132

Beispiel 5: Prüfungsvorbereitung Im Optimum wird (t 1, t 2, t 3 ) so gewählt, dass GRS zwischen allen Zuständen gleich ist. Eintrittswahrscheinlichkeiten der Zustände (Themen) sind ebenfalls gleich. Daher wird S im Optimum t 1 = t 2 = t 3 = 1/3 wählen. Alle anderen Aufteilungen sind MPS von (t 1, t 2, t 3 ). Analogie zum Portfolio-Entscheidungsproblem: Nicht alle Eier in einen Korb legen. 111 / 132

Beispiel 5: Mut zur Lücke Allerdings liegt üblicherweise die Bestehensgrenze bei 50%, also fällt Student mit Sicherheit durch, da t i = 1/3 <.5, i = 1, 2, 3. S sollte ihre Nutzenfunktion modifizieren: 0 falls t i < 1/2 u(t i ) = ti falls 1/2 t i 1, 1 falls t i > 1. Dh. die Nutzenfunktion hat eine Sprungstelle (von 0 auf 1/2 bei ti = 1/2). Investition von Zeit in ein Thema nur sinnvoll, falls t i 1/2. Optimierungsproblem: Wahl zwischen Lotterien vom Typ (2/3 1/2, 1/3 0) und (1/3 1, 2/3 0). 112 / 132

Beispiel 5: Mut zur Lücke graphisch 1/2 1/3 g 1/2 1/3 1/3 0 g 1/2 2/3 1/3 0 E[g] = 2 1 3 2 = 1 3 = E[g ]. 1 2/3 0 g 1/3 Abbildung: Links: Zeitaufteilung auf zwei Themengebiete ergibt Lotterie g. Mitte: Zeitaufteilung auf zwei Themengebiete zusammengefasst. Rechts: Vergleich mit MPS g (Vorbereitung nur auf ein Themengebiet). 113 / 132

Beispiel 5: Mut zur Lücke Da S risikoavers und g ein MPS von g ist, wird sich S auf zwei Themen vorbereiten. Obwohl g mit (1/2, 1/2, 0) riskanter ist als Vollversicherung (t i = 1/3, i = 1, 2, 3) wird S durch die Sprungstelle zum Risiko gezwungen. Durchfallgrenze von 50% impliziert Nutzen erst ab Mindestinvestition t i = 1/2. Fixkosten bzw. diskrete Auszahlungsniveaus können risikofreudiges Verhalten risikoaverser Individuen auslösen. 114 / 132

Weiterführende Themen Welche Prüfungsform wird ein Dozent wählen, der möglichst breite Ausbildung der Studenten im Auge hat? Wenn der Dozent private Anreize hat, möglichst niedrige/hohe Durchfallquoten zu induzieren? Mechanismus-Design Im Modell präferieren schlechte Studenten riskantere Prüfungen. Wieviele Fragen sollte die Klausur Ihrer Meinung nach haben? Signalisierungsspiele. 115 / 132

Diskussion Erwartungsnutzentheorie ergibt eine formale Darstellung ökonomischen Verhaltens unter Unsicherheit, die mathematisch beherrschbar ist. Ermöglicht z.b. die Existenz von Versicherungsmärkten zu erklären. Linearität der Erwartungsnutzenfunktion in Wahrscheinlichkeiten eine starke Restriktion, ermöglicht relativ einfache Messung. Erwartungsnutzentheorie ist axiomatisiert durch Annahmen an Präferenzen über Handlungsalternativen mit unsicheren Konsequenzen. Annahmen der Erwartungsnutzentheorie vergleichsweise stark und detailliert, damit einfach testbar. 116 / 132

Diskussion Erwartungsnutzentheorie hat zwei Komponenten. Normativ sagt sie aus, dass Individuen, deren Präferenzen die Erwartungsnutzen-Axiome erfüllen, eine vnm-nutzenfunktion besitzen und diese maximieren sollten. Positiv sagt sie aus, dass tatsächliches individuelles Verhalten unter Unsicherheit mit einer Erwartungsnutzenfunktion konsistent sein sollte. 117 / 132

Messung der Erwartungsnutzenfunktion Haben Sie eine Erwartungsnutzenfunktion? Wie sieht sie aus? Dazu können Sie Ihre persönliche Zahlungsbereitschaft für die folgenden drei Lotterien angeben. Aus den Antworten können Sie dann Teile Ihrer Nutzenfunktion konstruieren. Dieser Messungsvorschlag folgt Klaus Schmidts Vorlesungsskriptum Mikroökonomie (2006). 118 / 132

Messung der Erwartungsnutzenfunktion Frage 1: Welcher sichere Geldbetrag wäre genauso gut für Sie wie eine Lotterie, bei der Sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit 4000e gewinnen oder 1000e verlieren? Antwort 1 (A 1 ):... Frage 2: Welcher sichere Geldbetrag wäre genauso gut für Sie wie eine Lotterie, bei der Sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit 4000e gewinnen oder den bei Antwort 1 angegeben Betrag gewinnen? Antwort 2 (A 2 ):... Frage 3: Welcher sichere Geldbetrag wäre genauso gut für Sie wie eine Lotterie, bei der Sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit den bei Antwort 1 angegeben Betrag gewinnen oder 1000e verlieren? Antwort 3 (A 3 ):... 119 / 132

Messung der Erwartungsnutzenfunktion Die drei Antworten bestimmen (mit sicheren Auszahlungen 4000 und 1000) fünf Punkte Ihrer vnm-nutzenfunktion. Die Nutzenfunktion kann beliebig umskaliert werden, wir wählen u( 1000) = 0 und u(4000) = 1. Damit gilt u(a 1 ) = 1/2 und damit u(a 2 ) = 3/4 sowie u(a 3 ) = 1/4. Zusammen mit den zugehörigen Geldbeträgen haben Sie nun fünf Koordinaten, die Sie auf der folgenden Graphik eintragen können. 120 / 132

Messung der Bernoulli-Nutzenfunktion 1 u(w) 3/4 1/2 1/4 Hier können Sie die durch Ihre Antworten A 1, A 2 und A 3 bestimmten Punkte Ihrer Bernoulli- Nutzenfunktion eintragen. -1000 0 1000 2000 3000 4000 w 121 / 132

Lotterien im Simplex Definition (Simplex) Eine Menge = {p R N + : p i = 1} heisst N-dimensionaler Simplex. In seinem drei-ergebnis (3-dimensionalen) Fall, kann ein Simplex graphisch als gleichseitiges Dreieck mit Höhe 1 dargestellt werden. Die rechtwinklige Entfernung von einer Seite des Dreiecks wird dann als Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses das dieser Seite gegenüberliegt interpretiert. Da für jeden Punkt im Simplex gilt 3 p i = 1, i=1 beschreibt jeder Punkt im Simplexdiagramm eine Lotterie. 122 / 132

Lotterien über Geld Die Lotterie Q = {p 1 1, p 2 2, p 3 3} mit p 1 = p 2 = p 3 = 1 / 3. e3 1 e3 1 / 2 p 2 Q p 1 1 0 1 / 2 e1 1 1 e2e1 p 3 e2 123 / 132

Präferenzen über Lotterien Die vnm-annahmen induzieren gerade & parallele Indifferenzkurven über Lotterien w (u v) im Simplexdiagramm. Hier eine Illustration der Macht von Reduktion & Unabhängigkeit: (α u,(1 α) w) (α v,(1 α) w) e3 e3 w 1 / 2 u + 1 / 2 w 1 / 2 v + 1 / 2 w 1 / 2 u + 1 / 2 v e1 u v e2 e1 u v e2 124 / 132

Allais Paradoxon Von Neumann und Morgenstern verstanden die Erwartungsnutzentheorie als normatives Argument für idealisiertes Risikoverhalten. Die praktische Anwendbarkeit der Theorie machte es allerdings bald notwendig auch ihre Vorhersagen zu überprüfen. Die klassische Falsifikation dieser deskriptiven Seite der Erwartungsnutzentheorie ist Allais Paradoxon. Sie wählen zwischen Alternativen L 1 und L 2 bzw. L 3 und L 4 : L 1 : {0.0 e0, 1 e1, 0.0 e5} L 2 : {0.01 e0, 0.89 e1, 0.1 e5} L 3 : {0.9 e0, 0 e1, 0.1 e5,} L 4 : {0.89 e0, 0.11 e1, 0.0 e5} (Beträge in Millionen.) 125 / 132

Allais Paradoxon Typischerweise wird L 1 L 2 und L 3 L 4 gewählt aber parallele, gerade Indifferenzkurven können nicht sowohl L 1 L 2 als auch L 3 L 4 repräsentieren! e5 Mio e5 Mio L 3 L 2 L 3 L 2 e0 Mio L 4 L 1 L 4 e1 Mio e0 Mio L 1 e1 Mio Das übliche Wahlverhalten in Allais Paradoxon kann also nicht durch die Erwartungsnutzentheorie beschrieben werden. 126 / 132

Allais Paradoxon: Einige Reaktionen 1. Es handelt sich um hypothetische Fragen, nicht um wirkliche Entscheidungen. Also ist das Allais-Paradox ohne empirische Relevanz. Aber: Experimentelle Untersuchungen belegen das Entscheidungsmuster. 2. Individuen machen in unvertrauten Entscheidungssituationen Fehler. Analogie: Hätten Sie liebere96 69 odere87 78? Wenn Sie spontan die erste Alternative wählen, ist das keine Evidenz gegen die Hypothese, dass Sie lieber mehr als weniger Geld hätten. Sondern Evidenz dafür, dass Sie nicht gut im Kopf rechnen können. 3. Theorien stossen häufig an Grenzen, wenn Sie auf unübliche Situationen angewandt werden. Aber: Es bleibt unklar, unter welchen Umständen die Erwartungsnutzentheorie dann anwendbar ist. 127 / 132

Rabins Paradox Grad der Risikoaversion entspricht Krümmung der Bernoulli-Nutzenfunktion. Für sehr kleine Lotterien lässt sich die Nutzenfunktion daher gut mit einer linearen Funktion approximieren. Man kann zeigen, dass sich relative geringe Risikoaversion gegen kleine Lotterie in immense Risikoaversion gegen grosse übersetzt. 128 / 132

Rabins Paradox: Ein Beispiel Johnny sei ein risikoaverser Erwartungsnutzenmaximierer, welcher für beliebige Anfangsausstattungen w 0 folgende Lotterie ablehnt: { 1 2 w 0 10, 1 2 w 0 + 11} Frage: Wie gross muss Y mindestens sein, damit Johnny folgende Lotterie annimmt (für beliebiges w 0 ): { 1 2 w 0 100, 1 2 w 0 + Y}? (a) e110. (b) e221. (c) e2,000. (d) e20,242. Antwort: (f)! (e) e1.1 Million. (f) Johnny wird die Lotterie ablehnen, egal wie gross Y ist. (g) Wir brauchen mehr Informationen über Johnny s Nutzenfunktion. 129 / 132

Rabins Paradox: Intuition Um Lotterie {1/2 w 0 10, 1/2 w 0 + 11} abzulehnen, muss die Nutzenfunktion im Intervall [w 0 10, w 0 + 11] hinreichend gekrümmt sein. Es muss für durchschnittliche Steigung auf [w 0 10, w 0 ] bzw. [w 0, w 0 + 11] gelten, dass u(w 0 + 11) u(w 0 ) < u(w 0) u(w 0 10). 11 10 1e bei w 0 + 11 ist damit maximal 10/11 soviel Wert wie 1e bei w 0 10. Iteration (setze w 0 = w 0 + 21): 1e bei w 0 + 32 ist maximal 10/11 soviel Wert wie 1e bei w + 10 maximal (10/11) 2 soviel wie 1e bei w 0 10. Etc. Risikoaversion bei kleinen Lotterien impliziert rapide sinkenden Grenznutzen und damit kleinen (beschränkten!) Zusatznutzen beliebig grosser Auszahlungen! 130 / 132