Prüfungszeit: 90 Minuten Zugelassene Hilfsmittel sind: Klausur Strömungsmechanik 1 Frühjahr 013 06. März 013, Beginn 15:00 Uhr Taschenrechner (nicht programmierbar) TFD-Formelsammlung (ohne handschriftliche Ergänzungen) Lineal und Schreibmaterial (nur dokumentenecht, => keinen Bleistift verwenden, kein TIPP-Ex) mitgebrachtes Papier Andere Hilfsmittel, insbesondere: alte Klausuren Übungen der Vorlesung Handy, Laptop, Fachbücher, programmierbarer Taschenrechner sind nicht zugelassen. Weitere Hinweise: Ergebnisse sind durch einen Rechenweg zu begründen und nur mit einer Einheit richtig. Die zu verwendenden Indizes sind (soweit gegeben) den Skizzen zu entnehmen, ansonsten in die Skizzen einzutragen. Aufgabe Punkte 1. Verständnisfragen 15. Kurzrechnungen 11 3. Inkompresible Strömung 18 Gesamt 44 Name, Vorname:... Matrikelnummer:... Wir wünschen Ihnen viel Erfolg! Jun.-Prof. K. Mulleners B. Drechsel, V. Köpplin!!Alle Aufgabenteile (X.X) sind unabhängig voneinander lösbar!!
1. Verständnisfragen (16 Punkte) 00 Kreuzen Sie richtige Aussagen an. Es können pro Frage mehrere Antworten richtig sein. (Nur vollständig richtig beantwortete Fragen werden gewertet.) Fluideigenschaften (1) Der Druck in einem Fluid wirkt stets...aufwärts....abwärts....in Strömungsrichtung....in alle Richtungen. Strömungsvisualisierung (1) Wann fallen Stromlinien, Bahnlinien und Streichlinien zusammen? Nie. Wenn die Strömung zweidimensional ist. Wenn die Strömung laminar ist. Wenn die Strömung stationär ist. Hydrostatik (1) Der Druck 1m unterhalb des Meeresspiegels ist ungefähr... 10 3 Pa....10 4 Pa....10 5 Pa....10 6 Pa. Venturidüsen (1)...sind nur mit kompressiblen Medien verwendbar....messen den dynamischen Druck....dienen zur Massenstrombestimmung....sind frei von Reibungsverlusten. Seite 1 von 16
Ausfluss aus Behälter (1) Der Behälter ist geschlossen und unendlich groß. Der Untergrund ist reibungsfrei. p amb p I c 1 > c. Das Gefäß bewegt sich in positive x-richtung. c 1 (Fluid=Wasser) > c 1 (Fluid=Ethanol) Interne Strömungen () Rohr A Länge: L, Dicke: D Rohr B Länge: L, Dicke: D Rohr C Länge: L, Dicke: D Geben Sie >,< oder = an. c 1 c Fluid Der Druckverlust in Rohr A > der Druckverlust in Rohr B Der Druckverlust in Rohr A, laminar > der Druckverlust in Rohr C, laminar Der Druckverlust in Rohr A, laminar < der Druckverlust in Rohr A, turbulent Der Druckverlust in Rohr A, glatt < der Druckverlust in Rohr A, rau Hydrodynamik 1 () Geben Sie >,< oder = an. u 1 > u p 1 < p ρ a < ρ b V ρ b ρ a 1 D 1 D V y g x λ D1 > λ D Seite von 16
Klausur Strömungsmechanik 1 Sommersemester 01 Name, Vorname:... Matrikelnummer:... Lavaldüse (1) Ordnen Sie die Geschwindigkeitsverläufe den entsprechenden Lavaldüsen A bis D zu. B Lö su ng A C D A D B C Seite 3 von 16
Prandtl-Sonde (1) Massenstrom durch Öffnung A ist Null. An B wird der statische Druck gemessen. B ist der Staupunkt der Sonde. Dynamischer Druck = Druck A - Druck B Zylinderumströmung () A Bei welchen Punkten A bis E stellen sich die dargestellten Strömungen ein? C B B A E D Seite 4 von 16
Oberflächenspannung (1) Der sich einstellende Kontaktwinkel eines Fluidtropfens auf einer festen Oberfläche hängt ausschließlich von den Eigenschaften des Fluids und der Luft ab. Der Kontaktwinkel kann nur Werte zwischen 0 und 90 annehmen. Die Oberflächenspannung wirkt in der Grenzfläche zweier Fluide. Für eine Seifenblase ist die Differenz zwischen Innen und Außendruck gleich 4σ R, wobei σ die Oberflächenspannung und R der Radius der Seifenblase ist. Umströmte Platte (1) Geben Sie >,< oder = an. x 1 x x 1 x Wandschubspannung τ W : > Grenzschichtdicke: < Re x : < Navier-Stokes-Gleichung (1) u +u u +v u +w u = g x 1 p + µ u }{{} t }{{} x y z }{{}}{{}}{{} ρ x ρ x }{{}}{{} + u y }{{} + u }{{} z A B C D E für stationäre Strömungen ist A = 0. für den Fall einer laminaren, geschichteten Strömung zwischen zwei ebenen Platten in x-richtung ist C = D = 0. C beschreibt die Fluidzusammensetzung. Die Navier-Stokes-Gleichungen sind Impulsgleichungen. F Hydrodynamik (1) G H I Die Bernoulli-Gleichung in der Form 1 ρu 1 + p 1 + ρgh 1 = 1 ρu + p + ρgh darf nicht verwendet werden, wenn die Strömung...turbulent ist....instationär ist....reibungsfrei ist....kompressible ist. Seite 5 von 16
Grenzschicht an umströmtem Zylinder (1) Ordnen Sie die dargestellten Geschwindigkeitsprofile den Positionen A bis F zu. C B E D Seite 6 von 16
. Kurzrechenaufgaben (11 Punkte) 00 Hinweis: Die Ergebnisse der Kurzaufgaben (mit Einheiten) sind in die dafür vorgesehenen Kästen einzutragen. Geben Sie zusätzlich den Rechenweg an..1. Schalenkreuzanemometer (4 Punkte) 00 Gegeben ist ein Schalenkreuzanemometer zur Messung von Windgeschwindigkeiten. Es besteht aus 4 Halbschalen, die jeweils mit dem Abstand R mit einer Welle verbunden sind. Die Welle dreht mit der Winkelgeschwindigkeit ω. c Hinweis c c w = 1.4 c w = 0.38 Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω in Abhängigkeit der Strömungsgeschwindigkeit c. Gegeben: R, c c Hinweis: Die Umströmung der Halbschalen III und IV kann vernachlässigt werden. Auch die Gewichtskraft ist nicht zu berücksichtigen. I R IV III Drehrichtung x ω = c R 0,318 c II M recht = M links,summe aller Momente gleich null, rotierendes aber nicht beschl. System Seite 7 von 16
F W c w,i = ρ w A M rechts = R 1 ρ (ω R c ) A c w,1, Relativgeschw. w einsetzen M links = R 1 ρ (ω R + c ) A c w,, Relativgeschw. w einsetzen c w,1 (c ω R) = c w, (c + ω R) mit c w,1 = 3,74 c w, 3,74 (c ω R) = (c + ω R) ± 3,74 (c ω R) = (c + ω R) ( ω R 1 + ± ) ( 3,74 = c ± ) 3,74 1 ω = c (± 3,74 1 ) R (1 + ± 3,74 ) Das negative Vorzeichen vor der Wurzel macht physikalisch keinen Sinn. ω R kann nicht größer als c sein. ω = c ( 3,74 1 ) R (1 + c ) = 0,318 3,74 R Seite 8 von 16
.. Ausströmen aus einem Druckbehälter (7 Punkte) 00 An einem Druckbehälter, in dem sich Luft unter einem Druck von p I = 1.5bar und einer Temperatur von T I = 300K befindet, ist eine Laval-Düse angeschlossen. Der Außendruck beträgt p A = 1bar.R = 87JK/kg und κ = 1.4 (a) welches Druckverhältnis liegt vor? (b) Wie groß ist die Dichte der Luft im Drückbehälter? (c) Welche Geschwindigkeit c A herrscht am Austritt der Düse? (d) Welche Temperatur T A herrscht am Austrittsquerschnitt? Bestimmen des kritischen Druckverhältnisses: Vorliegendes Druckverhältnis: p A pi = 3 (1) ρ I = 1.74kg/m 3 (1) c A = 56.78m/s () T A = 67.18K (3) ( pa p I ) ( ) κ κ 1 = = 0,58 (1) κ + 1 ( pa p I ) = 1 1,5 = 3 Es liegt eine unterkritische Strömung vor > im engsten Querschnitt gilt Ma < 1. Bestimmung der Dichte im Behälter nach dem idealen Gasgesetz: ρ I = p I = 1,74 kg R T I m 3 (3) Bestimmen der Geschwindigkeit am Austritt über Gleichung in der Formelsammlung auf Seite 6: ( p A = 1 κ 1 ρ 1 ( c p 1 κ p A c ) ) κ 1 κ 1 1 () (4) mit c 1 = 0. [ c A = 1 ( pa p I ) κ 1 ] κ κ p I (5) κ 1 ρ 1 c A = 56,78 m s (6) Seite 9 von 16
Bestimmung der Temperatur am Austritt über: mit T I = 1 + κ 1 T A Ma (7) und Einsetzen und nach T A auflösen führt auf: Ma = c a a = κrt (9) c A T A = T I κ 1 = 67.18K (10) κr (8) Seite 10 von 16
3. Rohrsystem (18 Punkte) 00 In einem Rohrsystem wird Wasser mit einer Pumpe gefördert. Am U-Rohr-Manometer (gefüllt mit Quecksilber) wird bei der eingestellten Strömung eine Höhendifferenz von h abgelesen. In den Steigrohren am Anfang und am Ende des Rohrleitungs-Systems wird jeweils die gleiche Füllhöhe abgelesen. Die beiden Krümmer haben jeweils einen Verlustbeiwert ξ K. Hinweise: Verluste durch Strömungserweiterungen und -verengungen werden nicht berücksichtigt. Verluste durch Rohrreibung werden nur in den Rohren mit dem kleinern Durchmesser d berücksichtigt. Druckverlust in Rohrströmungen: ) Gegeben: p = ρ ( u ξ i + i k λ k L k d 1 = 1m d = 0.5m L = 4m h = 0.3m h 1 = 1.8m h = 0.8m g = 9.81m/s η = 0.95 ξ K = 0. ρ W = 1000kg/m 3 ρ Hg = 13500kg/m 3 ν W = 1.75 10 6 m /s λ laminar = 0.03 λ turbulent = 0.0 (a) Berechnen Sie die Änderung des statischen Druckes p 1 p 9 mit Hilfe des Höhenunterschiedes der Quecksilbersäule. Der Druckverlust durch Reibung zwischen den Punkten 9 und 1 kann vernachlässigt werden. D k Symbolschreibweise Wert p 1 p 9 g h(ρhg ρ W ) 36.8kPa (b) Bestimmen Sie die Strömungsgeschwindigkeit u. Symbolschreibweise Wert g h(ρ Hg ρ W) ) u ] ρ W [1 ( d d 1 8.857 m/s (c) Herrscht laminare Strömung im Rohr mit dem Durchmesser d? Die Strömung ist...................................., weil..................................... Seite 11 von 16
(d) Wie groß ist der Volumenstrom durch das Rohrsystem? Symbolschreibweise Wert V π 4 d u 1.74m 3 /s (e) Welcher Druckanstieg muss durch die Pumpe erzeugt werden? Nur Reibungsverluste im Rohr mit dem Durchmesser d werden berücksichtigt. Symbolschreibweise ρg(h 1 + h ) + p Pumpe ( ) ρ u ξ K + L d λ t Wert 47.46kPa (f) Welche Wellenleistung (Wirkungsgrad η) muss an der Pumpe dafür aufgebracht werden? Ṗ Symbolschreibweise V p Pumpe η Wert 86.88 kw (g) Tragen Sie qualitativ den Verlauf des statischen Druckes entlang eines Stromfadens zwischen den Punkten 1 und 1 in das gegebene Diagramm ein. Seite 1 von 16
pmax p0 pmin y 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 x Seite 13 von 16
Für die Zahlenwerte gibt es anteilig insgesamt Punkte. a) Änderung des statischen Drucks p 1 p 9 Hydrostatik am U-Rohr-Manometer b) Strömungsgeschwindigkeit u Bernoulli 9 1 Konti: Einsetzen in Bernoulli p 9 + h ρ Hg g = p 1 + h ρ W g (11) u p 1 p 9 = h ρ Hg g h ρ W g (1) p 1 p 9 = h g (ρ Hg ρ W ) 1 (13) = 36787.5Pa (14) + p 9 + g ρ z 9 = u 1 W + p 1 + g z 1 ρ W u 1 (15) u 1 = p 1 p 9 (16) ρ W ρ W A 9 d u 1 = u = u A 1 u ṁ 1 = ṁ 9 (17) u 1 A 1 ρ W =u A 9 ρ W (18) d 1 1 (19) u 1 = p 1 p 9 (0) ρ W u ( u d ) d1 = p 1 p 9 (1) ρ W [ ( d ) ] 1 = p 1 p 9 () ρ W u d 1 u = p 1 p [ 9 ρ ( W d ) ] (3) 1 d 1 u = h g (ρ Hg ρ W ) [ ρ ( W d ) ] (4) 1 d1 h g (ρ Hg ρ W ) u = [ ρ ( W d ) ] 1 (5) 1 d1 u = 8.859m/s (6) Seite 14 von 16
c) laminar oder turbulent? Re = u d ν (7) =.5 10 6 > 300 1 (8) turbulent (9) d) Volumenstrom V d) Druckanstieg durch die Pumpe Bernoulli 1 1 c 1 = c 1 p 1 = p 1 Definition der Höhen: p V 1 gemäß gegebener Formel V = u A 9 (30) = u π 1 (31) 4 d = 1.74m 3 /s (3) g z 1 c 1 + p 1 ρ + 0 + P 1 ρ V = c 1 + p 1 ρ + g z 1 + p V 1 ρ, da gleicher Querschnitt, da gleicher Höhenstand in der Wassersäule (siehe Aufgabenstellung) z 1 = 0 z 1 = h 1 + h 1 (33) P 1 ρ = ρ W g z 1 + p V 1 (34) p = ρ ( u ξ i + i k λ k L k D k ) u = u, da Reibung nur um dünnen Rohr (35) λ k = λ t, da Strömung turbulent (siehe Aufgabenteil c ) (36) p V 1 = ρ u ( ) L ξ k + λ t D 1 + 1 P 1 V = p Pumpe = ρ W g (h 1 + h ) + ρ ( ) L u ξ k + λ t D 1 (37) = 47481Pa (38) Seite 15 von 16
f) Wellenleistung P 1 P 1 = V p Pumpe η 1 (39) = 86965W (40) g) Druckverlauf Insgesamt 5 Punkte. Je Teilstück 0,5 Punkte; Anfang und Ende zusammen 0,5 Punkte. y p max p 0 p min 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 x Seite 16 von 16