Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 0 Mathematik Nichttechnik - A I - Lösung Teilaufgabe Nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen G f' der ersten Ableitungsfunktion einer in ganz IR definierten ganzrationalen Funktion dritten Grades. Alle im Folgenden zu entnehmenden Werte sind ganzzahlig. 0 4 Graph von f ' Teilaufgabe. ( BE) Geben Sie nur mithilfe des Graphen G f' die maximalen Monotonieintervalle und die Wendestelle des Graphen der Funktion f an. Begründen Sie das Vorliegen der Wendestelle hinreichend. G f ist streng monoton steigend in ] ; 0 ], streng monoton fallend in [0 ; 4 ] und streng monoton steigend in [ 4 ; [. G f hat an der Stelle x = eine Wendestelle, da G f ' dort einen Extrempunkt besitzt. Teilaufgabe. ( BE) Bestimmen Sie ausgehend vom Graphen G f' den Funktionsterm f' ( x) und dann den Funktionsterm f( x) für den Fall, dass G f den Ursprung enthält. [ Mögliches Teilergebnis: f( x) = x x ] Scheitelform: f' ( x) = a( x ) f' ( 0) = 0 4a = 0 a = f' ( x) = x 4x 4 f' ( x) f( x) x x = x d = f( 0) = 0 c = 0 x x c x x f( x) = x x f( x) x x AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite von 7
Teilaufgabe. ( BE) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f mit der jeweiligen Vielfachheit und ermitteln Sie unter Verwendung vorliegender Ergebnisse Art und Koordinaten der Extrempunkte und den Wendepunkt des Graphen G f. f( x) = 0 x x = 0 x ( x ) = 0 x = 0 zweifache Nullstelle x = einfache Nullstelle Hochpunkt: x H 0 HP( 0 0) Tiefpunkt: x T 4 TP4 8 Wendepunkt: x W WP Teilaufgabe.4 ( BE) Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f und f ' im Bereich x in ein kartesisches Koordinatensystem. 4 G f ' 0 4 7 G f 4 AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite von 7
Teilaufgabe. (7 BE) Berechnen Sie die Maßzahl des im 4. Quadranten liegenden endlichen Flächenstücks, das nur von den Graphen G f und G f' begrenzt wird und runden Sie das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen. f( x) = f' ( x) f( x) f' ( x) = 0 x x x x = 0 x x x = 0 x x 9x = 0 x S 0 x 9x = 0 auflösen x 9 9 7.7.8 9 x S x S 9 Flächenmaßzahl:.8 A = ( f( x) gx ( )) dx 0 Stammfunktion: x Dx ( ) x x x d x 4 4 x x Dx S Flächenmaßzahl: A D x S A 0.79 AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite von 7
Teilaufgabe.0 Gegeben ist die abschnittsweise definierte Funktion hx ( ) = x x if x 0 x x if x 0 Teilaufgabe. (4 BE) Markieren Sie den Graphen der Funktion h farbig im vorhandenen Koordinatensystem und machen Sie damit Aussagen zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit der Funktion h an der Stelle x = 0 (kurze Begründung erforderlich). 4 0 4 7 4 hat an der Stelle x = 0 keinen Sprung h ist bei x = 0 stetig hat an der Stelle x = 0 einen Knick h ist bei x = 0 nicht differenzierbar AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite 4 von 7
Teilaufgabe. (4 BE) Geben Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie Art ud Koordinaten sämtlicher Extrempunkte des Graphen der Funktion h an. ist streng monoton steigend in ] ; 0 ], steng monoton fallend in [ 0 ; ] und streng monoton steigend in [ ; [ Hochpunkt auf der Nahtstelle: HP( 0 0) Tiefpunkt: TP( ) Teilaufgabe. ( BE) Die Funktion h entsteht aus h, wenn für x 0der Term x x verwendet wird. Erläutern Sie, welche Aussagen man zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit von h an der Stelle x = 0machen kann. h( x) x x h( 0) Sprungstelle h ist weder stetig noch differenzierbar. Teilaufgabe.0 Auf einem Campingplatz möchte der Pächter in einem Zelt ein Kino einrichten. Als Projektionsfläche dient eine Seitenwand, welche durch die Parabel G p und der begrenzt wird. Am Boden hat das Zelt eine Spannweite von 0 m. Bei den folgenden Rechnungen wird auf Einheiten verzichtet. G p S(0/8) x = u AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite von 7
Teilaufgabe. ( BE) Bestimmen Sie den Funktionsterm p(x) der Parabel G p. [ Mögliches Ergebnis: px ( ) x 8 ] Scheitelform: px ( ) = ax 8 Nullstelle: p0 ( ) = 0 00a 8 = 0 a 8 00 Teilaufgabe. ( BE) Es ist beabsichtigt, eine Leinwand von 7m x 4m anzubringen, wobei sich die Unterkante der Leinwand in einer Höhe von m befindet. Untersuchen Sie durch Rechnung, ob dies an der Seitenwand möglich ist. p(.) 7.0 Höhe: 7.0m m 4.0 m Leinwand in gewünschter Größe ist möglich. Teilaufgabe..0 Ein Filmverleih rät dem Pächter zu einer Leinwand bei einer Unterkante in m Höhe (siehe Skizze in.0). Teilaufgabe.. (7 BE) Stellen Sie die Maßzahl A(u) des Flächeninhalts der Leinwand auf und bestimmen Sie eine sinnvolle Definitionsmenge D A der Funktion A: u Au ( ). [ Mögliches Teilergebnis: Au ( ) 0.u 0u ] Au ( ) = u ( pu ( ) ) = u u 8 = 0.u 0u u 0 und pu ( ) 0 u 0 u u u Definitionsmenge: D = ] 0 ; u [ AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite von 7
Teilaufgabe.. (7 BE) Ermitteln Sie u so, dass A(u) den absolut größten Wert annimmt. Berechnen Sie für diesen Fall Höhe, Breite und Flächeninhalt der Leinwand. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen. A' ( u) 0.48u 0 A' ( u) = 0 0.48u 0 = 0 auflösen u Gleitkommazahl 4 4.4 4.4 keine Lösung Lösung A( 4.) 0.49 Vergleich mit den Randwerten lim u 0 0.u 0u 0 lim u 0.u 0u.878977e-7 0 Abolutes Maximum: ( 4. / 0.4 ) Beite: 4.4 m 9. m Höhe: ( p( 4.4) ) m. m Fläche: 0.4 m AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite 7 von 7