DIE ELEMENTE DEB ANALYTISCHEN GEOMETRIE DER EBENE. ZUM GEBRAUCH AN HÖHEREN LEHRANSTALTEN SOWIE ZUM SELBSTSTUDIUM DARGESTELLT UND MIT ZAHLREICHEN ÜBUNGSBEISPIELEN VERSEHEN VON DR. H. GANTER UND DE. F. RUDIO PROFESSOR AN DER KANTONSSCHULE PROFESSOR AM POLYTECHNIKUM IN A AR AU. IN ZÜRICH. LEIPZIG,
Inhaltsverzeichnis. Erstes Der Punkt. (60 Aufgaben.) 1. Bestimmung der Lage eines Punktes in einer'geraden durch seine Abscisse 1 2. Bestimmung von Strecken 2 3. Bestimmung der Lage eines Punktes in einer Geraden durch sein Teilverhältnis 4 4. Doppelverhältnis. Harmonische Punkte 7 5. Bestimmung der Lage eines Punktes in der Ebene durch Koordinaten 9 6. Koordinatentransformation durch Verlegung des Anfangspunktes. (Parallelverschiebung.) 12 7. Polarkoordinaten 13 8. Aus den rechtwinkligen Koordinaten zweier Punkte P und P 1 ihre Entfernung und die Neigung ihrer Verbindungslinie gegen die ж-achse zu bestimmen 14 9. Aus den gegebenen Koordinaten x 1, y 1 und x %, y zweier Punkte Р г undp 2 die Koordinaten x, у desjenigen Punktes P der Verbindungslinie zu finden, der mit der Strecke P t P 2 ein gegebenes Teilverhältnis % bildet 15 10. Den Inhalt des Dreiecks zu bestimmen, welches der Anfangspunkt mit zwei Punkten P x und P 2 bildet 17 11. Den Inhalt eines beliebigen Dreiecks P 1 P 2 P 3 aus den Koordinaten der Ecken zu berechnen 18 12. Folgerungen. Kriterien für die Lage eines Punktes in Bezug auf eine Gerade 20 13. Den Inhalt eines Vielecks aus den Koordinaten seiner Ecken zu berechnen 22 14. Bestimmung des Abstandes eines Punktes von einer Geraden 23 15. Übergang von einem rechtwinkligen Achsensystem zu einem schiefwinkligen 26
VI Zweites Die gerade Linie. (78 Aufgaben.) 16. Definition der Gleichung einer Geraden. Die Gerade sei bestimmt durch zwei Punkte 27 17. Portsetzung. Die Gerade sei bestimmt durch ihreu Abstand vom Anfangspunkt und den Winkel, den dieser mit der ж-achse bildet 29 18. Fortsetzimg. Die Gerade sei gegeben durch ihre Achsenabschnitte 30 19. Fortsetzung. Die Gerade sei gegeben durch einen Punkt und den Winkel, den sie mit der positiven Richtung der ж-achse bildet 31 20. Jede Gerade besitzt eine Gleichung von der Form: Ax + By + С = О und umgekehrt jede Gleichung dieser Form stellt eine Gerade dar 34 21. Ableitung der speziellen Formen der Gleichung einer Geraden aus der allgemeinen Form 4x-f By -4- С = 0 38 22. Fortsetzung. Die Normalform 40 23. Die Koordinaten des Durchschnittspunktes zweier Geraden aus den Gleichungen derselben zu bestimmen 42 24. Den Winkel zweier Geraden aus ihren Gleichungen zu bestimmen unter Voraussetzung rechtwinkliger Koordinaten 44 25. Die Bedingung zu finden, unter welcher sich die drei Geraden A l x -4- B 1 у -\- C t = 0, A i x -\- В, л у -f- C, = 0 und A s x -j- B. s y -f- G s = 0 in einem Punkte schneiden... 4S, 20. Die Gleichung einer Geraden zu finden, welche durch den Schnittpunkt der beiden Geraden A± x -\- B 1 у -f- C 1 ' О und A 2 x -f- B 2 y -4- C 2 = 0 hindurchgeht 50 27. Die Gleichungen der Winkelhalbierenden zweier Geraden zu finden 51 28. Sätze aus der Theorie der Transversalen. Das vollständige Viereck 54 29. Geometrische Örter 57 30. Hauptaufgabe und Methode der analytischen Geometrie.. 00 Drittes Der Kreis. (49 Aufgaben.) 31. Die Gleichung des Kreises 03 32. Bestimmung eines Kreises durch drei Punkte Oö 33. Der Kreis und die Gerade 07
VII 34. Die Tangente in einem Punkte des Kreises 68 35. Tangenten von einem Punkte aufeerhalb des Kreises. Berührungssehne, Pol und Polare 72 36. Die Potenz eines Punktes in Bezug auf einen Kreis.... 73 37. Systeme von Kreisen. Potenzlinie 74 38. Vermischte Aufgaben über den Kreis 78 Viertes Die Ellipse. (82 Aufgaben.) 39. Definition und Gleichung 81 40. Diskussion der Gleichung der Ellipse 83 41. Polargleichung der Ellipse bezogen auf den Mittelpunkt.. 85 42. Konstruktion der Ellip* mittels des eingeschriebenen und des umschriebenen Kreises 88 43. Konjugierte Durchmesser 88 44. Die Gleichung der Ellipse bezogen auf zwei konjugierte Durchmesser als schiefwinklige Koordinatenachsen... 93 45. Die Tangente in einem Punkte der Ellipse 94 g 46. Tangenten und Durehmesser 96 47. Die excentrische Anomalie, 99 48. Weitere Sätze über konjugierte Durchmesser 100 49. Pol und Polare 104 50. Lehrsätze über Pol und Polare 107 51. Brennpunktseigenschaften 110 52. Die Direktrix 115 53. Flächeninhalt der Ellipse 116 Fünftes Die Hyperbel. (74 Aufgaben.) 54. Definition und Gleichung 118 55. Polargleichung der Hyperbel bezogen auf den Mittelpunkt. 123 56. Die Hyperbel und die Gerade 126 57. Konjugierte Durchmesser, 129 8 58. Die Gleichung der Hyperbel bezogen auf zwei konjugierte Durchmesser als schiefwinklige Koordinatenachsen... 133 59. Die Tangente in einem Punkte der Hyperbel 134 60. Tangenten und Durchmesser 135 61. Die Asymptoten als Koordinatenachsen 136 62. Beziehungen zwischen den Sehnen und Tangenten einer Hyperbel und ihren Asymptoten 138 63. Pol und Polare 141 64. Brennpunkteigenschaften 142 65. Die Direktrix.», 145
i VIII Sechstes Die Parabel. (36 Aufgaben.) 66. Definition und Gleichung 147 67. Die Parabel und die Gerade. Durchmesser 149 68. Tangente und Normale 152 69. Anwendung schiefwinkliger Koordinaten 156 70. Pol und Polare 158 71. Flächeninhalt eines Parabelsegmentes 161 72. Gemeinsame Darstellungen von Ellipse, Hyperbel und Parabel 163»