Angewandte Strömungssimulation 7. Vorlesung Stefan Hickel
Numerische Strömungsberechnung Physikalische Modellierung Mathematische Modellierung Numerische Modellierung Lösung Auswertung Parameter und Kennzahlen Gleichungssystem Turbulenzmodell Randbedingungen Diskrete Operatoren Lösungsalgorithmen Rechengitter Programmierung Berechnung Visualisierung Validierung CFX Pre -> Parameterdatei ICEM CFD -> Gitter CFX Solver -> Ergebnisdatei CFX Post -> Bilder und Erkenntnis Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 2
Druck-Geschwindigkeits- Kopplung
Kompressible Navier-Stokes Gleichung Massenerhaltung (Kontinuitätsgleichung KGL) ρ t + (ρu) = 0 Impulserhaltung (Impulsgleichung - IGL) ρu t + (ρuu) = p + τ Energieerhaltung E t + (ue) = (up) + (u τ ) (q) Der Druck folgt aus der thermodynamischen Zustandsgleichung Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 4
Inkompressible Navier-Stokes Gleichung Massenerhaltung (KGL) u = 0 Impulserhaltung (IGL) u t + (uu) = 1 ρ p + 1 Re u Der Druck p ist keine unabhängige Variable, sondern folgt bei konstante Dichte aus der Poissongleichung 2 p = f (u) Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 5
Inkompressible Navier-Stokes Gleichung Tafelanschrieb: u j t + u i u j x i = 1 p + 1 ρ x j Re 2 u j x i 2 2 p = f (u) Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 6
Diskretisierung der Druck-Poissongleichung Druck Term S in x-impulsgleichung (IGL) S pnds pe 1 ds = p e A e + p w A w W w nw sw N n P s S ne se e E zentralen Differenzen (CDS) auf Rechteckgitter p w p e = p W + p P 2 p P + p E 2 = p W p E 2 Druck wird effektiv auf einem gröberen Gitter berechnet Am Punkt P wird die Geschwindigkeit und der zugehörige Druck entkoppelt Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 7
Diskretisierung der Druck-Poissongleichung Druck-Poissongleichung mit zentralen Differenzen (CDS) 2 p = f (u) p EE 2 p P + p WW 4Δx 2 + p NN 2 p P + p SS 4Δy 2 = f (u) Kopplung evtl. aus der Kontinuitätsgleichung (KGL, Bsp. 1-D)? W w nw sw N n s P S ne se e E u x = 0 u u = 0 = u + u P E e w 2 u W + u P 2 = u E u W 2 Massenbilanz ist unabhängig von der Geschwindigkeit u P Weder aus der IGL noch aus der KGL kann eine Kopplung von Geschwindigkeit und Druck im Punkt P erzielt werden! Oszillierendes Druckfeld kann in der Simulation entstehen! Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 8
Lösung der Druck-Poissongleichung Schachbrettoszillationen des Druckfeldes stellen eine Lösung der diskreten Gleichungen dar Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 9
Rhie & Chow Interpolation Problem: Werden Druck- und Geschwindigkeitsfelder auf einem gemeinsamen Gitter durch zentrale Interpolation (CDS) berechnet, so werden unphysikalisch oszillierende Druckfelder weder in der IGL noch in der KGL detektiert. Lösung: Die Druck-Geschwindigkeitskopplung kann durch die Rhie & Chow Interpolation wiederhergestellt werden Rhie & Chow (1983) - Spezielle Interpolationsvorschrift für die Diskretisierung der Kontinuitätsgleichung. - Einbeziehung des Druckgradienten in die Berechnung der Geschwindigkeiten an den finite-volumen Oberflächen (u e,u w,v n,v s ) bei der Auswertung des Quellterms der Druck-Poisson-Gleichung. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 10
Rhie & Chow Interpolation Beispiel 1-D Kontinuitätsgleichung wird diskretisiert als u x = 0 u E u W 2Δx und damit effektiv modifiziert zu +C RC p EE 4 p E + 6 p P 4 p W + p WW Δx 4 = 0 Der zusätzliche Term detektiert Oszillationen. Man kann zeigen dass er dissipativ ist und glättend wirkt. Nachteil: die Ordnung des Verfahrens sinkt. u x +C RC " 4 p % $ ' = 0 # x 4 & Rhie & Chow-Interpolation wird in CFX verwendet Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 11
Linearisierung
Linearisierung Die Navier Stokes Gleichungen sind ein System nichtlinearer partieller Differentialgleichungen u t + (uu)+ 1 ρ p 1 Re u = 0 u = 0 Viele wichtige Phänomene, wie beispielsweise die Interaktion von Wirbeln und die Entstehung von Turbulenz, beruhen auf der quadratischen Nichtlinearität des Impulstransports. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 13
Linearisierung Bei impliziten Zeitintegrationsschemata wird meist eine linearisierte Form der Navier-Stokes-Gleichungen gelöst i A P ϕ n+1 n+1 P + A i ϕ i = Q P Möglichkeiten der Linearisierung der quadratischen Nichtlinearität: (1) u n+1 u n+1 u n u n+1 -> Fehler (u n+1 - u n ) u n+1 = O(Δt) (2) u n+1 u n+1 2 u n u n+1 - u n u n -> Fehler (u n+1 - u n ) 2 = O(Δt 2 ) Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 14
Randbedingungen
Randbedingungen Durch diskrete Operatoren gegebene Entwicklung der Strömung beinhaltet Abhängigkeit von Nachbarzellen, zum Beispiel: $ n+1 ΔtU 2Δx Δt Γ ' & % Δx 2 ( ϕ i 1 )+ϕ i n+1 # 1+ 2Δt Γ & % $ Δx 2 ' n+1 ΔtU (+ϕ i+1 & $ 2Δx Δt Γ ' n ) = ϕ % Δx 2 i ( i A P ϕ n+1 n+1 P + A i ϕ i = Q P Was an Gebietsrändern, wo keine Nachbarzellen existieren? Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 16
Randbedingungen Einströmrand Ausströmrand P Wand Navier-Stokes-Gleichungen stellen ein Anfangs- und Randwertproblem dar Nur bei Vorgabe der erforderlichen AB und RB kann die Lösung eindeutig sein Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 17
Randbedingungen 1. Dirichlet Randbedingung: abhängige Variable (Ψ) auf dem Rand vorgeben z.b. Randtemperatur 2. Neumann Randbedingung: Gradient (dψ/dn) der abhängigen Variable vorgeben z.b. Wärmestromdichte 3. Robbin Randbedingung (gemischte RB): Wärmestromdichte mittels Wärmeübergangskoeffizienten a und Umgebungstemperatur T angeben 4. Periodische Randbedingung: Berandung so wählen, dass die abhängige Variable an den Rechenfeldgrenzen periodisch wiederkehrt (Turbinengitter, periodischer Hügel) Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 18
Feste Wand Haftbedingung - Wert der Geschwindigkeit festgeschrieben, also Dirichlet Randbedingung für u u Fluid = u wand Advektion/Konvektion durch die Wand ist NULL u i u j Wand = 0 Druckgradient senkrecht zur Wand ist NULL also Neumann Randbedingung für den Druck Viskose Spannungen τ ij ui = µ x j u + x - Haftbedingung plus Inkompressibilität (Konti-Gleichung) u x Wand = 0 KGL : Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 19 i j p y Wand = 0 u x + v y = 0 v = 0 y Wand
Feste Wand Viskose Normalspannungen werden NULL τ yy = 2µ v y Wand = 0 Tangentialspannungen verbleiben τ xy = µ u y Wand =? Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 20
Feste Wand Schubspannung durch einseitige Differenz annähern: F s d = τ xy ds = µ u y S s S s ds µs s u P u S y P y S Alternative: Diffusive Flussterme werden mit Wandmodell als Quellterm vorgegeben. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 21
Symmetrie Wir denken uns eine spiegelsymmetrische Fortsetzung der Lösung Keine Durchströmung der Symmetrieebene p y sym = 0 u y sym = 0 v sym = 0 v y sym 0 Diffusiver Fluss parallel zur Symmetrieebene (u 1 Komponente) ist NULL Diffusiver Fluss senkrecht zur Symmetrieebene (u 2 Komponente) wird approximiert durch: F S d = τ yy ds = 2µ v y S s S s ds µs s v P v S y P y S Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 22
Einströmrand Überschall Für die Navier-Stokes-Gleichungen müssen genau 5 voneinander unabhängige Größen als Dirichlet- Randbedingung vorgeschrieben werden, z.b.: - Dichte, 3 x Impuls und Energie, oder - Totaldruck, Totaltemperatur und Richtungsvektor Kompressibel Unterschall / Inkompressibel Für die Navier-Stokes-Gleichungen müssen genau 4 voneinander unabhängige Größen vorgeschrieben werden, z.b.: - Dichte und 3 x Geschwindigkeit - Für nichtfestgelegt Größen wird Neumann Randbedingung angenommen Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 23
Ausströmrand Überschall Es dürfen keine Dirichlet-Randbedingungen vorgeschrieben werden. - Neumann Randbedingung für alle Größen. Kompressibel Unterschall / Inkompressibel Für die Navier-Stokes-Gleichungen muss genau eine Größe vorgeschrieben werden. - Meist wird der statische Druck gesetzt. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 24
Randbedingungen Beispiel Einlass: Dirichlet Randbedingung -> Ψ ist gegeben Auslass: Neumann Randbedingung -> dψ/dn=0 Wand: Konvektive Flussterme werden zu NULL Diffusive Flussterme werden durch Wandmodell als Quellterm vorgegeben. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 25