Zusmmenfssung Kpitel l5 Dynmik usgedehnte, ste Köpe
Mssenshwepunkt eines usgedehnten Köpes N N Summtion üe lle Mssenelemente : Δ Δ N i i i i N i i i S V m ρ v Δ Δ N i i N i i S m m i i füifiit i lkli El t fü infinitesiml kleine Elemente : d d ( ) V V S dv M dm M ρ
Käfte m sten Köpe ethte Kft, die n einem feien, sten Köpe ngeift F H F S i,s i z Dehmoment : D s F H F F ( ) ( ) H i S F i S FH,, i, S DS O ethte Kft F, die m Volumenelement dv i des Köpes ngeift; wi zelegen die Kft F in ein Käftep F,F H sowieeinekftf H ; die Betäge de Käfte sind gleih; die Käfte F H und F H geifen im Shwepunkt n; F und F H wiken wie die Käfte n eine Blkenwge mit Mittelpunkt im Vkt Vekto is Rtti Rottion; die Kft F H ewikt offensihtlih ihtlihki keine Rtti Rottion (d m ndeen Ende de gedhten Blkenwge die gleihe Kft F in die gleihe Rihtung zieht), sonden veshiet den Shwepunkt des Köpe Tnsltion 3
Tägheitsmoment d.h. die Enegie hängt lediglih vom senkehten Astnd zu Dehhse ntegtion üe lle Mssenelemente liefet : E kin E ot i, V dm Rottions- Enegie äquivlent zu kinetishen Enegie de Tnsltionsewegung E kin ½mv definieen wi (ls Entspehung zu Msse m) ds Tägheitsmoment : ehte : Tägheitmoment wid estimmt duh die Astndsveteilung de Mssen um Dehhse i, dm V Rottionsenegie : Eot 4
Dehimpuls usgedehnte ste Köpe Rottionsenegie i : E ot 5
Vegleih de physiklishen Gößen ei Tnsltion und Rottion Tnsltion Rottion Ot Geshwindigkeit v d/dt Beshleunigung d /dt Msse m mpuls p Kft F Winkel ϕ Winkelgeshwindigkeit dϕ/dt Winkeleshleunigung d ϕ/dt Tägheitsmoment Dehimpuls Dehmoment D 6
kin. Enegie : mpuls/dehimpuls : Tnsltion p E kin mv m p m v Rottion E ot Kft/Dehmoment : F m m & & D & & ϕ Bewegungsgleihung lih & (ei de Shwingung) : m D & ϕ Dϕ 7
De Steine she Stz De Steine she Stz esheit die Reltion zwishen dem Tägheitsmoment A ezogen uf elieige Ahse A und dem Tägheitsmoment S ezogen uf eine zu A pllele Ahse S duh den Shwepunkt us Kenntnis von S lässt sih mittels des Steine shen Stzes A eehnen A S M Steine she Stz SP R A S 8
Bewegungsgleihung de Rottion & D & ϕ äquivlent zu : F m & D ϕ t t ϕ t ösung fü D onst. : ( ) 0 äquivlent zu linee, eshleunigte Bewegung eg in 9
Dehshwingungen um feste Ahse Annhme : Rükstellmoment sei popotionl zu Auslenkung us de Ruhelge D D ϕ vegleihe Hook shes Gesetz de lineen Bewegung : F D Rihtmoment t D Bewegungsgleihung : && ϕ D 0 ϕ mit dem Tägheitsmoment 0 des Dehtishes 0 && ϕ D 0 ϕ α ϕ ösung de Shwingungs-Gleihung Glih : ( t ) ϕ sin ( α t ) ϕ 0 mit Amplitude ϕ 0 und Eigenfequenz α 0
Hupthsen fü Tägheitsmomente in Mtifom : ehte : ist eine Mti ~ mit dem Tägheitstenso ~ ei elieige Dehhse tgen lle Tägheitsmomente jk zu Dehimpuls ei jk y z y yy zy z yz zz
y z y z y yy zy y y y z yz zz z die Beziehung zeigt, dss idr i.d.r. und niht pllel zueinnde sind z z z y Fge : wnn liegt pllel zu? ösung : z.b. lle Nihtdigonl-Elemente ik 0 (i k) und ddigonl-elemente lel yy zz Köpe muss offensihtlih Symmetie esitzen dnn gilt : mit dem sklen Wet
eine Tnsfomtion T, die Einheitsvektoen in KS so nh KS üefüht, dss de Tägheits-Tenso digonl wid, heißt Hupthsentnsfomtion KS T KS' y z y yy zy z yz zz T 0 ' ' 0 0 0 y' y' 0 0 0 z' z' mthemtishe Anlyse egit : die Hupthsen sind Symmetie-Ahsen des Köpes zgl. de Hupthsen wid de Tägheitstenso digonl 3
Tägheitsellipsoid Komponenten de Winkelgeshwindigkeit : y z osα os β os γ z γ β α y E ot liefet duh Vegleih mit : ( ) α, β, γ ds Tägheitsmoment zgl. de Ahse, in Ahängigkeit von α,β,γ : ( α, β, γ ) os α yy os β os y os α os β z os α os γ yz os β os γ zz γ 4
Rihtungen (α,β,γ), unte denen (α,β,γ) Etemwete nnimmt, heißen Hupttägheitshsen die zugehöigen Tägheitsmomente heißen Hupttägheitsmomente i h tt it f üh h 0 0 ~ HA 0 yy 0 de Hupttägheitshsen h ist digonl : 0 0 wi htten eeits fühe gesehen : de Tägheitstenso in de Bsis d.h. es gilt fü lle Niht-Digonlelemente : y yz z 0 eingesetzt in die Fomel fü (α,β,γ) egit sih : zz HA ( ) α β, γ os α os β os γ, yy zz Tä Tägheits- hi Ellipsoid Tägheitsmoment fü Dehung um Ahse, die definiet ist üe Winkel (α,β,γ) zgl. Hupttägheitshsen ( (α,β,γ) enthält keine Teme jk (j k) 5
die Rottionsenegie egit sih in de Bsis de Hupthsen zu : Beeihe konstnte Rottionsenegie ei Vition de Komponenten,y,z (zw. de Winkel α,β,γ) sind definiet duh : E ot onst ( ). yy y zz z Tägheits- Ellipsoid dies ist offensihtlih die Gleihung de Oeflähe eine Ellipse, in den Vilen,y,z ; vgl. in zwei Dimensionen : z y Spezilfll : yy zz : E ot onst (. ) y z Gleihung eine Kugel 6
Benennung de Hupttägheitshsen (,,) : Konvention : unte Bezug uf die Hupthsen wid : ( α β, γ ) os α os β os γ HA, Dehimpuls : 7
fü die Enegie egit sih : ( ) ot E ( ) ot ot E Rottionsenegie symmetishe Keisel : symmetishe Keisel : symmetishe Keisel : ode ode S i lf ll ( ) E Spezilfll : ( ) E ot Sphäishe Keisel 8
Rottion um feie Ahsen ishe ethtet : Rottion um fest fiiete Dehhse jetzt : Rottion um eine feie (d.h. niht im Köpe fiiete) Ahse epeimentell zeigt sih, dss Rottion um die Ahsen des kleinsten und gößten Tägheitsmoments stil ist, wähend ei Rottion um ndee Ahsen kleinste Stöungen zu nstilitäten (d.h. Tokel-Bewegungen, Umkippen de Ahse) fühen () () () Bethte Rottion eines Qudes (sym. Keisel), de n Fden ufgehängt ist; () stile Rottion um Ahse gößten Tägheitsmoments ; () instile Rottion um Ahse des mittleen Tägheitsmoments ;() Rottion () spingt um in seh stile Rottion um Ahse mit dem gößten Tägheitsmoment 9
Eule she Gleihungen wenn Dehimpuls und Dehhse niht pllel sind, dnn ist die Bewegung des Köpes kompliziet D & ( ) D D & & ( ) ( ) Eule she Gleihungen die Eule shen Gleihungen esheien die Vition de Rottion (Rihtung und Geshwindigkeit) it) eine lii elieigen Dehewegung iwi ei Wikung eines etenen Dehmoments D (ei käftefeie Bewegung ist D 0); die Besheiung efolgt im Koodintensystem de Hupthsen 0
Dynmik des käftefeien, symmetishen Keisels de sym. Keisel weist dei elevnte Ahsen/Rihtungen uf : Rihtung des Dehimpulses, momentne Dehhse, Figuenhse ki kein äußees äß Dehmoment t(d 0) d/dt 0 Vkt Vekto i ist umfest wenn die Symmetiehse ist, dnn ist wenn in Rihtung de Hupt- und Figuen-Ahse liegt, gilt : 0 0 ˆ stile Rottion ti um umfeste Ahse (d Ahse äumlih stil ist) ehte : im llgemeinen Fll llist t niht ihtpllel l zu (z.b. wenn lle i 0 und niht lle,, gleih sind)
Einwikung eines Kftstosses : Nuttion es sei nfngs: (, 0, z ) z (, 0, z ) z Shlg gegen Figuenhse mit Kftstoß F dt -Ahse d F dt i i i z F d y : von Uspung zu Shlgstelle d yˆ ' d ' d : d mit : z z Kftstoß ändet Rihtung de Figuenhse in -Rihtung e : Kftstoß ewikt Ändeung d in y Rihtung Dehimpuls liegt niht meh in z-eene (Figuenhse hingegen shon) Dehimpuls und Figuenhse (zw. Dehhse) sind niht meh pllel
(momentne) Dehhse z und Figuenhse nutieen um Dehimpuls ehte : unmittel siht im Epeiment ist nu die Nuttion de Figuenhse, niht de momentnen Dehhse h ehte :dieänge desvektos (d.h. die Rottionsgeshwindigkeit) leit ei de Nuttion ehlten Enegieehltung y 3
Einwikung eines äußeen Dehmoments : Päzession Päzession : Rektion des Keisels uf etenes Dehmoment, z.b. geung ußehl Shwepunkt Dehmoment duh Gewihtskft Pä Päzession : Dehimpuls-Vekto Vkt ändet Rihtung; Betg leit e konstnt W. Puli und N. Boh eohten einen päzedieenden Keisel (ei de Eöffnung des nstituts fü Theoetishe Physik in und, 95) 4
D F Mg wikt ständig ständige Ändeung des Dehimpulses : d D 0 d ; d F ; d z Rihtungsändeung von des Dehimpulses Bewegung von uf Keis : Pä Päzession S d y D Mg sin α P ' sinα Mg K Päzessions- Fequenz F 5