Nutzenmessung. Geschichte, Paradoxien, Anomalien

Nutzenmessung. Geschichte, Paradoxien, Anomalien

Grundlagen von Entscheidungs- und Spieltheorie 1. Die Anfänge: Glücksspiele 2. Petersburger Paradox 3. Messung subjektiven Nutzens nach Neumann-Morgenstern 4. Anomalien der Standard-Nutzentheorie nach Neumann- Morgenstern a) Allais-Paradox b) Framing-Effekt c) Alternative Entscheidungstheorien: Beispiel Prospect-Theorie 5. Social Choice: Das Problem, aus individuellen Präferenzen eine kollektive Entscheidung abzuleiten. a) Condorcet-Paradox b) Borda-Regel c) Arrow-Theorem d) Beispiel: Berlin gegen Bonn

Kennenlernen von Problemen bei rationalen Entscheidungen! Diese Grundlagen sind für jede Fachrichtung im Studium und Beruf von Bedeutung; die Probleme, Folgen und Alternativen werden aber selten explizit angesprochen. Z.B. Abstimmung in Gruppen (im Parlament, einer Fakultätssitzung, an der Uni, im Management oder im Verein: Welche Abstimmungsregel ist sinnvoll?

1. Die Anfänge Chevalier de Méré Ein enthusiastischer Spieler im 17. Jhd. Folgendes Spiel: Münzwurf. Person A erhält einen Punkt bei Kopf, Person B einen Punkt bei Wappen. Wer zuerst 10 Punkte erzielt, Hat gewonnen. Beispiel: ABBAAABBAABABAABA A gewinnt. Das Spiel wird unterbrochen. A hat 9 und B hat 8 Punkte. Welches ist eine faire Aufteilung? 9 : 8? oder 2 : 1?

de Méré wendet sich an Blaise Pascal (1623-62) und Pascal führt einen Briefwechsel über das Problem mit Pierre de Fermat (1601-65): Der Briefwechsel führt zu folgendem Ansatz: Man berechne den Wert des Spiels für A und B: M(A) = p(a) x Mit Gewinn x und p(a) die Wahrscheinlichkeit, dass A den Gewinn erzielen wird.

Drei Möglichkeiten: E 1 A p 1 = ½ A gewinnt E 2 BA p 2 = ¼ A gewinnt E 3 BB p 3 = ¼ B gewinnt P(A) = ¾; P(B) = ¼ Faire Aufteilung (3:1) Der Wert des Spiels ist für A: M A = P(A) x = Monetärer Erwartungswert, Gelderwartung (Nicht so selbstverständlich. Z.B. d Alembert s Irrtum: P(Wappen) bei zweifachem Münzwurf 2/3)

2. Das St. Petersburger Paradox Daniel Bernoulli (1700 1782) Münzwurf. Der Spieler gewinnt 2 n Rubel für eine ununterbrochene Serie von Kopf. Sobald Wappen erscheint, endet das Spiel. Gewinn Wahrscheinlichkeit W 2 0 = 1 1/2 KW 2 1 = 2 1/4 KKW 2 2 = 4 1/8 KKKW 2 3 = 8 1/16 KKKKK 2 n 1/ 2 n+1 Wieviel sind Sie bereit als Einsatz zu zahlen, um an diesem Spiel teilnehmen zu dürfen?

M = 1/2 1 + 1/4 2 + 1/8 4 + 1/16 8 + M = ½ + ½ + ½ + ½ + M ist unendlich! Ein rationaler Spieler müsste einen unendlich hohen Betrag einzahlen, um an diesem Spiel teilnehmen zu dürfen. Die Einsätze sind dagegen endlich und in der Regel relativ klein. Ein Paradox? Lösungsvorschläge?

Vorschlag 1: Vermögen sind endlich Keine Bank kann einen unendlich hohen Gewinn auszahlen. Angenommen die Bank hat ein Kapital von 2 49 Die Bank sagt bei 49mal Kopf: Leider können wir nicht mehr zahlen, wir müssen das Spiel an dieser Stelle beenden. Die Gelderwartung beträgt dann gerade einmal 25 Rubel!

Bernoullis Vorschlag: Der Nutzen ist eine logarithmische Funktion des Geldes In der Psychologie: Weber-Fechner-Gesetz Erwartungsnutzen EU = p(u i ) U i Ist endlich

3. Messung subjektiven Nutzens

b) Neumann-Morgenstern, Nutzenmessung auf Intervallskala (Kardinale Nutzenmessung) a 1 = 1000, p 1 = 0,30 Lotterie L a 2 = 2000, p 2 = 0,50 a 3 = 3000, p 3 = 0,20 Lotterie L = (a 1,p 1 ), (a 2,p 2 ),...,(a m,p m ) a 1, a 2, a 3 sind physikalische Einheiten, hier z.b. Geldeinheiten. Gesucht ist der psychologische Nutzen von a 1, a 2, a 3, also u(a 1 ), u(a 2 ), u(a 3 ),

Das Stetigkeitsaxiom fordert: Es gibt immer ein a 2, so dass Indifferenz zwischen beiden Lotterien hergestellt werden kann.

Nutzenmessung nach Neumann-Morgenstern Gegeben eine Rangordnung der Präferenzen (Transitivitätsaxiom ist erfüllt): a 1 a 2, a 2 a 3 a 1 a 3 Lotterie L1 = (a 2,p 2 =1), Lotterie L2 = (a 1,p 1 =p), (a 3,p 3 =1-p) Bestimme p so, dass gilt: L1 L2 Indifferenz u(a 2 ) = p u(a 1 ) + (1-p) u(a 3 ) Intervallskala, Wahl von zwei freien Parametern: u(a 1 ) = 1, u(a 3 ) = 0 u(a 2 ) = p (d.h. der Wert von u(a 2 ) zwischen u(a 1 ) und u(a 3 ) kann experimentell bestimmt werden, indem man p in einer Serie von Angeboten variiert.)

Mit dieser Methode können die Nutzenwerte für alle Objekte bestimmt werden, vorausgesetzt die Axiome der N-M-Nutzentheorie sind erfüllt. L1 L2 EU1 EU2 mit u* = r u + s d.h. die Nutzenfunktion ist eindeutig bis auf lineare Transformationen (Wahl des Nullpunkts und der Skaleneinheit) Axiome sind im Prinzip empirisch prüfbar! Nutzenskala ist keine Ratioskala. Der Nullpunkt ist willkürlich gewählt (d.h. wenn u 1 =10 und u 2 =11 ist die Aussage u 2 hat einen 10 Prozent höheren Nutzen nicht zulässig). p i sind objektive, gegebene Wahrscheinlichkeiten.

SEU-Theorie (subjektiv erwarteter Nutzen) Erweiterung durch Savage (1954): Messung von Nutzen und Wahrscheinlichkeiten durch beobachtete Präferenzen.

Rationales Handeln Normative versus deskriptive Entscheidungstheorie Allgemein: Rationalität = Entscheidungen in Übereinstimmung mit den Axiomen einer Rationalitätstheorie Kardinaler Nutzen: Neumann-Morgenstern- oder Savage-Axiome Ordinaler Nutzen: U.a. Transitivitätsaxiom (schwächere Anforderungen) Strategisches Handeln: Zusätzlich Nash-Gleichgewicht, Teilspielperfektheit, weitere Anforderungen an das Gleichgewicht (Harsanyi und Selten 1988) Problem deskriptiver Theorie rationalen Handelns: In vielen Entscheidungssituationen werden die Axiome der Rationalitätstheorie verletzt ( Anomalien der Entscheidungstheorie) Genauer: Ken Binmore, 2009. Rational Decisions. Princeton, N.J.: Princeton Univ. Press

Wähle A1 oder B1: A1 1000'000 Fr. mit Sicherheit (p = 1) B1 5000'000 Fr. mit p = 0,10 1000'000 Fr. mit p = 0,89 0 Fr. mit p = 0,01 Ich wähle A1... Ich wähle B1...

Wähle A2 oder B2: A2 1000'000 Fr. mit p = 0,11 0 Fr. mit p = 0,89 B2 5000'000 Fr. mit p = 0,10 0 Fr. mit p = 0,90 Ich wähle A2... Ich wähle B2...

4. Anomalien der klassischen Entscheidungstheorie Allais-Paradox, Allais 1953 I. A1 1000'000 Fr. mit Sicherheit (p = 1) B1 5000'000 Fr. mit p = 0,10 II. 1000'000 Fr. mit p = 0,89 0 Fr. mit p = 0,01 A2 1000'000 Fr. mit p = 0,11 0 Fr. mit p = 0,89 B2 5000'000 Fr. mit p = 0,10 0 Fr. mit p = 0,90 Viele wählen bei I.) Alternative A1 und bei II.) Alternative B2.

4. Anomalien der klassischen Entscheidungstheorie Allais-Paradox, Allais 1953 I. A1 1000'000 Fr. mit Sicherheit (p = 1) B1 5000'000 Fr. mit p = 0,10 II. 1000'000 Fr. mit p = 0,89 0 Fr. mit p = 0,01 A2 1000'000 Fr. mit p = 0,11 0 Fr. mit p = 0,89 B2 5000'000 Fr. mit p = 0,10 0 Fr. mit p = 0,90 Viele wählen bei I.) Alternative A1 und bei II.) Alternative B2. Diese Wahlen sind irrational bzw. Inkonsistent bezüglich der Neumann-Morgenstern- (und Savage) Axiome der Nutzentheorie. Das kann man folgendermassen zeigen:

100 Lotterie Tickets: 1-10 11 12-99 100 A1 1000000 1000000 1000000 1000000 B1 5000000 0 1000000 1000000 A2 1000000 1000000 0 0 B2 5000000 0 0 0 A1 1000'000 Fr. mit Sicherheit (p = 1) B1 5000'000 Fr. mit p = 0,10; 1000'000 Fr. mit p = 0,89; 0 Fr. mit p = 0,01 A2 1000'000 Fr. mit p = 0,11; 0 Fr. mit p = 0,89 B2 5000'000 Fr. mit p = 0,10; 0 Fr. mit p = 0,90

1-10 11 A1 1000000 1000000 B1 5000000 0 A2 1000000 1000000 B2 5000000 0 Beobachtet wird meist: A1 wird B1 und B2 wird A2 vorgezogen. Konsistente Wahl: A1 vor B1 und A2 vor B2 oder B1 vor A1 und B2 vor A2. Verletzung der Axiome. Psychologische Erklärung: Verzerrte Wahrnehmung kleiner Wahrscheinlichkeiten.

Ich wähle A 2 B 2 A 1 10 (4%) 88 (36%) B 1 11 (4%) 136 (56%) N=245 ETH-Vorlesung FS 2015, rot = inkonsistente Entscheidungen Auch Savage wurde von Allais um eine Entscheidung gebeten. Er hat ebenfalls seine Axiome verletzt und A1 sowie B2 gewählt!

Stellen Sie sich vor, die Schweiz bereitet sich auf den Ausbruch einer ungewöhnlichen Grippeepidemie vor, an der schätzungsweise 600 Personen sterben werden. Um die Epidemie zu bekämpfen, wurden zwei alternative Massnahmen vorgeschlagen. Gehen Sie davon aus, dass die exakte wissenschaftliche Schätzung der Wirkung der Massnahmen wie folgt ist: Wenn Massnahme A durchgeführt wird, werden 200 Personen gerettet. Wenn Massnahme B durchgeführt wird, besteht eine Wahrscheinlichkeit von 1/3, dass 600 Personen gerettet werden, und von 2/3, dass niemand gerettet wird.

Stellen Sie sich vor, die Schweiz bereitet sich auf den Ausbruch einer ungewöhnlichen Grippeepidemie vor, an der schätzungsweise 600 Personen sterben werden. Um die Epidemie zu bekämpfen, wurden zwei alternative Massnahmen vorgeschlagen. Gehen Sie davon aus, dass die exakte wissenschaftliche Schätzung der Wirkung der Massnahmen wie folgt ist: Wenn Massnahme A durchgeführt wird, werden 400 Personen sterben. Wenn Massnahme B durchgeführt wird, besteht eine Wahrscheinlichkeit von 1/3, dass niemand stirbt, und von 2/3, dass 600 Personen sterben.

Tversky und Kahnemann (1986): Framing- Effekt bei Entscheidungen

Stellen Sie sich vor, die Schweiz bereitet sich auf den Ausbruch einer ungewöhnlichen Grippeepidemie vor, an der schätzungsweise 600 Personen sterben werden. Um die Epidemie zu bekämpfen, wurden zwei alternative Massnahmen vorgeschlagen. Gehen Sie davon aus, dass die exakte wissenschaftliche Schätzung der Wirkung der Massnahmen wie folgt ist: Gewinn-Frame Wenn Massnahme A durchgeführt wird, werden 200 Personen gerettet. Wenn Massnahme B durchgeführt wird, besteht eine Wahrscheinlichkeit von 1/3, dass 600 Personen gerettet werden, und von 2/3, dass niemand gerettet wird. Verlust-Frame Wenn Massnahme A durchgeführt wird, werden 400 Personen sterben. Wenn Massnahme B durchgeführt wird, besteht eine Wahrscheinlichkeit von 1/3, dass niemand stirbt, und von 2/3, dass 600 Personen sterben.

Stellen Sie sich vor, die Schweiz bereitet sich auf den Ausbruch einer ungewöhnlichen Grippeepidemie vor, an der schätzungsweise 600 Personen sterben werden. Um die Epidemie zu bekämpfen, wurden zwei alternative Massnahmen vorgeschlagen. Gehen Sie davon aus, dass die exakte wissenschaftliche Schätzung der Wirkung der Massnahmen wie folgt ist: Gewinn-Frame Wenn Massnahme A durchgeführt wird, werden 200 Personen gerettet. Wenn Massnahme B durchgeführt wird, besteht eine Wahrscheinlichkeit von 1/3, dass 600 Personen gerettet werden, und von 2/3, dass niemand gerettet wird. Verlust-Frame Wenn Massnahme A durchgeführt wird, werden 400 Personen sterben. Wenn Massnahme B durchgeführt wird, besteht eine Wahrscheinlichkeit von 1/3, dass niemand stirbt, und von 2/3, dass 600 Personen sterben. Im Gewinn-Frame wird A gewählt, beim Verlust-Frame B!

Gewinn-Frame: Wenn Massnahme A durchgeführt wird, werden 200 Personen gerettet. Wenn Massnahme B durchgeführt wird, besteht eine Wahrscheinlichkeit von 1/3, dass 600 Personen gerettet werden, und von 2/3, dass keine Person gerettet wird. Verlust-Frame: Wenn Massnahme A durchgeführt wird, werden 400 Personen sterben. Wenn Massnahme B durchgeführt wird, besteht eine Wahrscheinlichkeit von 1/3, dass niemand stirbt, und von 2/3, dass 600 Personen sterben.

Tversky und Kahnemann (1986): Framing von Problemen hat einen wesentlichen Einfluss auf die gefällten Entscheidungen Gewinnframe: Risikoaverse Entscheidung Verlustframe: Risikofreudige Entscheidung

Logik Psychologik Framing-Effekt: Auch wirksam bei professionellen Entscheidern, z.b. bei Ärzten

Klassische Nutzentheorie Definition: risikoneutral, risikoavers, risikofreudig linear, konkav, konvex Kein Nullpunkt als Referenzpunkt Nutzen bezieht sich auf absolute Vermögensposition Alternative: Kahneman/Tversky Prospect-Theorie: Referenzpunkt, Gewinne und Verluste S-förmige Value-Funktion, risikofreudig bei Verlusten, risikoavers bei Gewinnen Subjektive Gewichtung von Wahrscheinlichkeiten (Überschätzung kleiner Wahrscheinlickeiten, Unterschätzung hoher Wahrscheinlichkeiten)

Beispiel für eine klassische Nutzenfunktion mit Risikoaversion (risikoneutral: linear, risikofreudig: konvex) z.b. A = Geldvermögen, U = Nutzen Konkav: Risikoavers bei Gewinn Kahneman & Tversky Prospect Theory, value function Konvex: Risikofreudig bei Verlust Quelle: Daniel Kahneman & Amos Tversky, 1979: Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk, Econometrica, 47(2): 263-292.

Entspricht nicht der klassischen Nutzentheorie!

Problem: 5. Social Choice Individuelle Präferenzen Kollektive Entscheidung Gesucht: Regel für die Aggregation individueller Präferenzen. Wichtig für Demokratietheorie, für jedes Gremium, das Enscheidungen trifft. Auf der Basis welcher Abstimmungsregel soll die Entscheidung getroffen werden?

Condorcet-Paradox Problem: Individuelle Präferenzen Kollektive Entscheidung (Problem der Aggregation der Präferenzen) Marquis de Condorcet (1743-1794) Akteur 1 Akteur 2 Akteur 3 A 3 2 1 B 2 1 3 C 1 3 2 3 ist die am stärksten präferierte Alternative. D.h. Akteur 1 hat die Präferenzen A vor B vor C

Condorcet-Paradox Problem: Individuelle Präferenzen Kollektive Entscheidung (Problem der Aggregation der Präferenzen) Hauptstadtentscheidung im Bonner Bundestag, 20. Juni 1991 Akteur 1 Akteur 2 Akteur 3 A Bonn 3 2 1 B Berlin 2 1 3 C B & B 1 3 2 3 ist die am stärksten präferierte Alternative. D.h. Akteur 1 hat die Präferenzen A vor B vor C

Akteur 1 Akteur 2 Akteur 3 A Bonn 3 2 1 B Berlin 2 1 3 C B & B 1 3 2 Gewinner 1. A : B A A : C C 2. C : A C C : B B 3. B : C B B : A A Gewinner C (B & B) Gewinner B (Berlin) Gewinner A (Bonn)

Zyklische Präferenzen auf kollektiver Ebene! Der Vorsitzende kann durch Bestimmung der Reihenfolge der Abstimmungen jedes gewünschte Ergebnis produzieren! Zentral für Demokratietheorie: Regeln für Wahlverfahren sollen die Möglichkeit zyklischer Entscheidungen ausschliessen. Allgemein Arrow-Theorem

Plinius der Jüngere (2. Hälfte, 1. Jhd.) oder Social Choice Theorie vor 1900 Jahren Römischer Senator und Richter (aus Como). Plinius Briefe, bekannt vor allem der Augenzeugenbericht vom Ausbruch des Vesuvs im Jahre 79. Schreibt in einem Brief über einen Rechtsfall, der im römischen Senat behandelt wurde. Der Angeklagte konnte eine der Alternativen erwarten: 1. Freilassung, 2. Verbannung, 3. Tod. Es gab drei Fraktionen von Senatoren mit unterschiedlicher Präferenzfolge. Plinius (der den Vorsitz inne hatte) macht auf das Problem aufmerksam, dass die Abstimmungsregeln entscheidend das Ergebnis beeinflussen.

Borda Regel Oskar Reto Marie Ruth Pascal Erdbeer 3 3 2 2 1 Schoko 2 2 1 1 3 Vanille 1 1 3 3 2 Oskar Reto Marie Ruth Pascal Summe Erdbeer 2 2 1 1 0 6 Schoko 1 1 0 0 2 4 Vanille 0 0 2 2 1 5 Borda Regel 1770, eigentlich schon von Nicolaus Cusanus vorgeschlagen 1433 (während des Konzils von Basel, in: De Concordantia Catholica. Ferner Charles L. Dodgson (=Lewis Carroll). Siehe McLean and Urken 1995.

Borda Regel Oskar Reto Marie Ruth Pascal Erdbeer 3 3 2 2 1 Schoko 2 2 1 1 3 Vanille 1 1 3 3 2 Oskar Reto Marie Ruth Pascal Summe Erdbeer 2 2 1 1 0 6 Schoko 1 1 0 0 2 4 Vanille 0 0 2 2 1 5 Kollektive Entscheidung: Erdbeer

Borda Regel Oskar Reto Marie Ruth Pascal Erdbeer 3 3 2 2 1 Schoko 2 2 1 1 3 Vanille 1 1 3 3 2 Oskar Reto Marie Ruth Pascal Summe Erdbeer 2 2 1 1 0 6 Schoko 1 1 0 0 2 4 Vanille 0 0 2 2 1 5 Kollektive Entscheidung: Erdbeer Halt! Sagt der Eisverkäufer, wir haben heute kein Schokoeis. So what? (Beispiel rekonstruiert nach einer Idee von Anatol Rapoport)

Borda Regel Oskar Reto Marie Ruth Pascal Erdbeer 3 3 2 2 1 Schoko 2 2 1 1 3 Vanille 1 1 3 3 2 Oskar Reto Marie Ruth Pascal Summe Erdbeer 2 2 1 1 0 6 Schoko 1 1 0 0 2 4 Vanille 0 0 2 2 1 5 Oskar Reto Marie Ruth Pascal Summe Erdbeer 1 1 0 0 0 2 Schoko - - - - - - Vanille 0 0 1 1 1 3 Kollektive Entscheidung: Vanille

Borda Regel Oskar Reto Marie Ruth Pascal Summe Erdbeer 2 2 1 1 0 6 Schoko 1 1 0 0 2 4 Vanille 0 0 2 2 1 5 Oskar Reto Marie Ruth Pascal Summe Erdbeer 1 1 0 0 0 2 Schoko - - - - - - Vanille 0 0 1 1 1 3 Kollektive Entscheidung: Vanille D.h. der Wegfall einer Alternative kehrt die kollektive Präferenz um. Die Borda-Regel verletzt das Axiom Der Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen

Arrow-Theorem (Kenneth J. Arrow, 1951) Vier Axiome = Anforderungen an eine demokratische Aggregationsregel (Abstimmungsverfahren) 1. Uneingeschränkter Definitionsbereich (alle Präferenzordnungen sind zugelassen) 2. Pareto-Bedingung (wenn alle Personen Alternative a der Alternative b vorziehen, muss auch auf aggregierter Ebene a vor b gelten) 3. Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen 4. Keine Diktatur z. B. Eisenführ und Weber 1994

Arrow-Theorem 1. Uneingeschränkter Definitionsbereich (alle Präferenzordnungen sind zugelassen) 2. Pareto-Bedingung (wenn alle a der Alternative b vorziehen, muss auch auf aggregierter Ebene a vor b gelten) 3. Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen 4. Keine Diktatur Die Abstimmungsregel transformiert individuelle Präferenzen in kollektive, vollständige, transitive Präferenzen (keine zyklischen Präferenzen)

Arrow-Theorem 1. Uneingeschränkter Definitionsbereich (alle Präferenzordnungen sind zugelassen) 2. Pareto-Bedingung (wenn alle a der Alternative b vorziehen, muss auch auf aggregierter Ebene a vor b gelten) 3. Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen 4. Keine Diktatur Die Abstimmungsregel transformiert individuelle Präferenzen in kollektive, vollständige, transitive Präferenzen (keine zyklischen Präferenzen) Diese vier Axiome sind unvereinbar bei mehr als zwei Alternativen (Arrows Unmöglichkeitstheorem ). Bei zwei Alternativen erfüllt u.a. die Mehrheitsregel alle vier Axiome.

Wie war es wirklich? Hauptstadtentscheidung (vereinfacht), Leininger 1993 1. Abstimmung Abstimmung B & B Berlin versus Bonn Ja 147 Berlin 338 Nein 489 Bonn 320 Enth. 18 Enth./Ung. 2 Total 654 Total 660

Condorcet-Gewinner (Hypothetische) Paarweise Abstimmung: Berlin versus Bonn: Berlin gewinnt Berlin versus B & B: Berlin gewinnt Berlin hätte bei allen paarweisen Abstimmungen gewonnen. Berlin ist Condorcet-Gewinner. Es hätte keine zyklischen Präferenzen gegeben.

Wichtige Themen und Begriffe Glücksspiele und die Entwicklung der Idee des monetären Erwartungswerts Petersburger Paradox und die Entwicklung der Idee des subjektiven Nutzens durch Bernoulli Axiomatische Nutzenmessung nach Neumann-Morgenstern (1944) und Savage (1954) Anomalien der Nutzentheorie: Allais-Paradox und Framing-Effekte Kahnemann und Tverskys Prospect-Theorie als Alternative zur Standard-Nutzentheorie Social Choice: Das Problem der Aggregation individueller Präferenzen Condorcet-Paradox: Zyklische Präferenzen auf Gruppenebene Borda-Regel Axiom der Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen (wird von der Borda-Regel und den meisten anderen Abstimmungsregeln verletzt!) Arrow-Theorem

Gemäss den von Leininger ermittelten Präferenzen: Bonn Berlin B & B 290 221 147 Aber bei anderer Abstimmungsregel, z.b. relative Mehrheit hätte Bonn gewonnen!