Folgen Eine (unendliche) (Zahlen)folge ist eine Abbildung Statt dann als schreibt man auch oder ähnlich, die Folge wird notiert, und das wird abgekürzt mit. Die nennt man die Folgenglieder. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.1/37
Beispiele,, ist ungerade ist gerade.. Die Definitionen gelten jeweils für alle. Natürlich kann man die Definition von Folge so erweitern, dass auch erlaubt ist, usw. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.2/37
Rekursiv definierte Folgen Statt der expliziten Definition kann man Folgen auch durch rekursive Bildungsgesetze angeben. Dazu zwei Beispiele: 1. Durch für wird die berühmte Folge der Fibonacci-Zahlen erklärt. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.3/37
Rekursiv definierte Folgen 2. Für jede natürliche Zahl erhält man eine Folge durch und falls sonst. gerade Für ergibt sich die Folge Es ist bis heute unbekannt, ob diese Folgen für jeden Anfangswert die Zahl enthalten ( Collatz Problem ). Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.4/37
Monoton Man nennt eine Folge alle monoton wachsend, wenn für gilt. Gilt für kein das Gleichheitszeichen, dann nennen wir die Folge streng monoton wachsend. Entsprechend wird definiert, wann eine Folge (streng) monoton fallend ist. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.5/37
Beispiele Die Folge Die Folge,,,... ist streng monoton wachsend. ist streng monoton fallend. Die Folge ist streng monoton fallend, falls, denn es gilt Die Folge ist monoton für alle. Es ist Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.6/37
Beschränkt Eine Folge heißt nach oben beschränkt, wenn es eine reelle Zahl gibt mit für alle. Entsprechend wird definiert, wann eine Folge nach unten beschränkt ist. Diese Sprechweisen sind Spezialfälle der bereits eingeführten Sprechweisen für geordnete Mengen. Ist eine Folge reeller Zahlen nach oben beschränkt, dann hat sie auch eine kleinste obere Schranke, ihr Supremum. Dual nennt man die größte untere Schranke (falls es eine solche gibt) das Infimum. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.7/37
Fast alle Fast alle bedeutet in der Mathematik: alle, bis auf endlich viele. Man sagt also, dass fast alle Glieder einer Folge eine bestimmte Eigenschaft haben, wenn nur endlich viele Folgenglieder diese Eigenschaft nicht haben. Gleichbedeutend dazu ist, dass ab einem genügend großen Index alle Folgenglieder diese Eigenschaft haben. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.8/37
Konvergenz Wir nennen eine Zahlenfolge konvergent mit dem Grenzwert, wenn sich für jeden Abstand fast alle Folgenglieder um weniger als von unterscheiden. Man sagt dann, dass die Folge gegen schreibt dafür konvergiert und Eine Folge, die gegen konvergiert, ist eine Nullfolge. Eine Folge, die nicht konvergiert, ist divergent. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.9/37
Monoton, beschränkt, konvergent Jede konvergente Folge ist beschränkt. Jede monotone beschränkte Folge ist konvergent. Sind, konvergente Folgen mit und ist eine Folge mit der Eigenschaft, dass für jedes oder gilt, dann ist auch Grenzwert. konvergent mit dem selben Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.10/37
Man schreibt falls für jede natürliche Zahl gilt, dass fast alle Folgenglieder größer als sind. Man beachte, dass eine Folge mit divergiert. Folgen mit werden analog definiert. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.11/37
Limes Sätze Sind und konvergente Folgen mit den Grenzwerten und, dann sind Summe, Differenz, Produkt und (sofern ) Quotient dieser Folgen ebenfalls konvergent: Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.12/37
Beispiele Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.13/37
Beispiele Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.13/37
Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.13/37 Beispiele
Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.13/37 Beispiele
Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.13/37 Beispiele Konvergent.
Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.13/37 Beispiele Konvergent.
Beispiele Konvergent. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.13/37
Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.13/37 Beispiele Konvergent.
Beispiele Konvergent. Divergent, da der Nenner gegen Null geht, der Zähler aber nicht. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.13/37
Beispiel: für einen Wir untersuchen die Folge Anfangswert und finden. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.14/37
Konvergenz von Die Folge konvergiert für gegen den Grenzwert Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.15/37
Sauerteigbrot Zur Teigbereitung für das Brotbacken verwenden Amateure statt des Sauerteiges gern einen Levain. Darunter versteht man Brotteig, der von einem früheren Backen übrig geblieben ist. Um Wirkung zu entfalten, sollte Teig etwa 20% mindestens zwei Tage alten Levain enthalten. Unser Amateur bereitet täglich einen Teig von 500g, fügt diesem die Hälfte seines Levain Vorrates zu, vermischt, nimmt vom Teig ab und ergänzt damit den Levain. Benutzt er genügend viel alten Levain? Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.16/37
Antworten (1) Es bezeichne die Levainmenge am -ten Tag. Man hat also Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.17/37
Antworten (1) Es bezeichne die Levainmenge am -ten Tag. Man hat also Also: mit und. Die Levainmenge geht also langfristig gegen 500g. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.17/37
Antworten (2) Der Anteil am Levain, der älter als ein Tag ist, geht gegen. Begründung: Die Hälfte des Levains verbleibt jeweils im Vorrat. Von der anderen Hälfte kehrt ein Drittel in den Vorrat zurück. Da die Vorratmenge konvergiert (gegen 500g), enthält der Levain etwa alten Teig. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.18/37
Antworten (2) Der Anteil am Levain, der älter als ein Tag ist, geht gegen. Begründung: Die Hälfte des Levains verbleibt jeweils im Vorrat. Von der anderen Hälfte kehrt ein Drittel in den Vorrat zurück. Da die Vorratmenge konvergiert (gegen 500g), enthält der Levain etwa alten Teig. Aus dem Levain-Vorrat von etwa 500g werden jeweils die Hälfte zum Teig gegeben. davon, also ca. 167g, sind alter Levain. In 750g Teig sind also ca. 167g alter Levain, das sind ca. 22%. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.18/37
Reihen Als unendliche Reihe über der Folge bezeichnet man den Ausdruck Die Reihe steht für die Folge der Partialsummen Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.19/37
Wert einer Reihe Die Reihe konvergiert oder divergiert je nachdem, ob die Folge der Partialsummen konvergiert oder divergiert. Der Wert oder die Summe einer konvergenten Reihe ist der Grenzwert ihrer Partialsummenfolge. Der Summationsindex durchläuft die natürlichen Zahlen. Das kann man natürlich wieder verallgemeinern; wir lassen ohne weiteres auch Reihen der Form oder ähnlich zu. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.20/37
Beispiel Die Reihe hat als -te Partialsumme also Deshalb konvergiert die Reihe. Ihre Summe ist 2. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.21/37
Geometrische Reihe Die Reihen (mit ) werden die geometrische Reihen genannt. Die Reihe im vorigen Beispiel ist eine geometrische Reihe mit und. Als -te Partialsumme erhält man für Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.22/37
Konvergenz der geometrischen Reihe Die geometrische Reihe konvergiert zur Summe falls Sie divergiert für.. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.23/37
Ein Divergenzkriterium Eine Reihe kann nur dann konvergieren, wenn die Folge eine Nullfolge ist. Also: Wenn nicht existiert oder existiert, aber ungleich Null ist, dann divergiert die Reihe Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.24/37
Beispiel zur Divergenz Die Reihe divergiert, denn Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.25/37
Hinreichend, nicht notwendig! Die Reihe divergiert, obwohl die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge ist. Das Divergenzkriterium ist also hinreichend, aber nicht notwendig für Divergenz. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.26/37
Die harmonische Reihe Die harmonische Reihe divergiert. Allgemeiner gilt: Die Reihe divergiert für und konvergiert für alle. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.27/37
Eine alternierende Reihe Die Reihe konvergiert, denn Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.28/37
Polynome Es sei ein Ring und der Form ein Variablensymbol. Ausdrücke nennen wir Polynome in der Variablen aus. mit Koeffizienten Die Menge aller solchen Polynome wird mit bezeichnet. Sie bildet einen Ring, den Polynomring in der Variablen über. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.29/37
Grad eines Polynoms Wenn dann ist Nullpolynom. das Für jedes andere Polynom gibt es eine größte Zahl mit. Diese Zahl nennt man den Grad des Polynoms. Das Nullpolynom erhält den Grad. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.30/37
Potenzreihen Eine Reihe der Form wird als Potenzreihe in bezeichnet. Man denkt sich dabei und die als konstant und als variabel. Genau genommen, liegt für jedes eine Reihe vor. Eine Potenzreihe kann für manche manche divergieren. konvergieren und für Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.31/37
Entwicklungspunkt Besonders einfach sind Potenzreihen mit von der Form. Sie sind Man kann sie sich als Polynome von unendlichem Grad merken. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.32/37
Beispiel Die Potenzreihe konvergiert für und divergiert für. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.33/37
Konvergenz von Potenzreihen Eine Potenzreihe konvergiert für oder und divergiert für alle anderen, es gibt eine positive Zahl, für die gilt: die Reihe konvergiert für alle und divergiert für alle, oder konvergiert für alle. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.34/37
Konvergenzradius Die Zahl nannt man den Konvergenzradius der Potenzreihe, das Intervall ist das Konvergenzintervall. Diese Sprechweise wird sinnvoll noch etwas erweitert: Falls die Potenzreihe nur für konvergiert, so sagt man, sie habe Konvergenzradius. Falls die Potenzreihe für alle konvergiert, so sagt man, sie habe Konvergenzradius. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.35/37
Quotientenkritrium bezeichne den Konvergenzradius der Potenzreihe. Dann gilt: existiert und nicht Null ist, dann ist Falls. gleich Null ist, dann ist Falls., dann ist Falls Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.36/37
Beispiel Für welche konvergiert die Potenzreihe Es ist Die Reihe konvergiert für und divergiert für. Mathematik I für Hochleistungsinformatiker Folgen und Reihen p.37/37