Dr. Erwin Schörner 49: Lineare Algebra/Geometrie Prüfungstermin Herbst 5 Lösungsvorschlag I.. a Die in Abhängigkeit vom Parameter t R für t t A t t t R und b R t + t t + t zu betrachtende Menge F t { x R A t x b } ist die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems A t x b mit der Koeffizientenmatrix A t und der rechten Seite b und damit eine affine Teilmenge von R. Wegen t t A t e t t b t + t t + t ist e F t, also F t R nichtleer, und es gilt dim(f t Rang(A t, also dim(f t Rang(A t. Im Falle Rang(A t ist der Spaltenraum der Matrix A t eindimensional, so daß die ihre Spalten paarweise linear abhängig sein müssen; insbesondere gibt es ein λ R mit t t λ t + t λ λ λ, also t λ t, woraus t t t(t und damit t oder t folgt. Die Probe (A b II I III I und (A b II I III I bestätigt Rang(A und Rang(A.
b Gemäß a ist F t R genau dann eine Ebene, also eine affine Teilmenge der Dimension, wenn t oder t ist, und es gilt F { x R A x b } { x R x } und F { x R A x b } { x R x + x + x }. Damit besitzen F und F sowie die ferner gegebene Ebene E { x R x + x + x } die Normalenvektoren ũ F und ũ F sowie ũ E ; wegen der linearen Unabhängigkeit von ũ F und ũ E ist F zu E nicht parallel, aber wegen der linearen Abhängigkeit von ũ F und ũ E ist F zu E parallel. c Wegen ũ E besitzt die Ebene E R die Hessesche Normalform E : x + x + x ; ferner gilt e F gemäß a. Da nun die beiden Ebenen E und F gemäß b parallel sind, ergibt sich für ihren Abstand dist(e, F dist(e, E + +. I.. a Die gegebene Matrix 4 A 6 6 R 6 5 besitzt wegen 4 λ χ A (λ det(a λ E 6 λ 6 6 5 λ ( + ( λ. Spalte 4 λ 6 5 λ (λ + [( 4 λ (5 λ ( 6 ] (λ + [λ λ ] (λ + (λ für alle λ R genau die beiden Eigenwerte λ und λ.
b Gemäß a sind λ und λ die beiden Eigenwerte von A. Wegen A λ E 6 6 II+I III+I 6 6 ist u, u eine Basis des Eigenraums Eig(A, λ ; wegen 6 A λ E 6 6 6 II+I III I 6 ist u eine Basis des Eigenraums Eig(A, λ. Folglich ist Eig(A, λ R u + R u und Eig(A, λ R u. c Gemäß b sind u, u eine Basis von Eig(A, λ und u eine Basis von Eig(A, λ mit λ λ ; damit sind u, u, u drei linear unabhängige Vektoren in R, wegen dim(r also schon eine Basis von R aus Eigenvektoren von A. Folglich ist A diagonalisierbar. d Eine Basis v, v, v von R, bezüglich der sowohl A R als auch B R Diagonalform haben, muß aus lauter Eigenvektoren sowohl von A als auch von B bestehen. Wegen dim(eig(a, λ und dim(eig(a, λ sind damit zwei dieser Basisvektoren aus Eig(A, λ und der dritte Basisvektor aus Eig(A, λ ; dieser besitzt also die Gestalt α u für ein α. Wegen B u 4 / R ist aber u und damit auch α u kein Eigenvektor von B. Folglich kann es keine Basis von R mit der gewünschten Eigenschaft geben. I.. a Die beiden gegebenen Vektoren v und v R sind keine skalaren Vielfachen voneinander und folglich linear unabhängig; für das orthogonale Komplement U von U v, v gilt demnach dim(u dim(r dim(u,
so daß etwa das Vektorprodukt ũ v v R eine Basis von U ist. b Die Hilfsmatrix B (v, v, e R ist wegen (B E II I III II+III II I III II (E B invertierbar mit B B R. Folglich ist v, v, e eine Basis von R, und nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung gibt es genau eine lineare Abbildung f : R R mit Damit gilt zum einen wegen also und zum anderen wegen f(v und f(v sowie f(e ũ. U v, v Kern(f R, dim(u dim(kern(f < dim(r, dim(kern(f dim(u schon Kern(f U, U ũ Bild(f, dim(u dim(bild(f dim(r dim(kern(f, also mit dim(bild(f dim(u schon Bild(f U, 4 e f(e 4. 4
Für die Abbildungsmatrix A R von f gilt damit A v f(v, A v f(v, A e f(e ũ, so daß sich mit der Matrix C (,, ũ R dann A B A (v, v, e (A v, A v, A e (,, ũ C und damit 4 4 4 A C B 4 4 4 ergibt. c Die Abbildungsmatrix A R von f ist wegen A A symmetrisch und damit orthogonal diagonalisierbar; die Eigenräume von A bzw. von f sind also orthogonal zueinander. Wegen Kern(f { x R f(x } { x R f(x x } Eig(f, mit dim(kern(f ist λ ein doppelter Eigenwert von f mit dem Eigenraum Eig(f, U. Damit ist U mit dim(u ebenfalls ein Eigenraum von f, und wegen 4 4 f(ũ A ũ 4 4 8 9 9 ũ 8 ist U Eig(f, 9 der Eigenraum zum einfachen Eigenwert λ 9. Weitere Eigenräume und damit Eigenwerte kann es wegen dim(r nicht geben. d Für den Vektor 4 v v ũ R 5 gilt zum einen wegen v ũ schon v U und zum anderen v v ; damit sind v, v, ũ drei paarweise orthogonale Eigenvektoren von f und folglich v v v, 5 v 4 ũ, 5 ũ 5 eine Orthonormalbasis von (R, aus Eigenvektoren von f. I.4. In der euklidischen Ebene R sind die Punkte a, b, c, d ( 4, e, f gegeben; zu betrachten sind die Bewegungen g : R R, welche die Punktmenge {a, b, c} auf die Punktmenge {d, e, f} abbilden:
d b e f c a a Für die Seitenlängen des Dreiecks ergibt sich dist(a, b a b, dist(a, c a c, dist(b, c b c ; ferner ergibt sich für die Seitenlängen des Dreiecks dist(d, e d e 4, dist(d, f d f 4, dist(e, f e f. Damit gilt für eine Bewegung g : R R, die das Dreieck mit den Eckpunkten a, b, c auf das Dreieck mit den Eckpunkten d, e, f abbildet, aufgrund ihrer Abstandstreue notwendigerweise entweder oder ( g(a e, g(b f, g(c d ( g(a d, g(b f, g(c e. Wir weisen nun nach, daß beiden Möglichkeiten ( und ( realisiert werden. Da die beiden Richtungsvektoren u b a und u c a
linear unabhängig sind, bilden die Punkte a, b, c ein affines Koordinatensystem; damit existiert aber nach dem Prinzip der affinen Fortsetzung für jede Vorgabe von Punkten a, b, c R genau eine affine Abbildung g : R R, g(x M x + t, mit g(a a, g(b b und g(c c. Für ihre Matrix M R und ihren Vektor t R gilt damit M a + t a, M b + t b und M c + t c ; zieht man die erste Gleichung von den beiden anderen ab, so erhält man M (b a }{{} b a und M (c a c a. }{{} u u Mit den Hilfsmatrizen B (u, u GL (R und C (b a, c a R ergibt sich damit zunächst M B M (u, u (M u, M u (b a, c a C, also M C B mit B 8, und dann etwa über die erste Gleichung t a M a; damit ergibt sich: Bei ( ist a e, b f und c d, also C (f e, d e R, damit zum einen M C B 8 und zum anderen t e M a. Wegen M M E gilt M O (R, so daß g eine Bewegung ist. Bei ( ist a d, b f und c e, also C (f d, e d R, damit zum einen M C B und zum anderen t d M a 4 8 4 Wegen M M E gilt M O (R, so daß g eine Bewegung ist..
b Bei der in a ermittelten Möglichkeit ( gilt cos ϕ sin ϕ M D ϕ sin ϕ cos ϕ für ϕ π ; damit ist g eine Drehung mit dem Drehwinkel ϕ π, und für das Drehzentrum z R gilt z (E M t. c Bei der in a ermittelten Möglichkeit ( gilt cos ϕ sin ϕ M S ϕ sin ϕ cos ϕ für ϕ ; damit ist g eine Gleitspiegelung mit der Spiegelachse s + R u und dem Verschiebungsvektor α u. Da u ein Eigenvektor von M zum Eigenwert ist, können wir etwa u e mit u e wählen, und über die Zerlegung t ( u + u ergibt sich zum einen α sowie zum anderen s als eine Lösung von (E M u, etwa s. I.5. a Die Aussage ist falsch: Die obere Dreiecksmatrix A R besitzt die beiden verschiedenen Eigenwerte λ und λ, ist also als Matrix diagonalisierbar. Wir nehmen zum Widerspruch die Existenz einer orthogonalen Basis v, v von (R, aus Eigenvektoren von A an; dann ist aber v v, v v eine Orthonormalbasis von (R, aus Eigenvektoren von A. Folglich ist A sogar orthogonal diagonalisierbar, mithin symmetrisch, im Widerspruch zu A A. b Die Aussage ist wahr: Sei A R mit A A E bzw. A A + E O. Ist λ R ein Eigenwert von A, so gibt es einen Eigenvektor x R mit A x λ x, und wegen ergibt sich A x A (A x A (λ x λ (A x λ (λ x λ x O x ( A A + E x A x A x + E x λ x λ x + x ( λ λ + x (λ x, wegen x also (λ und damit λ.
c Die Aussage ist falsch: Ist etwa B O R die Nullmatrix, so gilt für jede (nicht notwendigerweise invertierbare Matrix A R wegen BA O schon Spaltenraum(BA {} Spaltenraum(B; wir können also als Gegenbeispiel etwa A O wählen. d Die Aussage ist falsch: Die Gleichung x + y + ax + b definiert im R etwa für a und b einen Punkt oder für a und b > die leere Menge, also nicht immer eine Ellipse. e Die Aussage ist wahr: Für a, b R ist die Gleichung ( x + y + ax + b im R zu betrachten; wegen ( (x + ax + a a 4 4 + y + b ( x + a + (y + b a 4 u x + u a + v mit v y + b a 4 besitzt ( die affine Normalform u +v und definiert damit eine Parabel. f Die Aussage ist wahr: Seien U, U, U Unterräume des R Vektorraums V mit U U. Für alle v U + U existieren u U und u U mit v u +u, und wegen U U gilt u U und damit v u +u U +U ; es ist also U + U U + U.
II.. Es ist V Pol (R. Für ein Polynom p a X + a X + a X + a Pol (R betrachte man den Koordinatenvektor q(p R4 bezüglich der Standardbasis X, X, X, von Pol (R; für die gegebenen Vektoren a a a a p X X, p X X, p X X und p 4 X ergibt sich also q(p, q(p, q(p und q(p 4 a Sei p Pol (R mit dem Koordinatenvektor q(p R 4 ; mit der Hilfsmatrix A (q(p, q(p, q(p, q(p 4 R 4 4 erhält man a (A q(p a a a und es ist Folglich ergibt sich: II+I III+II IV+III a a + a a a a a + a a + a + a a a a + a a + a + a a + a + a + a, p( a + a + a + a a + a + a + a. p U p p, p, p, p 4 q(p q(p, q(p, q(p, q(p 4. Das lineare Gleichungssystem (A q(p ist lösbar. a + a + a + a p( Damit ist U die Menge aller Polynome p Pol (R mit Nullstelle.
b Gemäß der Rechnung von a ist A I II II III mit Pivots in der ersten, zweiten und vierten Spalte; damit sind aber q(p, q(p, q(p 4 linear unabhängig mit q(p q(p + q(p. Folglich sind auch p, p, p 4 linear unabhängig mit p p + p, mithin eine Basis von U p, p, p, p 4. Wegen dim Pol (R 4 lassen sich die drei Basisvektoren p, p, p 4 von U durch jeden Vektor p Pol (R mit p / U, also p( gemäß a, zu einer Basis p, p, p 4, p von Pol (R ergänzen; wir können etwa p X wählen. II.. a Für alle X, Y R n n gilt f(x + Y a (X + Y + b (X + Y a (X + Y + b (X + Y (a X + a Y + (b X + b Y (a X + b X + (a Y + b Y f(x + f(y ; damit ist f additiv. Für alle X R n n und λ R gilt f(λ X a (λ X + b (λ X a (λ X + b (λ X λ (a X + λ (b X λ (a X + b X λ f(x; damit ist f homogen. Insgesamt ist also f eine lineare Abbildung. b Für alle X R n n gilt f(x (a + b X a X + b X a X + b X b X b X b (X X ; speziell für X E n gilt X mit X X, also X X und damit f(x (a + b X, so daß X ein Eigenvektor von f zum Eigenwert a + b ist. Für alle Y R n n gilt f(y (a b Y a Y + b Y a Y b Y b Y b Y b (Y + Y ; speziell für Y (y ij ij mit, für i und j, y ij, für i und j,, sonst,
gilt Y mit Y Y, also Y + Y und damit f(y (a b Y, so daß Y ein Eigenvektor von f zum Eigenwert a b ist. c Wir zeigen die Äquivalenz f ist bijektiv a b durch den Nachweis von zwei Implikationen: Für sei f bijektiv; damit ist f insbesondere injektiv, und ist kein Eigenwert von f. Gemäß b folgt a + b und a b, also a b (a + b (a b, und damit a b. Für sei a b ; sei X Kern(f. Damit gilt woraus sich und somit f(x a X + b X, also a X b X, a X (a X ( b X b (X b X (a b X a X b X a (a X + b ( b X a ( b X + b (a X a b X + a b X ergibt; wegen a b ist a b, und es folgt X. Damit ist Kern(f {}, also f injektiv, so daß f als Endomorphismus von R n n mit dim R n n < schon bijektiv ist. II.. a Es ist det(m 4 5 6 4 Laplace 9. Spalte ( + 6 6 I II III+ II, IV II 9 6 6 aus I, II, III 7 (( + + ( 6 + + 7 4 8. Sarrus b Wegen M E 4 4 6 4 6 ist II+I II I, IV+ I Rang(M E 4 < 4; folglich ist λ ein Eigenwert der Matrix M, und für den Eigenraum Eig(M, λ ergibt sich dim Eig(M, λ 4 Rang(M E 4 4.
c Gemäß b besitzt M den Eigenwert λ der geometrischen Vielfachheit γ ; für die algebraische Vielfachheit gilt demnach α, und das charakteristische Polynom χ M (t besitzt die Gestalt für ein µ R. Damit gilt χ M (t (t (t µ det(m χ M ( ( ( µ 7 µ, unter Verwendung von a also 7 µ 8 bzw. µ 4; damit besitzt M einen weiteren Eigenwert, nämlich µ 4. Mit einer Basis b, b, b von Eig(M, λ und einem Eigenvektor b 4 von M zum Eigenwert µ 4 erhält man eine Basis b, b, b, b 4 von R 4 aus Eigenvektoren von M; damit ist die Matrix M diagonalisierbar. II.4. a Für die gegebene Bilinearform σ : R R R, σ(x, y 4 x y 8 x y 8 x y + 5 x y, auf dem R Vektorraum R gilt σ(x, y x S y mit S Wegen S S ist S symmetrisch, und wegen 4 8 R. 8 5 det(s 4 5 ( 8 ( 8 6 > Spur(S 4 + 5 9 > ist die symmetrische Matrix S auch positiv definit; folglich ist σ ein Skalarprodukt auf R. b Wir unterwerfen die Standardbasis e, e von R dem Gram Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren und erhalten im ersten Schritt a e mit a σ(a, a 4, also und zum anderen mit b a a a e σ(e, b b (, ( ( 4 a σ(a, a 9, also b ( a a. Folglich ist b, b eine Orthonormalbasis von (R, σ.
c Die lineare Abbildung l A : R R, l A (x A x, mit der Abbildungsmatrix A R ist genau dann eine orthogonale Abbildung (R, σ (R,, wenn sie eine Orthonormalbasis von (R, σ, etwa b, b von b, auf eine Orthonormalbasis von (R,, etwa e, e, abbildet. Mit B (b, b GL (R ergibt sich und damit A B A (b, b (A b, A b (e, e E A B ( ( 4. II.5. a Die gegebene Quadrik { } x Q R 8 x x y + 7 y + 44 x 58 y + 48 y besitzt die Gleichung x x y A + b y x + c y mit A 8 6 44 R, b R und c 48 R. 6 7 58 Wegen det(a λ E 8 λ 6 6 7 λ (8 λ (7 λ ( 6 ( λ 5 λ + 6 6 λ 5 λ + (λ 5(λ für alle λ R besitzt A die beiden Eigenwerte λ 5 und λ ; wegen 6 A λ E ist v 6 ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ 5, und wegen 6 A λ E ist v 6 ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Mit der orthogonalen Matrix v P v, v O v 5 (R
und der Diagonalmatrix D diag (λ, λ 5 R gilt dann P AP D. Die Variablentransformation nun die gegebene Gleichung x x y A + b y in die Gleichung u u v P AP v also 5 u v + b P u + ( 44 58 v x + c y x P y u + c, v 5 u führt v u + 48, v und damit 5 u + v + 5 u 6 5 v + 48 über. Mit Hilfe quadratischer Ergänzung ergibt sich ferner 5 ( u + und damit ( u + 5 + v 4 4 v + 5 5 5 5 48 + 5 ( u + ( + v 4 5, 5 5 so daß sich mit der Variablentransformation die Gleichung w z 4 5 + 5 ( u + 5 v 4 5 w 5 + z w 5 bzw. 4 ( 5 + z ( 5 ergibt; letztere stellt die euklidische Normalform einer Ellipse dar. b Gemäß der in a ermittelten euklidischen Normalform ist Q eine Ellipse mit den Hauptachsenabschnitten α 5 und β 5. Wegen x u w 5 P P y v z + 4 5 w P + 5 w P + z 5 z 4 5
besitzt Q im x y Koordinatensystem den Mittelpunkt m sowie ( die w Achse + R und die z Achse + R als Hauptachsen; die Scheitelpunkte auf der w Achse sind v s, m ± α v ± 5 ±, 5 und die Scheitelpunkte auf der z Achse sind v s,4 m ± β v ± 5 5 ±, insgesamt also s, s 4 und s 5, s 4. Damit ergibt sich die folgende Skizze: y z w s s Q m s s 4 x
III.. a Eine reelle Zahl λ R heißt Eigenwert der Matrix A R n n, wenn es einen Vektor x R n mit A x λ x gibt. b Ist λ R ein Eigenwert von A, so gibt es einen Eigenvektor x R n mit A x λ x, und wegen sowie A x A (A x A (λ x λ (A x λ (λ x λ x A x A (A x A (λ x λ (A x λ (λ x λ x ergibt sich ( A 5 E n x A x 5 E n x λ x 5 x ( λ 5 x; damit ist λ 5 ein Eigenwert der Matrix A 5 E n. c Sei A R n n mit A A + E n O. Ist λ R ein Eigenwert von A, so gibt es einen Eigenvektor x R n mit A x λ x, und wegen ergibt sich A x A (A x A (λ x λ (A x λ (λ x λ x O x ( A A + E n x A x A x + E n x λ x λ x + x ( λ λ + x (λ x, wegen x also (λ und damit λ. d Wir verwenden das Kriterium λ R ist Eigenwert von M R n n Rang(M λ E n < n Ist λ Eigenwert von A, so ist Rang(A λ E n < n, und für die transponierte Matrix (A λ E n A (λ E n A λ E n gilt damit Rang(A λ E n Rang(A λ E n < n; folglich ist λ auch Eigenwert der transponierten Matrix A. III.. Im euklidischen Raum R 4, versehen mit dem Standardskalarprodukt, ist die affine Ebene X durch die Punkte p, p und p R4 sowie die affine Teilmenge zu betrachten. Y { x R 4 x x und x + x 4 5 }
a Die affine Ebene X besitzt etwa den Trägerpunkt p sowie die beiden (linear unabhängigen Richtungsvektoren u p p und u p p, insgesamt also die Parameterdarstellung X p + R u + R u + R + R. Ein Punkt s X Y müßte nun zum einen wegen s X die Gestalt λ s + λ + µ λ + µ + λ µ λ + µ mit geeigneten λ, µ R besitzen und zum anderen wegen s Y den beiden Gleichungen x x und x + x 4 5 genügen; dies führt zu λ ( + λ µ bzw. λ + µ (λ + µ + (λ + µ 5 bzw. (λ + µ 5 und damit in (λ+µ 5 zu einem Widerspruch. Folglich ist X Y. Ferner ist Y die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems mit der erweiterten Koeffizientenmatrix ( 5 und über die freien Variablen x und x 4 ergibt sich die Parameterdarstellung, Y t + R u + R u 4 mit t 5 sowie u und u 4 R4 ; da u, u 4 linear unabhängig sind, ist auch Y eine affine Ebene. Damit wären X und Y genau dann parallel, wenn für ihre beiden Richtungsräume u, u u, u 4 gelten würde; dies ist aber wegen α u / β α α, β R u, u 4 β nicht der Fall. Folglich sind X und Y nicht parallel, insgesamt also windschief.
b Zur Ermittlung des Abstands von X und Y betrachten wir die Lotfußpunkte x X und y Y einer gemeinsamen Lotgeraden l von X und Y. Damit ist zum einen x + λ + µ λ λ + µ + λ µ λ + µ X mit geeigneten λ, µ R und zum anderen α y 5 + α + β 5 β α Y β mit geeigneten α, β R, und für den Differenzvektor λ α λ α ũ x y λ + µ + λ µ 5 β α λ + µ + β 5 λ µ α + λ + µ β λ + µ β gilt (als Richtungsvektor von l sowohl ũ X als auch ũ Y, also ũ u und ũ u }{{} wegen ũ X Wegen und ũ u sowie ũ u sowie ũ u und ũ u 4. }{{} wegen ũ Y λ α λ + µ + β 5 λ µ α + λ + µ β (λ α + (λ + µ + β 5 + +(λ µ α + + (λ + µ β 4λ + µ α + β 4 λ α λ + µ + β 5 λ µ α + λ + µ β (λ + µ + β 5 (λ µ α + + (λ + µ β λ + µ + α + β 6 ũ u λ α λ + µ + β 5 λ µ α + λ + µ β (λ α + (λ µ α + λ µ 5α
und ũ u 4 λ α λ + µ + β 5 λ µ α + λ + µ β (λ + µ + β 5 + (λ + µ β λ µ 5β führen diese Bedingungen auf das lineare Gleichungssystem 4 λ 4 5 µ α 6 ; 5 β wegen 4 4 6 5 5 ergibt sich II I III I, IV 4I 7 4 4 5 4 5 4 5 III und damit λ α ũ λ + µ + β 5 λ µ α + λ + µ β I IV 5 4 4 5 5 5 9 6 II IV III 7 4 5 5 6 5 4 4 I II III+ 5 II, IV+ II 7 5 4 I 7III II+III 6 λ µ α + τ 5 4 τ 5 für τ R β τ 4 5 ( 6 5 ( 6 5 6 5 4 5 4 5 ( 6 + τ τ 5 4 4 + τ + ( τ + 5 5 5 4 + τ ( τ τ + 5 ( 6 4 4 + τ + ( τ 5 5 5 6 5 5 5 5.
Für den Abstand von X und Y erhalten wir demnach dist(x, Y dist(x, y x y ũ 6 5 5 6 5 5 5 6 + ( 5 + ( + ( 5 5. 5 III.. a In der euklidischen Ebene R, versehen ( mit dem( Standardskalarprodukt, a b ist für zwei verschiedene Punkte a, b R die Menge M a,b { x R dist(a, x dist(b, x } x aller Punkte x R zu betrachten, die von a und b denselben x Abstand dist(a, x dist(b, x haben. Für alle x R gilt dabei a x M a,b dist(a, x dist(b, x und damit ist a x b x a x b x (a x (a x (b x (b x a (a x x (a x b (b x x (b x a a a x x a + x x b b b b x x b + x x a a a x b b b x ( b x ( a x b b a a ( (b a x b b a a (b a x + (b a x b a, M a,b { x R (b a x + (b a x b a }. b Der Umkreismittelpunkt m a 5, b ( m m ( 4 4 R des Dreiecks mit den Eckpunkten und c R hat von den drei Punkten a, b und c denselben Abstand, es gilt also m M a,b und m M a,c, woraus aus dist(a, m dist(b, m und dist(a, m dist(c, m automatisch dist(b, m dist(c, m, also m M b,c, folgt. Mit a 5 + 4, b 4 + 4, c ( + ( 8
ergibt sich gemäß a also und m M a,b (b a m + (b a m b a (4 5 m + (4 m 4 m + m m m m M a,c (c a m + (c a m c a ( 5 m + ( m 8 4 6 m m 6 4 m + m 4, insgesamt damit m und m, also m R. III.4. Gegeben ist die Abbildung Φ : R R, Φ(A B A, mit B R. a Wir weisen die Linearität von Φ anhand der Definition nach: Für alle A, A R gilt Φ(A + A B (A + A B A + B A Φ(A + Φ(A ; damit ist Φ additiv. Für alle A R und λ R gilt damit ist Φ homogen. Φ(λ A B (λ A λ (B A λ Φ(A; b Der Endomorphismus Φ von R besitzt bezüglich der Standardbasis A, A, A, A 4 von R wegen Φ(A A + A + A + A 4 Φ(A A + A + A + A 4 Φ(A A + A + A + A 4 Φ(A 4 A + A + A + A 4
die darstellende Matrix M R4 4. Damit gilt für alle λ R zum einen χ M (λ det(m λ E 4 λ λ λ λ Dreiecks- matrix ( λ ( λ und zum anderen χ B (λ det(b λ E λ λ Dreiecks- matrix ( λ( λ, insgesamt also χ Φ (λ χ M (λ ( λ ( λ (( λ( λ (χ B (λ. c Die darstellende Matrix M R 4 4 von Φ besitzt gemäß b die beiden Eigenwerte λ und λ ; wegen M λ E 4 ist u, u R4 eine Basis des Eigenraums Eig(M, λ, und wegen M λ E 4 ist u, u 4 R4
eine Basis des Eigenraums Eig(M, λ. Folglich sind u, u, u, u 4 eine Basis von R 4 aus Eigenvektoren von M, so daß A + A + A + A 4 A + A + A + A 4 A + A + A + A 4 A + A + A + A 4 eine Basis von R aus Eigenvektoren von Φ ist; insbesondere ist damit der Endomorphismus Φ diagonalisierbar. III.5. Der in Abhängigkeit vom Parameter a R gegebene Kegelschnitt Q a im R mit Variablen x, y R besitzt die Gleichung und damit (a + x + (a + y + (a xy + a x + a y + a mit der symmetrischen Matrix sowie b a x x y Aa + b a y A a x + c y a a + a R a a + ( a R, und c a a R. a Für a ist A a bereits eine Diagonalmatrix, und Q a besitzt die Gleichung x + y + x + y bzw. x + y + x + y, also ( x + x + ( + y + y + und damit ( x + ( + y + ; mit der Variablentransformation w z ( x + w + z die euklidische Normalform eines Kreises. y + ergibt sich in
Für a besitzt nun die Matrix A a wegen χ Aa (λ det(a a λ E (a + λ a a (a + λ ((a + λ (a ( λ (a λ für alle λ R die beiden Eigenwerte λ und λ a; wegen a a a A a λ E I a a II I ist v a II ( R ein Eigenvektor von A a zum Eigenwert λ, und wegen A a λ E ( a + a a a + a I a II II+I ist v R ein Eigenvektor von A a zum Eigenwert λ a. Mit der orthogonalen Matrix ( v P v, v O v (R und der Diagonalmatrix D a diag (λ, λ R a gilt dann P A a P D a. Mit der Variablentransformation sich die Gleichung u u v P A a P + b a P v also ( u u v + ( a a v a und damit u + c v a, ( u + a v + 4a v + a, x P y u ergibt v (u + a, v also u + a ( v + v + bzw. u + a (v + ; w u mit der erneuten mit der Variablentransformation ergibt sich z v + w + a z, wodurch die folgende Fallunterscheidung motiviert wird:
für a > ergibt sich in w + z a ( die euklidische Normalform einer Ellipse, für a ergibt sich in w die euklidische Normalform eines parallelen Geradenpaars, für a < ergibt sich in w z a ( die euklidische Normalform einer Hyperbel.