WS 05/6 Musterlösungen der Hausaufgaben Komplexe Zahlen Hinweis: Allgemein ist wohl zu erwarten, dass in allen drei Zahldarstellungen gerechnet wird. Zur Erinnerung: z C z = Re(z) + i Im(z) = a + ib = z e iϕ = z ( cos(ϕ) + i sin(ϕ) ), wobei a, b R, sowie z = z z = a + b und ϕ R π bzw. ϕ R 60 mit tan(ϕ) = b a ; sin(ϕ) = b z ; cos(ϕ) = a z Da in dieser Musterlösung nicht immer alle Wege gerechnet werden ist dementsprechend beim Umrechen Eigeninitiative gefragt :).. Sei z = + i. Berechne z, z, z 4. Was fällt euch auf? Rate z 5! Lösung zu. Geraten oder gerechnet ergibt sich: z = + i = e i π 4 = z = i = e i π = z = + i = e i π 4 = z 4 = = e iπ z 5 = z = i = e i 5π 4. Zu sehen ist: Wir bewegen uns auf dem Einheitskreis (in π 4 -Schritten). Wir haben also eine Periodizität in den Potenzen. Insbesondere ist z 9 = z.. Sei z = i. Berechne z. Lösung zu.. Seien z = + i und z = i. Berechne z z Lösung zu. z = i = z = i und z z. z = + i ( + i)( + i) = z i ( i)( + i) = i; analog z = i z Hinweis: In Nummer 4, 5 und 6 werden bestimmt ein paar Spezialisten Additionstheoreme verwenden. Daher nochmal die wahrscheinlichsten: sin(ϕ ) sin(ϕ ) = (cos(ϕ ϕ ) cos(ϕ + ϕ )) cos(ϕ ) cos(ϕ ) = (cos(ϕ ϕ ) + cos(ϕ + ϕ )) sin(ϕ ) cos(ϕ ) = (sin(ϕ + ϕ ) + sin(ϕ ϕ )) Die Musterlösung wird sich hier auf das Rechnen mit der Eulerdarstellung beschränken. Bei der Korrektur könnte man den Winkelfunktionsjüngern vielleicht den Hinweis geben, dass es mit Euler einfacher, schneller und schöner geht.
WS 05/6 4. Seien z = + i, z = i. Berechne z z. Wandle nun z und z in Polarkoordinaten um und berechne erneut z z. Rechne das Ergebnis zur Kontrolle wieder in kartesische Koordinaten zurück. Lösung zu 4. z z = ( + i )( i ) = 6 + i( 6 + ) z = ; z = ; ϕ = π bzw. 0 ; ϕ = 7π 4 bzw. 5 damit: z = e i π ; z = e i 7π 4 = z z = 4; ϕ = 5π ( ) 9π ( ) 5π = Re(z z ) = 4 cos = 6 ; Im(z z ) = 4 sin bzw. 75 (45 ) = z z = 4e i 5π ( ) 5π = 6 +. 5. Seien z = e i5 und z = e i5. Berechne z z und wandle das Ergebnis in kartesische Koordinaten um. Wandle nun z und z ebenfalls in kartesische Koordinaten um und berechne als Kontrolle erneut z z. Lösung zu 5. z z = e i5 e i5 = e i π e i 5π 4 = e i40 = e i 4π d.h. z z = ; ϕ = 4π = Re(z z ) = ( ) 4π cos = ; also z z = i Re(z ) = ( π + cos = ( ) ) 5π Re(z ) = cos = ; 4 ( )( + = z z = + i Im(z z ) = sin ; Im(z ) = ( π sin ( ) ) 5π ) i Im(z ) = sin 4 = i. ( ) 4π = = = 6. Seien z = + ( )i und z = + i. Berechne z 4 und z 4. Rechne zunächst z und z in Polarkoordinaten um und bilde dann die Potenzen. Lösung zu 6. z = + i( ) = ( 4 ) 8 e i π 8 = (4 ) 8 e i,5 z = + i = e i π 6 = e i0 ( = z 4 = 4 ) ( 5 e i π = 4 ) 5 e i90 = z 4 = 6e i π = 6e i0
WS 05/6 7. Gleichungen in C. Finde die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen. a) z = z b) z = i Lösung zu 7. a) Offensichtlich erfüllt 0 die Gleichung. Sei also im Folgenden z 0. z = z z e iϕ = z e iϕ e iϕ = z e iϕ = geht nur falls z = Sei also z = = e iϕ = e iϕ iϕ + πki = iϕ ϕ = πk mit k = 0,, = L = 0,, } + i, i. b) Komplexes Wurzelziehen. Zunächst bestimme die erste Lösung: z = i z e iϕ0 = e i π z = und ϕ 0 = π 6 d.h. z 0 = e i π 6 Damit ergibt sich: z k = e i( π 6 +k π ) mit k = 0,, = L = } e i π 6, e i 5π 6, e i 9π 6. 8. Zusatzaufgabe Finde die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen. a) +z z R b) z = c) z z = + i d) i z + z( + i) = z e) z = + i f) z + ( i)z + 4 + i = 0 Lösung zur Zusatzaufgabe a) Offensichtlich erfüllen das alle z R \ }. Es werden sicher viele die nicht ausschließen. Hierbei solltet ihr nachsichtig sein und nur darauf hinweisen, dass Division mit 0 nicht geht, bzw. ± / R, falls jemand darauf hinaus will. Im Folgenden sei also z C \ R und damit + z ( + z)( z) + z z + z z + i Im(z) + z R = = z ( z)( z) z z + z z Re(z) + z R i Im(z) R Das ist nie erfüllt. = L = R \ }. b) Hinweis: z = a + ib z = z = a + b = = L = S (der gute alte Einheitskreis)
WS 05/6 c) Hinweis: z = a + ib z z = + i z = a + + i(b + ) R b = z = a + = z = (a + ) a + 4 = a + a + a = } = L = i. d) i z + z( + i) = z Also erhält man zwei Gleichungen: a + b = i(b a + a + b) + (b + ab a) R 0 = b a + a + b () a + b = b + ab a () Aus () folgt: Also bleibt zu betrachten: 0 = ab(ab + b a ) () = a = b = 0 0 = ab + b a + a = b b ( ) 0 = a a (b + b) () a ± = ± 4 + b + b = ( ± b + ) ( ) und a + = 0 = b + b b = ( ± 7) a = ( ± 7) ( ) und a = 0 = b b + b 45 = ( ± ) a 45 = ( ) Aber Achtung: Durch Einsetzen oder scharfes Hinsehen sellt man fest, dass a 5 = ( ) und b 5 = ( + ) Gleichung () nicht erfüllen. Das kommt daher, weil wir () quadriert haben, um ( ) zu bekommen. a 5 und b 5 sind nämlich Lösungen für () mit Minus vor der Wurzel. = L 4 = 0, (( + 7) + i( + 7)), (( 7) + i( 7)), (( + ) + i( } )) e) Analog zu 7b: z = + i z e iϕ0 = 8e i π 4 z = 4 8 und ϕ 0 = π 8 = L 5 = e i π 4 } 8 8, e i π 4 8 8. 4
WS 05/6 f) Wir suchen z, z C, sodass z + ( i)z + 4 + i = (z z )(z z ), d.h. Gleichungssystem: z + z = + i und z z = 4 + i Ausgerechnet ergibt das die folgenden Lösungen: a + b = und c + d = () ac bd = 4 und ad + bc = () a =, b =, c =, d = a = 6, b =, c =, d = Diese kann abweichen, je nachdem wie man auflöst. Beim Überprüfen sieht man sofort, dass die zweite doch keine Lösung ist. Sie tritt nur auf, weil lineare Gleichungen mit nichtlinearen vermischt werden. = L 7 = ( + i, i)} 5