Vorwort Das mathematische Grundwissen in der Arithmetik dem «Rechnen» kommt in vielen Berufen zur Anwendung. Dieser Band aus der Reihe «Mathematik Basics» bietet Ihnen die Möglichkeit, in Form eines programmierten Unterrichts in ca. 0 Lektionen die wichtigsten Regeln der Arithmetik der 1. und. Stufe gezielt zu lernen und mit Hilfe von Beispielen einzuüben. Sie werden dabei lernen, wie man mit Variablen addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert. Mit Hilfe der Lösungen am Schluss dieses Lernprogramms können Sie Ihre Resultate kontrollieren. Eventuell haben Sie die vier Grundoperationen vor längerer Zeit in Ihrer Schullaufbahn schon gelernt. Für diesen Fall bietet Ihnen dieses Lernprogramm die Möglichkeit, vielleicht etwas vergessene Kenntnisse aufzufrischen. Eines der wichtigsten Anwendungsgebiete der Arithmetik ist die Algebra, die Lehre von den Gleichungen. Es ist deshalb sehr empfehlenswert, die erworbenen Kenntnisse der Arithmetik gleichzeitig in der Algebra anzuwenden. Eine Einführung in die Algebra im zweiten Teil dieses Lernprogramms vermittelt Ihnen die nötigen Kenntnisse für das Lösen einfacher Gleichungen. Beispiele helfen Ihnen auch hier, das Gelernte zu üben. Für eine vertiefte Beschäftigung mit der Algebra bieten sich die Bände «Formeln umstellen» und «Algebra rechnerische und graphische Lösungen von Gleichungen» aus der Reihe «Mathematik Basics» an. Wir wünschen Ihnen viel Erfolg. Marc Peter, Rainer Hofer Berufsschullehrer und Lehrpersonen für Förderangebote
Inhaltsverzeichnis 1 Rechenarten, Grundsätzliches zum Rechnen mit Variablen Seite 6 1.1 Repetition: Das Rechnen mit Brüchen Seite Operation 1. Stufe: Addition und Subtraktion Seite 13.1 Addition und Subtraktion mit verschiedenen Vorzeichen Seite 1. Das Rechnen mit Klammern Seite 16 3 Multiplikation Seite 1 3.1 Definition und Eigenschaften Seite 1 3. Multiplikation «Zahl mal Klammer» Seite 0 3.3 Multiplikation «Klammer mal Klammer» Seite 1 3.4 Die drei binomischen Formeln Seite 3 3. Ausklammern oder Vorklammern Seite 3.6 Anwendung Faktorzerlegung: Das Kürzen von Brüchen Seite 4 Division Seite 30 4.1 Definition und Eigenschaften Seite 30 4. Dividieren mit algebraischen Summen Seite 3 4.3 Erweitern von Brüchen Seite 34 4.4 Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) Seite 3 4. Addieren und Subtrahieren von Brüchen Seite 3 4.6 Multiplizieren von Brüchen Seite 41 4. Dividieren von Brüchen Seite 4 Algebra: Die Lehre von den Gleichungen Seite 46.1 Zahlengleichungen Seite 46. Formeln umstellen Seite 6 Lösungen zu den Übungen Seite 61
1 Rechenarten, Grundsätzliches zum Rechnen mit Variablen Unter Arithmetik versteht man das Rechnen mit Zahlen oder Variablen. 4 3 + 4, 6 =? 3 =? ( 3 ) + a? a = ab a =? ab Es gibt drei Operationsstufen: Operation 1. Stufe Addieren a + 3b + 6c + b =? Subtrahieren 4 r 6 3r =? Operation. Stufe Multiplizieren 4 b ( a 3ab) =? Dividieren 4ab b =? ab 3 = Potenzieren ( xy )? Operation 3. Stufe Radizieren 3 x =? Logarithmieren lg + lg =? Arithmetik und Algebra Seite 6
Variablen sind Stellvertreter für bestimmte Zahlen oder Grössen (z.b. Fläche A). Damit können mathematische Gesetzmässigkeiten ganz allgemein als Rechenregel oder als Formel ausgedrückt werden. Bei der Rechenregel stehen die Variablen an Stelle von Zahlen, bei Formeln an Stelle von Grössen. Rechenregel Formel a + c + A = h ( a b) = a + ab + b Kommt die gleiche Variable bei einer bestimmten Rechenregel oder Formel mehrmals vor, so ist sie Stellvertreter für stets die gleiche Zahl oder Grösse. Hier einige grundsätzliche Vereinbarungen und Begriffe, die das Rechnen mit den Variablen betreffen: Bei den + und Zeichen unterscheidet man zwischen Operationszeichen und Vorzeichen. Vorzeichen werden in Klammern geschrieben (ausser am Anfang). Vorzeichen... Operationszeichen Es gilt die Regel, dass positive Vorzeichen nicht geschrieben werden.... Ein Malzeichen zwischen Beizahl und Variable oder auch zwischen den Variablen lässt man weg.... Beizahl Ist die Beizahl 1 oder 1, so wird sie nicht geschrieben....... Die Beizahlen können auch Bruchzahlen sein. Deshalb folgt eine kurze Repetition des Bruchrechnens mit natürlichen Zahlen. Arithmetik und Algebra Seite
1.1 Repetition: Das Rechnen mit Brüchen Brüche auf dem Zahlenstrahl, unechte Brüche, gemischte Zahlen Die Brüche haben auf dem Zahlenstrahl wie folgt ihren Platz: Brüche, bei denen der Zähler kleiner ist als der Nenner, nennt man: Brüche, bei denen der Zähler grösser ist als der Nenner, nennt man:...... Brüche mit gleichem Zähler und Nenner sind immer 1. Arithmetik und Algebra Seite
Die unechten Brüche lassen sich in... verwandeln, eine Addition aus einer ganzen Zahl und einem Bruch: 3 = 69... 11... Man kann auch jede gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandeln: 3 =...... Übung 1 Verwandeln Sie die folgenden gemischten Zahlen in unechte Brüche oder umgekehrt. a) b) 4 4 c) 11 11 d) 1 3 e) f) 3 Erweitern und Kürzen von Brüchen Erweitern heisst, Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl zu multiplizieren. Der Wert des Bruches ändert sich dadurch nicht. Erweitern Sie den ersten Bruch mit, den zweiten mit 1 und den dritten mit 00: 9 = 0... Kürzen heisst, Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl zu dividieren. Der Wert des Bruches ändert sich dadurch nicht. Kürzen Sie folgende Brüche: 6 14 = 3 1 40... Arithmetik und Algebra Seite 9