Lineares Gleichungssystem

Lineares Gleichungssystem Ein lineares Gleichungssystem hat die Form a 1,1 x 1 + + a 1,n x n = b 1...... Ax = b a m,1 x 1 + + a m,n x n = b m mit einer Koeffizientenmatrix A = (a i,j ), zu bestimmenden Unbekannten x j und einer rechten Seite b. Lineares Gleichungssystem 1-1

Lineares Gleichungssystem Ein lineares Gleichungssystem hat die Form a 1,1 x 1 + + a 1,n x n = b 1...... Ax = b a m,1 x 1 + + a m,n x n = b m mit einer Koeffizientenmatrix A = (a i,j ), zu bestimmenden Unbekannten x j und einer rechten Seite b. Das lineare Gleichungssystem nennt man homogen, wenn b = 0 ist, sonst bezeichnet man es als inhomogen. Lineares Gleichungssystem 1-2

Besitzt das lineare Gleichungssystem keine Lösung (im Allgemeinen für m > n), so bezeichnet man es als überbestimmt. Man spricht in diesem Fall auch von einem Ausgleichsproblem. Ein lineares Gleichungssystem mit keiner eindeutigen Lösung (im Allgemeinen für m < n) nennt man unterbestimmt. Lineares Gleichungssystem 1-3

Beispiel: Rekonstruktion einer Funktion f (x) aus Daten (x i, f i ), i = 1,..., n, durch Interpolation Lineares Gleichungssystem 2-1

Beispiel: Rekonstruktion einer Funktion f (x) aus Daten durch Interpolation linearer Ansatz (x i, f i ), i = 1,..., n, f (x) p(x) = n c j p j (x) mit geeigneten Basisfunktionen p j Interpolationsbedingungen j=1 n f i = p(x i ) = c j p j (x i ), j=1 i = 1,..., n Lineares Gleichungssystem 2-2

Beispiel: Rekonstruktion einer Funktion f (x) aus Daten durch Interpolation linearer Ansatz (x i, f i ), i = 1,..., n, f (x) p(x) = n c j p j (x) mit geeigneten Basisfunktionen p j Interpolationsbedingungen j=1 n f i = p(x i ) = c j p j (x i ), j=1 i = 1,..., n lineares Gleichungssystem Ac = b mit a i,j = p j (x i ) und b i = f i Lineares Gleichungssystem 2-3

700 ÓØ Ù ÙØ ³ Ú Ò 600 500 400 Ð ÙÖ Î ÐÐ ¹ÅÓÖ ÓÒ 300 Ê Ò ¹ ÙÖ ØØ Ò 200 100 ÊÓÑ Ò ¹Ì ÓÖ Ò ÖÒ Ý¹Ð ¹Å ÓÒ Å ÓÒ Ô Üµ 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Tour-de-France-Etappe, modelliert mit Exponentialfunktionen ( ( ) ) x 2 xi p i (x) = exp 10 starkes Abklingen von p i für x x i lokale Auswirkung von Änderungen Lineares Gleichungssystem 2-4

Beispiel: Elektrischer Schaltkreis Lineares Gleichungssystem 3-1

Beispiel: Elektrischer Schaltkreis x i : Kreisströme mit Fließrichtung entgegen dem Uhrzeigersinn R i,j : gemeinsamer Widerstand der i-ten und j-ten Schleife U i : angelegte Spannungen Lineares Gleichungssystem 3-2

Beispiel: Elektrischer Schaltkreis x i : Kreisströme mit Fließrichtung entgegen dem Uhrzeigersinn R i,j : gemeinsamer Widerstand der i-ten und j-ten Schleife U i : angelegte Spannungen Ohmsches und Kirchhoffsches Gesetz lineares Gleichungssystem x i R i,0 + (x i x j )R i,j = U i i 0 i j Lineares Gleichungssystem 3-3

Beispiel: Elektrischer Schaltkreis x i : Kreisströme mit Fließrichtung entgegen dem Uhrzeigersinn R i,j : gemeinsamer Widerstand der i-ten und j-ten Schleife U i : angelegte Spannungen Ohmsches und Kirchhoffsches Gesetz lineares Gleichungssystem x i R i,0 + (x i x j )R i,j = U i i 0 i j i j: i-te und j-te Schleife haben einen gemeinsamen Widerstand durchflossen vom Strom x i x j Lineares Gleichungssystem 3-4

Beispiel: Elektrischer Schaltkreis x i : Kreisströme mit Fließrichtung entgegen dem Uhrzeigersinn R i,j : gemeinsamer Widerstand der i-ten und j-ten Schleife U i : angelegte Spannungen Ohmsches und Kirchhoffsches Gesetz lineares Gleichungssystem x i R i,0 + (x i x j )R i,j = U i i 0 i j i j: i-te und j-te Schleife haben einen gemeinsamen Widerstand durchflossen vom Strom x i x j R i,0, i 0: Widerstände, die nur in der i-ten Schleife liegen Lineares Gleichungssystem 3-5

70Ω x 2 40Ω x 4 60Ω 110V x 1 10Ω 20Ω 30Ω 80Ω x 3 x 5 220V 50Ω 90Ω 150 70 80 0 0 70 120 10 40 0 80 10 160 0 70 0 40 0 130 30 0 0 70 30 190 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 110 0 0 0 220 Lineares Gleichungssystem 3-6

Diagonale: Summe der zu einer Schleife gehörigen Widerstände Lineares Gleichungssystem 3-7

Diagonale: Summe der zu einer Schleife gehörigen Widerstände a i,j : negativer gemeinsamer Widerstand der Schleifen i und j Lineares Gleichungssystem 3-8

Diagonale: Summe der zu einer Schleife gehörigen Widerstände a i,j : negativer gemeinsamer Widerstand der Schleifen i und j Lösung x 1.0157 0.5641 0.0358 0.0940 1.1595 Lineares Gleichungssystem 3-9

Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0, mit einer m n Koeffizientenmatrix A ist ein Unterraum U = Kern A des Vektorraums der n-tupel (x 1,, x n ) t. Lineares Gleichungssystem 4-1

Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0, mit einer m n Koeffizientenmatrix A ist ein Unterraum U = Kern A des Vektorraums der n-tupel (x 1,, x n ) t. Besitzt das inhomogene lineare Gleichungssystem Ax = b eine Lösung v, so gilt für die allgemeine Lösung x v + U, d.h. die Lösungsmenge ist ein affiner Unterraum. Lineares Gleichungssystem 4-2

Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0, mit einer m n Koeffizientenmatrix A ist ein Unterraum U = Kern A des Vektorraums der n-tupel (x 1,, x n ) t. Besitzt das inhomogene lineare Gleichungssystem Ax = b eine Lösung v, so gilt für die allgemeine Lösung x v + U, d.h. die Lösungsmenge ist ein affiner Unterraum. Insbesondere kann also ein inhomogenes lineares Gleichungssystem entweder keine, eine (U = {0}) oder unendlich viele (dim U > 0) Lösungen besitzen. Lineares Gleichungssystem 4-3

Beweis: (i) x, y Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystems = A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0 A(λx) = λax = λ0 = 0, d.h. die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems bildet einen Unterraum U Lineares Gleichungssystem 5-1

Beweis: (i) x, y Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystems = A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0 A(λx) = λax = λ0 = 0, d.h. die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems bildet einen Unterraum U (ii) v Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems und u U = Ax = A(v + u) = Av + Au = b + 0 = b, d.h. x = v + u ist ebenfalls Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems x v + U Lineares Gleichungssystem 5-2

Beweis: (i) x, y Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystems = A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0 A(λx) = λax = λ0 = 0, d.h. die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems bildet einen Unterraum U (ii) v Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems und u U = Ax = A(v + u) = Av + Au = b + 0 = b, d.h. x = v + u ist ebenfalls Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems x v + U (iii) v und w Lösungen des inhomogenen linearen Gleichungssystems = A(v w) = Av Aw = b b = 0 d.h. v w löst das homogene lineare Gleichungssystem v w U Lineares Gleichungssystem 5-3

Beispiel: verschiedene Typen von linearen Gleichungssystemen Lineares Gleichungssystem 6-1

Beispiel: verschiedene Typen von linearen Gleichungssystemen (i) eindeutige Lösung: x 1 = 8, x 2 = 1 ( 3 5 7 4 ) ( x1 x 2 ) = ( 29 60 ) Lineares Gleichungssystem 6-2

Beispiel: verschiedene Typen von linearen Gleichungssystemen (i) eindeutige Lösung: ( 3 5 7 4 x 1 = 8, x 2 = 1 (ii) unendlich viele Lösungen: ( 1 2 4 3 2 4 ) ( x1 x 3 = t beliebig x 2 = 2t, x 1 = 2 x 2 ) ) = x 1 x 2 x 3 ( 29 60 = ) ( 2 6 ) Lineares Gleichungssystem 6-3

(iii) keine Lösung: 1 1 3 1 0 2 ( x1 x 2 ) = 6 7 8 Zeile 3 x 2 = 4 Lineares Gleichungssystem 6-4

(iii) keine Lösung: 1 1 3 1 0 2 ( x1 x 2 ) = 6 7 8 Zeile 3 x 2 = 4 widersprüchliche Werte für x 1 aus den restlichen Gleichungen: Lineares Gleichungssystem 6-5

(iii) keine Lösung: 1 1 3 1 0 2 ( x1 x 2 ) = 6 7 8 Zeile 3 x 2 = 4 widersprüchliche Werte für x 1 aus den restlichen Gleichungen: Einsetzen in Zeile 1 x 1 = 2 Lineares Gleichungssystem 6-6

(iii) keine Lösung: 1 1 3 1 0 2 ( x1 x 2 ) = 6 7 8 Zeile 3 x 2 = 4 widersprüchliche Werte für x 1 aus den restlichen Gleichungen: Einsetzen in Zeile 1 x 1 = 2 Einsetzen in Zeile 2 x 1 = 1 Lineares Gleichungssystem 6-7