2. Elastische Bettung

Baustatik (Master) - WS17/18 2. Elastische Bettung 2.1 Bauwerk-Baugrund-Interaktion 2.2 Steifemodul und Bettungsmodul 2.3 Differentialgleichung elastisch gebetteter Balken 2.4 Lösung der Differentialgleichung 2.5 Beispiele LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 1

Baustatik (Master) - WS17/18 2.1 Bauwerk-Baugrund-Interaktion LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 2

Tragwerk Das gesamte Tragwerk besteht aus dem Bauwerk und dem Baugrund bzw. Boden! Bauwerk Bauwerk Überbau Gründung Tragwerk Gründung Baugrund (Boden) Baugrund LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 3

Tragwerk Die Einwirkungen bzw. Belastungen aus dem Überbau werden über die Gründung in den Baugrund weitergeleitet. Dadurch entstehen Verformungen bzw. Setzungen im Baugrund, die sich wiederum auf das statische Verhalten des Bauwerks auswirken. Man spricht daher von Bauwerk-Baugrund- Wechselwirkung bzw. Bauwerk-Baugrund-Interaktion. Die Steifigkeitsverhältnisse zwischen dem Bauwerk und dem Boden spielen dabei eine entscheidende Rolle. LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 4

Beispiele für Bauwerk-Baugrund-Interaktion LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 5

Beispiele für Bauwerk-Baugrund-Interaktion LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 6

Einfluss unterschiedlicher Bodensteifigkeiten Peter Bindseil: Massivbau, 3. Auflage, Vieweg, 2002. LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 7

Einfluss unterschiedlicher Überbausteifigkeiten Peter Bindseil: Massivbau, 3. Auflage, Vieweg, 2002. LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 8

Berechnungsmodelle Da die Eigenschaften des Bodens im Allgemeinen sehr kompliziert sind, ist eine genaue Erfassung der Bauwerk-Baugrund-Interaktion sehr aufwendig. Daher sind vereinfachte Berechnungsmodelle erwünscht. Zur Vereinfachung können Näherungsmodelle für den Baugrund bzw. Boden eingeführt werden, welche für die baupraktischen Anwendungen ausreichend genau sind. Zwei Näherungsmodelle bzw. verfahren: 1.) Bettungsmodul-Verfahren (Winkler, 1867) 2.) Steifemodul-Verfahren LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 9

Bettungsmodul-Verfahren 1.) Bettungsmodul-Verfahren (Winkler, 1867) Dabei wird der Boden durch kontinuierlich verteilte, aber unabhängige linearelastische Federn ersetzt bzw. approximiert. F Boden F c i w σ = c w LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 10

Bettungsmodul-Verfahren Annahme: Keine Koppelung zwischen den einzelnen Federn. Wird die i-te Feder belastet, werden die anderen Federn nicht dadurch beansprucht. Nachteile: Setzungsmulde kann in diesem Verfahren nicht richtig beschrieben werden. Kein Einfluss auf den Nachbarbaugrund neben dem Fundament. Sonderfall: Spannungstrapezverfahren Bei sehr steifen Fundamentbalken kann eine lineare Verteilung der Bodenpressung unter dem Fundament angenommen werden. Diese Vereinfachung kann z. B. bei kurzen Fundamentbalken getroffen werden. LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 11

Spannungstrapezverfahren R M σ 1 Bodenpressung Boden σ 2 Die zwei unbekannten Randspannungen können aus den zwei Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden. σ 1 und σ 2 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 12

Spannungstrapezverfahren LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 13

Steifemodul-Verfahren 2.) Steifemodul-Verfahren: Zwei Varianten Boden wird als ein linear elastischer und isotroper Halbraum modelliert. Boden wird durch kontinuierlich verteilte, aber miteinander gekoppelte (abhängige) linear-elastische Federn ersetzt bzw. approximiert. F Boden Setzungsmulde F Elastischer Halbraum c i w LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 14

Steifemodul-Verfahren Annahme: Koppelung zwischen den einzelnen Federn. Wird die i-te Feder belastet, dann werden die anderen Federn auch dadurch beansprucht. Vorteile: Setzungsmulde kann in diesem Verfahren näherungsweise beschrieben werden. Auch der Einfluss auf den Nachbarbaugrund neben dem Fundament berücksichtigt werden. LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 15

Gegenüberstellung: Bettungsmodulverfahren und Steifemodulverfahren Spannungstrapez- Verfahren Bettungsmodul- Verfahren Steifemodul- Verfahren Boden Unabhängige Federn Unabhängige Federn Abhängige Federn / Elastischer Halbraum Annahme σ B linear σ = c w B E ( z) = E = const. s s Berechnung Handrechnung Stabtragwerk / Platte Numerische Methoden (FEM) Steigende Realitätsnähe und Komplexität LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 16

Bemerkungen Zwischen dem Bauwerk und dem Baugrund sollen nur Druckspannungen auftreten. Zugspannungen können nicht vom Boden aufgenommen werden. Falls Zugspannungen auftreten, dann entsteht eine klaffende Fuge. Die Federn müssen dann im Zugspannungsbereich in der Berechnung ausgeschaltet werden. Eine klaffende Fuge zwischen dem Bauwerk und dem Boden (mit Zugspannungen bzw. negativen Bodenpressungen) ist bei Teillastzuständen zulässig. Im endgültigen Zustand nach der Superposition der Teillastzustände ist eine klaffende Fuge aber nicht zulässig. LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 17

Baustatik (Master) - WS17/18 2.2 Steifemodul und Bettungsmodul LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 18

Steifemodul Steifemodul: E s Steifemodul ist eine reine Bodenkenngröße! Oedometerversuch: σ ε Diagramm zz zz arctan( E s ) ε zz z x σ = E ε zz s zz σ zz Steifemodul = Steigung des Spannungs- Dehnungs-Diagramms! Es 1 ν E = 3 K; K = 1+ ν 3(1 2 ν ) K : Kompressionsmodul LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 19

Bettungsmodul Bettungsmodul: c Plattendruckversuch: Diagramm σ w arctan( c) σ σ w w Bettungsmodul = Steigung des Druck-Setzungs- Diagramms! σ = c w LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 20

Bemerkungen Bettungsmodul c ist proportional zum Steifemodul E s. Bettungsmodul c ist keine Bodenkenngröße mehr. c ist abhängig von: Form des Fundaments (Kreisfundament, Rechteckfundament, etc.). Größe des Fundaments. Fundamentlasten. Belastungen aus der Nachbarschaft. Schichtung des Baugruns. Zahlenbeispiele für Steifemodul und Bettungsmodul: LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 21

Umrechnung vom Steifemodul zum Bettungsmodul 1.) Kreisplatten Kreisplatte mit einer Steifigkeit, die eine gleichmäßig verteilte Bodenpressung erzeugt: c = 1,39 E s A A Kreisplatte mit einer unendlich großen Steifigkeit: c = 1,50 E s A LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 22

Umrechnung vom Steifemodul zum Bettungsmodul 2.) Rechteckplatten Rechteckplatten mit einer Steifigkeit, die eine gleichmäßig verteilte Bodenpressung erzeugt. l b l > b Nach de Beer c = 1,33E s lb 3 2 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 23

Umrechnung vom Steifemodul zum Bettungsmodul Nach Dimitrov c = b ρ E s ( 2 1 ν ) Formbeiwert ρ : Querkontraktionszahl ν : Sand- und Kiesböden: ν =0,125 bis 0,50 Tonböden: ν =0,20 bis 0,40 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 24

Umrechnung vom Steifemodul zum Bettungsmodul Nach DIN 4019 c = bf E s ( s,0) Setzungsbeiwert f (s,0) : LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 25

Bemerkungen Der Setzungsbeiwert f (s,0) ist abhängig vom Seitenverhältnis l/b und Tiefenverhältnis z/b, wobei z die Dicke der wirksamen Bodenschicht ist. Gemäß DIN 4019 kann die Tiefe z auf z=2b begrenzt werden, falls die Bodenschichtdicke größer als 2b ist. LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 26

Zahlenbeispiel Rechteckplatte l = 15 m, b = 1m l b Boden 1: Sand/Kies E = s 2 100MN/m Boden 2: Ton E = s 2 20MN/m Dicke der wirksamen Bodenschicht: z / b = 10 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 27

Zahlenbeispiel Bettungsmodul in MN/m 2 : Boden de Beer Dimitrov DIN 4019 1 54 56 57 2 11 9 11 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 28

Baustatik (Master) - WS17/18 2.3 Differentialgleichung elastisch gebetteter Balken LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 29

Elastisch gebettete Balken Definition: Balken, die unmittelbar auf einem nachgiebigen Baugrund liegen, werden als elastisch gebettete Balken bezeichnet. Annahmen: Querschnitt ist dehn- und schubstarr, d.h., EA = =, GAs Euler-Bernoulli-Balken (siehe TM II!) LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 30

Elastisch gebettete Balken 2 Flächenlast: q( x, y) [kn/m ] b l 3 Bettungsmodul: c [kn/m ] Bodenpressung: p ( x)= σ b B LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 31

Elastisch gebettete Balken Flächenlast: 2 q( x, y) [kn/m ] Linienlast: q( x) = q( x, y) b [kn/m] Bettungsmodul: Flächige Bodenpressung: c 3 [kn/m ] σ = 2 ( x, y) c w [kn/m ] Linienförmige Bodenpressung: p( x) = σ ( x, y) b = cb w = k w [kn/m] Federkonstante (Linienfeder): k = cb 2 [kn/m ] LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 32

Differentialgleichung q( x) q( x) p( x) p( x) Bodenpressung entlastet den Balken! IV Aus TM II: EIw = q( x) p( x) IV EIw + p( x) = q( x) IV EIw + kw( x) = q( x) IV w + 4 λ w( x) = q( x) EI 4 1 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 33 p( x) λ = = k w k 4 4 EI Differentialgleichung für elastisch gebetteten Balken!

Differentialgleichung Abklingkonstante: λ = 4 4 k EI Bemerkungen: Die Lösung der Dgl. w(x) ist abhängig von l. Schwankungen in der Bettungszahl c haben nur einen relativ kleinen Einfluss auf l uns damit auf w(x), da c bzw. k unter der vierten Wurzel steht. In der Praxis ist es sinnvoll, 2 Grenzfälle zu betrachten: Kleinste c : Größte c : Größte Biegemomente Größte Bodenpressungen. LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 34

Baustatik (Master) - WS17/18 2.4 Lösung der Differentialgleichung 2.4.1 Homogene Lösung 2.4.2 Partikuläre Lösung 2.4.3 Rand- und Übergangsbedingungen LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 35

Lösung der Differentialgleichungen Differentialgleichung: Durchbiegung: IV w + 4 λ w( x) = q( x) EI 4 1 w( x) Drehwinkel: ϕ ( x) = w ( x) Biegemoment: Querkraft: Bodenpressung: M ( x) = EI w ( x) Q( x) = M ( x) = EI w ( x) p( x) = k w( x) LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 36

Differentialgleichung: Gesamtlösung: Homogene Lösung: 2.4.1 Homogene Lösung λx [ λ λ ] w ( x) = e A cos( x) + A sin( x) h IV w + 4 λ w( x) = q( x) EI λx 4 1 w( x) = w ( x) + w ( x) h 1 2 [ cos( λ ) sin( λ )] + e A x + A x p 3 4 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 37

2.4.1 Homogene Lösung Bemerkung: Der erste Anteil der Lösung klingt mit x von links nach rechts ab, weil der zweite Anteil von rechts nach links abklingt! l x x λx λ ( l x ) [ λ λ ] w ( x) = e A cos( x) + A sin( x) h 1 2 [ cos( λ( )) sin( λ( ))] + e A l x + A l x 3 4 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 38

2.4.1 Homogene Lösung e e λx λx cos( λx) bzw. sin( λx) Periode: λ T π 2 = 2 T = =8,9 π Je steifer der Balken bzw. je weicher der Boden, desto größer ist die Periode T! λ 4 EI k LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 39

2.4.1 Homogene Lösung Abklingverhalten: 0 0 λ ( x+ T ) a e 1 1 1 = = = = 0,002 = 0,2% a e λx e λt e 2π λ ( x+ T /2) a e 1 1 1/2 = = = = 0,04 = 4% a e λx e λt /2 e π Die Amplitude ist nach einer halben Periode T/2 bis auf 4% abgeklungen! LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 40

2.4.2 Partikuläre Lösung Die partikuläre Lösung kann mit dem Ansatz vom Typ der rechten Seite gewonnen werden. Für eine Lastfunktion als Polynom bis zum 3. Grad gilt: 2 3 0 1 2 3 q( x) = a + a x + a x + a x w p ( x) q( x) q( x) = = 4λ 4 EI k LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 41

2.4.3 Rand- und Übergangsbedingungen Die 4 Intergationskonstanten A 1 bis A 4 in der homogenen Lösung können aus den Randbedingungen oder Übergangsbedingungen bestimmt werden. An jedem Rand stehen 2 Randbedingungen oder Übergangsbedingunmgen zur Verfügung. LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 42

2.4.3 Rand- und Übergangsbedingungen LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 43

2.4.3 Rand- und Übergangsbedingungen LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 44

Bemerkungen Bei sehr langen Balken unter einer Einzellast: In diesem Fall sind die beiden Lösungsanteile der homogenen Lösung entkoppelt und können daher getrennt betrachtet werden. Physikalisch bedeutet dies, dass die von der Einzellast F ausgehenden Lösungen der homogenen Lösung am anderen Balkenende praktisch abgeklungen sind. LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 45

Bemerkungen Bei sehr langen Balken unter einer Randlast: F l x x π x> π λ λ w( x) 0 w( x) 0 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 46

Bemerkungen Bei sehr langen Balken unter einer Innenlast: l F x x > π λ a π π b x> π λ λ λ w( x) 0 w( x) 0 w( x) 0 w( x) 0 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 47

Einflusslinien für eine Einzelkraft Die Lösungen für eine Einzellast werden als Einflußlinien bezeichnet. LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 48

Einflusslinien für eine Einzelkraft Durchbiegung LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 49

Einflusslinien für eine Einzelkraft Drehwinkel LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 50

Einflusslinien für eine Einzelkraft Biegemoment LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 51

Einflusslinien für eine Einzelkraft Querkraft LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 52

Einflusslinien für eine Einzelkraft: Tabelle LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 53

Einflusslinien für ein Einzelmoment LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 54

Einflusslinien für ein Einzelmoment: Tabelle LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 59

Baustatik (Master) - WS17/18 2.5 Beispiele LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 60

Beispiel 1: Konstante Streckenlast M = 0 Q = 0 q( x) M Q = = 0 0 = q 0 Lösung: w = w = p Die Gesamtlösung ist gleich der partikulären Lösung, da die RB automatisch erfüllt sind! M Q q k 0 = EIw = = EIw = 0 0 p( x) = p 0 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 61

Lösung: M Q Beispiel 2: Lineare Streckenlast = = q( x) q q2 0 0 1 q( x) = a + a x 0 1 w = w = p q( x) k Die Gesamtlösung ist gleich der partikulären Lösung, da die RB automatisch erfüllt sind! M Q = EIw = = EIw = 0 0 M Q = = 0 0 p( x) LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 62

Beispiel 3: Stützenlast F M M = 0 M = 0 M = 0 M = 0 Q = 0 Q = 0 Q = 0 Q = 0 Lösung: q( x ) = 0 w p = 0 w( x) = w ( x) h Die Gesamtlösung ist gleich der homogenen Lösung! LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 63

Beispiel 4: Einzellast M = 0 Q = 0 F Lösung: q( x ) = 0 RB: w (0) = 0 Q(0) = F 2 M = 0 Q = 0 Wegen Symmetrie! w p = 0 [ λ λ ] λx w( x) = w ( x) = e A cos( x) + A sin( x) A h = A = 1 2 Fλ 2k F 2 w (0) = 0 F Q(0) = 2 1 2 x LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 64

Beispiel 4: Einzellast Fλ 2k λx Durchbiegung: w( x) = e [ cos( λx) + sin( λx) ] Drehwinkel: 2 Fλ λ ϕ( x) = w ( x) = e x sin( λx) k Biegemoment: λx M ( x) = EIw ( x) = e [ cos( λx) sin( λx) ] F 4k Querkraft: Bodenpressung: F λx Q( x) = EIw ( x) = e cos( λx) 2 Fλ λx p( x) = k w = e cos( x) + sin( x) 2 [ λ λ ] LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 65

Beispiel 5: Einzellast am Balkenrand F l > π λ x M(0) = 0 Q(0) = F Lösung: q( x ) = 0 w p = 0 [ λ λ ] λx w( x) = w ( x) = e A cos( x) + A sin( x) h 1 2 RB: M(0) = 0 Q(0) = F A 2Fλ =, A = 0 k 1 2 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 66

Beispiel 5: Einzellast am Balkenrand Durchbiegung: 2Fλ λx w( x) = e cos( λx) k 2 2Fλ k λ Drehwinkel: ϕ( x) = w ( x) = e x [ cos( λx) + sin( λx) ] Biegemoment: F λ M ( x) = EIw ( x) = e x sin( λx) λ Querkraft: [ λ λ ] λx Q( x) = EIw ( x) = Fe cos( x) sin( x) Bodenpressung: λx p( x) = k w = 2Fλe cos( λx) LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 67

Beispiel 5: Einzellast am Balkenrand Durchbiegung k w( x) 2Fλ Biegemoment λ M ( x) F Querkraft 1 F Q( x) LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 68